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Permutation

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Permutation

Permutationen kommen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung als Teil der Kombinatorik vor. In diesem Beitrag erläutern wir, was es mit Permutationen auf sich hat und erklären anhand von Beispielen und Übungsaufgaben, wie du die Anzahl aller Möglichkeiten am besten berechnen kannst! Dabei behandeln wir sowohl Permutationen mit Wiederholung, als auch Permutationen ohne Wiederholung.

Tipp: Um diesen Artikel gut verstehen zu können, solltest du dich mit dem Allgemeinen Zählprinzip auskennen. Falls du hier noch Probleme hast oder dir unsicher bist, schau bei unserem Artikel zu diesem Thema vorbei!

Was ist eine Permutation?

Bei einer Permutation handelt es sich um ein Modell der Kombinatorik. Permutationen, Variationen und Kombinationen sind drei verschiedene Arten, aus einer Menge von n Objekten k Objekte auszuwählen oder sie anzuordnen. Da es das Hauptziel der Kombinatorik ist, die Anzahl der Möglichkeiten zu bestimmen, diese k Elemente unterschiedlich anzuordnen, musst du zuallererst feststellen, ob es sich bei dem vorliegenden Vorgang um eine Permutation handelt.

Permutationen haben die Eigenschaft, dass k = n zutrifft, also alle Objekte in der Menge ausgewählt werden und die Reihenfolge eine entscheidende Rolle spielt.

Wenn du nun identifiziert hast, dass es sich bei dem Vorgang in deiner Aufgabe um eine Permutation handelt, musst du dir als nächstes überlegen, ob eine Wiederholung vorliegt.

Wiederholung - Was ist das?

Ob ein kombinatorisches Modell wiederholt wird, oder nicht, lässt sich leicht erkennen! Denn wenn nach jeder Ausführung die Ergebnismenge gleich bleibt, also dieselbe Anzahl an Elementen zur Verfügung steht, wie vorher, handelt es sich um eine Wiederholung (der Ergebnismenge).

Beispiel

Aus einer Urne mit 5 Kugeln werden nacheinander 3 Kugeln gezogen. Nach jedem Ziehen wird die gezogene Kugel notiert und in die Urne zurückgelegt. Man kann also nach jedem Zug wieder aus den gleichen 5 Kugeln in der Urne auswählen. Es liegt eine Wiederholung vor!

Wenn dagegen die Kugeln nach jedem Ziehen beiseitegelegt werden, ist eine gezogene Kugel für alle darauffolgenden Züge „verbraucht“. Damit wird die Ergebnismenge mit jedem Mal Ziehen kleiner. Dann würde keine Wiederholung vorliegen.

Übrigens: Viele nennen ein Modell mit Wiederholung auch ein Modell „mit Zurücklegen“!

Permutation ohne Wiederholung

Um nun zu berechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt, n Elemente auf n verschiedene Plätze anzuordnen, ohne dass die Elemente nach dem Ziehen zurückgelegt werden, nutzen wir eine einfache Formel:

n · (n - 1) · (n - 2) · … · 1 = n!

Aber wie kommt man darauf?

Beispiel

Stell dir vor, du bist in einem Hotel und hinter der Rezeption hängt ein durchnummeriertes Schlüsselbrett. Nun gibt es genauso viele Schlüssel, wie es Haken für die Schlüssel gibt. Du fragst dich: In wie vielen unterschiedlichen Reihenfolgen könnte ich die Schlüssel den Haken zuordnen, wenn ich immer alle Schlüssel ans Brett hänge?

Versuchen wir mal, uns das Ganze vorzustellen. Wenn du die Schlüssel verteilen willst, musst du mit dem ersten Schlüssel anfangen. Wenn du den ans Brett hängen möchtest, kannst du dir einen der n Haken aussuchen, hast also n Möglichkeiten dafür. Der erste Schlüssel hängt. Nun nimmst du den nächsten Schlüssel zur Hand.

Du hast jetzt nur noch (n-1) Möglichkeiten, diesen Schlüssel ans Brett zu hängen, denn der erste Schlüssel besetzt ja bereits einen Haken. Wenn du nun diesen Schlüssel auch ans Brett hängst, geht es immer so weiter und du kannst jedem Schlüssel die Anzahl der Möglichkeiten ihn aufzuhängen zuordnen:

  • Schlüssel 3: (n-2)
  • Schlüssel 4: (n-3)
  • und so weiter…

Für den letzten Schlüssel kannst du keine Wahl mehr treffen, denn er kommt auf den letzten verfügbaren Haken und es gibt dafür genau 1 Möglichkeit.

Durch das allgemeine Zählprinzip wissen wir, dass sich die Anzahl der Möglichkeiten, alle Schlüssel am Brett anzuordnen aus dem Produkt der Möglichkeiten pro Schlüssel ergibt!

Mit diesem Wissen kannst du nun die Anzahl der einzelnen Möglichkeiten miteinander multiplizieren:

n · (n - 1) · (n - 2) · … · 1 = n!

Super! Schon weißt du, wie wir auf die obenstehende Formel gekommen sind! In der Praxis musst du natürlich nicht jedes Mal dieses Szenario durchgehen. Sobald du weißt, dass es sich um eine Permutation ohne Wiederholung handelt, berechnest du einfach die Fakultät von n. Fertig!

Permutation mit Wiederholung

Eine Permutation mit Wiederholung muss man sich so vorstellen: In einer Urne mit n Objekten kann es mehrere Objekte geben, die nicht voneinander unterscheidbar sind. Diese n Objekte gilt es nun unterschiedlich anzuordnen.

Eine nicht unterscheidbare Gruppe

Der einfachste Fall einer Permutation mit Wiederholung sieht so aus, dass sich von n Elementen alle unterscheiden, außer k identische Objekte. Die Formel hierfür lautet:

Aber was hat sich bei der Berechnung der Möglichkeiten im Vergleich zu Permutationen ohne Wiederholung verändert?

Der Unterschied besteht darin, dass innerhalb der Gruppe von identischen Objekten eine Vertauschung der Reihenfolge stattfinden könnte, ohne dass es bemerkbar wäre. Diese Vertauschungen zählen nicht als Möglichkeiten der unterschiedlichen Anordnung, denn es gibt ja keinen sichtbaren Unterschied zwischen den k identischen Objekten.

Aus diesem Grund reduziert sich die Anzahl der Möglichkeiten insgesamt um die Anzahl der Möglichkeiten, die identischen Objekte zu vertauschen. Diese Zahl lässt sich berechnen, indem man sich überlegt, auf wie viele verschiedenen Arten sich die k Objekte auf k Plätze anordnen lassen. Das wiederum ist nichts anderes als eine Permutation ohne Wiederholung!

Die Anzahl der „Vertauschungsmöglichkeiten“ berechnet sich also aus k! = k · (k-1) · … · 1. Damit diese Möglichkeiten nicht in die Gesamtanzahl der Möglichkeiten einfließen, musst du die Gesamtanzahl durch k! teilen. Die n Objekte zu verteilen geht nur noch auf n · (n-1) · … · (k+1) Arten.

Da das Ganze ein wenig komplex ist, schauen wir uns hierzu ein Rechenbeispiel an:

Rechenbeispiel

Stell dir vor, deine Familie besteht aus n = 6 Personen und jeder von euch hat seine eigene Frühstückstasse. Da du letztens 2 Tassen kaputt gemacht hast, die von deinem Bruder und dir, musstest du zwei neue kaufen. Das Problem: Du hast zwei identische Tassen gekauft und die sehen beide genauso aus, wie die von deinem Vater!

Deine Familie hat jetzt wieder n = 6 Tassen, von denen k = 3 komplett identisch aussehen. Wenn die Tassen alle unterscheidbar wären, könntest du die 6 Tassen auf n! = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 unterschiedliche Arten in deiner Familie verteilen. Da nun aber 3 Tassen identisch sind, würde es niemand bemerken, gäbest du z.B. die Tasse deines Vaters deinem Bruder.

Deshalb darfst du die Kombinationen, die keine sichtbare Veränderung für die Reihenfolge darstellen würden, also

k! = 3! = 3 · 2 · 1 = 6, nicht als Möglichkeiten der Anordnung betrachten und musst sie wieder aus der Anzahl der Gesamtmöglichkeiten „herausrechnen“. Das machst du, indem du n! durch k! teilst. In diesem Beispiel bedeutet das:

Die 6 Tassen erzeugen also 120 sichtbar verschiedene Reihenfolgen!

Mehrere in sich identische Gruppen

Ein klein wenig schwieriger wird es, wenn es nicht mehr nur eine Gruppe gibt, in der die Objekte identisch sind, sondern mehrere Gruppen. Am Beispiel der Tassen wäre das der Fall, wenn es anstatt 3 gleicher Tassen nun 2 unterscheidbare, 2 identische blaue und noch 2 identische rosafarbene Tassen gäbe.

Doch die Berechnung ist leichter als du denkst! Der einzige Unterschied zu oben ist, dass du jetzt nicht nur die Möglichkeiten der einen Gruppe herausrechnen musst, sondern auch die der übrigen. Das machst du, indem du die Möglichkeiten in Gruppe s mit denen der anderen Gruppen multiplizierst. Erst durch das Ergebnis wird dann die Gesamtanzahl der Möglichkeiten, n!, dividiert.

s = Anzahl der Gruppen

= Anzahl der Elemente in Gruppe s

= Anzahl der Möglichkeiten Elemente in Gruppe s anzuordnen

Übrigens: Du könntest die Tassen, die sich in „Ein-Objekt-Gruppen“ befinden auch wie weitere Gruppen behandeln! Da würde natürlich trotzdem dasselbe Ergebnis herauskommen. Denn die Anzahl der Möglichkeiten ein Objekt auf einem Platz anzuordnen beträgt 1 und .

Permutation - Alles Wichtige auf einen Blick

Eine Permutation ist ein Modell zur Verteilung von n Objekten auf n Plätze und berücksichtigt dabei die Reihenfolge der einzelnen Elemente. Permutationen können mit und ohne Wiederholung vorliegen. Mit Wiederholung gibt es eine oder mehrere Gruppen an jeweils nicht unterscheidbaren Objekten.

Nutze zur Bearbeitung deiner Aufgabe diese Liste, um garantiert zum richtigen Ergebnis zu kommen!

  • Handelt es sich bei meinem Vorgang um eine Permutation? Ja, wenn:
  1. k = n
  2. Reihenfolge ist wichtig!
  • Findet eine Wiederholung statt oder nicht?
  1. Nein: n!
  2. Ja, gibt es s Gruppen identischer Objekte?
    1. Nein, nur eine Gruppe:
    2. Ja:

Gar nicht so schwierig, oder? Diese Liste kannst du dir auch als Baumdiagramm aufzeichnen und bei Rechnungen danebenlegen!

Unsere Empfehlung

Falls es dir schwerfallen sollte, zu identifizieren, ob die Kriterien für eine bestimmte Art von Permutation erfüllt sind, versuche dir die Aufgaben bildlich vorzustellen und achte auf den genauen Wortlaut! Wir empfehlen dir, die Formeln für die unterschiedlichen Permutationen auswendig zu lernen, denn sie sind recht kurz und so kommst du schnell und unkompliziert zum Ziel. Außerdem werden diese Formeln häufig für die anderen Modelle der Kombinatorik benötigt!

Insider Tipp:

Wusstest du, dass es auf vielen Taschenrechnern, die in der Schule verwendet werden, eine Funktion speziell zum Berechnen der Fakultät gibt? Quäle dich nicht damit herum 20 · 19 · 18 · … auszuschreiben. Suche einfach nach einer Taste mit der Aufschrift „x!

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