Mehrstufige Zufallsexperimente

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Wirfst du einen Würfel mehrmals hintereinander, so handelt es sich um ein Beispiel für ein mehrstufiges Zufallsexperiment. Im Folgenden erfährst du, wie dieses definiert ist, wie du die Wahrscheinlichkeiten für unterschiedliche Ereignisse bei mehrstufigen Zufallsexperimenten berechnest und wie die Ergebnisse einzuordnen sind.

Mehrstufiges Zufallsexperiment – Definition

Wenn du einen Würfel wirfst, kannst du vor dem Wurf nicht sagen, welche Zahl du würfeln wirst. Das Ergebnis ist also zufällig. Bis jetzt ist das ein einstufiges Zufallsexperiment. Wenn du diesen Würfel aber mehrmals hintereinander wirfst, dann ist dein Zufallsexperiment mehrstufig.

Mehrstufige Zufallsexperimente sind Experimente mit einem zufälligen/ nicht vorhersehbaren Ergebnis, das in mehreren Durchgängen ausgeführt wird.

Mehrstufige Zufallsexperimente können unterschiedliche Eigenschaften haben.

Hat jedes der möglichen Ereignisse dieselbe Wahrscheinlichkeit, dann handelt es sich um ein Laplace-Experiment. Der Würfelwurf ist etwa eines.

Unabhängige Ereignisse

Wenn du deinen Würfel beispielsweise so oft wirfst, bis du eine 6 gewürfelt hast, beeinflussen sich die Wahrscheinlichkeiten nicht gegenseitig. Die Ereignisse sind also unabhängig voneinander.

Bei der einfachen Wahrscheinlichkeit haben alle möglichen Ereignisse die gleiche Chance, einzutreten. Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1 und in Summe ergeben alle Wahrscheinlichkeiten immer 1. Sie wird als p geschrieben.

Verständlicher wird es, wenn man nicht von 1, sondern von 100 % ausgeht. Umgerechnet ist es dasselbe.

Im Fall des Würfels hast du für jeden Wurf sechs Möglichkeiten, welche Zahl du würfeln kannst. Teilst du also die 100 % durch die 6 Möglichkeiten, erhältst du die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$ für jede Zahl.

Um nun auszurechnen, wie oft du den Würfel werfen musst, um eine 6 zu würfeln, kannst du die 2. Pfadregel anwenden.

2. Pfadregel

Diese Regel heißt so, weil du sie für die einzelnen Pfade im Baumdiagramm benötigst.

2. Pfadregel: Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment musst du für die Wahrscheinlichkeit mehrerer Ereignisse die Wahrscheinlichkeiten der Pfade miteinander addieren.

Demnach wendest du die 2. Pfadregel an, wenn ein Ereignis A oder B (oder beide) eintreffen sollen.

Das heißt, du addierst die oben ausgerechnete Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{6}$ so oft, bis du auf 1, also 100 % kommst.

$\begin{array}{rcl} 1 & = & x \cdot \frac{1}{6} : \frac{1}{6} \\ x & = & 6 \end{array}$

Du musst also 6-mal würfeln, um theoretisch eine 6 zu erhalten.

Abhängige Ereignisse

Möchtest du jedoch wissen, wie wahrscheinlich es ist, nach einer 5 eine 4 zu würfeln, steht die 4 unter der Bedingung, dass vorher eine 5 gewürfelt wurde.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, nachdem ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist. Sie wird als P geschrieben.

Die Wahrscheinlichkeit, eine 4 zu würfeln, ist also abhängig von der vorherigen 5 und muss daher multipliziert werden.

1. Pfadregel

Diesen Zusammenhang findest du auch bei der 1. Pfadregel.

1. Pfadregel: Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment musst du für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades miteinander multiplizieren.

Man spricht also von der Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A und B gleichzeitig eintreffen.

Wendest du diese Regel auf das Beispiel mit dem Würfelwurf an, so erhältst du:

$P = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

Also beträgt die Wahrscheinlichkeit, nach einer 5 eine 4 zu würfeln, $\frac{1}{36}$ .

Ergebnismenge mehrstufiger Zufallsexperimente

Während die Ergebnismenge mehrstufiger Zufallsexperiment einfach nur Omega heißt, wird der Ergebnisraum gerne als "Mächtigkeit von Omega" bezeichnet.

Der Ergebnisraum Ω umfasst die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments.

$Ω = {x_{1}, x_{2}, x_{3}, . . .}$

Dabei stehen x₁, x₂, x₃, usw. für alle möglichen Werte, die das Ergebnis annehmen kann – unabhängig davon, welche tatsächlich eintreten.

Wenn du würfelst, kann der Würfelwurf die Augenzahlen 1 bis 6 ergeben.

$Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

Um das tatsächliche Ergebnis anzugeben, kommt die Mächtigkeit von Ω ins Spiel.

Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse heißt Mächtigkeit des Ergebnisraums |Ω|. Sie gibt an, wie viele Elemente in der Ergebnismenge Ω liegen.

Das heißt, mit der Mächtigkeit von Omega kannst du angegeben, welche Werte das Ergebnis nun von allen möglichen Werten aus der Ergebnismenge wirklich annimmt – also den Ergebnisraum.

Möchtest du etwa eine gerade Zahl würfeln, dann kannst du das tatsächliche Ergebnis mit der Mächtigkeit von Ω angeben:

$|Ω| = \{2, 4, 6\}$

Verfeinerung & Vergröberung der Ergebnismenge

Bei jedem Zufallsexperiment gibt es unterschiedliche Ergebnismengen. Du kannst zum Beispiel nach der Ergebnismenge aller geraden oder ungeraden Zahlen (Ω₂ ) fragen.

Mehrstufige Zufallsexperimente Vergröberung/Verfeinerung von Omega Ergebnismenge StudySmarter Abbildung 1: Vergröberung/Verfeinerung von Omega

Die Aussage "alle geraden/ungeraden Zahlen" ist aber noch sehr grob. "Feiner" ist es, die Zahlen selbst zu nennen, also $|Ω_{1}| = \{2, 4, 6\}$ oder $|Ω_{2}| = \{1, 3, 5\}$ .

Wenn du eine Zahl würfeln möchtest, die größer als 3 und eine gerade Zahl ist, kannst du die Aussage so verfeinern:

$|Ω| = \{4, 6\}$

Andersherum geht das auch. Die Mächtigkeit von Omega kannst du so vergröbern:

$|Ω| = \{A u g e n z a h l g r ö ß e r a l s 3, g e r a d e A u g e n z a h l\}$

Erwartungswert

Der Erwartungswert μ hat auch mit den Ergebnissen zu tun. Er gibt an, welches Ergebnis du durchschnittlich erwarten kannst, wenn du das Experiment theoretisch unendlich oft durchführst.

Der Erwartungswert μ ist ein Mittelwert, wenn du dein Experiment sehr oft durchführst. Mit der folgenden Formel kannst du den Erwartungswert berechnen.

$E (X) = x_{1} \cdot P (X = x_{1}) + x_{2} \cdot P (X = x_{2}) + . . . + x_{n} \cdot P (X = x_{n}) E (X) = E r w a r t u n g s w e r t v o n X x_{n} = n - t e A u s p r ä g u n g d e r Z u f a l l s v a r i a b l e X P (X = x_{n}) = W a h r s c h e i n l i c h k e i t d e r n - t e n A u s p r ä g u n g$

Er sagt dir beispielsweise, welchen Wert du durchschnittlich erwarten kannst, wenn du deinen Würfel häufig wirfst.

Wenn du den Erwartungswert deines Würfelwurfs berechnen willst, dann musst du die Augenzahlen von 1 bis 6 jeweils mit deren Wahrscheinlichkeit, also $\frac{1}{6}$ multiplizieren und dann addieren.

$E (W ü r f e l w u r f) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{7}{2} = 3, 5$

Der Wert, den du durchschnittlich erwarten kannst, liegt bei 3,5.

Stimmt dieser Wert nicht mit dem arithmetischen Mittelwert überein, kann es sein, dass dein Würfel gezinkt ist.

Der arithmetische Mittelwert ist der Durchschnitt aus den tatsächlich ausgeführten Durchgängen. Er kann sich vom Erwartungswert unterscheiden.

Mehrstufige Zufallsexperimente – Übungen

Zum Abschluss findest du hier noch ein paar Aufgaben:

Aufgabe 1

Wann verwendest du die 1. und wann die 2. Pfadregel?

Lösung

Die 1. Pfadregel (Produktregel) wendest du an, wenn deine Ereignisse voneinander abhängig sind. Du kannst sie mit dem Wort und verknüpfen. Beispielsweise du würfelst eine 4 und eine 5. In diesem Fall musst du die Wahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren.

Die 2. Pfadregel (Summenregel) benötigst du für voneinander unabhängige Ereignisse. Wenn du eine 4 oder eine 5 würfelst, kannst du die Wahrscheinlichkeiten addieren.

Aufgabe 2

Du wirfst einen 4-seitigen Würfel und möchtest eine ungerade Zahl erhalten.

Gib den Ergebnisraum Ω und die Mächtigkeit von Ω in einer groben und einer feinen Art an.

Lösung

Bei einem 4-seitigen Würfel kommen die Augenzahlen 1 bis 4 infrage. Der Ergebnisraum Ω ist daher folgender:

$Ω = \{1, 2, 3, 4\}$

Die Mächtigkeit von Ω für das Ereignis "alle ungeraden Zahlen" kannst du auf zwei Arten ausdrücken:

$g r o b : |Ω| = \{a l l e u n g e r a d e n Z a h l e n\} f e i n : |Ω| = \{1, 3\}$

Aufgabe 3

Berechne den Erwartungswert eines 4-seitigen Würfels.

Lösung

Du benötigst die Formel für den Erwartungswert:

$E (X) = x_{1} \cdot P (X = x_{1}) + x_{2} \cdot P (X = x_{2}) + . . . + x_{n} \cdot P (X = x_{n})$

Die Wahrscheinlichkeit für jede der 4 Seiten des Würfels beträgt $\frac{1}{4}$ . Also rechnest du wie folgt:

$E (W ü r f e l w u r f) = 1 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot \frac{1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2, 5$

Bei einem 4-seitigen Würfel kannst du durchschnittlich mit dem Wert 2,5 rechnen.

Mehrstufige Zufallsexperimente - Das Wichtigste

Mehrstufige Zufallsexperimente sind Experimente mit einem zufälligen/ nicht vorhersehbaren Ergebnis, das in mehreren Durchgängen ausgeführt wird.
Beim Ergebnis wird unterschieden zwischen abhängigen und unabhängigen Ergebnissen. Unabhängige Ergebnisse entstehen beim einstufigen Zufallsexperiment. Die Wahrscheinlichkeiten kannst du miteinander addieren (Summenregel). Beim mehrstufigen Zufallsexperiment hingegen sind die Ereignisse voneinander abhängig und müssen daher multipliziert werden (Produktregel).
Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse heißt Mächtigkeit des Ergebnisraums |Ω|. Sie gibt an, wie viele Elemente in der Ergebnismenge Ω liegen.
Omega kann vergröbert und verfeinert werden. Das bezieht sich auf die Genauigkeit des Ergebnisses. ("Alle geraden Zahlen" = grob, "2, 4, 6" = fein)
Der Erwartungswert μ ist ein Mittelwert, wenn du dein Experiment unendlich oft durchführst. Die allgemeine Formel dafür sieht so aus: $E (X) = x_{1} \cdot P (X = x_{1}) + x_{2} \cdot P (X = x_{2}) + . . . + x_{n} \cdot P (X = x_{n})$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Mehrstufige Zufallsexperimente

Ein Laplace-Experiment in ein Zufallsexperiment mit einer oder mehr Stufen, bei dem jedes Ereignis dieselbe Wahrscheinlichkeit hat, einzutreffen. Beispielsweise ist ein Würfelwurf ein Laplace-Experiment, während 3 rote und 5 blaue Kugeln in einer Urne kein Laplace-Experiment darstellen.

Es gibt ein- und mehrstufige Zufallsexperimente. Beim einstufigen wird das Experiment nur einmal ausgeführt, beim mehrstufigen mehrmals hintereinander. Eine Sonderform des Zufallsexperiment stellt das Laplace-Experiment dar. Hier treffen alle Ereignisse mit derselben Wahrscheinlichkeit ein.

Die Ergebnismenge gibst du mit einem Omega an. Sie beinhaltet alle möglichen Ereignisse eines Zufallsexperiments.

Bei einem zweistufigen Zufallsversuch wird ein Zufallsexperiment 2 mal hintereinander ausgeführt.

Karteikarten in Mehrstufige Zufallsexperimente17 Lerne jetzt

Was ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit?

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, nachdem ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist. Sie wird als P geschrieben.

Was ist eine einfache Wahrscheinlichkeit?

Was musst du mit den Wahrscheinlichkeiten eines Pfades machen, um zum Ergebnis zu kommen?

dividieren

Wie kannst du dir merken, wann du welche Pfadregel brauchst?

1 Pfad = 1. Pfadregel

2 oder mehr Pfade = 2. Pfadregel

Was ist der Unterschied zwischen einem mehrstufigen Zufallsexperiment mit Zurücklegen und einem ohne Zurücklegen?

Beim Zufallsexperiment mit Zurücklegen hast du für jeden Durchgang dieselben Ausgangbedingungen. Die einfachen Wahrscheinlichkeiten ändern sich also nicht. Werden die gezogenen Schafe, Kugeln oder mit was du das Experiment durchführst, nicht zurückgelegt, musst du aufpassen, wie viele Objekte im darauffolgenden Durchgang noch vorhanden sind und die Wahrscheinlichkeiten neu ausrechnen. Am besten du zeichnest dir für diesen Fall ein Baumdiagramm, damit du nicht durcheinander kommst.

Warum hat ein mehrstufiges Zufallsexperiment eine bedingte Wahrscheinlichkeit?

Beim mehrstufigen Zufallsexperiment geschieht ein Ereignis unter der Bedingung, dass ein bestimmtes anderes Ereignis bereits eingetreten ist.

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