Allgemeine Exponentialfunktion

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Angenommen, Du hast 100 €, die sich jeweils nach 4 Stunden verdoppeln. Wie viel Geld hast Du nach zwei Monaten? Solche Aufgaben kannst Du mit Hilfe der allgemeine Exponentialfunktion lösen!

Allgemeine Exponentialfunktion

Doch was stellt die allgemeine Exponentialfunktion überhaupt dar?

Die allgemeine Exponentialfunktion – Definition

Die allgemeine Exponentialfunktion hat folgende Form:

$f (x) = a \cdot b^{x}$

Dabei besteht die Basis aus einer Konstanten und der Exponent aus der Funktionsvariablen x. Die Basis $b$ stellt die Steigung der Funktion dar und die Konstante $a$ den Anfangswert, also den y-Achsenabschnitt.

Mithilfe der Exponentialfunktion kannst Du das exponentielle Wachstum beschreiben. Beachte jedoch folgende Bedingungen für die Konstante $a$ und die Basis $b$ :

Für die Basis b gilt:

$b \in ℝ^{+}$

Für die Konstante a gilt:

$a \neq 0$

Ein Beispiel für eine Exponentialfunktion ist die Funktion $f (x) = 3^{x}$ . Dabei ist $b = 3$ .

Beachte, dass $a = 1$ gilt, weshalb a hier weggelassen werden kann.

Allgemeine Exponentialfunktion Exponentialfunktion StudySmarter Abbildung 1: Exponentialfunktion

Ein weiteres Beispiel ist die Funktion $f (x) = 3 \cdot 2^{x}$ . Dabei gilt $b = 2$ und die Konstante lautet $a = 3$ .

Allgemeine Exponentialfunktion Beispiel StudySmarter Abbildung 2: Exponentialfunktion

Exponentialfunktion aufstellen

Für die Berechnung des exponentiellen Wachstums stellst Du eine Exponentialfunktion auf. Diese hat folgende Form:

$f (t) = a \cdot b^{t}$

Die Konstante a stellt den Anfangsbestand zum Zeitpunkt $t = 0$ dar.
Die Basis b ist der Wachstumsfaktor des Bestands.
Der Exponent t stellt den Zeitpunkt dar.

Folgendes Beispiel verdeutlicht das Ganze:

Angenommen, Du hast 100 €, die sich nach 4 Stunden verdoppeln. Wie lautet die Exponentialfunktion und wie viel Geld hast Du nach 37 Stunden?

Lösung

Zunächst stellst Du die Exponentialfunktion auf:

$A n f a n g s w e r t (a) \cdot W a c h s t u m s f a k t o r {(b)}^{Z e i t p u n k t (t)}$

$B (4) = 200 = 100 \cdot b^{4}$

In diesem Beispiel ist Dein Anfangswert 100 € und der Verdopplungszeitpunkt steht nach 4 Stunden. Da Du den Wachstumsfaktor noch nicht kennst, besteht Deine Aufgabe darin, ihn herauszufinden!

Stelle zunächst die Gleichung nach b um:

$\begin{array}{rcl} 200 & = & 100 \cdot b^{4} \div 100 \\ 2 & = & b^{4} \end{array}$

Nun löse das Ganze mithilfe der natürlichen Logarithmusfunktion nach b auf:

$\ln (x^{a}) = a \cdot \ln (x)$

$\ln (2) = 4 \cdot \ln (b)$

Im nächsten Schritt teilst Du die Gleichung durch 4 und ´verwendest anschließend die e-Funktion:

$\begin{array}{rcl} \ln (2) & = & 4 \cdot \ln (b) \div 4 \\ \frac{\ln (2)}{4} & = & \ln (b) e - F u n k t i o n \\ e^{\frac{\ln (2)}{4}} & = & b \\ 1, 189 & = & b \end{array}$

Da Du nun die Basis b herausgefunden hast, kannst Du die Exponentialfunktion für die Bestimmung des exponentiellen Wachstums erstellen:

$\begin{array}{rcl} B (t) & = & a \cdot b^{t} \\ = & 100 \cdot 1, 189^{t} \end{array}$

Nun kannst Du Dich der Frage widmen, wie viel Geld Du nach 37 Stunden hast!

Der Zeitpunkt des Wachstumsfaktors beträgt nun nicht mehr 4 Stunden, sondern 37 Stunden:

$B (37) = 100 \cdot 1, 189^{37} = 60496 €$

Nach 37 Stunden hast Du also $60496 €$ !

Eigenschaften der allgemeinen Exponentialfunktion

Die allgemeine Exponentialfunktion weist unterschiedliche Eigenschaften auf.

Definitionsmenge und Wertebereich

Definitionsmege und Wertebereich – Definition

Was ist eigentlich eine Definitionsmenge?

Unter der Definitionsmenge $D_{f}$ versteht man alle x-Werte, die man in die Funktion $f (x)$ einsetzen darf.

Wenn man also die Werte aus der Definitionsbereich einsetzt, darf die Funktion nicht gleich Null ergeben!

Unter dem Wertebereich $W_{f}$ einer Funktion versteht man die Menge aller y-Werte, welche die Funktion annehmen kann. Dabei muss immer die Definitionsmenge berücksichtigt werden.

Der Wertebereich gibt also alle möglichen y-Werte an, die eine Funktion annehmen kann!

Bei der allgemeinen Exponentialfunktion dürfen alle reellen Zahlen eingesetzt werden.

$D_{f} = ℝ$

In den Definitionsbereich fallen sowohl positive als auch negative Zahlen. Das heißt, dass Du jede reelle Zahl in die Funktion einsetzen kannst, ohne eine mathematische Regel zu brechen!

Das Ergebnis einer Exponentialfunktion ist immer positiv. Also gilt für den Wertebereich:

$W = ℝ^{+}$

Egal, welchen Exponenten Du für x einsetzt, der y-Wert ergibt niemals eine negative Zahl!

Zur Veranschaulichung siehe Dir folgende Abbildung an:

Allgemeine Exponentialfunktion Wertebereich StudySmarter Abbildung 3: Wertebereich

Umkehrfunktion der Allgemeinen Exponentialfunktion

Die Umkehrfunktion ist ein wichtiger Bestandteil der allgemeinen Exponentialfunktion und entscheidend für die Vereinfachung einer Exponentialfunktion.

Die Logarithmusfunktion $\log_{b} (x)$ stellt die Umkehrfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion dar.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & b^{x} \\ f^{- 1} (x) & = & \log_{b} (x) \end{array}$

Das heißt, Du kannst sowohl die Logarithmusfunktion als auch die Exponentialfunktion wieder in die Umkehrfunktion umwandeln und so einfacher auflösen. Dabei wird die Basis b der Exponentialfunktion zur Basis der Logarithmusfunktion, während der Exponent x als Faktor in die Logarithmusfunktion geschrieben wird.

Du kannst die Umstellung der Exponentialfunktion zur Logarithmusfunktion auch wie folgt darstellen: $a = b^{x} \to \log_{b} (a) = x$

Die Logarithmusfunktion stellt das Spiegelbild der allgemeinen Exponentialfunktion dar, was Du in der folgenden Abbildung sehen kannst.

Allgemeine Exponentialfunktion Umkehrfunktion StudySmarter Abbildung 4: Umkehrfunktion

Um dies besser zu verstehen, folgt nun ein Beispiel:

Aufgabe

Bestimme die Umkehrfunktion der folgenden allgemeinen Exponentialfunktion:

$f (x) = 5^{x}$

Lösung

Die Logarithmusfunktion lautet wie folgt:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 5^{x} \log (x) \\ = & \log_{5} (x) \\ f^{- 1} (x) & = & \log_{5} (x) \end{array}$

Allgemeine Exponentialfunktion Umkehrfunktion StudySmarter Abbildung 5: Umkehrfunktion

Nullstellen

Wie sieht es mit den Nullstellen der allgemeinen Exponentialfunktion aus?

Die allgemeine Exponentialfunktion besitzt keine Nullstellen, da die x-Achse die waagerechte Asymptote der natürlichen Exponentialfunktion darstellt.

Das heißt, die Funktion schneidet die x-Achse in keinem Punkt. Der Graph nähert sich der x-Achse immer weiter an, berührt sie aber nie.

Jedoch schneidet die allgemeine Exponentialfunktion die y-Achse bei dem Wert a.

Allgemeine Exponentialfunktion Schnittpunkt y-Achse StudySmarter Abbildung 6: Schnittpunkt y-Achse

In diesem Beispiel kannst Du sehen, dass sich die Funktion und die y-Achsen an dem Punkt $(0 | 5)$ schneiden. Dies ist der Fall, da der Wert a der Funktion 5 beträgt.

Eigenschaften des Graphen der Exponentialfunktion

Es wird zwischen folgenden Exponentialfunktionen unterschieden:

Basis b zwischen 0 und 1, Basis b größer als 1.

Beachte jedoch ebenfalls die Konstante a, denn diese beeinflusst aufgrund der Multiplikation die Basis b.

Das heißt, wenn a größer 1 ist, wird die Basis b auch größer. Ist die Konstante a jedoch kleiner 1, dann wird die Basis b kleiner!

Basis b zwischen 0 und 1

Je nachdem, wie die Basis der Exponentialfunktion aussieht, verändert sich die Steigung des Funktionsgraphen. Bei einer Basis zwischen 0 und 1 gilt folgende Definition:

Sobald die Basis der Exponentialfunktion zwischen 0 und 1 liegt, fällt der Graph der Funktion.

Du kannst Dir merken: Je kleiner b ist, desto steiler verläuft der Graph f(x). Der Graph fällt dabei immer streng monoton.

Zur Erinnerung: b darf aber niemals 0 oder kleiner werden.

Allgemeine Exponentialfunktion Basis zwischen 0 und 1 StudySmarter Abbildung 7: Basis zwischen 0 und 1

Basis b größer als 1

Was passiert, wenn die Basis b größer als 1 ist?

Sobald die Basis b der Exponentialfunktion größer als 1 ist, steigt der Funktionsgraph.

Du kannst Dir merken: Je größer b ist, desto steiler verläuft die Funktion. Der Graph steigt dabei immer streng monoton.

Ein Beispiel hierfür siehst Du in Abbildung 4.

Allgemeine Exponentialfunktion Basis größer als 1 StudySmarter Abbildung 8: Basis b größer als 1

Verschiebung des Graphen in y-Richtung

Der Graph einer allgemeinen Exponentialfunktion kann sich aber auch entlang der y-Achse durch einen Parameter verschieben.

Mit dem Parameter $d$ wird der Graph der allgemeinen Exponentialfunktion in y-Richtung verschoben. Das heißt, der Graph verschiebt sich nach unten oder oben.

$f (x) = a \cdot b^{x} + d$

Da der Parameter $d$ zum y-Achsenabschnittspunkt $a$ dazu addiert wird, verändert sich die Lage des Graphen. Das heißt, je größer d ist, desto weiter verschiebt sich der Graph nach oben und umgekehrt.

Allgemeine Exponentialfunktion Verschiebung des Graphen StudySmarter Abbildung 9: Verschiebung des Graphen

Ableiten der allgemeinen Exponentialfunktion

Mit der Differentialrechnung kannst Du das Steigungsverhalten einer Funktion $f (x)$ bzw. eines Graphen erfassen und ihn so charakterisieren.

Für die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion benötigst Du das Verständnis für die Umwandlung der allgemeinen Exponentialfunktion in die e-Funktion.

Die natürliche Exponentialfunktion

Die natürliche Exponentialfunktion ist keine rationale Zahl und man kann sie nicht als Bruch darstellen, da sie unendlich viele Nachkommastellen besitzt. Aufgrund der Nachkommastellen verwendet man die Konstante e, welche den Wert der e-Funktion besitzt.

Bei der e-Funktion steht im Gegensatz zur Potenzfunktion die Variable im Exponenten.

$f (x) = e^{x}$

Ebenso ist die Funktion streng monoton steigend $e \approx 2, 7182 > 1$ .

Wenn Du mehr über die e-Funktion erfahren möchtest, kannst Du Dir den dazugehörigen Artikel anschauen!

Umwandeln der allgemeinen Exponentialfunktion in die e-Funktion

Die allgemeine Exponentialfunktion kannst Du in die e-Funktion umwandeln. Dies wird meist notwendig, wenn Du eine allgemeine Exponentialfunktion ableiten möchtest.

Um die allgemeine Exponentialfunktion in die e-Funktion umzuwandeln, verwendest Du folgende Formel:

$f (x) = a \cdot b^{x} = a \cdot e^{x \cdot \ln (b)}$

Du erhältst mit der Umkehrfunktion denselben Wert wie mit der normalen Funktion. Dies liegt daran, dass eine Funktion, welche mit ihrer Umkehrfunktion verknüpft ist, wieder die Zahl selbst ergibt.

Um dies zu verdeutlichen, folgt nun ein Beispiel.

Aufgabe

Wandle folgende allgemeine Exponentialfunktion in eine e-Funktion um.

$f (x) = 12^{x}$

Lösung

Die umgewandelte Exponentialfunktion lautet wie folgt:

$f (x) = 12^{x} = e^{x \cdot \ln (12)}$

Ableiten der allgemeinen Exponentialfunktion mithilfe der Kettenregel

Für die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion benötigst Du die Kettenregel.

Die Kettenregel stellt eine wichtige Ableitungsregel dar und wird wie folgt definiert:

Die Kettenregel verwendest Du bei verketteten Funktion, welche in eine äußere Funktion g und eine innere Funktion h unterteilt wird.

$f (x) = g (h (x)) \leftrightarrow f' (x) = g' (h (x)) \cdot h' (x)$

Wenn Du mehr über die Ableitungsregeln erfahren möchtest, kannst Du Dir den dazugehörigen Artikel anschauen!

Nun kannst Du Dich der Ableitung widmen:

Wenn Deine allgemeine Exponentialfunktion also wie folgt aussieht:

$f (x) = a \cdot b^{x}$

Dann lautet die erste Ableitung:

$f' (x) = a \cdot l n (b) \cdot b^{x}$

Um auf diese Ableitung zu kommen, wandelst Du zuerst die allgemeine Exponentialfunktion in die e-Funktion um:

$f (x) = a \cdot e^{x \cdot l n (b)}$

Jetzt kannst Du die Funktion mit der Kettenregel ableiten. Du ziehst also $\ln (b)$ aus den Exponenten und die e-Funktion bleibt erhalten:

$f (x) = a \cdot l n (b) \cdot e^{x \cdot l n (b)}$

Nun kannst Du die e-Funktion wieder in die Normale Exponentialfunktion umwandeln:

$f (x) = a \cdot l n (b) \cdot b^{x}$

Um dies besser zu verstehen, folgt nun ein Beispiel:

Aufgabe

Bilde die erste Ableitung der folgenden allgemeinen Exponentialfunktion:

$f (x) = 2^{x}$

Lösung

Zunächst wandelst Du die allgemeine Exponentialfunktion in die e-Funktion um:

$f (x) = 2^{x} = e^{x \cdot \ln (2)}$

Nun kannst Du die Kettenregel für die erste Ableitung verwenden:

$f' (x) = \ln (2) \cdot 2^{x}$

Die Ableitung von $e^{x}$ lautet $\ln (x)$ .

Allgemeine Exponentialfunktion Ableitung Allgemeine Exponentialfunktion StudySmarter Abbildung 10: Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion

Das Integral der allgemeinen Exponentialfunktion

Um einer Funktion zu integrieren, bildest Du die Stammfunktion $F (x)$ .

Das heißt, Du machst das Gegenteil von Differenzieren, um zu Deiner Ursprungsfunktion zu gelangen.

Die Stammfunktion der Exponentialfunktion berechnest Du wie folgt:

$f (x) = b^{x} \leftrightarrow F (x) = \frac{b^{x}}{\ln (b)}$

Also kannst Du es folgendermaßen als Integral schreiben:

$\int b^{x} = |\frac{b^{x}}{\ln (b)} + C|$

Jetzt kannst Du das Ganze an einem Beispiel üben!

Aufgabe

Bilde die Stammfunktion der folgenden allgemeinen Exponentialfunktion:

$f (x) = 2^{x}$

Lösung

Die Stammfunktion lautet wie folgt:

$F (x) = \frac{2^{x}}{\ln (2)}$

Allgemeine Exponentialfunktion – Das Wichtigste

Die allgemeine Exponentialfunktion hat folgende Form: $f (x) = a \cdot b^{x}$ .
Die allgemeine Exponentialfunktion kann man in die e-Funktion umwandeln $f (x) = a \cdot b^{x} = a \cdot e^{x \cdot \ln (b)}$ .
Die Basis b ist eine positiv reelle Zahl.
Die Konstante a darf nicht Null sein.
Mit dem Parameter d wird der Graph der allgemeinen Exponentialfunktion in y-Richtung verschoben.
Die allgemeine Exponentialfunktion besitzt keine Nullstellen.
Bei der allgemeinen Exponentialfunktion dürfen alle reellen Zahlen eingesetzt werden. Das heißt, der Definitionsbereich lautet wie folgt: $D_{f} = ℝ$ .
Sobald die Basis der Exponentialfunktion zwischen 0 und 1 liegt, fällt der Graph der Funktion.
Sobald die Basis b der Exponentialfunktion größer als 1 ist, steigt der Funktionsgraph.
Die Stammfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion lautet wie folgt: $f (x) = b^{x} \leftrightarrow F (x) = \frac{b^{x}}{\ln (b)}$ .

Häufig gestellte Fragen zum Thema Allgemeine Exponentialfunktion

Mit Hilfe der Exponentialfunktion, kannst du das exponentielle Wachstum beschreiben. Die allgemeine Exponentialfunktion besteht dabei aus einer Basis und dem Exponenten x. Der Graph ist abhängig von der Veränderung der Werte von a, b und d.

Die folgende Gleichung beschreibt die allgemeine Exponentialfunktion: f(x)=b·a^x.

Die natürliche Exponentialfunktion besteht aus der Euler'schen Zahl e=2,718, welche die Basis darstellt und dem Exponenten x.

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Was stellt die Basis b und die Konstante a dar?

Die Basis b stellt die Steigung der Funktion dar und die Konstante a den Anfangswert/y-Achsenabschnitt.

Was kannst du mithilfe der Exponentialfunktion beschreiben?

Mithilfe der Exponentialfunktion lässt sich das exponentielle Wachstum oder exponentielle Verfall beschreiben.

Welche Werte kann die Basis b annehmen und wie verändert sie sich anhand dieser?

Allgemein unterscheidest du zwischen Exponentialfunktionen, deren Basis b zwischen 0 und 1 liegt und Exponentialfunktionen, deren Basis b größer als 1 ist.

Wenn die Basis zwischen 0 und 1 liegt, fällt der Graph der Funktion. Ist die Basis jedoch größer als 1, dann steigt der Graph der Funktion!

Welche Eigenschaften hat der Graph, wenn die Basis zwischen 0 und 1 liegt?

Sobald die Basis der Exponentialfunktion zwischen 0 und 1 liegt , fällt der Funktionsgraph der Funktion. Das heißt der Graph ist streng monoton fallend, je kleiner die Basis b ist.

Welche Eigenschaften hat der Graph, wenn die Basis b größer 1 ist?

Sobald die Basis b der Exponentialfunktion größer als 1 ist, steigt der Funktionsgraph. Dabei kannst du dir merken, dass umso größer a ist, die Funktion immer steiler verläuft. Das heißt der Graph steigt streng monoton.

Besitzt die allgemeine Exponentialfunkton Nullstellen?

Die allgemeine Exponentialfunktion besitzt keine Nullstellen, da die x-Achse die waagerechte Asymptote der natürlichen Exponentialfunktion darstellt.

Das heißt, die Funktion schneidet die x-Achse in keinem Punkt. Die Funktion nähert sich also der x-Achse immer weiter an, berührt sie aber nie.

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