Select your language

Suggested languages for you:
Log In Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Kumulierte Binomialverteilung

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
Kumulierte Binomialverteilung

Stell Dir vor, Du schreibst einen Multiple-Choice-Test. Es gibt 6 Fragen und jede Frage hat 4 Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Du möchtest schnell fertig werden und liest Dir die Antwortmöglichkeiten gar nicht durch, sondern setzt zufällig je ein Kreuz bei jeder Frage. Wie wahrscheinlich ist es dann, dass Du den Test nicht bestehst, da Du höchstens 3 Fragen richtig beantwortet hast?

Kumulierte Binomialverteilung multiple choice test StudySmarter

Diese Situation kannst Du als Zufallsexperiment auffassen, da Du die Kreuze zufällig setzt. Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge 6. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine kumulierte Binomialverteilung.

Grundlagen Binomialverteilung

Du führst ein Zufallsexperiment durch, dass nur zwei verschiedene Ergebnisse hat (Treffer und kein Treffer). Daher ist es ein Bernoulli-Experiment.

Dieses Experiment führst Du n-mal hintereinander aus, wobei sich die Wahrscheinlichkeiten nicht ändern. Das heißt, die Durchführungen sind unabhängig voneinander. Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n.

Du hast ein Zufallsexperiment, das eine Bernoulli-Kette der Länge n ist. X ist eine Zufallsgröße, die die Anzahl der Treffer beschreibt. n ist die Länge der Kette und p die Trefferwahrscheinlichkeit.

Dann kannst Du die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer mit folgender Formel berechnen:

P(X=k)=nk·pk·1-pn-k

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Zufallsgröße X heißt Binomialverteilung.

Statt PX=k kannst Du auch Bn;pk schreiben.

nk ist der Binomialkoeffizient. Es ist

nk=n!k!n-k!

Bei binomialverteilten Zufallsexperimenten unterscheidest Du nur zwischen "Treffer" und "kein Treffer". Die Bernoulli-Formel nutzt Du, um für eine bestimmte Anzahl an Treffern die Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

Du ziehst fünfmal mit Zurücklegen aus einem Beutel mit 20 Kugeln. 12 davon sind rot, die anderen 8 blau. Du erzielst einen Treffer, wenn eine rote Kugel gezogen wird. X beschreibt die Anzahl an Treffern.

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette, da mit Zurücklegen gezogen wird. Dadurch ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bei jeder Durchführung gleich. Die Zufallsgröße X ist daher binomialverteilt.

Du kannst mithilfe der Bernoulli-Formel die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Trefferanzahl bestimmen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau 3 Treffer, also drei rote Kugeln beim fünfmaligen Ziehen?

Es ist p=0,6 , n=5 , k=3.

PX=3=53·0,63·(1-0,6)5-3 =53·0,63·0,42=10·0,63·0,42=0,3456

Beachte, dass Du mit PX=k die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer berechnest.

Weitere Informationen zur Binomialverteilung findest Du in der Erklärung dazu. Klicke einfach auf den Begriff.

Kumulierte Binomialverteilung – Erklärung

Du kannst aber nicht nur die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl an Treffern berechnen, sondern auch für eine Maximalanzahl an Treffern.

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten

Addierst Du verschiedene Wahrscheinlichkeiten, so erhältst Du eine kumulierte Wahrscheinlichkeit. Wenn Du beispielsweise die Wahrscheinlichkeit für 3, 4 oder 5 Treffer berechnen willst, kannst Du die einzelnen Wahrscheinlichkeiten addieren.

P3X5=PX=3+PX=4+PX=5

Dies ist eine kumulierte Wahrscheinlichkeit. Ist die zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilt, so ist es eine kumulierte Binomialverteilung.

Kumulierte Binomialverteilung – Definition und Formel

Mit der kumulierten Binomialverteilung berechnest Du die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer. Dazu summierst Du die Wahrscheinlichkeiten für jede einzelne Trefferanzahl, beginnend bei der 0, auf.

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer

PXk=PX=0+PX=1+...+PX=k

Häufig wird dies mit einem Summenzeichen zusammengefasst:

PXk=i=0kPX=i=i=0kni·pi·(1-p)n-i

Diese kumulierte Verteilungsfunktion wird häufig auch als Fn;pk geschrieben. Es ist.

Fn;pk=PXk

Für kleine k kannst Du die Summe mithilfe Deines Taschenrechners bestimmen.

Erinnere Dich an das Einstiegsbeispiel:

Du schreibst einen Multiple-Choice-Test. Es gibt 6 Fragen und jede Frage hat 4 Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Du möchtest schnell fertig werden und liest Dir die Antwortmöglichkeiten gar nicht durch, sondern setzt zufällig je ein Kreuz bei jeder Frage. Wie wahrscheinlich ist es dann, dass Du den Test nicht bestehst, da Du höchstens 3 Fragen richtig beantwortet hast?

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, höchstens drei Treffer zu haben. Das Zufallsexperiment ist eine Bernoulli-Kette der Länge n=6. Betrachtest Du nur eine Frage mit 4 Antwortmöglichkeiten, ist die Wahrscheinlichkeit für zufällig eine richtige Antwort p=0,25.

Das Ereignis "drei Fragen richtig beantwortet", also "höchstens drei Treffer" setzt sich zusammen aus "kein Treffer", "genau ein Treffer", genau zwei Treffer" und "genau drei Treffer". Deswegen addierst Du die Wahrscheinlichkeiten für diese einzelnen Möglichkeiten.

Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten berechnest Du, indem Du die Werte für n, k und p in die Formel für Bernoulli-Ketten einsetzt.

F6;0,253=PX3=PX=0+PX=1+PX=2+PX=3=60·0,250·(1-0,25)6-0+61·0,251·(1-0,25)6-1+62·0,252·(1-0,25)6-2+63·0,253·(1-0,25)6-3=0,1779+0,3559+0,2966+0,1318=0,9622

Die Wahrscheinlichkeit für höchstens drei richtige Antworten ist 0,9622.

Da sich die kumulierte Wahrscheinlichkeit aus drei Summen zusammensetzt, berechnest Du hier bereits drei einzelne Wahrscheinlichkeiten. Wenn die maximale Trefferanzahl größer wird, müsstest Du noch mehr Wahrscheinlichkeiten bestimmen.

Das Summenzeichen verwendest Du in der Mathematik, um Summen mit mehreren Summanden übersichtlicher und zusammengefasst darzustellen. Du kannst es aber nur anwenden, wenn sich die einzelnen Summanden nur in einer Variablen unterscheiden.

An dem Summenzeichen stehen Zahlen und Buchstaben, die verschiedene Bedeutungen haben.

Kumulierte Binomialverteilung Summenzeichen StudySmarterAbbildung 1: Summenzeichen mit Beschriftungen

Das i unterhalb des Summenzeichens ist die Laufvariable. Du findest sie in jedem Summanden wieder. Dort nimmt sie jeweils einen anderen Wert an. Sie läuft durch.

Auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens unter der Summe steht der Startwert. Dies ist der erste Wert, den die Laufvariable annimmt. Hier ist es die 0. Der Startwert wird auch untere Grenze genannt.

Oberhalb des Summenzeichens steht der Endwert. Dies ist der größte Wert, den die Laufvariable annimmt. Danach wird kein weiterer Summand gebildet. Hier ist der Endwert k. Häufig ist der Endwert aber eine Zahl.

Neben dem Summenzeichen steht die Funktion, die von der Laufvariablen abhängt. Mit ihr bildest Du jeden Summanden, indem Du für die Laufvariable eine Zahl einsetzt.

Die Summei=1kai kannst Du wie folgt aussprechen: "Die Summe über ai von i gleich 1 bis k."

Für eine Binomialverteilung mit n=10 und p=0,3 ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens k=4 Treffer gesucht. Sie ist eine Summe aus den Wahrscheinlichkeiten PX=0, PX=1, PX=2, PX=3, PX=4. Dies kannst Du mit einem Summenzeichen zusammenfassen.

PX4=PX=0+PX=1+PX=2+PX=3+PX=4=i=04PX=i

Im Beispiel kannst Du erkennen, dass die Schreibweise mit dem Summenzeichen deutlich kürzer ist.

Kumulierte Binomialverteilung – Wahrscheinlichkeit aus Tabelle ablesen

Glücklicherweise gibt es eine andere Möglichkeit, als die kumulierte Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung mit vielen Summanden zu berechnen. In Deiner Formelsammlung (oder Tafelwerk) findest Du für viele verschiedene p und n eine Tabelle mit den kumulierten Wahrscheinlichkeiten. Suche für das richtige p und n die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer in der Tabelle und lies sie ab.

Um den richtigen Wert abzulesen, suchst Du im ersten Schritt die Tabelle für die Länge n der Bernoulli-Kette. Achte bei der Wahl der Tabelle darauf, dass es Tabellen für Binomialverteilungen und für kumulierte Binomialverteilungen gibt. Manchmal heißen die kumulierten Binomialverteilungen auch summierte Binomialverteilungen.

In Abbildung 2 findest Du eine Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung mit n=10.

Jetzt wählst Du die Spalte mit der richtigen Wahrscheinlichkeit aus, zum Beispiel p=0,1. Nun bestimmst Du die Zeile mit dem richtigen k und liest die Wahrscheinlichkeit ab. Für k=2 kannst Du beispielsweise ablesen, dass PX2=0,9298 ist.

Wenn die Wahrscheinlichkeit p oberhalb der Tabelle steht, bestimmst Du das k auf der linken Seite und kannst die Wahrscheinlichkeit direkt ablesen. Wahrscheinlichkeiten p>0,5 stehen unterhalb der Tabelle. Hier ist das zugehörige k rechts von der Tabelle aufgeführt. Um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, rechnest Du 1 minus die gegebene Wahrscheinlichkeit. Für größere n gibt es Werte für k, die nur auf der rechten Seite stehen.

Leere Felder bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit auf vier Nachkommastellen gerundet 1 ergibt.

Beachte, dass es auch Tabellen gibt, in denen die Zahl vor dem Komma nicht mit angegeben wird. Dort steht dann zum Beispiel nicht 0,9298, sondern nur 9298.

Wenn Du einen grafikfähigen Taschenrechner hast, kannst Du häufig die Tabellen für kumulierte Binomialverteilungen auch mit dem Taschenrechner erzeugen. Auch kannst Du mit diesem Taschenrechner die Summen direkt berechnen.

Rechenregeln für kumulierte Wahrscheinlichkeiten

Mit PXk bestimmst Du die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer. Es gibt aber auch Situationen und Aufgaben, bei denen die Wahrscheinlichkeit für mindestens k Treffer, weniger als k Treffer oder mehr als k Treffer gesucht ist.

Mit den Rechenregeln für kumulierte Wahrscheinlichkeiten kannst Du diese berechnen.

Kumulierte Binomialverteilung – weniger als k Treffer

Wenn Du die Wahrscheinlichkeit für weniger als k Treffer einer binomialverteilten Zufallsgröße bestimmen möchtest, ist PX<k gesucht. Im Unterschied zu höchstens k Treffer ist hier X echt kleiner als k und nicht kleiner oder gleich k.

Was ist nun rechnerisch der Unterschied zwischen PX<k und PXk?

PXk enthält die Wahrscheinlichkeit PX=k für genau k Treffer. PX<k enthält diese Wahrscheinlichkeit nicht, da weniger als k Treffer auch bedeutet, dass es nicht genau k Treffer sein dürfen. Daher ist

PX<k=PX=0+PX=1+...+PX=k-1

Es fehlt gewissermaßen der letzte Summand. Diese Summe kannst Du aber auch anders zusammenfassen.

PX=0+PX=1+...+PX=k-1=PXk-1

Für eine kumulierte Binomialverteilung Fn;pk entspricht die Wahrscheinlichkeit für weniger als k Treffer genau der Wahrscheinlichkeit für höchstens k-1 Treffer.

PX<k=PXk-1

Wenn Du die kumulierte Wahrscheinlichkeit für weniger als k Treffer bestimmen willst, liest Du in der zugehörigen Tabelle die Wahrscheinlichkeit für höchstens k-1 Treffer ab.

Du wirfst 25 Mal eine Münze und erzielst einen Treffer, wenn Kopf oben liegt. Die Zufallsgröße ist binomialverteilt und beschreibt die Anzahl an Treffern.

Es soll die Wahrscheinlichkeit für weniger als 10 Treffer bestimmt werden:

PX<10

Um die Wahrscheinlichkeit in der Tabelle ablesen zu können, schreibst Du sie um.

PX<10=PX9

Jetzt liest Du in der Tabelle für kumulierte Binomialverteilungen mit n=25, p=0,5 den Wert für k bei 9 ab.

Es ist

PX9=0,1148

Die Wahrscheinlichkeit für weniger als 10 Treffer ist 0,1148.

Kumulierte Binomialverteilung – mindestens k Treffer

Du kannst bei einer Binomialverteilung auch die Wahrscheinlichkeit für mindestens k Treffer bestimmen, also PXk.

Rechnerisch ist

PXk=PX=k+PX=k+1+PX=k+2+...+PX=n

Wenn die Summe aus wenigen Summanden besteht, kannst Du die Wahrscheinlichkeit für mindestens k Treffer so berechnen.

Hat die Summe jedoch viele Summanden, ist das Berechnen aufwendig und das Ablesen aus der Tabelle bietet sich an.

In den Tabellen sind aber keine Wahrscheinlichkeiten für mindestens k Treffer aufgeführt. Du rechnest daher PXk um. Erinnere Dich dabei zuerst daran, dass Du die Wahrscheinlichkeit für ein Gegenereignis E mit PE=1-PE berechnen kannst.

Das Gegenereignis zu "mindestens k Treffer ist "weniger als "k Treffer". Deswegen kannst Du die Wahrscheinlichkeit für "mindestens k Treffer" berechnen, indem Du die Wahrscheinlichkeit für "weniger als k Treffer" bestimmst und von der 1 abziehst.

Im vorherigen Abschnitt hast Du gelernt, dass die Wahrscheinlichkeit für weniger als k Treffer genau der Wahrscheinlichkeit für höchstens k-1 Treffer entspricht.

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X, mit den Parametern n und p, berechnest Du die Wahrscheinlichkeit für mindestens k Treffer mit

PXk=1-PX<k=1-PXk-1

Diese Umformung hat den Vorteil, dass Du PXk-1 in der Tabelle für kumulierte Binomialverteilungen ablesen kannst.

Du wirfst 25 Mal eine Münze und erzielst einen Treffer, wenn Kopf oben liegt. Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt und beschreibt die Anzahl an Treffern.

Es soll die Wahrscheinlichkeit für mindestens 15 Treffer bestimmt werden. Um aus der Tabelle ablesen zu können, rechnest Du um:

PX15=1-PX<15=1-PX14

PX14 mit n=25, p=0,5 kannst Du in der zugehörigen Tabelle für kumulierte Binomialverteilungen ablesen.

Es ist

PX14=0,7878

Und somit ist

PX15=1-0,7878=0,2122

Die Wahrscheinlichkeit beim 25-maligen Werfen einer Münze mindestens 15-mal Kopf zu werfen ist 0.2122

Kumulierte Binomialverteilung – mehr als k Treffer

Wenn Du bei einer Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeit für mehr als k Treffer bestimmen willst, ist PX>k gesucht.

Auch hier ist der Unterschied zu "mindestens k Treffer", dass die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer bei PX>k nicht enthalten ist.

Besteht die Summe nur aus wenigen Summanden, so kannst Du PX>k berechnen:

PX>k=PX=k+1+PX=k+2+...+PX=n

Ist die Differenz zwischen k und n allerdings relativ groß, so rechnest Du PX>k um, sodass Du aus der Tabelle ablesen kannst. Das Gegenereignis zu "mehr als k Treffer" ist "höchstens" k Treffer.

Für eine Binomialverteilung mit Zufallsvariable X berechnest Du die Wahrscheinlichkeit für mehr als k Treffer mit

PX>k=1-PXk

Die Wahrscheinlichkeit PXk kannst Du in der zugehörigen Tabelle für kumulierte Binomialverteilungen ablesen.

Du wirfst 25 Mal eine Münze und erzielst einen Treffer, wenn Kopf oben liegt. Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt und beschreibt die Anzahl an Treffern.

Es soll die Wahrscheinlichkeit für mehr als 20 Treffer bestimmt werden. Um aus der Tabelle ablesen zu können, rechnest Du um:

PX>20=1-PX20

Aus der zugehörigen Tabelle liest Du ab:

PX20=0,9995

Daraus ergibt sich:

PX>20=1-0,9995=0,0005

Die Wahrscheinlichkeit beim 25-maligen Werfen einer Münze mehr als 20-mal Kopf zu erhalten liegt bei 0,0005.

Kumulierte Binomialverteilung – Histogramm

Wahrscheinlichkeitsverteilungen kannst Du in einem Histogramm darstellen. Es ist eine Art Säulendiagramm. Auf der x-Achse wird jeder Wert, den die Zufallsvariable annehmen kann, abgetragen. Diesem x-Wert wird die zugehörige Wahrscheinlichkeit auf der y-Achse zugeordnet. Die Höhe der Säule entspricht dieser Wahrscheinlichkeit.

Histogramme kumulierter Binomialverteilungen haben ein spezielles Aussehen. In Abbildung 3 siehst Du das Histogramm der kumulierten Binomialverteilung mit n=10 und p=0,4.

Kumulierte Binomialverteilung Histogramm StudySmarterAbbildung 3: Histogramm der kumulierten Binomialverteilung mit n=10 und p=0,4

Charakteristisch für das Aussehen von Histogrammen kumulierter Binomialverteilungen ist, dass jede Säule höher ist als die vorherige links davon. Die Wahrscheinlichkeiten werden summiert, bei jeder Säule kommt ein Summand hinzu. Außerdem ist in jedem Diagramm die Säule für k=n, also die letzte Säule, genau 1 hoch. Die Wahrscheinlichkeit bei einem n-stufigen Zufallsversuch höchstens n Treffer zu erzielen ist immer 1.

Kumulierte Binomialverteilung – Aufgaben

Die folgenden Aufgaben kannst Du nutzen, um das Rechnen mit kumulierten Binomialverteilungen zu üben.

Aufgabe 1

Du schreibst schon wieder einen Mutiple-Choice-Test. Diesmal gibt es aber 20 Aufgabe und jede Aufgabe hat wieder 4 Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Auch hier möchtest Du möglichst schnell fertig werden und liest Dir die Antwortmöglichkeiten gar nicht durch, sondern setzt zufällig je ein Kreuz bei jeder Frage.

Berechne die Wahrscheinlichkeit für höchstens 10 richtige Antworten.

Lösung

Jede einzelne Aufgabe ist ein Bernoulli-Experiment, da zufällig ausgewählt wird. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ist p=0,25. Durch die 20 Aufgaben entsteht eine Bernoulli-Kette der Länge n=20. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an richtigen Antworten (Treffer). Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 10 Treffer.

Du bestimmst also die Wahrscheinlichkeit PX10. Dies ist eine kumulierte Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst Du aus einer Tabelle in Deiner Formelsammlung ablesen. Du benötigst die Tabelle für kumulierte Binomialverteilungen (summierte Binomialverteilungen) für n=20. Jetzt wählst Du die Spalte p=0,25 und liest den Wert für k=10 ab.

PX10=0,9961

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9961 hast Du höchstens 10 richtige Antworten gegeben.

Aufgabe 2

Lisa und Max spielen ein Spiel. Max wirft 25-Mal einen Würfel. Lisa landet einen Treffer, wenn eine 6 gewürfelt wird.

Bestimmte die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Lisa mindestens 6 Treffer hat.

Lösung

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n=25 mit p=16. Die Zufallsgröße X beschreibt die Trefferanzahl und ist binomialverteilt.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 6 Treffer.

PX6

Aus der Tabelle für kumulierte Binomialverteilungen kannst Du nur PXk ablesen. Du formst daher so um, dass die Zufallsgröße kleiner-gleich einem Wert ist. Dazu verwendest Du das Gegenereignis. Das Gegenereignis zu X6 ist X<6.

PX6=1-PX<6

Nun formst Du weiter um, da X noch echt kleiner als 6 ist und nicht kleiner-gleich 6.

PX6=1-PX<6=1-PX5

Jetzt liest Du den Wert PX5 aus der Tabelle für kumulierte Binomialverteilungen mit n=25 und p=16 ab.

PX5=0,772

Es ist

PX6=1-0,772=0,228

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Lisa mindestens 6 Treffer hat ist 0,228.

Kumulierte Binomialverteilung – Das Wichtigste

  • Eine Zufallsvariable X ist binomialverteilt, wenn das zugrundeliegende Zufallsexperiment eine Bernoulli-Kette ist.
  • Eine kumulierte Wahrscheinlichkeit ist die Summe von mehreren Wahrscheinlichkeiten.
  • In einer Binomialverteilung wird häufig die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer betrachtet. Dies ist eine kumulierte Wahrscheinlichkeit.
  • Die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer ist PXk=i=0kPX=i=i=0kni·pi·(1-p)n-i
  • Kumulierte Wahrscheinlichkeiten PXk von Binomialverteilungen kannst Du in den Tabellen in Deiner Formelsammlung ablesen.
  • Es gelten folgende Rechenregeln:
    • weniger als k Treffer: PX<k=PXk-1
    • mindestens k Treffer: PXk=1-PXk-1
    • mehr als k Treffer: Px>k=1-PXk

Nachweise

  1. Baum et al. (2009). Lambacher Schweizer 11/12, Mathematik für Gymnasien, Gesamtband Oberstufe Niedersachsen. Ernst Klett Verlag.
  2. Becker et al. (2016). Formelsammlung bis zum Abitur - Mathematik - Physik - Astronomie - Chemie - Biologie - Informatik. Duden Schulbuchverlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kumulierte Binomialverteilung

Die kumulierte Binomialverteilung verwendest Du, um die Wahrscheinlichkeit von höchstens k Treffern zu bestimmen. Kumulierte Wahrscheinlichkeit bedeutet, dass Du mehrere Wahrscheinlichkeiten summierst.

Der kumulierten Binomialverteilung liegt eine Binomialverteilung zugrunde. Das heißt, ein Zufallsexperiment mit nur genau zwei Ausgängen wird mehrmals unabhängig voneinander durchgeführt.

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit nur genau zwei Ausgängen. Wenn Du ein Bernoulli-Experiment n-mal durchführst und die Wahrscheinlichkeiten in jedem Durchgang dieselbe sind, hast Du eine Bernoulli-Kette der Länge n. Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion ist dann eine Binomialverteilung. Sie gibt Dir die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer an.

Möchtest Du die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer berechnen, ist es eine kumulierte Binomialverteilung. Die Wahrscheinlichkeit setzt sich aus mehreren Summanden zusammen.

Mit der kumulierten Binomialverteilung berechnest Du die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer bei einer Bernoulli-Kette der Länge n.

Die kumulierte Wahrscheinlichkeit summiert die einzelnen Wahrscheinlichkeiten für die beinhalteten Trefferanzahlen.

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt, wenn das zugehörige Zufallsexperiment eine Bernoulli-Kette ist.

Eine Bernoulli-Kette beschreibt das mehrmalige Durchführen eine Bernoulli-Experiments.

Finales Kumulierte Binomialverteilung Quiz

Frage

Nenne die Bedingung, die erfüllt sein müssen, damit ein Zufallsversuch ein Bernoulli-Experiment ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Zufallsversuch ist ein Bernoulli-Experiment, wenn der Zufallsversuch nur zwei verschiedene Ergebnisse hat. Es wird nur zwischen Treffer und kein Treffer unterschieden.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was eine Bernoulli-Kette ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Bernoulli-Kette ist das mehrmalige Durchführen eines Bernoulli-Experiments. Dabei sind die Durchführungen unabhängig voneinander.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Zufallsvariable X binomialverteilt? Erkläre.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zufallsvariable X ist binomialverteilt, wenn das zugrundeliegende Zufallsexperiment eine Bernoulli-Kette ist. Das bedeutet, dass sich das Zufallsexperiment aus dem mehrmaligen Ausführen eines Bernoulli-Experiments zusammensetzt.

Frage anzeigen
Mehr zum Thema Kumulierte Binomialverteilung
60%

der Nutzer schaffen das Kumulierte Binomialverteilung Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.