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Team Exponentielles Wachstum Lehrer
Exponentielles Wachstum steht für die konstante Zunahme einer Menge um einen Faktor über einen Zeitraum. Stell Dir als Beispiel vor, Du bekommst von Deinen Eltern jeden Monat Taschengeld. Sie wollen sich dabei an dem Prinzip orientieren, Dir jeden Monat 15 % mehr Taschengeld zu geben, damit Dein Taschengeld kontinuierlich ansteigen kann. Dabei startest Du mit 10 €. Dein Taschengeld erhöht sich somit jeden Monat um den gleichen Faktor. Dieser Anstieg Deines Taschengeldes wird als exponentielles Wachstum bezeichnet. Was exponentielles Wachstum einfach erklärt ist, welche Formel Du zum Berechnen von exponentiellem Wachstum anwendest und welche Funktion dabei eine Rolle spielt, lernst Du in dieser Erklärung kennen.
Doch was ist exponentielles Wachstum nun genau? Im Allgemeinen meint Wachstum, dass sich eine Ausgangsmenge über eine bestimmte Zeit erhöht. Am Ende gibt es von etwas also mehr als davor. Exponentielles Wachstum ist dabei eine bestimmte Art von Wachstum.
In der Einleitung hast Du bereits ein kurzes Beispiel für exponentielles Wachstum kennengelernt. Du wirst dabei jeden Monat mehr Taschengeld haben als im Monat davor, da sich Dein Taschengeld jeden Monat um 15 % erhöht. In den nächsten Abschnitten lernst Du jetzt die Definition kennen und wie die Formel für exponentielles Wachstum lautet.
Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn die Ausgangsmenge \(\color{bl}B(0)\) in immer gleichen Zeitabständen \(t\) um einen konstanten Faktor \(\color{r}a\) ansteigt. Das exponentielle Wachstum wird durch Exponentialfunktionen beschrieben.
Denkst Du an das Beispiel aus der Einleitung, so wäre Deine Ausgangsmenge \({\color{bl}B(0)}=\color{bl}10\) und die gleichen Zeitabstände \(t\) jeweils immer ein Monat. Dein Taschengeld steigt jeden Monat um \(15\, \%\) an. Um Dein Taschengeld im Folgemonat auszurechnen, wird Dein vorhandenes Taschengeld deshalb jeden Monat mit dem Faktor \({\color{r}a}=\color{r}{1{,}15}\) multipliziert. Die Entwicklung Deines Taschengeldes in den ersten 6 Monaten kannst Du in der folgenden Tabelle sehen:
| Zeit \(t\) in Monaten | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
| Taschengelderhöhung | $$10\cdot\color{r}1{,}15$$\(\downarrow\) | $$11{,}5\cdot\color{r}1{,}15$$\(\downarrow\) | $$13{,}23\cdot\color{r}1{,}15$$\(\downarrow\) | $$15{,}21\cdot\color{r}1{,}15$$\(\downarrow\) | $$17{,}49\cdot\color{r}1,15$$\(\downarrow\) | $$20{,}11\cdot\color{r}1,15$$\(\downarrow\) | |
| Taschengeld \(B(t)\) in € | \(\color{bl}10\) | \(\color{gr}11{,}5\) | \(\color{gr}13{,}23\) | \(\color{gr}15{,}21\) | \(\color{gr}17{,}49\) | \(\color{gr}20{,}11\) | \(\color{gr}23{,}13\) |
Grafisch würde das Ganze aussehen, wie in Abbildung 1 dargestellt. Die \(x\)-Achse gibt die Zeit \(t\) in Monaten an und die \(y\)-Achse Dein Taschengeld \(B(t)\) in €.
Abb. 1 - Exponentielles Wachstum - Beispiel Taschengeld
Weitere Beispiele für exponentielles Wachstum wären:
Das Gegenteil von exponentiellem Wachstum ist der exponentielle Zerfall. Daher ist der konstante Faktor \(a\) negativ.
Wie Du exponentielles Wachstum allgemein berechnen kannst, lernst Du in folgendem Abschnitt kennen.
Die allgemeine Formel für exponentielles Wachstum ist gegeben durch\[B(t) = B(0)(1+r)^{t}\]Dabei ist B(0) der Anfangswert, r die Wachstumsrate und t die Anzahl der Zeitintervalle, die vergangen sind.
Die Formel lässt sich durch Zusammenfassen von 1+r = a auch verkürzt als \(B(t) = B(0)\cdot a^t\) darstellen.
Stell Dir vor, Du kaufst eine Aktie für \(100\)€. Du hast Glück und Deine Aktie gewinnt jährlich \(15 \%\) an Wert. Es handelt sich hierbei also um exponentielles Wachstum, da sich jedes Jahr der Wert der Aktie um \(15 \%\) im vergleich zum Vorjahr erhöht. Den Wert der Aktie in einem bestimmten Jahr \(t\) lässt sich wie folgt berechnen.
| Jahr t | Formel | Formel verkürzt | Ergebnis |
| \(\color{bl}1\) | \(B({\color{bl}1})=100\cdot 1{,}15\) | \(B({\color{bl}1})=100\cdot 1{,}15^{\color{bl}1}\) | \(115\) |
| \(\color{bl}2\) | \(B({\color{bl}2})=100\cdot 1{,}15\cdot 1{,}15\) | \(B({\color{bl}2})=100\cdot 1{,}15^{\color{bl}2}\) | \(132{,}2\) |
| \(\color{bl}3\) | \(B({\color{bl}3})=100\cdot 1{,}15\cdot 1{,}15\cdot 1{,}15\) | \(B({\color{bl}3})=100\cdot 1{,}15^{\color{bl}3}\) | \(152{,}1\) |
| \(\color{bl}4\) | \(B({\color{bl}4})=100\cdot 1{,}15\cdot 1{,}15\cdot 1{,}15\cdot 1{,}15\) | \(B({\color{bl}4})=100\cdot 1{,}15^{\color{bl}4}\) | \(174{,}9\) |
| \(\color{bl}5\) | \(B({\color{bl}5})=100\cdot 1{,}15\cdot 1{,}15\cdot 1{,}15\cdot 1{,}15\cdot 1{,}15\) | \(B({\color{bl}5})=100\cdot 1{,}15^{\color{bl}5}\) | \(201{,}1\) |
| \(\color{bl}6\) | \(B({\color{bl}6})=100\cdot 1{,}15\cdot 1{,}15\cdot 1{,}15\cdot 1{,}15\cdot 1{,}15\cdot 1{,}15\) | \(B({\color{bl}6})=100\cdot 1{,}15^{\color{bl}6}\) | \(231{,}3\) |
Zur Erinnerung: Wenn Du gleiche Faktoren multiplizierst, kannst Du sie als Potenz schreiben: \(a\cdot a\cdot a \cdot a = a^4\)
Wie der Name „exponentielles Wachstum“ schon sagt, handelt es sich bei der Wachstumsfunktion um eine Exponentialfunktion, also eine Funktion, in der sich die Variable \(x\), oder in diesem Beispiel \(t\), im Exponenten befindet.
Statt \(f(x)\) wird bei Wachstumsfunktionen oft \(B(t)\) verwendet. \(B(t)\) ist eine Funktion, welche eine Menge oder einen Bestand \(b\) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) darstellt. Der y-Achsenabschnitt ist bei der Wachstumsfunktion \(B(0)\).
Die Wachstumsfunktion kann, wie im vorherigen Abschnitt erwähnt, auf zwei Arten dargestellt werden. Eine Art ist die explizite Darstellung und eine andere Art die rekursive Darstellung. Diese lernst Du im Folgenden kennen.
Die explizite Darstellung der Funktion des exponentiellen Wachstums entspricht der Formel, die Du im Abschnitt „exponentielles Wachstum Formel“ hergeleitet hast.
Die explizite Darstellung der exponentiellen Wachstumsfunktion lautet:
$${\color{gr}B(t)}={\color{bl}B(0)}\cdot {\color{r}a}^t$$
Dabei ist \(\color{bl}B(0)\) der Anfangsbestand, also der Bestand zum Zeitpunkt \(t=0\).
\(\color{r}a\) ist der Wachstumsfaktor, um den sich Dein Bestand in jedem Zeitintervall \(t\) erhöht. Er ist immer größer 1, da es sich um ein Wachstum handelt. Ist Dein Faktor als Prozentwert p angegeben, so gilt: \(a=1+\frac{p}{100}\).
Ein Beispiel für die explizite Darstellung konntest Du bereits im Abschnitt „Exponentielles Wachstum – Formel“ in der Tabelle sehen. Ein weiteres konkretes Beispiel zur Nutzung der expliziten Darstellung der exponentiellen Wachstumsfunktion siehst Du im Folgenden:
Du möchtest nun wissen, wie sich Dein Taschengeld im Vergleich zu Deinem Anfangsbestand von \(10\) € nach 12 Monaten vermehrt hat, wenn Du immer jeden Monat \(15 \%\) mehr bekommst. Dafür wendest Du zur direkten Berechnung die exponentielle Wachstumsfunktion in der expliziten Darstellung an:
$${\color{gr}B(t)}={\color{bl}B(0)}\cdot {\color{r}a}^t$$
Es gilt:
\begin{align} {\color{bl}B(0)}&=\color{bl}10\\{\color{r}a}&=1+\frac{15\%}{100}={\color{r}1{,}15}\\ t&=12\end{align}
Somit erhältst Du nach Einsetzen der Werte in Deine Funktionsgleichung:
$${\color{gr}B(12)}={\color{bl}10}\cdot {\color{r}1{,}15}^{12}=\color{gr}53{,}5$$
Somit hast Du nach 12 Monaten \(53{,}5\) € Taschengeld.
Im nächsten Abschnitt lernst Du die zweite Form der Darstellung der exponentiellen Wachstumsfunktion kennen, die explizite Darstellung.
Rekursiv heißt in der Mathematik so viel wie „zu bekannten Werten zurückgehend“. Um das Wachstum an einer Stelle \(B(t)\) berechnen zu können, musst Du also den Wert an der vorherigen Stelle \(B(t-1)\) kennen. Nimmst Du das Beispiel mit dem Taschengeld, so musst Du, um Dein Taschengeld im Monat 6 zu berechnen, Dein Taschengeld im Monat 5 kennen.
Die rekursive Darstellung der exponentiellen Wachstumsfunktion lautet:
$$B(t+1)=B(t)\cdot \color{r}a $$
Es gilt wieder: \(a>1\)
Die Anwendung der rekursiven Darstellung kannst Du Dir im nächsten Beispiel ansehen.
Du startest mit einem Taschengeld von \(10\text{ €}\), das jeden Monat um den Faktor \({\color{r}a}={\color{r}1{,}15}\) erhöht wird. Du möchtest Dein Taschengeld nach 3 Monaten über die rekursive Darstellung der Wachstumsfunktion berechnen:
$$B(t+1)=B(t)\cdot \color{r}a $$
Dafür rechnest Du Monatsweise die entsprechenden Werte aus und startest dafür bei Monat 1.
\begin{align} {\color{gr}B(0+1)}&={\color{bl}B(0)}\cdot {\color{r}1{,}15}={\color{bl}10}\cdot {\color{r}1{,}15}=\color{gr}11{,}5\\{\color{li}B(1+1)}&={\color{gr}B(1)}\cdot {\color{r}1{,}15}={\color{gr}11{,}5}\cdot {\color{r}1{,}15}={\color{li}13{,}23}\\{\color{ge}B(2+1)}&={\color{li}B(2)}\cdot {\color{r}1{,}15}={\color{li}13{,}23}\cdot {\color{r}1{,}15}=\color{ge}15{,}21 \end{align}
Nach 3 Monaten hast Du also bereits \(15{,}21\) € gesammelt.
Auch in der Tabelle im Abschnitt „Exponentielles Wachstum Definition“ wurden die Werte rekursiv berechnet. Somit konntest Du beide Darstellungsformen kennenlernen.
Denkst Du wieder an Dein Taschengeld aus der Einleitung, so könntest Du Dich fragen, ob das Prinzip, das Deine Eltern anwenden, überhaupt lukrativ für Dich ist. Dein Taschengeld erhöht sich ja jeden Monat um \(15\%\), während Deine Freunde alle jeden Monat \(3\) € mehr dazu bekommen. Was denkst Du, wer hat nach \(1{,}5\) Jahren mehr Taschengeld, Du oder Deine Freunde?
Die Antwort darauf findest Du in den folgenden Beispielen.
Beim Wachstum Deines Taschengeldes handelt es sich um ein exponentielles Wachstum. Dein Taschengeld in den ersten 6 Monaten hast Du bereits im Abschnitt „exponentielles Wachstum Definition“ sehen können. Dort wurde die Dein Wachstum rekursiv berechnet. In diesem Abschnitt verwendest Du nun allerdings die explizite Darstellung zur Berechnung Deines Taschengeldes in den 18 Monaten.
Dafür nutzt Du die Funktion: $${\color{gr}B(t)}={\color{bl}B(0)}\cdot {\color{r}a}^t$$
Es gilt wieder \begin{align}{\color{bl}B(0)}&={\color{bl}10}\\{\color{r}a}&={\color{r}1{,}15}\end{align}
und somit:
$${\color{gr}B(t)}={\color{bl}10}\cdot {\color{r}1{,}15}^t$$
Wie Dein Taschengeld wächst, kannst Du in der folgenden Tabelle sehen.
| Zeit \(t\) in Monaten | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
| Taschengelderhöhung | $$10\cdot\color{r}1{,}15^1$$\(\downarrow\) | $$10\cdot\color{r}1{,}15^2$$\(\downarrow\) | $$10\cdot\color{r}1{,}15^3$$\(\downarrow\) | $$10\cdot\color{r}1{,}15^4$$\(\downarrow\) | $$10\cdot\color{r}1,15^5$$\(\downarrow\) | $$10\cdot\color{r}1,15^6$$\(\downarrow\) | |
| Taschengeld \(B(t)\) in € | \(\color{bl}10\) | \(\color{gr}11{,}5\) | \(\color{gr}13{,}23\) | \(\color{gr}15{,}21\) | \(\color{gr}17{,}49\) | \(\color{gr}20{,}11\) | \(\color{gr}23{,}13\) |
| Zeit \(t\) in Monaten | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) | \(11\) | \(12\) | \(13\) |
| Taschengelderhöhung | $$10\cdot \color{r}1{,}15^7$$ \(\downarrow\) | $$10\cdot \color{r}1{,}15^8$$ \(\downarrow\) | $$10\cdot \color{r}1{,}15^9$$ \(\downarrow\) | $$10\cdot \color{r}1{,}15^{10}$$ \(\downarrow\) | $$10\cdot \color{r}1{,}15^{11}$$ \(\downarrow\) | $$10\cdot \color{r}1{,}15^{12}$$ \(\downarrow\)} | $$10\cdot \color{r}1{,}15^{13}$$ \(\downarrow\) |
| Taschengeld \(B(t)\) in € | \(\color{gr} 26{,}6\) | \(\color{gr} 30{,}59\) | \(\color{gr} 35{,}18\) | \(\color{gr} 40{,}46\) | \(\color{gr} 46{,}52\) | \(\color{gr} 53{,}5\) | \(\color{gr} 61{,}53\) |
| Zeit \(t\) in Monaten | \(14\) | \(15\) | \(16\) | \(17\) | \(18\) | ||
| Taschengelderhöhung | $$10\cdot \color{r}1{,}15^{14}$$ \(\downarrow\) | $$10\cdot \color{r}1{,}15^{15}$$ \(\downarrow\) | $$10\cdot \color{r}1{,}15^{16}$$ \(\downarrow\) | $$10\cdot \color{r}1{,}15^{17}$$ \(\downarrow\) | $$10\cdot \color{r}1{,}15^{18}$$ \(\downarrow\) | ||
| Taschengeld \(B(t)\) in € | \(\color{gr}70{,}76\) | \(\color{gr} 81{,}37\) | \(\color{gr} 93{,}58\) | \(\color{gr} 107{,}61\) | \(\color{gr} 123{,}75\) |
Wie der Graph der exponentiellen Wachstumsfunktion Deiner Taschengelderhöhung \(B(t)\) für die 18 Monate aussieht, kannst Du in Abbildung 2 sehen.
Abb. 2 - exponentielles Wachstum berechnen
Dein Wachstum verhält sich somit am Anfang eher langsam und steigt nach ungefähr 6 Monaten stark an. Dies ist die Hauptcharakteristik des exponentiellen Wachstums.
Nun schaust Du Dir an, wie es sich mit dem Taschengeld Deiner Freunde verhält.
Bei dem Wachstum des Taschengeldes Deiner Freunde handelt es sich um lineares Wachstum. Sie bekommen jeden Monat genau \(3\) € dazu.
Alles zum Thema lineares Wachstum kannst Du in der Erklärung „lineares Wachstum“ nachlesen.
Wie sich das Taschengeld Deiner Freunde vermehrt, kannst Du in der folgenden Tabelle sehen. Die Taschengelderhöhung beträgt immer \(3\) €, wird allerdings der Übersichtlichkeit halber nur in der Zeile der ersten 6 Monate aufgeführt.
| Zeit \(t\) in Monaten | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
| Taschengelderhöhung in € | $$\color{r}+ 3$$ \(\downarrow\) | $$\color{r}+ 3$$ \(\downarrow\) | $$\color{r}+ 3$$ \(\downarrow\) | $$\color{r}+ 3$$ \(\downarrow\) | $$\color{r}+ 3$$ \(\downarrow\) | $$\color{r}+ 3$$ \(\downarrow\) | |
| Taschengeld \(B(t)\) in € | \(\color{bl}10\) | \(\color{gr}13\) | \(\color{gr}16\) | \(\color{gr}19\) | \(\color{gr}22\) | \(\color{gr}25\) | \(\color{gr} 28\) |
| Zeit \(t\) in Monaten | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) | \(11\) | \(12\) | \(13\) |
| Taschengeld \(B(t)\) in € | \(\color{gr} 31\) | \(\color{gr} 34\) | \(\color{gr} 37\) | \(\color{gr} 40\) | \(\color{gr} 43\) | \(\color{gr} 46\) | \(\color{gr} 49\) |
| Zeit \(t\) in Monaten | \(14\) | \(15\) | \(16\) | \(17\) | \(18\) | ||
| Taschengeld \(B(t)\) in € | \(\color{gr} 52\) | \(\color{gr} 55\) | \(\color{gr} 58\) | \(\color{gr} 61\) | \(\color{gr} 64\) |
Abb. 3 - Lineares Wachstum Taschengeld
Wenn Du nun das Taschengeld Deiner Freunde und Dein Taschengeld vergleichst, so siehst Du, dass Deine Freunde nach 6 Monaten mit \(28\) € mehr Geld haben als Du mit Deinen \(23{,}13\) €. Doch bereits nach 12 Monaten hast Du mit \(53{,}21\) € mehr Taschengeld als Deine Freunde mit \(46\) €. Nach 18 Monaten, also 1,5 Jahren hast Du mit \(123{,}75\) € sogar fast doppelt so viel Taschengeld wie Deine Freunde mit \(64\).
Abb. 4 - lineares Wachstum (grün) vs. exponentielles Wachstum (blau).
Daran kannst Du sehen, dass exponentielles Wachstum ab einem bestimmten Zeitpunkt deutlich schneller wächst als lineares Wachstum. Genau das macht exponentielles Wachstum aus. Für welches Prinzip der Taschengelderhöhung würdest Du Dich also entscheiden?
In Bezug auf das exponentielle Wachstum wird manchmal von der Halbwerts- oder Verdopplungszeit gesprochen. Nur bei exponentiellen Wachstumsraten sind Halbwerts- und Verdopplungszeit Konstanten. Was es mit diesen Begriffen auf sich hat, lernst Du in den folgenden beiden Abschnitten kennen.
Die Verdopplungszeit kann bei exponentiellen Wachstumsprozessen verwendet werden. Aus dem Wort „Verdopplungszeit“ an sich lässt sich bereits die allgemeine Definition herleiten.
Als Verdopplungszeit \(T_2\) wird der Zeitraum \(T\) bezeichnet, in der sich die Größe eines Wertes verdoppelt. Die Formel zur Berechnung lautet:
$$T_{\frac{1}{2}}=\frac{\ln(2)}{\ln(a)}$$
\(a\) ist dabei wieder Dein Wachstumsfaktor.
Nach der Verdopplungszeit \(T_2\) hat sich also Dein Anfangswert verdoppelt.
Du möchtest wissen, an welchem Zeitpunkt t sich Dein Anfangsbestand an Taschengeld von \(10\) € verdoppelt hat. Dein Wachstumsfaktor \(a\) war \(1{,}15\). Um dies herauszufinden, berechnest Du Deine Verdopplungszeit:
\begin{align}T_{\frac{1}{2}}&=\frac{\ln(2)}{\ln(a)}&=\frac{\ln(2)}{\ln(1{,}15)}&=4{,}96\end{align}
Bereits nach 5 Monaten wird sich also Dein Taschengeld verdoppelt haben.
Halbwertszeiten werden im Gegensatz zur Verdopplungszeit bei einem negativen Wachstum, also einem Zerfall eine verwendet.
Als Halbwertszeit \(T_{\frac{1}{2}}\) wird der Zeitraum \(T\) bezeichnet, in der sich die Größe eines Wertes halbiert. Du kannst Sie wie folgt berechnen:
$$T_{\frac{1}{2}}=\frac{\ln(\frac{1}{2})}{\ln(a)}=-\frac{\ln(2)}{\ln(a)}$$
\(a\) ist dabei wieder Dein Wachstumsfaktor.
Nach der Halbwertszeit \(T_{\frac{1}{2}}\) ist also Dein Anfangswert Deines Zeitraums \(T\) um die Hälfte kleiner.
Im Folgenden findest Du eine Aufgabe, die Du zum Üben durchrechnen kannst.
Aufgabe 1
Gegeben sind \(50\) Bakterien in einer Bakterienkultur. Die Bakterien vermehren sich stündlich um \(4 \%\). Nach wie vielen Stunden ist die Population Deiner Bakterien auf \(300\) angewachsen?
Lösung
Als Erstes stellst Du Deine Wachstumsfunktion in der expliziten Darstellung auf:
$$B(t)=B(0)\cdot a^t$$
Für Deine Anfangspopulation \(B(0)\) zum Zeitpunkt \(t=0\) gilt \(B(0)=50\).
Für Deinen Wachstumsfaktor \(a\) gilt: \(a=1+\frac{4}{100}=1{,}04\).
Nach Einsetzen der Werte erhältst Du Deine Wachstumsfunktion:
$$B(t)=50\cdot 1,04^t$$
Wenn Du nun berechnen möchtest, nach wie vielen Stunden Deine Population auf \(300\) angewachsen ist, setzt Du die Funktion gleich \(300\) und löst nach der Variable \(t\) auf:
\begin{array} 300 & = & 50\cdot 1{,}04^t & |:50\\6&=&1{,}04^t &| \ln \\ \ln(6)&=&\ln(1{,}04)\cdot t &|: \ln(1{,}04)\\ \frac{\ln(6)}{\ln(1{,}04)}&=&t\\45,68 &=&t \end{array}
Eine zweite Möglichkeit ist, dass Du Dir den Graphen der Wachstumsfunktion ansiehst und an der Stelle \(B(t)=300\) Deinen \(t\)-Wert abliest. Dies kannst Du in Abbildung 5 sehen.
Abb. 5 - exponentielles Wachstum Beispiel
Nach \(45{,}68\) Stunden hat sich die Bakterienpopulation also auf \(300\) erhöht.
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Wie erkennt man ein exponentielles Wachstum?
Exponentielles Wachstum kannst Du daran erkennen, dass eine Ausgangsmenge in immer gleichen Zeitabständen um einen konstanten Faktor ansteigt. Je länger die Zeit, desto stärker steigt die Menge an.
Was ist ein Beispiel für exponentielles Wachstum?
Ein Beispiel für exponentielles Wachstum ist das Wachstum einer Bakterienpopulation der die Vermehrung von Viren.
Wann liegt ein exponentielles Wachstum vor?
Exponentielles Wachstum ist ein Wachstumsvorgang und liegt vor, wenn die Ausgangsmenge in immer gleichen Zeitabständen um einen konstanten Faktor ansteigt.
Wie zeigt man exponentielles Wachstum?
Exponentielles Wachstum kann durch eine Exponentialfunktion ausgedrückt werden.
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