Gleichverteilung

In diesem Artikel erfährst du alles, was du zur Gleichverteilung wissen musst. Die Gleichverteilung gehört inhaltlich zum Thema "Zufallsgrößen" im Fach Mathematik.

Wenn du noch mehr über Zufallsgrößen und ihre Verteilungsformen wissen möchtest, empfehle ich dir, unsere weiteren Artikel zum Thema Zufallsgrößen anzuschauen.

Gleichverteilung - die Grundlagen

Die Gleichverteilung ist eine der grundlegenden Verteilungsformen von Zufallsvariablen. Ihre Besonderheit liegt darin, dass die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten jeder möglichen Ausprägung der Zufallsvariablen gleich groß ist.

Bei der Gleichverteilung unterscheidet man zwischen der diskreten und stetigen Gleichverteilung. Im Folgenden erklären wir dir, wie sich diese beiden Formen voneinander unterscheiden. Außerdem lernst du, wie du den Erwartungswert und die Varianz der beiden Verteilungsformen berechnen kannst.

Diskrete Gleichverteilung

Eine diskrete Gleichverteilung liegt vor, wenn jede Ausprägungsmöglichkeit einer diskreten Zufallsgröße die gleiche Auftretenswahrscheinlichkeit hat. Eine Zufallsgröße ist diskret, wenn sie eine endliche Anzahl oder eine unendliche Reihenfolge von abzählbar vielen Werten annehmen kann.

Vereinfacht gesagt: Wenn die Zufallsgröße abzählbar ist, ist sie diskret.

Beispiele für diskrete Zufallsgrößen sind:

• das Alter in Jahren
• die Anzahl an Geburten in einem Krankenhaus in einem Jahr
• die Anzahl startender Flugzeuge an einem Flughafen in einer Woche

Ein anschauliches Beispiel für eine diskrete Gleichverteilung ist das Würfeln. Bei einem normalen Spielwürfel ist die Wahrscheinlichkeit für das Würfeln für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 gleich groß. Die Wahrscheinlichkeit mit einem einzigen Wurf eine 6 zu würfeln liegt also bei .

Diskrete Gleichverteilung - Wahrscheinlichkeitsfunktion

Die Summe aller möglichen Ausprägungen einer diskreten Zufallsgröße bezeichnet man auch als n.

Bei einem normalem Spielwürfel gilt: n = 6

Da bei der diskreten Gleichverteilung alle Ausprägungsmöglichkeiten gleich wahrscheinlich sind, wird die

Wahrscheinlichkeitsfunktion folgendermaßen berechnet:

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion in Form eines Säulendiagramms für einen Würfel mit sechs Seiten sieht so aus:

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion zeigt dir für jede mögliche Ausprägung x die dazugehörige Wahrscheinlichkeit auf der y-Achse an. Beim Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit für alle 6 möglichen Ereignisse .

Diskrete Gleichverteilung - Verteilungsfunktion

Eine andere Möglichkeit die diskrete Gleichverteilung darzustellen ist die Verteilungsfunktion. Für einen Würfel mit n = 6 sieht sie so aus:

Auf der x-Achse siehst du die möglichen Würfelergebnisse 1 bis 6.

Auf der y-Achse ist die dazugehörige kumulierte Wahrscheinlichkeit angegeben. Die kumulierte Wahrscheinlichkeit gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass das Ergebnis höchstens x beträgt

Schauen wir uns das mal in der Grafik an: Die Wahrscheinlichkeit, dass du bei einmaligem Würfeln höchstens eine 3 würfelst, liegt bei . Du fragst dich, wie du auf die Wahrscheinlichkeit von kommst?

Ganz einfach: Um ein Würfelergebnis von höchstens 3 zu erzielen, kannst du sowohl eine 1, eine 2 oder eine 3 würfeln. Die Wahrscheinlichkeit für jedes dieser drei Ereignisse liegt bei . Deshalb kommst du mit folgender Rechnung auf die kumulierte Wahrscheinlichkeit von :

Diskrete Gleichverteilung - Erwartungswert

Das ist die Formel für den Erwartungswert einer diskreten Gleichverteilung:

Was ist also der Erwartungswert bei einem Würfel mit n=6?

Der Erwartungswert beträgt 3,5. Im Durchschnitt beträgt die Augensumme also 3,5.

Diskrete Gleichverteilung - Varianz

Die Formel für die Varianz einer diskreten Gleichverteilung sieht so aus:

Was ist also die Varianz bei einem Würfel mit n=6?

Die Varianz beträgt .

Stetige Gleichverteilung

Eine Zufallsgröße ist stetig, wenn sie jeden beliebigen numerischen Wert in einem Intervall oder eine überabzählbar viele Werte annehmen kann.

Vereinfacht gesagt: Wenn du die Zufallsgröße nicht abzählen kannst, ist sie stetig.

Beispiele für stetige Zufallsgrößen sind:

• exakte Wartezeiten
• exakte Längen von Strecken
• exakte Geschwindigkeiten

Hinweis: Wenn du die Zeit in ganzen Stunden, die Länge in ganzen Metern oder die Geschwindigkeit auf ganze km/h gerundet angibst, sind diese Zufallsgrößen diskret.

Stetige Gleichverteilung - Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnen

Stell dir vor, du wartest auf einen Zug, der einmal pro Stunde fährt. Leider weißt du nicht genau, wann er zum letzten Mal gefahren ist. Die Wahrscheinlichkeit für die Ankunft des Zuges folgt also einer stetigen Gleichverteilung.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion kannst du folgendermaßen berechnen:

b und a sind die Grenzen des Intervalls. In unserem Beispiel gilt a = 0, da der Zug bereits im nächsten Augenblick in den Bahnhof einfahren könnte. b beträgt 60, da der Zug in spätestens 60 Minuten fährt.

Stetige Gleichverteilung - Wahrscheinlichkeitsfunktion zeichnen

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der stetigen Gleichverteilung kann folgendermaßen dargestellt werden:

Anhand dieser Grafik kannst du außerdem erkennen, dass die Wahrscheinlichkeit für das Einfahren des Zuges in der ersten und zweiten Stundenhälfte gleich groß ist. Wenn du genau in der Mitte von a und b einen dritten Punkt c einzeichnest und von diesem eine Gerade nach oben einfügst, erhältst du zwei gleich große Flächen.

Die Fläche zwischen a und c symbolisiert die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Zuges in den ersten 30 Minuten, die Fläche zwischen c und b das Eintreffen in den letzten 30 Minuten.Weil die entstandenen Flächen gleich groß sind, sind auch die damit verbundenen Wahrscheinlichkeiten gleich groß.

Stetige Gleichverteilung - Dichtefunktion

Wenn du die Eintretenswahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Intervall berechnen möchtest, benötigst du die Dichtefunktion:

Grafisch dargestellt sieht diese folgendermaßen aus:

In der Grafik siehst du, dass die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Zuges stetig ansteigt, bis sie nach 60 Minuten 100% erreicht.

Wenn du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Zug innerhalb der ersten Viertelstunde nach deinem Ankommen eintrifft, berechnen willst gehst du folgendermaßen vor. x beträgt in diesem Fall 15.

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Zug innerhalb der ersten Viertelstunde eintrifft, beträgt , also 25%.

Stetige Gleichverteilung - Erwartungswert

Wenn du nicht die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Zeitintervalls berechnen möchtest, sondern wissen willst, wann du etwa mit dem Eintreffen des Zuges rechnen kannst, solltest du den Erwartungswert zur Hilfe nehmen.

Diesen kannst du wie folgt berechnen:

Das bedeutet, dass du im Mittel 30 Minuten auf den Zug warten musst.

Stetige Gleichverteilung - Varianz

Die Varianz der stetigen Gleichverteilung kannst du mit dieser Formel berechnen:

Wenn du diese Formel auf das Beispiel anwendest, erhältst du:

Gleichverteilung - das Wichtigste auf einen Blick

In diesem Artikel hast du eine ganze Menge zum Thema Gleichverteilung gelernt. Fassen wir noch einmal die wichtigsten Punkte zusammen:

• Bei der Gleichverteilung ist die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten jeder möglichen Ausprägung der Zufallsvariablen gleich groß.
• Man unterscheidet zwischen diskreter und stetiger Gleichverteilung.
• Abzählbare Zufallsgrößen wie die Augensumme eines Würfels sind diskret, unabzählbare Zufallsgrößen wie die exakte Wartezeit sind stetig.
• Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Gleichverteilung lautet:
• Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer stetigen Gleichverteilung lautet: $f\left(x\right)=\frac{1}{b-a}$