Exponentialfunktion

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Im Gegensatz zur Potenzfunktion, wo die Variable in der Basis steht, steht bei der  Exponentialfunktion die Variable im Exponenten. 



Die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion  


Unter einer Exponentialfunktion mit der Basis  versteht man eine reelle  Funktion der Form:


 bedeutet, dass a (genannt: „die Basis“) größer als 0 ist und gleichzeitig nicht 1 sein darf. Im Exponenten steht die Variable x.  

Weil im Exponenten die Variable steht, heißt diese Funktion „Exponentialfunktion“. 




Die Exponentialfunktion mit einem Vorfaktor b  


Eine Exponentialfunktion kann auch einen Vorfaktor b haben, dieser Faktor ist eine reelle  Zahl, die aber nicht 0 sein sollte. Sonst wäre das gesamte Ergebnis der Funktion schließlich  0. 


Die Funktionsgleichung sieht dann folgendermaßen aus:


Im Folgenden siehst du ein paar Beispiele, wie ein Funktionsterm einer Exponentialfunktion  mit Vorfaktor aussehen könnte: 


  • , hier ist a=2 und b=-3  
  • , hier ist a=7 und b=1,5
  • , dieser Term ist nicht der einer Exponentialfunktion, da die Variable  nicht im Exponenten steht. Er ist der Funktionsterm einer Potenzfunktion



Die natürliche Exponentialfunktion und die Euler´sche Zahl   


Besonders wichtig für die Umkehrfunktion und auch die Differenzier- und  Integrierbarkeitsrechnung, ist die Euler´sche Zahl e

Unter der Euler´schen Zahl versteht man den Grenzwert: 


e ist eine irrationale Zahl. Du kannst diese auch als Dezimalbruch schreiben. Sie ist  unendlich, aber nicht periodisch und beginnt mit 2,71828… 


Die zugehörige Exponentialfunktion von e heißt e-Funktion oder natürliche  Exponentialfunktion. 


Diese Zahl ist besonders wichtig bei exponentiellem Wachstum, z.B. dem Wachstum von Bakterien, oder auch exponentiellen Abnahmevorgängen. 


Die natürliche Exponentialfunktion hat die Form . Die Zahl e steht hier in der Basis statt dem Koeffizienten.




Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion   


Du kannst jede Exponentialfunktion auch in eine natürliche Exponentialfunktion, die  sogenannte „e-Funktion“ oder „Euler´sche Zahl“, umwandeln. Diese natürliche  Exponentialfunktion hat dann die Basis e. e ist die „Euler´sche Zahl“. 


Mit dieser Beziehung kannst du auch die Ableitung bestimmen. Die natürliche Logarithmusfunktion, ln-Funktion, ist die Umkehrfunktion der e-Funktion. Damit gilt: 


Hier siehst du: Wenn du die e-Funktion an der Winkelhalbierenden (x=y) spiegelst,  erhältst du die ln-Funktion. 




Die Ableitung der Exponentialfunktion   


Die Ableitung der Exponentialfunktion  lautet:



Die Stammfunktion der Exponentialfunktion   


Die Stammfunktion bzw. das Integral F(x) der Exponentialfunktion  lautet:




Der Graph einer Exponentialfunktion – die Eigenschaften  


Der Graph einer Exponentialfunktion hat gewisse Eigenschaften, die immer gelten.  

Er: 

  • verläuft immer über der x-Achse; 
  • geht immer durch den Punkt (0|1); 
  • ist stets monoton: Er steigt streng monoton für a>1 und fällt streng monoton für 0<a<1; 
  • ist stets linksgekrümmt; 
  • geht durch Spiegelung an der y-Achse über in den Graphen der Funktion x ⟼  und umgekehrt
  • der maximale Definitionsbereich ist ganz ℝ 
  • der maximale Wertebereich ist  falls b>0 und  falls b<0
  • die x-Achse ist eine Asymptote des Graphen 


Die blaue Funktion steigt; b > 0 und a > 1

Die türkise Funktion fällt; b > 0 und a < 1


Die blaue Funktion fällt; b < 0 und a > 1

Die türkise Funktion steigt; b < 0 und a < 1




Zur Erinnerung: Die Potenzgesetze   


Für das Rechnen mit Exponentialfunktionen können die Potenzgesetze sehr hilfreich sein.  Wir fassen sie dir hier noch einmal zusammen! 


Diese Gesetze werden durch die Beziehungen  ergänzt.



Das wichtigste auf einen Blick  


  • Eine Exponentialfunktion mit der Basis  ist eine reelle Funktion und hat die Form:  mit
  •  bedeutet, dass a (genannt: „die Basis“) größer als 0 ist und gleichzeitig nicht 1  sein darf. Im Exponenten steht die Variable x. b gibt den Vorfaktor an.
  • Unter der Euler´schen Zahl versteht man den Grenzwert:
  • Die natürliche Exponentialfunktion hat die Form .
  • Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist die ln-Funktion:
  • Die Ableitung der Exponentialfunktion lautet:
  • Die Stammfunktion der Exponentialfunktion lautet:



Unser Tipp für Euch   

Ich würde dir empfehlen, dir den Artikel exponentielles Wachstum gründlich  durchzulesen und die Beispielaufgaben selbst zu machen. Dort findest du spezielle  Anwendungsbeispiele für die oben erlernte Theorie und siehst, dass dieses Thema im Alltag  auch sehr wichtig ist. Damit verinnerlichst du das erlernte Wissen! 



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