Mehrstufige Zufallsexperimente

Im Fall des Würfels hast du für jeden Wurf sechs Möglichkeiten, welche Zahl du würfeln kannst. Teilst du also die 100 % durch die 6 Möglichkeiten, erhältst du die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$ für jede Zahl.

Das heißt, du addierst die oben ausgerechnete Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{6}$ so oft, bis du auf 1, also 100 % kommst.

$\begin{array}{rcl}1& =& x·\frac{1}{6}\overline{):\frac{1}{6}}\\ x& =& 6\end{array}$

Du musst also 6-mal würfeln, um theoretisch eine 6 zu erhalten.

Wendest du diese Regel auf das Beispiel mit dem Würfelwurf an, so erhältst du:

$P=\frac{1}{6}·\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$

Also beträgt die Wahrscheinlichkeit, nach einer 5 eine 4 zu würfeln, $\frac{1}{36}$.

Wenn du würfelst, kann der Würfelwurf die Augenzahlen 1 bis 6 ergeben.

$\Omega =\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$

Möchtest du etwa eine gerade Zahl würfeln, dann kannst du das tatsächliche Ergebnis mit der Mächtigkeit von Ω angeben:

$\left|\Omega \right|=\left\{2,4,6\right\}$

Wenn du eine Zahl würfeln möchtest, die größer als 3 und eine gerade Zahl ist, kannst du die Aussage so verfeinern:

$\left|\Omega \right|=\left\{4,6\right\}$

Andersherum geht das auch. Die Mächtigkeit von Omega kannst du so vergröbern:

$\left|\Omega \right|=\left\{Augenzahlgrößerals3,geradeAugenzahl\right\}$

Wenn du den Erwartungswert deines Würfelwurfs berechnen willst, dann musst du die Augenzahlen von 1 bis 6 jeweils mit deren Wahrscheinlichkeit, also $\frac{1}{6}$ multiplizieren und dann addieren.

$E\left(Würfelwurf\right)=1·\frac{1}{6}+2·\frac{1}{6}+3·\frac{1}{6}+4·\frac{1}{6}+5·\frac{1}{6}+6·\frac{1}{6}=\frac{7}{2}=3,5$

Der Wert, den du durchschnittlich erwarten kannst, liegt bei 3,5.

Aufgabe 1

Wann verwendest du die 1. und wann die 2. Pfadregel?

Lösung

Die 1. Pfadregel (Produktregel) wendest du an, wenn deine Ereignisse voneinander abhängig sind. Du kannst sie mit dem Wort und verknüpfen. Beispielsweise du würfelst eine 4 und eine 5. In diesem Fall musst du die Wahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren.

Die 2. Pfadregel (Summenregel) benötigst du für voneinander unabhängige Ereignisse. Wenn du eine 4 oder eine 5 würfelst, kannst du die Wahrscheinlichkeiten addieren.

Aufgabe 2

Du wirfst einen 4-seitigen Würfel und möchtest eine ungerade Zahl erhalten.

Gib den Ergebnisraum Ω und die Mächtigkeit von Ω in einer groben und einer feinen Art an.

Lösung

Bei einem 4-seitigen Würfel kommen die Augenzahlen 1 bis 4 infrage. Der Ergebnisraum Ω ist daher folgender:

$\Omega =\left\{1,2,3,4\right\}$

Die Mächtigkeit von Ω für das Ereignis "alle ungeraden Zahlen" kannst du auf zwei Arten ausdrücken:

$$\begin{gathered} grob:\left|\Omega \right|=\left\{alleungeradenZahlen\right\} \\ fein:\left|\Omega \right|=\left\{1,3\right\} \end{gathered}$$

Aufgabe 3

Berechne den Erwartungswert eines 4-seitigen Würfels.

Lösung

Du benötigst die Formel für den Erwartungswert:

$E\left(X\right)=x_1·P(X=x_1)+x_2·P(X=x_2)+...+x_n·P(X=x_n)$

Die Wahrscheinlichkeit für jede der 4 Seiten des Würfels beträgt $\frac{1}{4}$. Also rechnest du wie folgt:

$E\left(Würfelwurf\right)=1·\frac{1}{4}+2·\frac{1}{4}+3·\frac{1}{4}+4·\frac{1}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}=2,5$

Bei einem 4-seitigen Würfel kannst du durchschnittlich mit dem Wert 2,5 rechnen.