Ein Auto fährt aus der Stadt heraus auf eine Landstraße. Dabei steigt seine Geschwindigkeit langsam an. Nach \(\text{6 min}\) hat es \(\text{9 km}\) Strecke hinter sich gelegt. Welche Geschwindigkeit hatte das Auto die Fahrt über? Kann dies genau bestimmt werden?
Ein Auto fährt selten mit konstanter Geschwindigkeit. Daher kann die Geschwindigkeit eines Autos in einer bestimmten Zeit nur durchschnittlich ermittelt werden. Dabei hilft die mittlere Änderungsrate. In dieser Erklärung kannst Du lernen, wie Du die mittlere Änderungsrate im Intervall berechnen kannst.
Damit Du alles, was in dieser Erklärung auftaucht, verstehen kannst, solltest Du wissen, was eine Funktion ist und was unter einer Sekante verstanden wird.
Mittlere Änderungsrate – Differenzenquotient: berechnen
Die mittlere Änderungsrate beschreibt die durchschnittliche Änderung in einem bestimmten Intervall.
Mittlere Änderungsrate Definition
Rein mathematisch lässt sich die mittlere Änderungsrate einer Funktion so definieren:
Die mittlere Änderungsrate, auch durchschnittliche Änderungsrate genannt, beschreibt die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten auf dem Graphen einer Funktion.
Ist also eine Funktion gegeben, die die zurückgelegte Strecke eines Autos in einer bestimmten Zeit darstellt, so kann mithilfe der mittleren Änderungsrate die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos in einem beliebigen Zeitabschnitt bestimmt werden.
Auf folgender Abbildung siehst Du den Graphen einer Funktion, die die oben beschriebene Autofahrt darstellt. Dabei ist t die Zeit in Minuten und y die zurückgelegte Strecke in Kilometern. Die Steigung m der Sekante s ist hierbei die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall 0 bis 9, also der Strecke von der Einfahrt bis zum 9. Kilometer.
Abb. 1 – Autofahrt und Sekante
Mittlere Änderungsrate Formel
Um die Steigung der Sekante auszurechnen, gibt es eine bestimmte Formel. Diese wird Differenzenquotient genannt, da sie ein Quotient aus den Differenzen der jeweiligen Zeit und Strecke des Start- und Endpunkts ist.
Die mittlere Änderungsrate einer Funktion \(f\) auf einem Intervall \([a,b]\) kann mit dem sogenannten Differenzenquotient berechnet werden: \[m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
Diese Formel beschreibt dabei genau Herleitung der Steigung der Sekante mit dem Steigungsdreieck:
Abb. 2 – Herleitung des Differenzenquotienten
Die Punkte \(A\,(a|f(a))\) und \(B\,(b|f(b))\) bilden die Schnittpunkte der Sekante mit der Funktion \(f\). Die Steigung der Sekante wird berechnet, indem die Höhe des Steigungsdreiecks (\(f(b)-f(a)\)) durch die Länge des Dreiecks (\(b-a\)) geteilt wird.
Mittlere Änderungsrate im Intervall berechnen Beispiel
Damit Du direkt lernen kannst, wie der Differenzenquotient angewendet werden kann, soll jetzt die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos auf der gesamten Strecke ausgerechnet werden. Die Punkte können dabei am Graphen abgelesen oder der Einleitung entnommen werden.
Gegeben sind die Punkte \(A\,(0|0)\) und \(B\,(6|9)\). Die mittlere Änderungsrate der Funktion \(f\) auf dem Intervall \([0,9]\) berechnest Du mit dem Differenzenquotienten: \[m=\frac{9-0}{6-0}=\text{1,5}\]
Die Steigung der Sekante beträgt also \(\text{1,5}\). Somit ist die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos auf dieser Strecke \(\text{1,5 km/h}\).
Es gibt auch die Möglichkeit, das Intervall kleiner zu wählen. Du kannst zum Beispiel die durchschnittliche Geschwindigkeit innerhalb der Minuten 4 und 9 berechnen.
Das Intervall lautet jetzt \([4,9]\) und die Sekante liegt anders:
Abb. 3 – Beispiel mittlere Änderungsrate
Hier kannst Du auch wieder die Punkte \(A\,(4|4)\) und \(B\,(9|6)\) ablesen. Diese setzt Du dann in den Differenzenquotienten ein: \[m=\frac{9-4}{6-4}=\frac{5}{2}=\text{2,5}\]
Die Steigung der Sekante und damit die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen der vierten und neunten Minute beträgt also \(\text{2,5 km/h}\).
Die mittlere Änderungsrate kann auch rein mathematisch anhand einer gegebenen Funktion und eines Intervalls bestimmt werden.
Gegeben ist die Funktion \(f(x)=2x^3-5\). Berechne die mittlere Änderungsrate im Intervall \([-1,2]\).
Zuerst berechnest Du die Funktionswerte für \(x=-1\) und \(x=2\): \begin{align}f(-1)&=2\cdot (-1)^3-5\\ &=-2-5\\&=-7 \\[0.2cm] f(2)&=2\cdot 2^3-5\\&=16-5\\&=11\end{align}
Nun kennst Du also die Punkte \(A\,(-1|-7)\) und \(B\,(2|11)\) und kannst die Werte in den Differenzenquotienten einsetzen: \[m=\frac{11-(-7)}{2-(-1)}=\frac{18}{3}=\text{6}\]
Die Sekantensteigung und damit die mittlere Änderungsrate beträgt auf diesem Intervall also 6.
Mittlere Änderungsrate – Grenzwert des Differenzenquotienten
Was passiert, wenn Du wissen möchtest, welche Geschwindigkeit das Auto aus obigem Beispiel genau in einer beliebigen Minute \(a\) hatte?
Dafür wird ein Intervall \([a,b]\)gewählt, bei dem die Grenze \(b\) immer weiter an \(a\) angenähert wird. Das Intervall wird also immer kleiner, mit dem Ziel, so nah an den Punkt \(A\) heranzukommen wie möglich, damit die Sekante zur Tangente wird und die Funktion nur noch in einem Punkt berührt. Die Steigung der Tangente ist dann die momentane Änderung der Funktion in dem Punkt.
Dieses Vorgehen ist möglich mit dem Differentialquotienten. Er bildet so gesehen den Grenzwert des Differenzenquotienten:
Der Grenzwert \(b\rightarrow a\) des Differenzenquotient bildet den Differentialquotienten: \[\lim_{a\rightarrow b}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
Mit ihm berechnest Du die momentane Änderungsrate einer Funktion an der Stelle \(a\).
Weiteres zur momentanen Änderungsrate einer Funktion findest Du in der Erklärung Differentialquotient.
Mittlere Änderungsrate – Aufgaben
Teste Dein Wissen direkt an den folgenden Aufgaben!
Aufgabe 1
Berechne die mittlere Änderungsrate der abgebildeten Funktion \(f\) im Intervall \([3,7]\).
Abb. 4 – Aufgabe 1
Lösung
Zuerst liest Du die Funktionswerte der Punkte \(A\) und \(B\) ab. Die Punkte lauten \(A\,(3|3)\) und \(B\,(7|-5)\). Dann setzt Du die gegebenen Werte in den Differenzenquotienten \[m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\] ein. Du erhältst: \[m=\frac{-5-3}{7-3}=\frac{-8}{4}=-2\]
Die Steigung der Sekante durch die Punkte \(A\) und \(B\) und demnach auch die mittlere Änderungsrate im gegebenen Intervall beträgt also \(-2\).
Aufgabe 2
Berechne die mittlere Änderungsrate der Funktion \(f(x)=4x^2+2x+3\) im Intervall \([1,3]\).
Lösung
Hier kannst Du die gegebenen Werte direkt in die Formel des Differenzenquotienten einsetzen: \begin{align}m&=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}\\[0.2cm] &= \frac{4\cdot 3^2+2\cdot 3+3-(4\cdot 1^2+2\cdot 1+3)}{3-1}\\[0.2cm] &= \frac{45-9}{2}\\[0.2cm] &= 18\end{align}
Die mittlere Änderungsrate der Funktion \(f(x)=4x^2+2x+3\) im Intervall \([1,3]\) beträgt \(18\).
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