Gebrochen rationale Funktionen gehören zu den rationalen Funktionen. Was genau eine gebrochen rationale Funktion ist, wie Du ihren Definitionsbereich, ihre Nullstellen sowie Extrempunkte und Asymptoten berechnen kannst, erfährst Du hier. Außerdem bekommst Du hier eine Anleitung für eine Kurvendiskussion bei gebrochen rationalen Funktionen und lernst auch an Beispielen, wie Du einen Funktionsgraphen zeichnen kannst.
Gebrochen rationale Funktionen – Definition
Eine gebrochen rationale Funktion ist eine Funktion, die als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen dargestellt werden kann.
$$ f(x)= \frac{g(x)}{h(x)} $$
Wobei \( g(x) \) und \( h(x) \) Polynome, also ganzrationale Funktionen sind.
Gebrochen rationale Funktionen werden in unecht und echt gebrochen rationale Funktionen unterschieden. Dabei wird der Grad des Zählers mit dem Grad des Nenners verglichen.
- Zählergrad: höchste Potenz der Variable \(x\) im Zähler der Funktion
- Nennergrad: höchste Potenz der Variable \(x\) im Nenner der Funktion
Unecht gebrochen rationale Funktionen
- Zählergrad \(\geq\) Nennergrad
- Funktion \(f(x)\) kann so weit gekürzt werden, dass im Nenner keine Funktion mehr steht \(\to\) kein \(x\) im Nenner
- Bei den Nullstellen des Nenners hat die Funktion eine hebbare Lücke, für die die Funktion nicht definiert ist.
\begin{align}f(x)&=\frac{4x^3}{x^2}\\&=\frac{4x^\cancel{3}}{\cancel{x^2}}\\&=4x\end{align}
- Zählergrad: \(3\)
- Nennergrad: \(2\)
- hebbare Lücke bei \(x=0\)
Abb. 1 - Beispiel unecht gebrochene rationale Funktion.
Echt gebrochen rationale Funktionen
- Zählergrad \(<\) Nennergrad
- Die Variable \(x\) kann nicht aus dem Nenner der Funktion \(f(x)\) gekürzt werden.
\[f(x)=\frac{5}{3x^2-10x}\]
- Zählergrad: \(0\)
- Nennergrad: \(2\)
Abb. 2 - Beispiel echt gebrochene rationale Funktion.
Definitionsbereich gebrochen rationale Funktionen
Der Definitionsbereich von gebrochen rationalen Funktionen ist generell für diejenigen \(x\)-Werte eingeschränkt, für die der Nenner der Funktion gleich null ist. An dieser Stelle existiert eine sogenannte Definitionslücke.
Um den Definitionsbereich einer gebrochen rationalen Funktion \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\) zu bestimmen, kannst Du also wie folgt vorgehen:
- Setze den Nenner der Funktion gleich null \(\to h(x)=0\)
- Löse die Gleichung nach \(x\) auf
- Grenze die Lösungen \(x\), also \(x_1,{...},x_n\), aus den reellen Zahlen aus \(\to\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash \{x_1,{...},x_n\}\).
Wenn sich gebrochen rationale Funktionen soweit kürzen lassen, dass sie im Nenner kein Polynom mehr haben, haben sie im Bereich der Nullstellen des Nenners eine hebbare Definitionslücke, die nach dem Kürzen nicht mehr erkennbar ist. Dort ist die Funktion nicht definiert, wird aber stetig fortgesetzt.
Die Funktion \(f(x)=\frac{2x^2}{x}\) kann so weit gekürzt werden, dass das Polynom im Nenner wegfällt.
\begin{align}f(x)&=\frac{2x^2}{x}\\[0.15cm]&=2x\end{align}
Nichtsdestotrotz ist die Funktion \(f(x)\) für die Nullstellen im ungekürzten Nenner, also für \(x=0\) nicht definiert. An der Stelle \(x=0\) befindet sich also eine hebbare Definitionslücke.
Gebrochen rationale Funktionen – Nullstellen
Um die Nullstellen einer gebrochen rationalen Funktion \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\) zu bestimmen, genügt es, nur den Zähler \(g(x)\) gleich null zu setzen. Du gehst dabei also wie folgt vor:
- Setzte den Zähler \(g(x)\) gleich null \(\to g(x)=0\).
- Löse die Gleichung nach \(x\) auf.
- Überprüfe, ob die ermittelten Nullstellen auch wirklich im Definitionsbereich der Funktion liegen.
Gebrochen rationale Funktionen – Asymptoten
Wenn Du gebrochen rationale Funktionen auf das Verhalten im Unendlichen untersuchst, betrachtest Du dabei stets die Asymptoten.
Es gibt verschiedene Arten von Asymptoten:
| senkrechte Asymptote | schiefe/schräge Asymptote | kurvenförmige Asymptote |
Asymptotengleichung: \(y=k\) | Asymptotengleichung: \(x=k\) | Asymptotengleichung: \(y=mx+t\) | Asymptotengleichung: \(y=ax^2+bx+c\) |
Grenzwert von \(f(x)\): \[\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=k\] | Grenzwert von \(f(x)\): \[\lim\limits_{x\to k}f(x)=\pm\infty\] \(k=\text{Definitionsl} \ddot{\text{u}} \text{cke}\) | Grenzwert von \(f(x)\): \[\lim\limits_{x\to \pm \infty}(mx +t)=\pm\infty\] | Grenzwert von \(f(x)\): \[\lim\limits_{x\to \pm \infty}(ax^2+bx+c)=\pm\infty\] |
Hat eine gebrochen rationale Funktion eine senkrechte Asymptote, divergiert sie an einer Definitionslücke. Diese Stelle der Funktion wird Polstelle genannt. Die Funktion kann an dieser Stelle gleichzeitig gegen plus und minus unendlich divergieren.
Abb. 3 - Senkrechte Asymptote bzw. Polstelle.
Wie die Asymptoten im Einzelnen berechnet werden, erfährst Du in der Erklärung "Asymptote berechnen".
Gebrochen rationale Funktionen ableiten
Gebrochen rationale Funktionen werden über die Quotientenregel abgeleitet.
Die erste Ableitung einer gebrochen rationalen Funktion \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\) wird wie folgt berechnet:
\[f'(x)=\frac{h(x) \cdot g'(x)-g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}\]
\(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0}\)
Leite also zunächst jeweils den Zähler \(g(x)\) und den Nenner \(h(x)\) der gebrochen rationalen Funktion ab und setze diese dann anschließend in die Ableitungsformel der Quotientenregeln ein.
Du möchtest das Ganze mal an einem Beispiel sehen? Dann schau Dir die Erklärung "Gebrochen rationale Funktionen ableiten" an.
Gebrochen rationale Funktionen Extrempunkte – Beispiel
Genau wie ganzrationale Funktionen, können auch gebrochen rationale Funktionen Extrempunkte, also lokale Hoch- und Tiefpunkte, haben. Je nach Art der gebrochen rationalen Funktion kann es vorkommen, dass der Tiefpunkt über dem Hochpunkt liegt.1. Bilde die erste und zweite Ableitung von \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\)
Nutze zum Ableiten die Quotientenregel
\[f'(x)=\frac{h(x) \cdot g'(x)-g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}\]
\begin{align} f(x)&= \frac{8x}{(x-1)^2}\\ \to f'(x)&=\frac{-8x-8}{(x-1)^3}\\ \to f''(x)&=\frac{16x+32}{(x-1)^4}\end{align}
2. Notwendige Bedingung
Setze die erste Ableitung gleich null, \( f'(x)=0\), und löse nach \(x\) auf.
\[\to \text{potenzielle Ex}\text{tremstelle bei } x_E\]
\begin{align}f'(x)&=0\\[0.15cm] \frac{-8x-8}{(x-1)^3} &=0&&|\cdot (x-1)^3\\[0.15cm]-8x-8&=0&&|+8\\-8x&=8&&|:(-8)\\x&=-1 \\[0.15cm] \to x_E &=-1\end{align}
3. Hinreichende Bedingung
Setze \(x_E\) in die zweite Ableitung ein
- \(f''(x_E)>0 \to \text{Tiefpunkt}\)
- \(f''(x_E)<0 \to \text{Hochpunkt}\)
- \(f''(x_E)=0 \to \text{keine Extremstelle}\)
\begin{align} f''({\color{bl}x_E})&=\frac{16{\color{bl}x_E}+32}{({\color{bl}x_E}-1)^4}\\[0.15cm]f({\color{bl}-1})&=\frac{16\cdot {\color{bl}-1}+32}{({\color{bl}-1}-1)^4}\\[0.15cm]&=4 \,\,>0 \to \text{Tiefp}\text{unkt} \end{align}
4. Extrempunkt bilden
Setze die Extremstelle \(x_E\) in die Funktion \(f(x)\) ein und löse nach \(y\) auf.
\[\to \text{Extrempunkt bei } E= \left(x_E|f(x_E)\right)\]
\begin{align} f({\color{bl}x_E})&=\frac{8{\color{bl}x_E}}{({\color{bl}x_E}-1)^2}\\[0.15cm]f({\color{bl}-1})&=\frac{8\cdot {\color{bl}-1}}{({\color{bl}-1}-1)^2}\\[0.15cm]&=-2 \end{align}\(\to \text{Tiefp}\text{unkt bei } T=(-1|-2) \)
Die gebrochen rationale Funktion \(f(x)=\frac{8x}{(x-1)^2}\) hat also als einzigen Extrempunkt einen Tiefpunkt, also ein lokales Minimum.
Abb. 4 - Gebrochen rationale Funktion mit Tiefpunkt.
Ging Dir das etwas zu schnell? Dann schau Dir die Erklärung "Extremstellen" an.
Gebrochen rationale Funktionen zeichnen
Um eine gebrochen rationale Funktion zu zeichnen, kannst Du den folgenden Schritten folgen:
- Bestimme den Definitionsbereich
- Berechne die Nullstellen und zeichne sie in ein Koordinatensystem.
- Berechne die Extrempunkte und zeichne diese ebenfalls in Dein Koordinatensystem.
- Bestimme die Asymptoten und zeichne diese als gestrichelte Linien ins Koordinatensystem.
- Zeichne jetzt den Funktionsgrafen ausgehend der Nullstellen und Extrempunkte so ein, dass er sich den Asymptoten annähert.
| Schritt | Beispiel \(f(x)=\frac{x^2+x-2}{x-2}\) |
| 1. Bestimme den Definitionsbereich. | \(\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash \{2\}\) |
| 2. Berechne die Nullstellen und zeichne sie in ein Koordinatensystem. | \(x_1=-2\), \(x_2=1\)  Abb. 5 -Gebrochen rationale Funktionen zeichnen Nullstellen.
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| 3. Berechne die Extrempunkte und zeichne diese ebenfalls in Dein Koordinatensystem. | - Tiefpunkt: \(T=(4|9)\)
- Hochpunkt: \(H=(0|1)\)
 Abb. 6 - Gebrochen rationale Funktionen zeichnen Extrema.
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| 4. Bestimme die Asymptoten und zeichne diese als gestrichelte Linien ins Koordinatensystem. | - Senkrechte Asymptote: \(x=2\)
- schräge Asymptote: \(y= x+3\)
 Abb. 7 - Gebrochen rationale Funktionen zeichnen Asymptoten.
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| 5. Zeichne jetzt den Funktionsgrafen ausgehend der Nullstellen und Extrempunkte so ein, dass er sich den Asymptoten annähert. |  Abb. 8 - Gebrochen rationale Funktionen zeichnen.
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Kurvendiskussion gebrochen rationale Funktionen
Zu einer vollständigen Kurvendiskussion gehören neben dem Ermitteln der Nullstellen und des Definitionsbereiches noch weitere Schritte. In der folgenden Tabelle findest Du einen Überblick, wie Du eine vollständige Kurvendiskussion bei gebrochen rationalen Funktionen durchführen kannst, und worauf Du besonders achten musst.
1. Definitionsbereich bestimmen
- Setze den Nenner der Funktion gleich null \(\to h(x)=0\)
- Löse die Gleichung nach \(x\) auf
- Grenze die Lösungen \(x\), also \(x_1,{...},x_n\), aus den reellen Zahlen aus \(\to\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash \{x_1,{...},x_n\}\).
2. Nullstellen berechnen
- Setzte den Zähler \(g(x)\) gleich null \(\to g(x)=0\).
- Löse die Gleichung nach \(x\) auf.
3. y-Achsenabschnitt bestimmen
- Setze \(x=0\) in die \(f(x)\) ein \(\to y_0=f(0)\)
4. Symmetrieverhalten
- Achsensymmetrie zur y-Achse prüfen \(\to f(-x)=f(x)\)
- Punktsymmetrie zum Ursprung prüfen \(\to f(-x)=-f(x)\)
5. Asymptote berechnen
- waagrechte Asymptote: Für die Berechnung wird der Limes von \(f(x)\) für \(x\) gegen \(\pm \infty\) gebildet.
- senkrechte Asymptote: Für die Berechnung wird der Limes von \(f(x)\) für \(x\) gegen die Definitionslücke gebildet.
- schiefe Asymptote: Berechnung mit Polynomdivision
- kurvenförmige Asymptote: Berechnung mit Polynomdivision
6. Verhalten im Unendlichen
- Bilde den Grenzwert jeder ermittelten Asymptoten
- waagrechte Asymptote: \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=k\)
- senkrechte Asymptote: \(\lim\limits_{x\to k^\pm} f(x)=\pm\infty\) mit \(k\) als Definitionslücke
- schiefe Asymptote: \(\lim\limits_{x\to \pm \infty}(mx +t)=\pm\infty\)
- kurvenförmige Asymptote: \(\lim\limits_{x\to \pm \infty}(ax^2+bx+c)=\pm\infty\)
7. Extremstellen
- Erste und zweite Ableitung mit Quotientenregel bilden
- Notwendige Bedingung: \(f'(x)=0 \to\) mögliche Extremstelle bei \(x_E\)
- Hinreichende Bedingung: Setze \(x_E\) in die zweite Ableitung ein. \(\to \text{wenn } f''(x_E)\neq0 \text{ ,dann } x_E= \text{Extremstelle}\)
8. Monotonie
- Betrachte für die Monotonie die erste Ableitung
- \(f'(x)>0 \to f(x) \text{ streng monoton steigend}\)
- \(f'(x)<0 \to f(x) \text{ streng monoton fallend}\)
9. Krümmungsverhalten
- Betrachte für die Krümmung die zweite Ableitung
- \(f''(x)>0 \to f(x) \text{ links-gekrümmt}\)
- \(f''(x)<0 \to f(x) \text{ rechts-gekrümmt}\)
- \(f''(x)=0 \to f(x) \text{ nicht gekrümmt}\)
10. Wendestellen berechnen
- Zweite und dritte Ableitung mit Quotientenregel bilden
- Notwendige Bedingung: \(f''(x)=0 \to\) mögliche Wendestelle bei \(x_W\)
- Hinreichende Bedingung: Setze \(x_W\) in die dritte Ableitung ein. \(\to \text{wenn } f'''(x_W)\neq0 \text{ ,dann } x_W= \text{Wendestelle}\)
11. Wertebereich bestimmen
- Welche \(y\)-Werte kann \(f(x)\) annehmen?
- Wertebereich ist abhängig von Lage und Art der Extremstellen, Asymptoten und ggf. der Definitionslücke.
- Am besten zur Bestimmung den Graphen zeichnen.
Gebrochen Rationale Funktionen – Das Wichtigste
- Eine gebrochen rationale Funktion ist eine Funktion, die als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen dargestellt werden kann.$$ f(x)= \frac{g(x)}{h(x)} $$
- Definitionsbereichbestimmen:
- Setze den Nenner der Funktion gleich null \(\to h(x)=0\) und löse nach \(x\) auf.
- Grenze die Lösungen \(x\), also \(x_1,{...},x_n\), aus den reellen Zahlen aus \(\to\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash \{x_1,{...},x_n\}\).
- Nullstellenberechnen:
- Setzte den Zähler \(g(x)\) gleich null \(\to g(x)=0\).
- Löse die Gleichung nach \(x\) auf.
- Eine Asymptote beschreibt die Annäherung eines Funktionsgraphen an einen bestimmten Wert, ohne dabei diesen Wert anzunehmen.
- Es gibt waagrechte, senkrechte, schiefe und kurvenförmige Asymptoten.
- An einer senkrechten Asymptoten befindet sich die sogenannte Polstelle. Dort kann sie gleichzeitig gegen plus und minus Unendlich divergieren.
- Gebrochen rationale Funktionen werden über die Quotientenregel abgeleitet.
- Gebrochen rationale Funktionen zeichnen:
- Schritt 1: Definitionsbereich bestimmen
- Schritt 2: Nullstellen bestimmen und einzeichnen
- Schritt 3: Extrempunkte bestimmen und einzeichnen
- Schritt 4: Asymptoten berechnen und einzeichnen
- Schritt 5: Funktionsgrafen ausgehend der Extrempunkte und Nullstellen so einzeichnen, dass er sich den Asymptoten annähert.
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