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Gleichverteilung

Gleichverteilung

Die Gleichverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die oft mit einem ungezinkten, idealen Würfel in Verbindung gebracht wird. Dieser hat \(6\) Seiten und auf jeder Seite eine Zahl von \(1\) bis \(6\). Wenn Du ihn wirfst, ist die Wahrscheinlichkeit bei Deinem Wurf eine bestimmte Zahl zu treffen für jede Seite bei \(\frac{1}{6}\), also gleich groß. Das heißt, die Wahrscheinlichkeiten sind gleich verteilt. Gleichverteilung kann in stetige Gleichverteilung und diskrete Gleichverteilung unterschieden werden, wobei es sich bei dem Beispiel mit dem Würfel um eine diskrete Gleichverteilung handelt. Wie genau die Definition der Gleichverteilung der unterschiedlichen Typen ist, welche Formel Du zur Berechnung benutzen kannst und wie Varianz und Erwartungswert mit der Gleichverteilung zusammenhängen, lernst Du in dieser Erklärung kennen.

Gleichverteilung Definition

Die Gleichverteilung ist eine bestimmte Art einer Wahrscheinlichkeitsverteilung und findet in der Stochastik Anwendung. Sie besitzt spezielle Eigenschaften, durch die sie charakterisiert werden kann.

Wie der Name „Gleichverteilung“ bereits vermuten lässt, ist die Hauptcharakteristik dieser, dass zwischen den einzelnen Möglichkeiten, die eintreten können, keine Präferenz besteht.

Bei der spezielleren Betrachtung der Gleichverteilung wird sie in zwei Arten unterschieden: die diskrete und die stetige Gleichverteilung. Diese werden in den folgenden Abschnitten getrennt betrachtet.

Diskrete Gleichverteilung und diskrete Gleichverteilung Beispiel

Die diskrete Gleichverteilung ist eine der beiden Arten der Gleichverteilung. Generell gilt: Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind diskret, wenn der Wertebereich einer Zufallsvariablen diskret ist.

Diskrete Zufallsvariablen können nur endlich viele oder abzählbar viele verschiedene Werte annehmen.

Ein Beispiel für diskrete Zufallsvariablen sind die Augenzahlen des Würfels aus der Einleitung. Somit kann bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung beim Würfeln von einer diskreten Gleichverteilung gesprochen werden. Doch was macht die diskrete Gleichverteilung nun aus?

Eine diskrete Zufallsvariable \(X\) mit endlich vielen Ausprägungen\(n\) als \(x_1, x_2, ..., x_n\) hat eine diskrete Gleichverteilung, wenn die Wahrscheinlichkeit für jede ihrer Ausprägungen gleich ist, also \(p_1=p_2=...=p_n\) gilt.

Der Fall, dass angenommen wird, dass \(n\) Ereignisse gleich wahrscheinlich sind, heißt Laplace-Experiment.

Der ungezinkte, ideale \(6\)-seitige Würfel ist ein Beispiel für ein Laplace-Experiment und wird auch Laplace-Würfel genannt. Die Zufallsvariable \(X=\text{Augenzahl}\) hat 6 Ausprägungen: \(1, 2, 3, 4, 5, 6\), die sich zu der Ergebnismenge \(\omega=\{1;2;3;4;5;6\}\) zusammen fassen lassen. Jede der sechs Seiten des Würfels ist gleich groß, weshalb keine Augenzahl mit höherer Wahrscheinlichkeit gewürfelt wird als eine andere Augenzahl. Alle Zahlen besitzen die gleiche Wahrscheinlichkeit \(p\), dass sie nach dem Wurf oben liegen.

In der Erklärung „Laplace Experiment“ kannst Du Dein Wissen zu diesem Thema noch einmal vertiefen.

Gleichverteilung Formel und Wahrscheinlichkeitsfunktion– diskreter Fall

Um die Wahrscheinlichkeiten für jede Ausprägung, oder jedes Ereignis zu berechnen, gibt es eine Formel, die Du Dir ansehen kannst.

Die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ausprägungen kannst Du wie folgt berechnen: $$P(X=x_i)=\frac{1}{n} \text{ für } i \in \{1, 2,\dots, n\}$$

Theoretisch müsstest Du nur die Wahrscheinlichkeit für eine Ausprägung ausrechnen, denn die Wahrscheinlichkeit ist ja für jede Ausprägung gleich. Zur Anwendung der Formel kannst Du Dir das Würfel-Beispiel ansehen.

Denkst Du an die Einleitung zurück, so hast Du einen ungezinkten, idealen Würfel geworfen. Alle Augenzahlen besitzen die gleiche Wahrscheinlichkeit \(P(X=x_i)\), dass sie nach dem Wurf oben liegen. Die Zufallsvariable \(X=\text{Augenzahl}\) hat 6 Ausprägungen: \(1, 2, 3, 4, 5, 6\), weshalb Du die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ausprägungen wie folgt berechnen kannst: $$P(X=x_i)=\frac{1}{6} \text{ für } i \in \{1, 2,3,4,5, 6\}$$

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ergibt sich dann aus der Formel für die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ausprägungen.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Gleichverteilung lautet: \begin{align}f(x)=P(X=x)=\left\{\begin{array}{rl}\frac{1}{n} &\text{ für } x=x_i(i=1,2,\dots,n)\,,\\ 0 &\text{ sonst .} \end{array}\right.\end{align} Sie wird auch als Dichtefunktion oder Wahrscheinlichkeitsdichte bezeichnet.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für den idealen Würfel sieht wie folgt aus:

\begin{align}f(x)=P(X=x)=\left\{\begin{array}{rl}\frac{1}{6} &\text{ für } x=1,2,3,4,5,6\,,\\ 0 &\text{ sonst .} \end{array}\right.\end{align}

Im diskreten Fall kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung auch grafisch in einem Säulendiagramm dargestellt werden. Dabei ist jede Säule der \(n\) Ausprägungen dieselbe Höhe, die der Wahrscheinlichkeit \(P(X=x\) entspricht.

Das Diagramm der Gleichverteilung des Würfelwurfs kannst Du in Abbildung 1 sehen.

Gleichverteilung Gleichverteilung Formel StudySmarterAbb. 1 - diskrete Gleichverteilung Beispiel Diagramm

Jede Säule hat in diesem Fall die Höhe \(\frac{1}{6}\).

Verteilungsfunktion Gleichverteilung – diskreter Fall

Eine weitere mögliche Darstellung der diskreten Gleichverteilung ist über die Verteilungsfunktion. Jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung kann eine Verteilungsfunktion zugeordnet werden. Dabei entspricht der Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle \(x\) der Wahrscheinlichkeit, dass die zugehörige Zufallsvariable\(X\) einen Wert kleiner oder gleich \(x\) annimmt.

Die Verteilungsfunktion lautet für die diskrete Gleichverteilung:

\begin{align}F(x)=P(X\leq x)=\sum_{x_i \leq x} f(x_i) \end{align}

Es gibt nur abzählbar viele Werte \(x\) mit positiver Wahrscheinlichkeit, weshalb sich die Verteilungsfunktion auch nur für diese \(x\) ändert, indem sie um die entsprechende Wahrscheinlichkeit nach oben springt. Zwischen zwei Ausprägungen der Zufallsvariablen \(X\) ist die Verteilungsfunktion konstant, da dort keine Wahrscheinlichkeitszunahme erfolgt. Grafisch ist sie als Treppenfunktion darstellbar.

Die Verteilungsfunktion für den idealen Würfel lautet:

\begin{align}F(x)=P(X\leq x)=\left\{\begin{array}{rl}0 &\text{ für } x<1,\\ \frac{1}{6} &\text{ für } 1\leq x<2\,,\\ \frac{2}{6} &\text{ für } 2\leq x<3\,,\\ \frac{3}{6} &\text{ für } 3\leq x<4\,,\\ \frac{4}{6} &\text{ für } 4\leq x<5\,, \\ \frac{5}{6} &\text{ für } 5\leq x<6\,, \\ 1 &\text{ für } x\geq 6\,. \end{array}\right.\end{align}

Die grafische Darstellung der Verteilungsfunktion kannst Du in Abbildung 2 sehen.

Gleichverteilung Verteilungsfunktion Gleichverteilung StudySmarterAbb. 2 - Verteilungsfunktion Gleichverteilung - diskreter Fall

So kannst Du beispielsweise direkt sehen, dass die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln eine Zahl \(x\leq 5 \) zu werfen \(\frac{5}{6}\) ist.

Erwartungswert Gleichverteilung – diskreter Fall

Der Erwartungswert \(E(x)\) oder \(\mu\) ist der Wert der Zufallsvariablen \(X\), der im Durchschnitt erwartet werden kann, wenn das Zufallsexperiment unendlich oft wiederholt wird, zum Beispiel, wenn Du unzählige Male mit Deinem fairen Würfel würfelst.

Der Erwartungswert \(\mu\) einer diskreten gleichverteilten Zufallsvariablen \(X\) ergibt sich als Mittelwert der Werte \(x_i\):

\begin{align}\mu=E(x)=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^n x_i\end{align}

Die Formel kann im diskreten Fall zu folgender Formel vereinfacht werden: $$\mu=E(x)=\frac{n+1}{2}$$

Diese Formel kannst Du für die Berechnung des Erwartungswertes \(E(x)\) jeder diskreten, gleichverteilten Zufallsvariablen anwenden.

Im Falle Deines fairen Würfels berechnest Du den Erwartungswert wie folgt:

\begin{align}\mu=E(x)&=\frac{1}{6}\cdot \sum_{i=1}^6 x_i\\&=\frac{1}{6}\cdot 1+\frac{1}{6}\cdot 2+\frac{1}{6}\cdot 3+\frac{1}{6}\cdot 4+\frac{1}{6}\cdot 5+\frac{1}{6}\cdot 6\\&=\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3}{6}+\frac{4}{6}+\frac{5}{6}+\frac{6}{6}\\&=\frac{21}{6}\\&=3{,}5\end{align}

Oder mir der vereinfachten Formel:

$$\mu=E(x)=\frac{n+1}{2}=\frac{6+1}{2}=3{,}5$$

Das Ergebnis ist dasselbe.

Varianz Gleichverteilung – diskreter Fall

Die Varianz \(\sigma ^2\) einer Zufallsvariable \(X\) ist die quadratische Abweichung vom Erwartungswert \(E(x)\) bei einem Zufallsexperiment.

Im Falle einer diskreten, gleichverteilten Zufallsvariablen \(X\) ist die Varianz \(\sigma ^2\) wie folgt definiert:

\begin{align}\sigma ^2=E((x-\mu)^2)=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2\end{align}

Die Formel kann im diskreten Fall zu folgender Formel vereinfacht werden:

\begin{align}\sigma ^2=\frac{1}{12}\cdot (n^2-1)\end{align}

Die Varianz ist klein, falls alle Werte nahe am Erwartungswert liegen und groß, wenn die Werte weit vom Erwartungswert liegen.

Im Falle Deines fairen Würfels berechnest Du die Varianz wie folgt:

\begin{align}\sigma ^2=E((x-3{,}5)^2)&=\frac{1}{6}\cdot \sum_{i=1}^6 (x_i-3{,}5)^2)\\&=\frac{1}{6}\cdot (1-3{,}5)^2 +\frac{1}{6}\cdot (2-3{,}5)^2+\frac{1}{6}\cdot (3-3{,}5)^2+\frac{1}{6}\cdot (4-3{,}5)^2+\frac{1}{6}\cdot (5-3{,}5)^2+\frac{1}{6}\cdot (6-3{,}5)^2\\&=\frac{25}{24}+\frac{3}{8}+\frac{1}{24}+\frac{1}{24}+\frac{3}{8}+\frac{25}{24}\\&=\frac{35}{12}\\&=2{,}92\end{align}

Oder so:

\begin{align}\sigma ^2&=\frac{1}{12}\cdot (6^2-1)\\&=\frac{1}{12}\cdot (35)\\&=2{,}92\end{align}

Die Varianz für den Wurf des fairen Würfels liegt bei \(2{,}92\). Da es sich beim Würfelwurf um eine diskrete Gleichverteilung handelt, ist die Streuung zwischen den gewürfelten Augenzahlen hoch, was durch die große Varianz bestätigt wird. Dies ist Dir vielleicht schon aufgefallen, da es eher selten vorkommt, dass Du beispielsweise dreimal dieselbe Zahl hintereinander würfelst.

Nun hast Du die diskrete Gleichverteilung kennengelernt. In den nächsten Abschnitten lernst Du die zweite Form der Gleichverteilung kennen, die stetige Gleichverteilung.

Stetige Gleichverteilung

Stetige Zufallsvariablen können durch stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschrieben werden.

Stetige Zufallsvariablen können jeden beliebigen numerischen Wert in einem Intervall \([a;b]\) oder überabzählbar viele Werte annehmen kann.

Die stetige Gleichverteilung ist, analog zur diskreten Gleichverteilung, die einfachste Form einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Eine stetige Zufallsvariable \(X\) mit hat eine stetige Gleichverteilung, wenn sie hat auf einem Intervall \( [a;b]\) eine konstante Wahrscheinlichkeitsdichte \(f(x)=k\) besitzt. Dies bedeutet, dass alle Teilintervalle innerhalb des Intervalls \([a;b]\) mit der gleichen Länge dieselbe Wahrscheinlichkeit \(P\) besitzen.

Die stetige Gleichverteilung wird auch Rechteckverteilung oder Uniformverteilung genannt.

Ein Beispiel für eine stetig gleichverteilte Zufallsvariable \(x\) ist die Wartezeit auf den Bus. Dieser fährt alle \(15\) Minuten. Du kennst allerdings den genauen Abfahrtsplan nicht und gehst einfach so zu einer gewissen Zeit an die Haltestelle. Deine Wartezeit an der Haltestelle folgt dann einer stetigen Gleichverteilung zwischen \(a=0\) und \(b=15\) Minuten. Deine Zufallsvariable \(X\) ist die Zeit in Minuten, die bis zum nächsten Bus vergeht. Dabei ist jede reelle Zahl im Intervall von \([0;15]\) als Wartezeit möglich, z. B. auch \(5{,}452\) Minuten. Alle Wartezeiten zwischen \(0\) und \(15\) Minuten haben die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Gleichverteilung Formel und Wahrscheinlichkeitsfunktion – stetiger Fall

Die stetige Gleichverteilung wird durch eine spezielle Formel bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion, auch genannt Wahrscheinlichkeitsdichte, charakterisiert.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der stetigen Gleichverteilung lautet: \begin{align}f(x)=P(X=x)=\left\{\begin{array}{rl}\frac{1}{b-a} &\text{ für } a\leq x \leq b\,,\\ 0 &\text{ sonst .} \end{array}\right.\end{align}

Zur Anwendung kannst Du das Beispiel mit der Wartezeit auf den Bus weiter verfolgen.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte für Deine Wartezeit an der Bushaltestelle lautet wie folgt:

\begin{align}f(x)=P(X=x)=\left\{\begin{array}{rl}\frac{1}{15} &\text{ für } 0\leq x \leq 15\,,\\ 0 &\text{ sonst .} \end{array}\right.\end{align}

Für jede Wartezeit im Intervall \([0;15]\) beträgt somit die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{15}\).

Auch die stetige Wahrscheinlichkeitsdichte kann grafisch dargestellt werden. Wie der Name „Rechteckverteilung“ schon sagt, sieht die Dichtefunktion wie ein Rechteck aus, das im Intervall \([a;b]\) auf der \(x\)-Achse liegt und eine Höhe von \(\frac{1}{a-b}\) hat.

Die grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsdichte der stetigen Gleichverteilung am Beispiel der Wartezeit auf den Bus kannst Du in Abbildung 3 sehen.

Gleichverteilung Gleichverteilung Formel StudySmarterAbb. 3 - stetige Gleichverteilung Wahrscheinlichkeitsdichte

Verteilungsfunktion Gleichverteilung – stetiger Fall

Auch der stetigen Gleichverteilung kann eine Verteilungsfunktion zugeordnet werden. Dabei entspricht der Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle \(x\) wieder der Wahrscheinlichkeit, dass die zugehörige Zufallsvariable\(X\) einen Wert kleiner oder gleich \(x\) annimmt.

Die Verteilungsfunktion lautet für die diskrete Gleichverteilung:

\begin{align}F(x)=\left\{\begin{array}{rl}0 &\text{ für } x<a\,,\\ \frac{x-a}{b-a} &\text{ für } a\leq x \leq b\,, \\ 1 &\text{ sonst }\,. \end{array}\right.\end{align}

Im stetigen Fall ist eine stetige, also konstante Zunahme charakteristisch, da jeder Wert im Intervall \([a;b]\) vorkommen kann und es somit zu keinem Sprung kommt, wie im diskreten Fall. Die Verteilungsfunktion ist somit durch eine Gerade darstellbar, die bei \(a\) beginnt und bei \(b\) endet, wobei der für die Funktionswerte der Verteilungsfunktion an den Intervallgrenzen \(F(a)=0\) und \(F(b)=1\) gilt.

Wenn Du wieder an das Beispiel mit der Wartezeit für den Bus denkst, dann lautet die Verteilungsfunktion wie folgt:

\begin{align}F(x)=\left\{\begin{array}{rl}0 &\text{ für } x<15\,,\\ \frac{x}{15} &\text{ für } 0\leq x \leq 15\,, \\ 1 &\text{ sonst }\,. \end{array}\right.\end{align}

Die grafische Darstellung Deiner Verteilungsfunktion kannst Du in Abbildung 4 sehen.

Gleichverteilung Verteilungsfunktion GleichverteilungStudySmarterAbb. 4 - stetige Gleichverteilung Verteilungsfunktion

Wenn Du beispielsweise wissen willst, wie wahrscheinlich es ist, weniger als \(10\) Minuten zu warten, setzt Du \(10\) in Deine Verteilungsfunktion ein: $$F(10)=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$$

Die Wahrscheinlichkeit, weniger als \(10\) Minuten zu warten, beträgt also \(\frac{2}{3}\).

Erwartungswert Gleichverteilung – stetiger Fall

Auch für den stetigen Fall der Gleichverteilung kannst Du den Erwartungswert berechnen.

Die Formel für die Berechnung des Erwartungswerts \(\mu\) einer stetigen gleichverteilten Zufallsvariablen \(X\) ergibt sich aus dem Mittelwert der Intervallgrenzen \(a\) und \(b\):

\begin{align}\mu=E(x)=\frac{a+b}{2}\end{align}

Der Erwartungswert liegt somit immer bei der Hälfte des Intervalls \([a;b]\).

Für das Warten auf den Bus beträgt der Erwartungswert \(\mu\):

\begin{align}\mu=E(x)=\frac{0+15}{2}=\frac{15}{2}=7{,}5\end{align}

Die zu erwartende Zeit, wenn Du zu einer zufälligen Zeit zur Haltestelle kommst, beträgt also \(7{,}5\) Minuten.

Varianz Gleichverteilung – stetiger Fall

Die Varianz kannst Du ebenfalls wieder mit einer Formel berechnen.

Im Falle einer stetigen, gleichverteilten Zufallsvariablen \(X\) ist die Varianz \(\sigma ^2\) wie folgt definiert: \begin{align}\sigma ^2=E((x-\mu)^2)=\frac{1}{12}\cdot (b-a)^2\end{align}

Zur Anwendung der Varianz kannst Du das Bus-Beispiel weiterdenken.

Für das Warten auf den Bus beträgt die Varianz \(\mu\):

\begin{align}\sigma ^2=E((x-7{,}5)^2)&=\frac{1}{12}\cdot (15-0)^2\\&=\frac{1}{12}\cdot 225\\&=1{,}875\end{align}

Somit hast Du nun beide Arten der Gleichverteilung kennengelernt.

Gleichverteilung Übungsaufgabe

Um die Anwendung der Gleichverteilung zu üben, findest Du im Folgenden eine Aufgabe.

Aufgabe 1

Stell Dir vor, Du benutzt einen Zufallszahlgenerator, der jede reelle Zahl zwischen \(5\) und \(10\) erstellen kann, die jeweils gleich wahrscheinlich ist. Entscheide, ob es sich um eine diskrete oder stetige Gleichverteilung handelt und stelle die Wahrscheinlichkeitsdichte und die Verteilungsfunktion auf. Wie wahrscheinlich ist es, genau eine bestimmte reelle Zahl zu erhalten? Berechne ebenso den Erwartungswert \(\mu\) und die Varianz \(\sigma ^2\).

Lösung

Da es sich bei der Zufallsvariable \(X\) um eine Zahl handelt, die jeden beliebigen numerischen Wert zwischen \(5\) und \(10\) annehmen kann, handelt es sich um eine stetige Zufallsvariable. Das betrachtete Intervall ist \([5;10]\). Jede reelle Zahl in diesem Intervall ist gleich wahrscheinlich, weshalb es sich um eine stetige Gleichverteilung handelt.

Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeitsdichte kannst Du folgende Formel anwenden:

\begin{align}f(x)=P(X=x)=\left\{\begin{array}{rl}\frac{1}{b-a} &\text{ für } a\leq x \leq b\,,\\ 0 &\text{ sonst .} \end{array}\right.\end{align}

Die Wahrscheinlichkeitsdichte lautet in diesem Fall:

\begin{align}f(x)=P(X=x)=\left\{\begin{array}{rl}\frac{1}{5} &\text{ für } 5\leq x \leq 10\,,\\ 0 &\text{ sonst .} \end{array}\right.\end{align}

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für alle reelen Zahlen zwischen \(5\) und \(10\) genau\(\frac{1}{5}\).

Für die Berechnung der Verteilungsfunktion kannst Du folgende Formel anwenden:

\begin{align}F(x)=\left\{\begin{array}{rl}0 &\text{ für } x<a\,,\\ \frac{x-a}{b-a} &\text{ für } a\leq x \leq b\,, \\ 1 &\text{ sonst }\,. \end{array}\right.\end{align}

Die Verteilungsfunktion lautet somit in diesem Fall:

\begin{align}F(x)=\left\{\begin{array}{rl}0 &\text{ für } x<5\,,\\ \frac{x-5}{5} &\text{ für } 5\leq x \leq 10\,, \\ 1 &\text{ sonst }\,. \end{array}\right.\end{align}

Für den Erwartungswert gilt:\begin{align}\mu=E(x)=\frac{5+10}{2}=\frac{15}{2}=7{,}5\end{align}

Für die Varianz gilt:

\begin{align}\sigma ^2=E((x-7{,}5)^2)&=\frac{1}{12}\cdot (10-5)^2\\&=\frac{1}{12}\cdot (5)^2\\&=\frac{25}{12}\\&=2{,}083\end{align}

Gleichverteilung – Das Wichtigste

  • Im Allgemeinen kann in diskrete und stetige Gleichverteilung unterscheiden werden
    • Eine diskrete Zufallsvariable \(X\) mit endlich vielen Ausprägungen\(n\) als \(x_1, x_2, ..., x_n\) hat eine diskrete Gleichverteilung, wenn die Wahrscheinlichkeit für jede ihrer Ausprägungen gleich ist, also \(p_1=p_2=...=p_n\) gilt.
    • Eine stetige Zufallsvariable \(X\) mit hat eine stetige Gleichverteilung, wenn sie hat auf einem Intervall \( [a;b]\) eine konstante Wahrscheinlichkeitsdichte \(f(x)=k\) besitzt.
  • Für die diskrete Gleichverteilunggelten folgende Formeln:
    • Wahrscheinlichkeitsdichte: \begin{align}f(x)=P(X=x)=\left\{\begin{array}{rl}\frac{1}{n} &\text{ für } x=x_i(i=1,2,\dots,n)\,,\\ 0 &\text{ sonst .} \end{array}\right.\end{align}
    • Verteilungsfunktion: \(F(x)=P(X\leq x)=\sum_{x_i \leq x} f(x_i) \)
    • Erwartungswert: \(\mu=E(x)=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^n x_i \)
    • Varianz: \(\sigma ^2=E((x-\mu)^2)=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2 \)
  • Für die stetige Gleichverteilung gelten folgende Formeln:
    • Wahrscheinlichkeitsdichte: \begin{align}f(x)=P(X=x)=\left\{\begin{array}{rl}\frac{1}{b-a} &\text{ für } a\leq x \leq b\,,\\ 0 &\text{ sonst .} \end{array}\right.\end{align}
    • Verteilungsfunktion: \begin{align}F(x)=\left\{\begin{array}{rl}0 &\text{ für } x<a\,,\\ \frac{x-a}{b-a} &\text{ für } a\leq x \leq b\,, \\ 1 &\text{ sonst }\,. \end{array}\right.\end{align}
    • Erwartungswert: \(\mu=E(x)=\frac{a+b}{2}\)
    • Varianz: \(\sigma ^2=E((x-\mu)^2)=\frac{1}{12}\cdot (b-a)^2\)

Nachweise

  1. Krimmer (2013). Statistik im Versicherungs- und Versandwesen. Springer Gabler.
  2. Pampel (2017). Arbeitsbuch Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Springer Spektrum.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Gleichverteilung

Etwas ist gleichverteilt, wenn zwischen den einzelnen Möglichkeiten, die eintreten können, keine Präferenz besteht. Alle Möglichkeiten besitzen somit die gleiche Wahrscheinlichkeit p.

Eine gleichverteilte Zufallsgröße besitzt für jede ihrer Ausprägungen dieselbe Wahrscheinlichkeit p. Eine gleichverteilte Zufalsgröße kann entweder stetig oder diskret sein. 

Uniforme Verteilung ist ein anderes Wort für eine stetige Gleichverteilung.  Sie hat auf einem Intervall [a;b] eine konstante Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)=k.

Eine Gleichverteilung kann über die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion berechnet werden. Daraus können Graphen abgeleitet werden, um die Gleichverteilung darzustellen.

Finales Gleichverteilung Quiz

Frage

Nenne die zwei Arten der Gleichverteilung.

Antwort anzeigen

Antwort

- diskrete Gleichverteilung

- stetige Gleichverteilung

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was ist die Hauptcharakteristik der Gleichverteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

Wie der Name „Gleichverteilung“ bereits vermuten lässt, ist die Hauptcharakteristik dieser, dass zwischen den einzelnen Möglichkeiten, die eintreten können, keine Präferenz besteht.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob es sich um eine stetige oder diskrete Zufallsvariable handelt:

Die Zufallsvariable ist abzählbar.

Antwort anzeigen

Antwort

Es handelt sich um eine diskrete Zufallsvariable. 

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob es sich um eine stetige oder diskrete Zufallsvariable handelt:

Die Zufallsvariable kann überabzählbar viele Werte annehmen.

Antwort anzeigen

Antwort

Es handelt sich um eine stetige Zufallsvariable.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob es sich um eine stetige oder diskrete Zufallsvariable handelt:

Alter in Monaten

Antwort anzeigen

Antwort

diskrete Zufallsvariable

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob es sich um eine stetige oder diskrete Zufallsvariable handelt:

Wartezeit auf einen Bus

Antwort anzeigen

Antwort

stetige Zufallsvariable

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob es sich um eine stetige oder diskrete Zufallsvariable handelt:

Exakte Geschwindigkeit eines Flugzeuges

Antwort anzeigen

Antwort

Stetige Zufallsvariable

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Gleichverteilung.

Antwort anzeigen

Antwort

\begin{align}f(x)=P(X=x)=\left\{\begin{array}{rl}\frac{1}{n} &\text{ für } x=x_i(i=1,2,\dots,n)\,,\\ 0 &\text{ sonst .} \end{array}\right.\end{align} 

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Erwartungswert bei dem Wurf mit einem achtseitigen Würfel

 (Oktaeder).

Antwort anzeigen

Antwort

\(\mu=E(x)=\frac{n+1}{2}=\frac{8+1}{2} =4{,}5\)

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeitsfunktion bei einem achtseitigen Würfel (Oktaeder).

Antwort anzeigen

Antwort

 \begin{align}f(x)=P(X=x)=\left\{\begin{array}{rl}\frac{1}{8} &\text{ für } x=1,2,3,4,5,6,7,8\,,\\ 0 &\text{ sonst .} \end{array}\right.\end{align} 

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Varianz bei einem achtseitigen Würfel (Oktaeder).

Antwort anzeigen

Antwort

\begin{align}\sigma ^2=\frac{1}{12}\cdot (n^2-1)=\frac{1}{12}\cdot (8^2-1)=\frac{63}{12}\end{align}

Frage anzeigen

Frage

Du gehst zu einer Zughaltestelle und weißt, dass der Zug frühestens in 30 Minuten, spätestens aber in 50 Minuten kommt. Allerdings hast Du den genauen Abfahrtsplan nicht im Kopf. Berechne den Erwartungswert für diesen Fall.

Antwort anzeigen

Antwort

\(\mu=E(x)=\frac{a+b}{2}=\frac{30+50}{2}=40\)


Der Erwartungswert für die Wartezeit beträgt 40 Minuten.

Frage anzeigen

Frage

Du gehst zu einer Zughaltestelle und weißt, dass der Zug frühestens in 30 Minuten, spätestens aber in 50 Minuten kommt. Allerdings hast Du den genauen Abfahrtsplan nicht im Kopf. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Zug in spätestens 40 Minuten ankommt.

Antwort anzeigen

Antwort

\(F(x)=\frac{x-a}{b-a}=\frac{40-30}{50-30}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\)


Die Wahrscheinlichkeit, dass der Zug in spätestens 40 Minuten ankommt beträgt \(\frac{1}{2}\).

Frage anzeigen

Frage

Du gehst zu einer Zughaltestelle und weißt, dass der Zug frühestens in 30 Minuten, spätestens aber in 50 Minuten kommt. Allerdings hast Du den genauen Abfahrtsplan nicht im Kopf. Berechne die Varianz.

Antwort anzeigen

Antwort

\begin{align}\sigma ^2=\frac{1}{12}\cdot (b-a)^2=\frac{1}{12}\cdot (50-30)^2=\frac{200}{12}=\frac{50}{3}\end{align}

Die Varianz beträgt \(\frac{50}{3}\).

Frage anzeigen

Frage

Du gehst zu einer Zughaltestelle und weißt, dass der Zug frühestens in 30 Minuten, spätestens aber in 50 Minuten kommt. Allerdings hast Du den genauen Abfahrtsplan nicht im Kopf. Berechne die Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Antwort anzeigen

Antwort

\begin{align}f(x)=P(X=x)=\left\{\begin{array}{rl}\frac{1}{50-30} &\text{ für } 30\leq x \leq 50\,,\\ 0 &\text{ sonst .} \end{array}\right.\end{align}

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was Du in der folgenden Abbildung siehst.


Antwort anzeigen

Antwort

Die Verteilungsfunktion einer diskreten Gleichverteilung bei \(n=6\).

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was Du in der folgenden Abbildung siehst.


Antwort anzeigen

Antwort

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Gleichverteilung bei \(n=6\).

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was Du in der folgenden Abbildung siehst.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Dichtefunktion einer stetigen Gleichverteilung

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was Du in der folgenden Abbildung siehst.


Antwort anzeigen

Antwort

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer stetigen Gleichverteilung.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Formel für den Erwartungswert \(\mu\) einer stetigen Gleichverteilung im Intervall \([a;b]\).

Antwort anzeigen

Antwort

\begin{align}\mu=E(x)=\frac{a+b}{2}\end{align}

Frage anzeigen

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