Zufallsexperiment

In diesem Artikel erfährst du alles zum Thema Zufallsexperimente und woran du sie erkennst! Zufallsexperimente bilden einen wichtigen Grundstein für die Wahrscheinlichkeitsrechnung und gehören damit zum mathematischen Teilgebiet der Stochastik.

Definition von Zufallsexperimenten

Der Begriff „Zufallsexperiment“ setzt sich aus zwei Worten zusammen:

• Zufall: Aus einer Reihe möglicher Ereignisse tritt eines ein, ohne das plausibel begründet werden kann, warum ausgerechnet dieses eingetreten ist. Es lässt sich im Vornherein nicht sicher vorhersagen, welches der möglichen Ereignisse eintreten wird
• Experiment: eine methodische Untersuchung zur Gewinnung einer Erkenntnis

Damit es sich in der Mathematik bei einem Vorgang um ein Zufallsexperiment handelt, muss dieser Vorgang beliebig oft wiederholbar sein und mehrere zufällige Ausgangsmöglichkeiten besitzen.

Aber Achtung! Auch Vorgänge, die dir nicht wie „reine“ Zufälle vorkommen, können im Rahmen eines Zufallsexperiments untersucht werden. Genau genommen könnte man ja auch die Drehrichtung und -geschwindigkeit sowie die Ausgangsposition eines Würfels berechnen, um den Ausgang des Würfelwurfs vorherzusagen. Doch weil eine absolut perfekte Berechnung sehr kompliziert oder gar praktisch unmöglich wäre, betrachtet man einen Würfelwurf im Allgemeinen dennoch als Zufallsexperiment.

Auch Vorgänge, bei denen einige Ausgänge wahrscheinlicher sind oder wirken als andere, können dennoch Zufallsexperimente sein. Wenn ein Tennis-Profi gegen einen Hobby-Spieler antritt kann dennoch nie mit Sicherheit vorhergesagt werden, wer gewinnen wird. Somit handelt es sich auch im Sport meist um Zufallsexperimente.

Einstufige vs. Mehrstufige Zufallsexperimente

Zufallsexperimente werden grundsätzlich in einstufige und mehrstufige Zufallsexperimente unterteilt:

• Einstufig bedeutet, dass das Experiment genau einmal durchgeführt wird. Auf dieser einen Durchführung basieren alle nachfolgenden Berechnungen zur Wahrscheinlichkeit.Beispiel: Das einmalige Werfen einer Münze.
• Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten dagegen wird dasselbe Experiment mehrmals wiederholt oder es gibt innerhalb des Experiments mehrere Vorgänge. Bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit muss dann darauf geachtet werden, dass je nach Art des Zufallsexperiments ein vorangegangenes Ereignis das nächste beeinflussen und damit auch die Wahrscheinlichkeit verändern kann.Beispiel: Nacheinander werden 3 Kugeln aus einer Urne mit 5 unterscheidbaren Kugeln gezogen.

Ergebnisse und Ereignisse

Aber was sind überhaupt Ereignisse? Bei einem Zufallsexperiment muss es ja bekanntlich mehrere Ausgänge geben. Diese Ausgänge werden Ergebnisse genannt. Ergebnisse können nun unterschiedliche Dinge für das Experiment bedeuten. Beim Roulette gibt es für jemanden, der auf Rot setzt mehrere Fächer, in die die Kugel fallen kann, damit er gewinnt. Diese Fächer kann man nun zu dem Ereignis „Sieg“ zusammenfassen. Wenn die Kugel in einem Fach landet, das ein Element der Menge „Sieg“ darstellt, sagt man: „Das Ereignis ist eingetreten“.

• Ergebnisse: Jeder mögliche Ausgang eines Zufallsexperiments stellt ein Ergebnis dar. Die Menge aller möglichen Ergebnisse wird Ergebnisraum (oder Ergebnismenge) genannt und mit dem griechischen Buchstaben Ω (Omega) bezeichnet.Beispiel: Bei einem Würfel lautet die Ergebnismenge: Ω = {1,2,3,4,5,6}, bei einem Münzwurf lautet sie: Ω = {Kopf, Zahl}
• Ereignisse: Ein Ereignis stellt eine Teilmenge (oder Untermenge) des Ergebnisraums eines Zufallsexperiments (ZE) dar. Das heißt, anhand von bestimmten Merkmalen werden mehrere Ergebnisse eines ZEs gruppiert, sodass nach eintreten eines Ergebnisses klar erkennbar ist, ob das Ereignis eingetreten ist, oder nicht.Beispiel: Bei einem Würfelwurf könnte ein Ereignis lauten: „Die gewürfelte
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• Augenzahl ist ungerade“. Die Teilmenge A von Ω lautet somit: A = {1,3,5}. Ein weiteres Ereignis könnte lauten: „Die Augenzahl ist > 2“. Die Teilmenge B von Ω lautet somit: B = {3,4,5,6}

Weitere Definitionen:

• Die Menge aller Ereignisse heißt Ereignisraum
• Ereignisse, die nur durch ein einziges Ergebnis herbeigeführt werden können (z.B. „Augenzahl = 6“) nennt man Elementarereignis
• Ein Ereignis, das durch alle Ergebnisse in Ω eintritt, also A = Ω, nennt man das sichere Ereignis, da es auf jeden Fall eintreten wird
• Wenn die Teilmenge B leer ist, also kein Ergebnis enthält, liegt ein unmögliches Ereignis vor. Beispiel: Das Ereignis „Augenzahl über 6“ kann bei einem gewöhnlichen Würfel nicht eintreten.

Wenn du mehr darüber erfahren möchtest, wie man mit Ereignissen rechnen kann, schau dir doch mal unseren Artikel „Ereignisalgebra“ an!

Übungsaufgaben

Überlege dir zu diesen drei Situationen, ob es sich dabei um Zufallsexperimente handelt und wenn ja, ob es einstufig oder mehrstufig ist. Außerdem: Wodurch werden in den Situationen die Ergebnisse und wenn vorhanden Ereignisse dargestellt? Scrolle runter für die Lösung

1. Du spielst dreimal hintereinander „Schnick Schnack Schnuck“ mit deiner besten Freundin.
2. Ein Zug rollt auf eine Weggabelung zu, wobei auf einer Seite der Bahnhof und auf der anderen Seite eine Schlucht auf ihn wartet
3. Bei einem Darts Spiel tritt der Weltmeister, der in den letzten 5 Turnieren immer gewonnen hat gegen jemanden an, der noch nie Darts gespielt hat.

Lösungen

1. Da du nicht wissen kannst, ob deine Freundin Schere, Stein oder Papier wählt, ist es reiner Zufall, wie du dich entscheidest. Du hast mehrere Auswahlmöglichkeiten und ihr könntet beliebig oft 3x hintereinander spielen. Es handelt sich um ein Zufallsexperiment mit 3 Stufen. Ein Ergebnis wäre zum Beispiel das k-Tupel {Schere, Stein}. Ein Ereignis könnte lauten: „Es wurden das Gleiche gewählt“. Die Menge dieses Ereignisses sähe wie folgt aus: {(Schere, Schere), (Stein, Stein), (Papier, Papier)}
2. Bei Zuggleisen, die sich aufgabeln, gibt es immer eine Weiche. Wenn man davon ausgeht, dass die Weiche immer auf eines der beiden Gleise gerichtet ist und nicht dazwischen liegt, lässt sich eindeutig vorhersagen, dass der Zug in die Richtung fährt, auf die die Weiche gerichtet ist. Es gibt also nur eine Auswahlmöglichkeit, weshalb es sich nicht um ein Zufallsexperiment handelt.
3. Obwohl man mit vermutlich 99%-iger Wahrscheinlichkeit richtig läge zu behaupten, dass der Weltmeister gewinnen wird, kann es dennoch sein, dass dieser ausgerechnet an dem Tag Muskelkater hat oder der andere durch Zufall oder Talent besser wirft als der Weltmeister. Deshalb lässt sich auch der Ausgang eines solchen Experiments nicht mit absoluter Sicherheit vorhersagen und es handelt sich um ein Zufallsexperiment.Je nachdem was genau betrachtet wird, könnte man das Experiment als einstufig oder mehrstufig bezeichnen. Einstufig wäre es, wenn man nur Sieg oder Niederlage als Ergebnisse betrachten würde und genau 1x gespielt würde. Man könnte aber auch jeden einzelnen Wurf als Ergebnis betrachten sodass es mehrere Stufen innerhalb des Experiments gäbe.

Zufallsexperimente - Alles Wichtige auf einen Blick

Zufallsexperimente sind Vorgänge, bei denen es mehrere mögliche Ausgänge gibt, die vom Zufall beeinflusst werden. Die Experimente müssen außerdem beliebig oft wiederholbar sein. Die Ausgänge von Zufallsexperimenten werden Ergebnisse genannt. Mehrere Ergebnisse können zu Ereignissen gruppiert werden. Zufallsexperimente, bei denen mehrere Ereignisse hintereinander geschehen, werden als mehrstufig bezeichnet.

Wenn du dich fragst, ob es sich bei einem Vorgang um ein Zufallsexperiment handelt, geh diese Checkliste in Gedanken durch. Wenn die 3 Punkte zutreffen handelt es sich um ein Zufallsexperiment:

• mehrere mögliche Ereignisse
• kaum oder gar nicht vorhersehbarer Ausgang
• beliebig oft wiederholbar

Unsere Empfehlung

Versuche, immer strukturiert an komplizierte Aufgabenstellungen heranzugehen. Wenn du wie oben die einzelnen Bedingungen durchgehst, kannst du nicht so leicht von ablenkenden Informationen getäuscht werden. Außerdem: Es ist noch kein Meister vom Himmel gefallen! Je mehr Übung du bekommst, desto leichter wird es für dich sein, Experimente einzuordnen.

Insider Tipp:

Ein guter Weg sich Dinge zu merken ist es, sich Eselsbrücken zu bauen. In "Ereignis" zum Beispiel, findet sich das Wort „Ei“. Und ein Ei sieht aus wie ein schiefer Kreis. In einem solchen Kreis könnte man auch mehrere Objekte, zum Beispiel Ergebnisse zusammenfassen! Und schon verwechselst du Ergebnisse und Ereignisse nie wieder miteinander!