Allgemeine Exponentialfunktion

Die allgemeine Exponentialfunktion – Definition

Mithilfe der Exponentialfunktion kannst Du das exponentielle Wachstum beschreiben. Beachte jedoch folgende Bedingungen für die Konstante $a$ und die Basis $b$:

Ein Beispiel für eine Exponentialfunktion ist die Funktion $f\left(x\right)=3^x$. Dabei ist $b=3$.

Beachte, dass $a=1$ gilt, weshalb a hier weggelassen werden kann.

Abbildung 1: Exponentialfunktion

Ein weiteres Beispiel ist die Funktion $f\left(x\right)=3·2^x$. Dabei gilt $b=2$ und die Konstante lautet $a=3$.

Abbildung 2: Exponentialfunktion

Exponentialfunktion aufstellen

Für die Berechnung des exponentiellen Wachstums stellst Du eine Exponentialfunktion auf. Diese hat folgende Form:

Folgendes Beispiel verdeutlicht das Ganze:

Eigenschaften der allgemeinen Exponentialfunktion

Die allgemeine Exponentialfunktion weist unterschiedliche Eigenschaften auf.

Definitionsmenge und Wertebereich

Bei der allgemeinen Exponentialfunktion dürfen alle reellen Zahlen eingesetzt werden.

${\mathbb{D}}_f=\mathrm{ℝ}$

In den Definitionsbereich fallen sowohl positive als auch negative Zahlen. Das heißt, dass Du jede reelle Zahl in die Funktion einsetzen kannst, ohne eine mathematische Regel zu brechen!

Das Ergebnis einer Exponentialfunktion ist immer positiv. Also gilt für den Wertebereich:

$\mathbb{W}={\mathrm{ℝ}}^{+}$

Egal, welchen Exponenten Du für x einsetzt, der y-Wert ergibt niemals eine negative Zahl!

Zur Veranschaulichung siehe Dir folgende Abbildung an:

Abbildung 3: Wertebereich

Umkehrfunktion der Allgemeinen Exponentialfunktion

Die Umkehrfunktion ist ein wichtiger Bestandteil der allgemeinen Exponentialfunktion und entscheidend für die Vereinfachung einer Exponentialfunktion.

Die Logarithmusfunktion stellt das Spiegelbild der allgemeinen Exponentialfunktion dar, was Du in der folgenden Abbildung sehen kannst.

Abbildung 4: Umkehrfunktion

Um dies besser zu verstehen, folgt nun ein Beispiel:

Nullstellen

Wie sieht es mit den Nullstellen der allgemeinen Exponentialfunktion aus?

Jedoch schneidet die allgemeine Exponentialfunktion die y-Achse bei dem Wert a.

Abbildung 6: Schnittpunkt y-Achse

In diesem Beispiel kannst Du sehen, dass sich die Funktion und die y-Achsen an dem Punkt $\left(0\right|5)$schneiden. Dies ist der Fall, da der Wert a der Funktion 5 beträgt.

Eigenschaften des Graphen der Exponentialfunktion

Es wird zwischen folgenden Exponentialfunktionen unterschieden:

Basis b zwischen 0 und 1, Basis b größer als 1.

Beachte jedoch ebenfalls die Konstante a, denn diese beeinflusst aufgrund der Multiplikation die Basis b.

Das heißt, wenn a größer 1 ist, wird die Basis b auch größer. Ist die Konstante a jedoch kleiner 1, dann wird die Basis b kleiner!

Basis b zwischen 0 und 1

Je nachdem, wie die Basis der Exponentialfunktion aussieht, verändert sich die Steigung des Funktionsgraphen. Bei einer Basis zwischen 0 und 1 gilt folgende Definition:

Du kannst Dir merken: Je kleiner b ist, desto steiler verläuft der Graph f(x). Der Graph fällt dabei immer streng monoton.

Abbildung 7: Basis zwischen 0 und 1

Basis b größer als 1

Was passiert, wenn die Basis b größer als 1 ist?

Du kannst Dir merken: Je größer b ist, desto steiler verläuft die Funktion. Der Graph steigt dabei immer streng monoton.

Ein Beispiel hierfür siehst Du in Abbildung 4.

Abbildung 8: Basis b größer als 1

Verschiebung des Graphen in y-Richtung

Der Graph einer allgemeinen Exponentialfunktion kann sich aber auch entlang der y-Achse durch einen Parameter verschieben.

Da der Parameter $d$ zum y-Achsenabschnittspunkt $a$ dazu addiert wird, verändert sich die Lage des Graphen. Das heißt, je größer d ist, desto weiter verschiebt sich der Graph nach oben und umgekehrt.

Abbildung 9: Verschiebung des Graphen

Ableiten der allgemeinen Exponentialfunktion

Mit der Differentialrechnung kannst Du das Steigungsverhalten einer Funktion $f\left(x\right)$ bzw. eines Graphen erfassen und ihn so charakterisieren.

Für die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion benötigst Du das Verständnis für die Umwandlung der allgemeinen Exponentialfunktion in die e-Funktion.

Die natürliche Exponentialfunktion

Umwandeln der allgemeinen Exponentialfunktion in die e-Funktion

Die allgemeine Exponentialfunktion kannst Du in die e-Funktion umwandeln. Dies wird meist notwendig, wenn Du eine allgemeine Exponentialfunktion ableiten möchtest.

Um dies zu verdeutlichen, folgt nun ein Beispiel.

Ableiten der allgemeinen Exponentialfunktion mithilfe der Kettenregel

Für die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion benötigst Du die Kettenregel.

Nun kannst Du Dich der Ableitung widmen:

Um auf diese Ableitung zu kommen, wandelst Du zuerst die allgemeine Exponentialfunktion in die e-Funktion um:

$f\left(x\right)=a·e^{x·ln\left(b\right)}$

Jetzt kannst Du die Funktion mit der Kettenregel ableiten. Du ziehst also $\ln \left(b\right)$ aus den Exponenten und die e-Funktion bleibt erhalten:

$f\left(x\right)=a·ln\left(b\right)·e^{x·ln\left(b\right)}$

Nun kannst Du die e-Funktion wieder in die Normale Exponentialfunktion umwandeln:

$f\left(x\right)=a·ln\left(b\right)·b^x$

Um dies besser zu verstehen, folgt nun ein Beispiel:

Das Integral der allgemeinen Exponentialfunktion

Um einer Funktion zu integrieren, bildest Du die Stammfunktion $F\left(x\right)$.

Das heißt, Du machst das Gegenteil von Differenzieren, um zu Deiner Ursprungsfunktion zu gelangen.

Jetzt kannst Du das Ganze an einem Beispiel üben!