Globale Extremstellen stellen den höchsten bzw. tiefsten Punkt einer Funktion ![]()
dar. Dabei sind die Funktionswerte größer bzw. kleiner als alle anderen Funktionswerte dieser Funktion ![]()
. Die globalen Extremstellen (Extrema) sind ein wichtiger Bestandteil der Analysis und notwendig für Extremwertaufgaben.
Extrema – Definition
Zunächst lernst du die Eigenschaften von Extremstellen kennen. Hierbei wird zwischen Tiefpunkt (Minimum) und Hochpunkt (Maxima) unterschieden.
Ein Tiefpunkt (Minimum) am Punkt ![]()
ist dann gegeben, wenn diese Bedingungen gelten:
Notwendige Bedingung:
![]()
Hinreichende Bedingung:
![]()
Das heißt, die erste Ableitung einer Funktion ![]()
muss null gesetzt werden. Nun rechnest du die Nullstellen dieser Ableitung aus. Danach leitest du die Funktion f(x) erneut ab (zweite Ableitung) und setzt in diese die Nullstellen der ersten Ableitung ein.
Um einen Tiefpunkt zu erhalten, muss das Ergebnis der zweiten Ableitung größer null sein, das heißt, das Vorzeichen der Funktion ![]()
wechselt von - nach +.
Ein Hochpunkt (Maximum) ist dann gegeben, wenn diese Bedingung gilt:
Notwendige Bedingung:
![]()
Hinreichende Bedingung:
![]()
An der Stelle eines Maximums wechselt das Vorzeichen der Ableitungsfunktion von + nach -.
Dabei ist an den Extrema die Steigung immer null und das Monotonieverhalten, also ob die Funktion f(x) steigt oder abfällt, ändert sich an diesen Punkten.
Gilt
![]()
,
dann liegt an der Stelle x ein Terrassenpunkt/Sattelpunkt vor. Die Steigung an diesen Punkten beträgt auch null, allerdings ändert sich das Monotonieverhalten nicht.
Ein Sattelpunkt bzw. Terrassenpunkt ist dann vorhanden, wenn die erste und zweite Ableitung einer Funktion ![]()
null ergibt. Zusätzlich muss die dritte Ableitung ungleich null sein. Dabei ist ein Sattelpunkt ein Wendepunkt. Also ein Punkt, bei dem sich das Krümmungsverhalten ändert, mit waagerechter Tangente. Dieser Punkt hat eine Steigung von null, daher prüft man zuerst, ob es sich um einen Wendepunkt handelt und anschließend, ob die Steigung null ist.
Wenn du mehr über den Sattelpunkt erfahren willst, kannst du dir den dazugehörigen Artikel anschauen.
Abb. 1: Sattelpunkt graphisch dargestellt
Wenn du mehr über lokale Extremstellen oder Sattel- und Terrassenpunkte erfahren möchtest, kannst du dir den dazugehörigen Artikel anschauen.
Lokale und globale Extrema – Eigenschaften
Nun lernst du den Unterschied zwischen lokalen und globalen Extremstellen kennen.
Eine globale Extremwertstelle der Funktion
![]()
ist die größte bzw. kleinste Stelle einer Funktion.Eine lokale Extremstelle bezeichnet hingegen den Wert einer Funktion
![]()
, wobei die Funktion in deren Umgebung keinen größeren oder kleineren Wert annimmt.
Beachte hierbei, dass alle Extrempunkte in einem gegebenen Intervall auch lokale Extrempunkte sind und dass alle globalen Extrempunkten auch lokale Extrempunkte sind.
Wenn du mehr über lokale Extremstellen erfahren möchtest, kannst du dir den dazugehörigen Artikel anschauen.
Beispiel mit lokalen und globalen Extremstellen:
Abbildung 2: Globale und lokale Extremstellen einer Funktion f(x)
Hier kannst du zwei globale Extremstellen erkennen. Punkt A und Punkt C der Funktion sind globale Minima, da keine andere Stelle der Funktion kleiner ist. Der Punkt B ist bei dieser Funktion ein lokales Maximum, da die Funktion für andere x-Werte höhere y-Werte besitzt.
Globale Extrema berechnen
Um ein globales Extremum zu berechnen, musst du zunächst die lokalen Extremstellen herausfinden.
Schritt: Zunächst bildest du mit Hilfe der Ableitungsregeln die erste Ableitung einer Funktion.
Schritt: Nun ermittelst du die Nullstellen der Ableitung.
Schritt: Danach bildest du die zweite Ableitung der Funktion f(x).
Schritt: Jetzt setzt du in die zweite Ableitung die Nullstellen der ersten Ableitung ein. Du kannst nun erkennen, ob es sich um ein lokales Minimum oder lokales Maximum handelt.
Schritt: Um den exakten Punkt zu ermitteln, brauchst du noch den y-Wert. Diesen bestimmest du, indem du die Nullstellen der ersten Ableitung in die normale Funktion ![]()
einsetzt. Nun hast du den y-Achsenabschnitt.
Schritt: Ob es sich um ein globales Minimum oder Maximum handelt, findest du heraus, indem du den Grenzwert der Funktion f(x) bildest. Dadurch kannst du feststellen, ob die Funktion ![]()
nach oben oder nach unten unbeschränkt ist. Sobald diese nach oben unbeschränkt ist, gibt es kein globales Maximum und wenn ![]()
nach unten unbeschränkt ist, gibt es kein globales Minimum.
Folgendes Beispiel veranschaulicht dir das Ganze:
Aufgabe
Bestimme, ob die Funktion ![]()
eine globale Extremstelle besitzt:
![]()
Abbildung 3: Globale und lokale Extremstellen einer Funktion f(x)
1. Schritt: Erste Ableitung bilden:
![]()
2. Schritt: Nullstellen der ersten Ableitung ermitteln. x ausklammern und nach ![]()
auflösen:
![]()
Nun löst du zuerst die Gleichung ![]()
auf und anschließend setzt du die Klammer ![]()
gleich null und löst diese ebenso auf. Somit erhältst du ![]()
:
![]()
![]()
3. Schritt: Zweite Ableitung bilden:
![]()
4. Schritt: Nullstellen der ersten Ableitung in zweite Ableitung einsetzen:
![]()
![]()
![]()
5. Schritt: Nullstellen der ersten Ableitung in Funktion ![]()
einsetzen:
![]()
![]()
![]()
Nun kannst du sehen, dass sich an dem Punkt ![]()
ein lokales Minimum (Tiefpunkt), am Punkt ![]()
ein lokales Maximum (Hochpunkt) und am Punkt ![]()
ein lokales Minimum (Tiefpunkt) befindet.
Um nun herauszufinden, ob es sich bei den lokalen Extremstellen um globale handelt, musst du die Grenzwerte der Funktion ![]()
ermitteln.
6. Schritt: Grenzwerte der Funktion f(x) ermitteln:
![]()
![]()
Weil die Funktion nach oben unbeschränkt ist, da sie gegen unendlich geht, kann es sich bei Punkt ![]()
um kein globales Maximum handeln. Die Funktion geht jedoch nicht gegen minus unendlich, daher sind die Punkte ![]()
und ![]()
globale Minima.
Globale Extrema – Übungsaufgaben
Jetzt kannst du dein Wissen über die Berechnung der globalen Extremstellen mithilfe einer Beispielaufgabe festigen.
Aufgabe
Bestimme, ob die Funktion ![]()
eine globale Extremstelle besitzt:
![]()
Abbildung 4: Globale Extremstellen einer Funktion f(x)
Lösung
1. Schritt: Erste Ableitung bilden:
![]()
2. Schritt: Nullstellen der ersten Ableitung ermitteln:
![]()
Nun klammerst du das x aus:
![]()
Jetzt kannst du das x gleich null setzen und erhältst somit ![]()
:
![]()
Dein nächster Schritt besteht darin, ![]()
gleich null zu setzen und nach x aufzulösen, um ![]()
zu erhalten:
![]()
An dieser Stelle bekommst du keinen x-Wert raus, da ![]()
nicht null werden kann!
3. Schritt: Zweite Ableitung bilden:
![]()
4. Schritt: Nullstelle der ersten Ableitung in zweite Ableitung einsetzen:
![]()
An der Stelle ![]()
befindet sich also ein Hochpunkt, da ![]()
.
5. Schritt: Nullstelle der ersten Ableitung in die Funktion ![]()
einsetzen:
![]()
Bei Punkt ![]()
ist ein Maximum vorhanden.
6. Schritt: Grenzwerte der Funktion ![]()
ermitteln:
![]()
![]()
Die Funktion f(x) ist nach unten unbeschränkt. Daher handelt es sich bei dem Punkt ![]()
um ein globales Maximum.
Globale Extrema - Das Wichtigste
- Eine globale Extremstelle ist der höchste oder tiefste Punkt einer Funktion f(x).
- Ein globales Maximum liegt vor, wenn gilt:
![]()
und ![]()
. - Ein globales Minimum liegt vor, wenn gilt:
![]()
und ![]()
. - Um herauszufinden, ob es sich um eine globale Extremstelle handelt, musst du die Grenzwerte berechnen.
- Die globalen Extremstellen sind Bestandteil von Extremwertaufgaben.
- Extremstellen lassen sich im Allgemeinen über die erste Ableitung ermitteln, da diese die Steigung der Funktion darstellt.
- Bei Extremstellen unterscheidet man zwischen Hochpunkt, Tiefpunkt und Sattelpunkt.
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