Funktionsscharen

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktionenschar \(f_a(x)=ax^2+4x-3\). Ermittle den Globalverlauf der Funktion für unterschiedliche \(a\), indem Du eine Fallunterscheidung durchführst.

Lösung

Für die Fallunterscheidung wählst Du ein beliebiges negatives und positives \(a\) und setzt diese in die Gleichung ein.

\begin{align}f_a(x)&=ax^3+4x-3 \\f_2(x)&=2x^2+4x-3 \\f_{-2}(x)&=-2x^2+4x-3\end{align}

In die Gleichung \(f_2(x)\) setzt Du jetzt eine sehr große und sehr kleine Zahl für x ein.

\begin{align}f_2(100)&=2\cdot 100^2+4\cdot 100-3 \\&=20000+400-3 \\&=20397 \\f_2(-100)&=2\cdot (-100)^2+4\cdot (-100)-3 \\&=20000-400-3 \\&=19597\end{align}

Für den negativen x-Wert ist der y-Wert positiv. Für den positiven x-Wert ist der y-Wert ebenfalls positiv.

Jetzt machst Du das gleiche noch mal für \(f_{-2}(x)\).

\begin{align}f_{-2}(100)&=-2\cdot 100^2+4\cdot 100-3 \\&=-20000+400-3 \\&=-19603 \\ f_{-2}(-100)&=-2\cdot (-100)^2+4\cdot (-100)-3 \\&=-20000-400-3 \\&=-20403\end{align}

Für den negativen x-Wert ist der y-Wert negativ. Für den positiven x-Wert ist der y-Wert ebenfalls negativ.

Das heißt für die Parameter:

• Für alle negativen Parameter ist die Funktionenschar erst monoton steigend und dann monoton fallend.
• Für alle positiven Parameter ist die Funktionenschar erst monoton fallend und dann monoton steigend.

Aufgabe 2

Die Funktionenschar \(f_a(x)=ax^3+3x^2-7x\) ist eine Funktion dritten Grades. Berechne alle Nullstellen der Funktionenschar.

Lösung

Als Erstes setzt Du die Funktionsschar gleich null.

\begin{align}f_a(x)&=0 \\0&=ax^3+3x^2-7x\end{align}

Da die Funktion kein absolutes Glied enthält, klammerst Du jetzt ein \(x\) aus.

\begin{align}0&=ax^3+3x^2-7x \\0&=x\cdot(ax^2+3x-7)\end{align}

\begin{align}0&=x\cdot(ax^2+3x-7) \\x_1&=0 \\0&=ax^2+3x-7 &|&:a \\0&=x^2+\frac{3}{a}x-\frac{7}{a}\end{align}

Nun wendest Du auf den hinteren Teil die pq-Formel an.

\begin{align}x_{2,3}&=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\x_{2,3}&=-\frac{\frac{3}{a}}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{\frac{3}{a}}{2}\right)^2+\frac{7}{a}} \\x_{2}&=-\frac{3}{2a}+ \sqrt{\frac{9}{4a^2}+\frac{7}{a}} \\x_{3}&=-\frac{3}{2a}- \sqrt{\frac{9}{4a^2}+\frac{7}{a}}\end{align}

Zum Schluss schreibst Du noch die Schnittpunkte mit der x-Achse auf.

\begin{align}&S_1(0|0)\\&S_2\left(-\frac{3}{2a}+ \sqrt{\frac{9}{4a^2}+\frac{7}{a}}|0\right) \\&S_3\left(-\frac{3}{2a}- \sqrt{\frac{9}{4a^2}+\frac{7}{a}}|0\right)\end{align}

Aufgabe 3

Für die Funktionenschar \(f_a(x)=a(x+1)^2-3\) sollen die erste und zweite Ableitung berechnet werden. Ermittle anschließend die Monotonie für die Stelle \(x=2\).

Lösung

\(\definecolor{bl}{RGB}{20,120,200}\definecolor {gr}{RGB}{0,220,180}\definecolor {r}{RGB}{250,50,115}\definecolor{li}{RGB}{131,99,226}\)

Als Erstes leitest Du die Funktion nach den Dir bekannten Regeln ab. Du musst die Summenregel (blau), die Potenzregel (lila), die Faktorregel (grün) und die Kettenregel (rot) anwenden. Den Scharparameter behandelst Du beim Ableiten wie eine normale Zahl.

\begin{align}f_a(x)&=a(x+1)^{\color{li}2}{\color{bl} -} 3 \\f'_a(x)&={\color{li}2}{\color{gr}a}{\color{r}(x+1)\cdot 1} \\&=2ax{\color{bl}+}2a \\f''_a(x)&=2{\color{gr}a}\end{align}

Jetzt setzt Du, um den Steigung an der Stelle \(x=2\) zu berechnen, die \(2\) in die erste Ableitung ein und berechnest die Steigung.

\begin{align}f'_a(x)&=2ax+2a \\y&=2a\cdot 2+2a \\y&=4a+2a \\y&=6a\end{align}

Die Steigung an der Stelle \(x=2\) beträgt \(6a\).

Fallunterscheidung:

Um genau sagen zu können, ob die Funktion an der Stelle fallend oder steigend ist, musst Du eine Fallunterscheidung durchführen. Dafür setzt Du den Term \(6a\) gleich null und stellst nach \(a\) um.

\begin{align}0&=6a &|&:6 \\a&=0\end{align}

Jetzt weißt Du, dass für \(a=0\) die Steigung null ist. Du untersuchst jetzt für kleinere und größere \(a\) das Verhalten.

\begin{align}a&=100 \\m&=6\cdot 100 \\m&=600 \\a&=-100 \\m&=6\cdot (-100) \\m&=-600\end{align}

Für alle \(a\) kleiner als \(0\) ist der Graph an der Stelle \(x=2\) fallend. Für alle \(a\) größer als \(0\) ist der Graph steigend. Für \(a=0\) hat der Graph die Steigung \(0\).

Aufgabe 4

Berechne die Extremstellen der Funktionenschar \(f_a(x)=ax^3-2x-2, für \(a\) gelten dabei nur Zahlen größer null, also \(a>0\).

Lösung

Schritt 1:

Als Erstes berechnest Du die ersten beiden Ableitungen der Funktionenschar.

\begin{align}f_a(x)&=ax^3-2x-2 \\f'_a(x)&=3ax^2-2 \\f''_a(x)&=6ax\end{align}

Schritt 2:

Jetzt führst Du die notwendige Bedingung aus, indem Du die erste Ableitung gleich null setzt und \(x\) berechnest.

\begin{align}f'_a(x)=0 \\0=3ax^2-2 &|&+2 \\2=3ax^2 &|&:(3a) \\\frac{2}{3a}=x^2 &|&\sqrt{} \\\pm\sqrt{\frac{2}{3a}}=x\end{align}

Schritt 3:

Für die hinreichende Bedingung setzt Du den eben errechneten Wert in die zweite Ableitung ein und überprüfst, ob dieser nicht null wird.

\begin{align} f''_a\left(-\sqrt{\frac{2}{3a}}\right)&=6a\cdot \left(-\sqrt{\frac{2}{3a}}\right) &<&0 \end{align}

Die zweite Ableitung für diesen Wert ist negativ. An dieser Stelle ist ein Hochpunkt.

\begin{align} f''_a\left(\sqrt{\frac{2}{3a}}\right)&=6a\cdot \sqrt{\frac{2}{3a}} &>&0 \end{align}

Die zweite Ableitung für diesen Wert ist positiv. An dieser Stelle ist ein Tiefpunkt.

An der Stelle \(x=-\sqrt{\frac{2}{3a}}\) besitzt der Graph einen Hochpunkt. An der Stelle \(x=\sqrt{\frac{2}{3a}}\) besitzt der Graph einen Tiefpunkt.

Aufgabe 5

Ermittle die Ortskurve der Funktionenschar \(f_a(x)=x^4-ax^2\), \(a>0\) für die Tiefpunkte.

Lösung

Schritt 1: Bestimmung der x-Koordinaten der Eigenschaft – also der Tiefpunkte

Als Erstes berechnest Du die x-Koordinaten der Tiefpunkte. Dafür orientiere Dich an der Ermittlung der Extrempunkte.

Ableiten:

\begin{align}f_a(x)&=x^4-ax^2 \\f'_a(x)&=4x^3-2ax \\f''_a(x)&=12x^2-2a\end{align}

Notwendige Bedingung:

\begin{align}f'_a(x)&=0 \\0&=4x^3-2ax \\0&=x\cdot(4x^2-2a) \\x_1&=0 \\0&=4x^2-2a &|&+2a \\2a&=4x^2 &|&:4 \\0{,}5a&=x^2 &|&\sqrt{} \\x_2&=\sqrt{0{,}5a} \\x_3&=-\sqrt{0{,}5a}\end{align}

Hinreichende Bedingung:

\begin{align} f''_a(x)&=12x^2-2a \\ f''_a(0)&=12\cdot 0-2a \\ &=-2a&<&0 \rightarrow HP \\ f''_a(\sqrt{0{,}5a})&=12\cdot(\sqrt{0{,}5a})^2-2a \\ &=4a &>&0 \rightarrow TP \\ f''_a(-\sqrt{0{,}5a})&=12\cdot(-\sqrt{0{,}5a})^2-2a \\ &=4a &>&0 \rightarrow TP \end{align}

Die hinreichende Bedingung ist für diese Stelle negativ, da \(a>0\) sein soll. Diese Extremstelle ist der x-Wert eines Hochpunktes.

\begin{align}f_a(x)&=x^4-ax^2 \\f_a(0)&=0^4-a\cdot0^2 \\&=0\end{align}

Die hinreichende Bedingung ist für diese beiden Punkte ist positiv, da \(a>0\) sein soll. Diese Extremstellen sind x-Werte von Tiefpunkten.

\begin{align}f_a(x)&=x^4-ax^2 \\f_a(\sqrt{0{,}5a})&=(\sqrt{0{,}5a})^4-a\cdot(\sqrt{0{,}5a})^2 \\&=0{,}25a^2-0{,}5a^2 \\&=-0{,}25a^2 \\\\ f_a(-\sqrt{0{,}5a})&=(-\sqrt{0{,}5a})^4-a\cdot(-\sqrt{0{,}5a})^2 \\&=0{,}25a^2-0{,}5a^2 \\&=-0{,}25a^2\end{align}

Jetzt wählst Du einen der beiden x-Werte der Tiefpunkte. Hier wird \(TP_1(\sqrt{0{,}5a}|-0{,}25a^2)\) gewählt.

Schritt 2: Umstellen des x-Wertes nach dem Parameter

Du stellst also nun den x-Wert des Tiefpunktes um nach \(a\).

\begin{align}x&=\sqrt{0{,}5a} &|&^2 \\x^2&=0{,}5a &|&:0{,}5 \\2x^2&=a\end{align}

Schritt 3: Einsetzen den y-Wert des Punktes

Nun setzt Du den umgestellten x-Wert des Tiefpunktes in den y-Wert des Punktes ein,

\begin{align} y&=-0{,}25a^2 \\ y&=-0{,}25\cdot (2x^2)^2 \end{align}

Schritt 4: Vereinfachen der Gleichung

\begin{align}y&=-0{,}25\cdot (2x^2)^2 \\y&= -0{,}25\cdot 4x^4 \\y&=-x^4\end{align}

Die Ortskurve für die Funktionenschar lautet \(y=-x^4\). Zeichnerisch sieht dies so aus:

Abbildung 4: Ortskurve

Aufgabe 6

Gegeben ist die Funktionenschar \(f_a(x)=ax^2+ax-2\). Bestimme jeweils einen passenden Parameter so, dass die Funktion die geforderte Bedingung erfüllt.

1. Der Graph verläuft durch den Punkt \(P(2|4)\).
2. Die Funktion f hat an der Stelle \(-0{,}5\) eine lokale Extremstelle.

Lösung

Als Erstes leitest Du die Funktionenschar bis zur dritten Ableitung ab.

\begin{align}f_a(x)&=ax^2+ax-2 \\f'_a(x)&=2ax+a \\f''_a(x)&=2a\end{align}

a.

Du setzt den Punkt \(P(2|4)\) in die Funktionenschar ein und stellst nach \(a\) um.

\begin{align}f_a(x)&=ax^2+ax-2 \\4&=a\cdot 2^2+a\cdot 2-2 \\4&=4a+2a-2 &|&+2 \\6&=6a &|&:6 \\1&=a\end{align}

Der Parameter muss \(1\) sein, damit der Graph durch den Punkt \(P(2|4)\) verläuft.

b.

Die erste Ableitung setzt Du gleich null. Die Variable \(x\) ersetzt Du durch \(-0{,}5\) und stellst nach \(a\) um.

\begin{align}f'_a(x)&=0 \\0&=2a\cdot (-0{,}5)+a \\0&=-a+a \\0&=0\end{align}

Für alle Parameter \(a\) liegt eine Extremstelle bei \(x=0{,}5\)

Aufgabe 7

Berechne die Ortskurve der Tiefpunkte der Funktionenschar \(f_a(x)=4x^2-ax-2\).

Lösung

Schritt 1: Bestimmung der x-Koordinaten der Eigenschaft– also der Tiefpunkte

Als Erstes leite für die Funktionenschar die ersten beiden Ableitungen ab.

\begin{align}f_a(x)&=4x^2-ax-2 \\f'_a(x)&=8x-a \\f''_a(x)&=8\end{align}

Jetzt setze die notwendige Bedingung ein. Du musst die erste Ableitung gleich null setzen.

\begin{align}f'_a(x)&=0 \\0&=8x-a &|&+a \\a&=8x &|&:8 \\\frac{a}{8}&=x\end{align}

Als Nächstes überprüfst Du mit der hinreichenden Bedingung, ob es sich um einen Extrempunkt handelt. Da die zweite Ableitung \(f''_a(x)=8\) ist, existiert für diese Funktionenschar kein Wendepunkt. \(\frac{a}{8}\) ist der x-Wert eines Tiefpunktes.

\[TP\left(\frac{a}{8}|-\frac{1a^2}{16}-2\right)\]

Schritt 2: Umstellen des x-Wertes nach dem Parameter

\begin{align}x&=\frac{a}{8} &|&\cdot 8 \\a&=8x \end{align}

Schritt 3: Einsetzen in den y-Wert.

\[y=-\frac{8x^2}{16}-2\]

Schritt 4: Vereinfachen der Gleichung

\[y=-\frac{x^2}{2}-2\]

Du erhältst die Funktion \(y=-\frac{x^2}{2}-2\) als Ortskurve.