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Die Quotientenregel ist eine der praktischsten, aber auch gleich eine der schwieriger zu merkenden Ableitungsregeln. Mit ihr kannst Du, wie der Name schon sagt, die Ableitung von Quotienten bilden. Die Formel für die Quotientenregel, sowie alle ihre geläufigen Anwendungen findest Du in dieser Erklärung.
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Team Quotientenregel Lehrer
Die Quotientenregel kann bei Funktionen \(f(x)\) angewandt werden, die in Form eines Quotienten vorliegen. \[f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\] Wobei \(u(x)\) und \(v(x)\) beliebige Funktionen sind und \(v(x) \neq 0\) gelten muss.
Die Ableitung \(f'(x)\) wird dann nach folgender Regel gebildet\[f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{u(x)^2}\] Dabei sind \(u'(x)\) und \(v'(x)\) jeweils die Ableitungen des Zählers und Nenners von \(f(x)\).
Merkhilfe:
Eine gebrochen-rationale Funktion lässt sich wie folgt mit der Quotientenregel ableiten.
Aufgabe 1
Bilde die Ableitung der Funktion mit , wobei ist.
Lösung
Identifiziere zuerst die Funktion im Zähler und die im Nenner .
Bilde davon jeweils die Ableitung und .
Nutzt Du anschließend die Formel der Quotientenregel und vereinfachst den Ausdruck, erhältst Du folgende Lösung.
Nun kennst Du bereits die Formel der Quotientenregel. Doch warum gilt die Quotientenregel überhaupt? Interessiert Dich die Herleitung der Quotientenregel? Dann findest Du die Antworten in der nachfolgenden Vertiefung. Überspringe diesen Abschnitt gerne, wenn Du direkt zu den Beispielen und Aufgaben möchtest.
Der Beweis der Quotientenregel wird mithilfe der Produktregel hergeleitet.
Zur Erinnerung:
Jede Funktion , die als Quotient dargestellt ist, mit kann auch als Produkt geschrieben werden.
Wird nun diese Funktion abgeleitet, kann die Produktregel angewandt werden. Dazu werden zuerst die Funktionen und für die Produktregel identifiziert.
Anschließend werden wieder die Ableitungen und benötigt. Dazu brauchst Du bei der Funktion die Kettenregel.
Zur Erinnerung:
Damit ergeben sich folgende Ableitungen.
Mithilfe der Ableitungen und ergibt sich folgender gesamter Ausdruck, den Du noch vereinfachen kannst.
Tipp:
Wenn Du Dir die Quotientenregel nicht merken möchtest, kannst Du den Quotienten immer in ein Produkt umschreiben und somit statt der Quotientenregel die Produktregel nutzen.
Zum Abschluss kannst Du jetzt das erlernte Wissen auf die Probe stellen und die folgenden Übungsaufgaben lösen. Nutze gerne Deine eigene Formelsammlung aus der Schule, wenn Du eine benutzen darfst!
Aufgabe 2
Berechne die Ableitung der Funktion mit , wobei ist.
Lass Dich durch das π nicht verwirren. Das kann wie eine normale Zahl behandelt werden.
Lösung
Zuerst kannst Du die Funktion im Zähler und die Funktion im Zähler identifizieren.
Im nächsten Schritt bildest Du jeweils die Ableitungen und davon. Bei der Funktion wird die Kettenregel angewandt.
Zur Erinnerung:
Zusammengeführt ergibt es folgende gesamte Ableitung .
Den Ausdruck kannst Du mithilfe von Potenzgesetzen zusammenfassen, indem die Exponenten addiert werden.
Zur Erinnerung:
Da Du Dich jetzt intensiv mit dem Thema Quotientenregel auseinandergesetzt hast, kannst Du Deine Hausaufgabe im Nu lösen.
Eingangsaufgabe
Bilde die Ableitung und die zweite Ableitung der Funktion mit .
Lösung
Identifiziere wieder zuerst die Funktion im Zähler und die im Nenner .
Als Nächstes bildest Du wieder jeweils die Ableitung davon.
Wendest Du nun die Formel der Quotientenregel an, erhältst Du folgende erste Ableitung .
Um die zweite Ableitung zu bilden, bildest Du die Ableitung der ersten Ableitung . Hierbei identifizierst Du wieder zuerst die Funktion im Zähler und die im Nenner .
Bilde davon jeweils die Ableitungen und .
Setzt Du jetzt alles in die Formel für die Quotientenregel ein, erhältst Du folgende zweite Ableitung .
Eselsbrücke: durch
Bedeutung/Gesprochen: Nenner mal Ableitung des Zählers, minus Zähler mal Ableitung des Nenners durch den Nenner ins Quadrat.
Wenn Du Dir die Quotientenregel nicht merken möchtest, kannst Du den Quotienten immer in ein Produkt umschreiben und somit statt der Quotientenregel die Produktregel nutzen.
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Wie lautet die Quotientenregel?
Die Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel einer Funktion f(x) mit f(x) = u(x) : v(x) lautet:
f'(x) = [u'(x) • v(x) - u(x) • v'(x)] : v2(x)
Wann kann die Quotientenregel angewandt werden?
Die Quotientenregel kann immer dann angewandt werden, wenn eine Funktion f(x) = u(x) : v(x) gegeben ist, wobei v(x) ungleich 0 sein muss.
Wie wird ein Bruch abgeleitet?
Die Quotientenregel kann immer dann angewandt werden, wenn eine Funktion f(x) = u(x) : v(x) gegeben ist, wobei v(x) ungleich 0 sein muss.
Also besteht die Funktion aus einem Quotienten bzw. Bruch.
Die Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel einer Funktion f(x) mit f(x) = u(x) : v(x) lautet:
f'(x) = [u'(x) • v(x) - u(x) • v'(x)] : v2(x)
Wie wird die Ableitungsfunktion berechnet?
Die Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel einer Funktion f(x) mit f(x) = u(x) : v(x) lautet:
f'(x) = [u'(x) • v(x) - u(x) • v'(x)] : v2(x)
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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