Was sagt die Ableitung einer e Funktion aus?

Die Ableitung an einer Stelle x 0 ist immer die Steigung der Funktion f(x) an der Stelle x 0 .

E Funktion ableiten

Q: Was ist die Ableitung von e hoch?

Die Ableitung der Funktion f(x)=e x ist f'(x)=e x . Die Ableitung der Funktion f(x)=e bx ist f'(x)=b*e bx .

Q: Wie leite ich eine e Funktion ab?

Die Ableitung der Funktion f(x)=e x ist f'(x)=e x . Die Ableitung der Funktion f(x)=e bx ist f'(x)=b*e bx .

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In diesem Artikel zeigen wir dir, wie du die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion genannt, ableiten kannst. Diese Ableitung brauchst du in mehreren Bereichen, wie zum Beispiel den Extremstellen oder Wendepunkten.

Wenn du noch einmal die Eigenschaften der e-Funktion einsehen möchtest, dann lies dich in das Kapitel "Exponentialfunktion" rein. Dort findest du alles, was du über diese Funktion wissen musst.

Allgemeines zur Ableitung der e-Funktion

Es ist bereits bekannt, dass die e-Funktion aus der Exponentialfunktion entsteht. Deshalb schauen wir uns zuerst die allgemeine Exponentialfunktion in ihrer reinen Form $f (x) = a^{x}$ an.

$f (x) = a^{x} \overset{a b l e i t e n}{\to} f' (x) = \ln (a) \cdot a^{x}$

Reine Exponentialfunktion ableiten

Du weißt bereits, was herauskommt, wenn du die Exponentialfunktion ableitest. Halten wir das Ganze noch einmal mathematisch fest.

Die Ableitung $f' (x)$ der allgemeinen Exponentialfunktion $f (x) = a^{x}$ lautet:

$f' (x) = \ln (a) \cdot a^{x}$

Wenn du erfahren möchtest, wie die Ableitung $f' (x)$ der Exponentialfunktion zustande kommt, kannst du dir den nächsten vertiefenden Abschnitt ansehen.

Die Ableitung $f' (x)$ kannst du dir mithilfe des Differentialquotienten herleiten. Damit du dafür gut vorbereitet bist, solltest du die Inhalte der Artikel Differentialquotient und Potenzen beherrschen.

Die Ableitung $f' (x)$ ist mithilfe des Differentialquotienten wie folgt definiert.

$f' (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Setzt du nun die allgemeine Exponentialfunktion ein, erhältst du folgenden Ausdruck.

$f' (x) = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x + h} - a^{x}}{h}$

An dieser Stelle kannst du die Rechenregeln für Potenzen anwenden.

Zur Erinnerung: $x^{a + b} = x^{a} \cdot x^{b}$

Daraus ergibt sich Folgendes:

$f' (x) = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x} \cdot a^{h} - a^{x}}{h}$

Nun kannst du $a^{x}$ ausklammern und die Rechenregeln für Grenzwerte anwenden.

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & \lim_{h \to 0} \frac{a^{x} \cdot a^{h} - a^{x}}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{a^{x} \cdot (a^{h} - 1)}{h} \\ = & a^{x} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{a^{h} - 1}{h} \end{array}$

Jetzt müsstest du für den Ausdruck $\begin{array}{rcl} \lim_{h \to 0} \frac{a^{h} - 1}{h} \end{array}$ noch den Grenzwert bilden, der einer Konstante entspricht. Da es an dieser Stelle aber zu weit führen würde, wird dir dieser Wert vorgegeben.

$\begin{array}{rcl} \lim_{h \to 0} \end{array} \begin{array}{rcl} \frac{a^{h} - 1}{h} \end{array} = \ln (a)$

Damit erhältst du folgende Ableitung $f' (x)$ für die allgemeine Exponentialfunktion:

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & a^{x} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{a^{h} - 1}{h} \\ = & a^{x} \cdot \ln (a) \end{array}$

Reine e-Funktion ableiten

Die e-Funktion ist eine spezielle Exponentialfunktion, bei der die Basis $a$ der Eulerschen Zahl $e$ entspricht. Formulieren wir nun die Ableitung $f' (x)$ der e-Funktion.

Die Ableitung $f' (x)$ der natürlichen Exponentialfunktion $f (x) = e^{x}$ lautet:

$f' (x) = e^{x}$

Du kannst die reine e-Funktion $f (x) = e^{x}$ so oft ableiten, wie du willst, sie wird sich nie verändern. Als kleine Eselsbrücke kannst du dir merken: "Bleib so wie du bist – so wie die e-Funktion beim Ableiten!".

Wenn du erfahren möchtest, warum die e-Funktion abgeleitet wieder die e-Funktion ist, kannst du dir den nächsten vertiefenden Abschnitt anschauen.

Hier musst du die Ableitung $f' (x)$ der allgemeinen Exponentialfunktion betrachten.

$f' (x) = \ln (a) \cdot a^{x}$

Für die Basis $a$ setzt du jetzt die Eulersche Zahl $e$ ein und erhältst den folgenden Ausdruck.

$f' (x) = \ln (e) \cdot e^{x}$

Anschließend musst du den Ausdruck $\ln (e)$ bestimmen. Diesen kennst du bereits.

$\ln (e) = 1$

Damit ergibt sich folgende Ableitung $f' (x)$ für die e-Funktion:

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & 1 \cdot e^{x} \\ = & e^{x} \end{array}$

Oftmals hast du in Aufgaben nicht die reine Version der e-Funktion vorliegen, sondern mit verschiedenen Parametern. Wie du auch diese ableiten kannst, erfährst du im nächsten Abschnitt.

Ableitungen der erweiterten e-Funktion

Interessanter ist die Ableitung der erweiterten e-Funktion mit Parametern. Diese benötigst du hauptsächlich, wenn du Extrempunkte und Wendepunkte berechnen sollst.

Zur Erinnerung:

Erweiterte e-Funktion: $f (x) = b \cdot e^{c x}$
Dabei dürfen die Parameter $b$ und $c$ nie $0$ sein, da ansonsten keine e-Funktion mehr vorliegt.
Wenn beide Parameter $1$ sind, liegt die e-Funktion wieder in ihrer reinen Version $f (x) = e^{x}$ vor.

e-Funktion mit Vorfaktor ableiten

Betrachte zuerst die e-Funktion mit einem Vorfaktor $b$ , während $c = 1$ ist.

$f (x) = b \cdot e^{x}$

Dabei musst du auf die Faktorregel zurückgreifen.

Hier die Faktorregel zur Erinnerung: $f (x) = a \cdot g (x) \overset{a b l e i t e n}{\to} f' (x) = a \cdot g' (x)$

Da du weißt, dass die Ableitung der e-Funktion die e-Funktion ist, erhältst du folgende Ableitung der Funktion $f (x) = b \cdot e^{x}$ .

$f' (x) = b \cdot e^{x}$

Du kannst also auch die e-Funktion mit einem Vorfaktor $f' (x) = b \cdot e^{x}$ so oft ableiten, wie du willst, sie wird sich nie verändern.

Halten wir diese Erkenntnis noch in einer Definition fest.

Die Ableitung $f' (x)$ der e-Funktion mit einem Vorfaktor $f (x) = b \cdot e^{x}$ lautet:

$f' (x) = b \cdot e^{x}$

Wende gleich die erlernte Ableitung der e-Funktion mit Vorfaktor an dieser Übung an:

Aufgabe 1

Bilde die Ableitung der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = 9 \cdot e^{x}$ .

Lösung

Da sich eine e-Funktion mit einem Vorfaktor nicht verändert, erhältst du folgende Ableitung $f' (x)$ .

$f' (x) = 9 \cdot e^{x}$

e-Funktion mit Kettenregel ableiten

Nun kannst du die Ableitung $f' (x)$ für die gesamte erweiterte e-Funktion $f (x) = b \cdot e^{c x}$ bilden. Dazu benötigst du die Kettenregel und die Faktorregel.

Zur Erinnerung, die Kettenregel lautet: $f (x) = g (h (x)) \overset{a b l e i t e n}{\to} f' (x) = g' (h (x)) \cdot h' (x)$

Um die Kettenregel anzuwenden, musst du zuerst die äußere Funktion $g (x)$ und die innere Funktion $h (x)$ definieren.

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & e^{h (x)} = e^{c x} \\ h (x) & = & c x \end{array}$

Du benötigst von diesen Funktionen dann noch jeweils die Ableitung. Da die e-Funktion wieder die e-Funktion ergibt, bilden sich folgende Ableitungen.

$\begin{array}{rcl} g' (x) & = & e^{c x} \\ h' (x) & = & c \end{array}$

Nun kannst du die letzten Schritte der Kettenregel anwenden. Zusätzlich musst du noch den Vorfaktor $b$ mit der Faktorregel berücksichtigen, um die Ableitung $f' (x)$ für die gesamte erweiterte e-Funktion zu erhalten. Damit ergibt sich folgende gesamte Ableitung $f' (x)$ für die erweiterte e-Funktion.

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & b \cdot g' (h (x)) \cdot h' (x) \\ = & b \cdot g' (c x) \cdot c \\ = & b \cdot e^{c x} \cdot c \\ = & b c \cdot e^{c x} \end{array}$

Immer dann, wenn im Exponenten nicht nur $" x "$ steht, musst du die Kettenregel anwenden.

Halten wir das Ganze noch in einer Definition fest.

Die Ableitung $f' (x)$ der erweiterten e-Funktion $f (x) = b \cdot e^{c x}$ lautet:

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & b c \cdot e^{c x} \end{array}$

Wende auch hier zuerst einmal dein neu erlerntes Wissen zur Ableitung der erweiterten e-Funktion an einem Beispiel an.

Aufgabe 2

Bilde die Ableitung der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = 3 \cdot e^{14 x}$ .

Lösung

Identifiziere zuerst den Parameter $c$ .

$c = 14$

Als Nächstes kannst du direkt die Formel für die Ableitung der erweiterten e-Funktion anwenden. Du erhältst dann folgende Ableitung $f' (x)$ der Funktion $f (x) = 3 \cdot e^{14 x}$ .

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & 3 \cdot 14 \cdot e^{14 x} \\ = & 42 e^{14 x} \end{array}$

e-Funktion mit Produktregel ableiten – Übungen

Oftmals gibt es Funktionen, in der nicht nur eine e-Funktion vorkommt, sondern diese mit einer weiteren Funktion multipliziert wird. Um auf eine solche Aufgabe vorbereitet zu sein, schaue dir die nächste Übung an.

Aufgabe 3

Bilde die Ableitung der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = e^{4 x} \cdot x^{2}$ .

Lösung

Dazu benötigst du zuallererst die Produktregel.

Produktregel: $f (x) = g (x) \cdot h (x) \overset{a b l e i t e n}{\to} f' (x) = g' (x) \cdot h (x) + g (x) \cdot h' (x)$

Dazu identifizieren wir die Funktionen $g (x)$ und $h (x)$ .

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & e^{4 x} \\ h (x) & = & x^{2} \end{array}$

Es ergeben sich folgende einzelne Ableitungen.

$\begin{array}{rcl} g' (x) & = & 4 \cdot e^{4 x} \\ h' (x) & = & 2 x \end{array}$

Damit ergibt sich folgende gesamte Ableitung $f' (x)$ .

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & 4 \cdot e^{4 x} \cdot x^{2} + e^{4 x} \cdot 2 x \\ = & 2 \cdot e^{4 x} \cdot (2 x^{2} + x) \end{array}$

e-Funktion ableiten - Das Wichtigste

Die Ableitung $f' (x)$ der allgemeinen Exponentialfunktion $f (x) = a^{x}$ lautet: $f' (x) = \ln (a) \cdot a^{x}$
Die Ableitung f'(x) der reinen e-Funktion f(x)=ex lautet: f'(x)
- Eine hilfreiche Eselsbrücke: “Bleib so wie du bist - so wie die e-Funktion beim Ableiten!”
Die Ableitung $f' (x)$ der e-Funktion mit einem Vorfaktor $f (x) = b \cdot e^{x}$ lautet: $f' (x) = b \cdot e^{x}$
Die Ableitung f'(x) der erweiterten e-Funktion f(x)=b·ecx lautet: f'(x)=bc·ecx
- Immer dann, wenn im Exponenten nicht nur $" x "$ steht, musst du die Kettenregel anwenden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema E Funktion ableiten

Ja, die e-Funktion lässt sich ableiten. Die Ableitung der Funktion f(x)=e^x ist f'(x)=e^x.

Die Ableitung an einer Stelle x₀ ist immer die Steigung der Funktion f(x) an der Stelle x₀.

Die Ableitung der Funktion f(x)=e^x ist f'(x)=e^x.

Die Ableitung der Funktion f(x)=e^bx ist f'(x)=b*e^bx.

Die Ableitung der Funktion f(x)=e^x ist f'(x)=e^x.

Die Ableitung der Funktion f(x)=e^bx ist f'(x)=b*e^bx.

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Wann muss die Kettenregel bei der e-Funktion angewandt werden?

Die Kettenregel muss immer dann angewandt werden, wenn im Exponenten der e-Funktion nicht nur "x" steht.

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