Was haben ein Würfel, ein Glücksrad und Spielkarten gemeinsam? Du kennst diese Gegenstände sicher aus dem Alltag, aber sind sie Dir ebenfalls schon in der Stochastik begegnet? Mit Würfeln, Spielkarten, Münzen und vielem mehr kannst Du unter bestimmten Bedingungen sogenannte Zufallsexperimente durchführen und das sogar von zu Hause aus.
Abbildung 1: Kärtchen mit Motive
Hast Du Lust, ein solches Experiment selbst durchzuführen und dabei auch noch etwas zu lernen? Nimm Dir sechs verschiedene Spielkarten zur Hand oder drucke Dir zum Beispiel die Kärtchen aus der Abbildung 1 aus und mache direkt mit!
Zufallsexperimente – Definition & Erklärung
Stell Dir vor, Du hast 6 gleich große Kärtchen mit verschiedenfarbigen Mustern auf der Vorderseite (blau, grün, rot, gelb, lila, grau).
Legst Du die Kärtchen verdeckt auf einen Tisch, so kannst Du von oben nicht erkennen, welches Motiv sich darunter befindet.
Möchtest Du jetzt eine beliebige Karte aufdecken (ohne zu schummeln), dann kannst Du nicht mit Sicherheit sagen, welches Motiv nach dem Umdrehen zum Vorschein kommt. Du führst also ein Experiment „Aufdecken einer beliebigen Karte“ durch.
Abbildung 2: Aufdecken einer beliebigen Karte
Welches der 6 farbigen Kärtchen aufgedeckt wird, ist demnach rein zufällig. So kann dies etwa die grüne Karte sein.
Verdeckst Du die offene Karte wieder, mischt alle 6 Karten und legst sie mit der Rückseite nach oben, so kannst Du das Experiment unter den gleichen Bedingungen wiederholen. Es lässt sich wieder nicht vorhersagen, welches Motiv aufgedeckt wird. Es kann wieder die grüne Karte sein, aber auch eine andere Farbe.
Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment, das unter genau festgelegten Bedingungen mit vorher bekannten unterschiedlichen Ausgängen beliebig oft wiederholbar ist und dessen Ergebnis zufällig ist.
Die Begriffe Zufallsversuch oder Zufallsvorgang stehen ebenfalls für ein Zufallsexperiment.
Musst Du bei einem Experiment überprüfen, ob es sich um ein Zufallsexperiment handelt, so kannst Du Dir folgende Fragen stellen, um die Merkmale zu überprüfen.
Zufallsexperimente – Merkmale und Bedingungen
- Gibt es festgelegte Bedingungen, wie das Experiment durchgeführt wird?
- Sind alle Ausgänge des Versuchs vor der Durchführung bekannt?
- Ist es theoretisch möglich, den Versuch beliebig oft zu wiederholen?
- Tritt das Ergebnis des Experiments rein zufällig ein?
Kannst Du alle Fragen mit „Ja“ beantworten, dann hast Du eindeutig ein Zufallsexperiment vor Dir liegen. Jetzt lässt sich der Zufallsversuch mathematisch beschreiben.
Zufallsexperimente – Ergebnismenge, Ereignis, Elementarereignis
Im Zufallsexperiment „Aufdecken einer beliebigen Karte“ mit den 6 verschiedenfarbigen Kärtchen gibt es 6 mögliche Ausgänge bzw. Ergebnisse des Experiments, nämlich jede der 6 Karten. Diese möglichen Ausgänge werden in der Ergebnismenge \(\Omega\) notiert.
Eine Ergebnismenge \(\Omega\) wäre hier zum Beispiel:
\begin{align}{\Omega = \{{\color{#1478C8}blau};\, {\color{#00DCB4}\text{grün}};\, {\color{#FA3273}rot};\, {\color{#FFCD00}gelb};\, {\color{#8363E2}lila};\, {\color{#5E7387}grau}} \} \end{align}
Diese einzelnen Elemente (hier Kärtchen) in der Ergebnismenge \(\Omega\) sind sogenannte Elementarereignisse \(\omega_i\). Zum Beispiel ist das Aufdecken einer blauen Karte ein Elementarereignis \(\omega_1=\{{\color{#1478C8}blau}\} \).
Bildest Du eine Teilmenge der Ergebnismenge, indem Du ein oder mehrere Elementarereignisse \(\omega_i\) zusammenfasst, so entspricht das einem Ereignis \(E\).
Ein Ereignis \(E\) wäre in diesem Zufallsexperiment etwa das Ziehen einer gelben, lila oder grauen Karte.
\begin{align}{E = \{{\color{#FFCD00}gelb};\, {\color{#8363E2}lila};\, {\color{#5E7387}grau}} \} \end{align}
Hier siehst Du alle Begriffe noch einmal am Beispiel der Kärtchen dargestellt.
Abbildung 3: Ergebnismenge, Elementarereignis und Ereignis
Enthält ein Ereignis \(E\) alle Elemente der Ergebnismenge \(\Omega\), so handelt es sich um ein sicheres Ereignis. Ein Ereignis \(E\) mit einer leeren Menge bezeichnet dagegen ein unmögliches Ereignis. Im Artikel Ereignis findest Du alle Informationen rund um das Thema.
Wie viele Elemente in der Ergebnismenge \(\Omega\) oder in der Teilmenge des Ergebnisses \(E\) enthalten sind, kann durch die Mächtigkeit beschrieben werden.
Die folgende Ergebnismenge \(\Omega\) aus dem obigen Beispiel enthält insgesamt 6 Elemente.
\begin{align}{\Omega = \{{\color{#1478C8}blau};\, {\color{#00DCB4}grün};\, {\color{#FA3273}rot};\, {\color{#FFCD00}gelb};\, {\color{#8363E2}lila};\, {\color{#5E7387}grau}} \} \end{align}
Demnach gilt für die Mächtigkeit \(|\Omega|\) der Ergebnismenge \(\Omega\):
\begin{align} {|\Omega| = 6} \end{align}
Mit der Ergebnismenge \(\Omega\) eines Zufallsexperiments kannst Du verschiedene Ereignisse \(E\) bilden. Diese lassen sich beispielsweise auch verknüpfen, indem die Mengenalgebra genutzt wird. Alle möglichen Ereignisse, die Du damit formen kannst, werden im sogenannten Ereignisraum oder Ereignisfeld zusammengefasst.
In den Artikeln Ereignis und Mengenalgebra kannst Du Dir Ereignisse und deren Verknüpfung noch genauer ansehen.
Du ziehst die Kärtchen in dem Zufallsexperiment zwar alle zufällig, aber Du kannst trotzdem voraussagen, mit welcher Wahrscheinlichkeit Du welche Karten ziehst.
Zufallsexperimente – Wahrscheinlichkeit
Stell Dir vor, Du legst erneut Kärtchen verdeckt auf den Tisch.
Dieses Mal aber nur 4 Kärtchen, wovon zwei blau sind, eine gelb und eine lila.
Abbildung 4: Kärtchen mit Motive
Deckst Du eine der vier Kärtchen auf, ist sie dann eher blau oder doch gelb oder lila? In den verdeckten Karten befinden sich zwei blaue und damit mehr als gelbe oder lila Kärtchen. Demnach ist es wahrscheinlicher, dass Du eine blaue Karte aufdeckst, als andere Farben.
Mathematisch lässt sich die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) angeben, wie wahrscheinlich ein Ereignis \(E\) eintritt. Zum Beispiel das Ereignis \(E\) „Ziehen einer blauen Karte“.
Die Grundlage für die exakte Berechnung der klassischen Wahrscheinlichkeit ist das sogenannte Laplace-Experiment.
Wie Du die Wahrscheinlichkeit bei Zufallsexperimenten angibst und zum Teil berechnest, kannst Du im Artikel Wahrscheinlichkeit nachlesen.
Was passiert denn eigentlich, wenn Du aus den 4 oder 6 verdeckten Kärtchen eine Karte aufdeckst und dann noch eine weitere Karte? Dann besteht Dein Zufallsexperiment aus mehreren Schritten, weshalb bei Zufallsexperimenten zwischen zwei Formen unterschieden wird.
Zufallsexperimente – einstufig und mehrstufig
Je nachdem, ob Du in Deinem Zufallsexperiment einen bestimmten Vorgang nur einmal ausführst oder sogar mehrfach, wird zwischen einstufigen und mehrstufigen Zufallsexperimenten unterschieden. Die nachfolgende Tabelle zeigt Dir dabei einen kurzen Überblick über beide Formen von Zufallsexperimenten.
Einstufiges Zufallsexperiment | Mehrstufiges Zufallsexperiment |
Bei einem einstufigen Zufallsexperiment enthält das Ergebnis genau ein Element, da der Vorgang einmalig durchgeführt wird. | Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment enthält das Ergebnis \(n\) Elemente (Tupeln), da sich diese aus dem mehrmaligen Durchführen einzelner Vorgänge zusammensetzen. |
Beispiele |
Einmaliger Wurf eines sechsseitigen Würfels | Zweimaliges Drehen eines Glücksrads |
 Abbildung 5: Beispiel Zufallsexperimente (einstufig und mehrstufig)
|
\begin{align}{\Omega = \{1;\, 2;\, 3;\, 4;\, 5;\, 6} \} \end{align} | \begin{align} \Omega = \{&(1,\,1); (1,\,2); (1,\,3); (1,\,4); \\[0.1cm] &(2,\,1);(2,\,2); (2,\,3); (2,\,4); \\[0.1cm] &(3,\,1); (3,\,2); (3,\,3); (3,\,4); \\[0.1cm] &(4,\,1);(4,\,2); (4,\,3); (4,\,4) \} \end{align} |
Bei einstufigen Zufallsexperimenten wird der Versuch genau einmal durchgeführt. Nach der Durchführung eines Würfelwurfs erhältst Du als Ergebnis ein Element der Ergebnismenge, zum Beispiel die Augenzahl drei.
Besteht Dein Zufallsexperiment aus mehreren Vorgängen, die hintereinander ausgeführt werden, so entspricht dies einem mehrstufigen Zufallsexperiment. Drehst Du ein Glücksrad zweimal nacheinander, so liefert das Zufallsexperiment als Ergebnis Tupeln, die aus \(n\) Elementen bestehen. Beispielsweise die Sektoren 2 und 3: \( (2,\,3)\).
Mehrstufige Zufallsexperimente lassen sich durch Baumdiagramme anschaulich darstellen. Mehr dazu findest Du in den Artikeln Baumdiagramm und mehrstufiges Zufallsexperiment.
In mehrstufigen Zufallsexperimenten können die einzelnen Vorgänge sowohl stochastisch unabhängig voneinander sein, als auch voneinander abhängen. Dies spielt für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) eine Rolle. Deckst Du beispielsweise eine von vier Karten auf, lässt diese offen liegen und deckst eine weitere Karte auf, so ändern sich die Wahrscheinlichkeiten für das Aufdecken der zweiten Karte.
In der Erklärung bedingte Wahrscheinlichkeit kannst Du alles rund um das Thema nachlesen.
Wusstest Du, dass Spielwürfel für zu Hause zum Teil gar nicht so „fair“ sind wie sie zunächst scheinen? In der Stochastik kannst Du vereinfachte Modelle nutzen, um reale Zufallsexperimente wie den Würfelwurf mathematisch zu beschreiben und zu berechnen.
Zufallsexperiment modellieren
Da ein sechsseitiger Würfel sechs gleich große Seiten besitzt, ist die Augenzahl drei genauso wahrscheinlich wie die Augenzahl fünf zu würfeln, oder? Theoretisch schon, aber in der Praxis können nur professionell hergestellte Spielwürfel annähernd diese idealen Bedingungen erfüllen. Jeder noch so kleine Fehler im Material oder bei der Bearbeitung kann dazu führen, dass die Würfel leicht gezinkt sind.
Trotzdem werden diese realen Bedingungen in vereinfachten Modellen vernachlässigt, um das Zufallsexperiment mathematisch beschreiben und berechnen zu können.
Ein Modell vereinfacht den realen Vorgang für Berechnungen, ohne wesentliche Bedingungen zu vernachlässigen.
Es wird also beispielsweise bei einem Würfelwurf eines sechsseitigen Würfels angenommen, dass weder eine Augenzahl bevorzugt geworfen wird, noch dass etwa der Würfel auf der Kante landet und damit keine Augenzahl oben liegt.
Zufallsexperimente können nicht nur vereinfacht werden, sie lassen sich auch anschaulich durch Urnenmodelle ersetzen und so einheitlich darstellen.
Zufallsexperimente – Urnenmodelle
Erinnerst Du Dich noch an die sechs farbigen Karten zu Beginn des Artikels? Dieses und auch andere Zufallsexperimente kannst Du anhand von Urnenmodellen darstellen. Und wie?
Stell Dir vor, Du hast statt der sechs Karten eine große Schale oder Urne vor Dir stehen und befüllst diese mit sechs gleich großen farbigen oder beispielsweise nummerierten Kugeln. Zum Beispiel lila, grün, gelb, rot, blau und grau.
Abbildung 6: Urne mit 6 farbigen Kugeln
Statt dem Aufdecken der Kärtchen ziehst Du nun blind eine Kugel aus der Schale. Auch in diesem Fall erhältst Du ein zufälliges Ergebnis, also eine beliebig farbige oder nummerierte Kugel. Die Karten wurden zwar durch Kugeln ersetzt, an der Ergebnismenge \(\Omega\) und an den Wahrscheinlichkeiten ändert sich jedoch nichts.
Urnenmodelle kannst Du daher auch zur Beschreibung von mehrstufigen Zufallsexperimenten nutzen. Dabei können verschiedene Modelle unterschieden werden, wie die nachfolgende Tabelle zeigt.
| Ziehen mit Zurücklegen | Ziehen ohne Zurücklegen |
| Beispiel Urne mit 3 Kugeln (lila, grün, gelb) |
 Abbildung 7: Urnenmodell mit und ohne Zurücklegen
|
Die gezogene Kugel wird nach jedem Zug zurückgelegt. Es sind demnach bei jedem Zug gleich viele Kugeln in der Urne. | Die gezogene Kugel wird nach jedem Zug nicht zurückgelegt. Es sind demnach bei jedem Zug weniger Kugeln in der Urne als zuvor. |
Je nachdem, ob die Reihenfolge der gezogenen Kugeln ebenfalls eine Rolle spielt oder nicht, kann noch einmal unterschieden werden in:
- Ziehen mit Zurücklegen
- mit Beachtung der Reihenfolge
- ohne Beachtung der Reihenfolge
- Ziehen ohne Zurücklegen
- mit Beachtung der Reihenfolge
- ohne Beachtung der Reihenfolge
Mithilfe der Kombinatorik lässt sich die Anzahl der Möglichkeiten (Mächtigkeit \(|\Omega|\) ) für die jeweiligen Fälle berechnen. Mehr dazu erfährst Du im Artikel Kombinatorik.
Zeit für ein paar kleine Übungsaufgaben!
Zufallsexperimente – Übungsaufgaben
Um zu überprüfen, ob es sich bei den vorliegenden Aufgaben um Zufallsexperimente handelt oder nicht, kannst Du Dir die Fragen zu den Merkmalen ins Gedächtnis rufen.
Aufgabe 1
In einer Schulklasse werden zum Schuljahresanfang die Mathe-Bücher an die Schüler*innen verteilt. Bei einigen Schulbüchern fehlen bereits Buchseiten, was jedoch von außen nicht zu erkennen ist.
a) Prüfe, ob es sich um ein Zufallsexperiment handelt, wenn aus einem Stapel von 5 Büchern ein beliebiges Buch ausgewählt und auf Vollständigkeit überprüft wird. Bei einem Buch aus dem Stapel fehlen Buchseiten.
b) Wähle und beschreibe ein geeignetes Urnenmodell, um das Experiment zu modellieren.
Lösung
a) Zunächst wird geprüft, ob es sich um ein Zufallsexperiment handelt. Das kannst Du anhand der Merkmal-Fragen überprüfen.
| Merkmal | Ja/Nein | Begründung |
| Ja | - Insgesamt 5 Bücher, 1 Buch fehlerhaft.
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| Ja | - Aus 5 Büchern wird 1 Buch gewählt.
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| Ja | - Beliebiges Buch wird ausgewählt. Von außen nicht erkennbar, welches Buch fehlerhaft ist.
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| Ja | - Bücher lassen sich einsammeln und erneut 1 Buch auswählen.
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b) Das Zufallsexperiment kann durch ein Urnenmodell beschrieben werden, bei dem sich etwa 5 gleich große, aber unterschiedlich farbige Kugeln befinden. So enthält diese Urne beispielsweise 4 lila Kugeln, die für die einwandfreien Bücher stehen. Eine weitere grüne Kugel modelliert das fehlerhafte Buch.
Abbildung 8: Beispielhaftes Urnenmodell zur Aufgabe
Auch hier treffen die Merkmale eines Zufallsexperiments zu. Die wesentlichen Bedingungen der Bücherverteilung werden modelliert.
In den zugehörigen Karteikarten findest Du noch weitere Übungsaufgaben, bei denen Du Dein Wissen zu Zufallsexperimenten überprüfen kannst!
Zufallsexperiment – Das Wichtigste
- Ein Zufallsexperiment (Zufallsvorgang, Zufallsversuch) ist ein Experiment, das
- unter genau festgelegten Bedingungen,
- mit vorher bekannten unterschiedlichen Ausgängen
- beliebig oft wiederholbar ist und
- dessen Ergebnis zufällig ist.
- Alle möglichen Ausgänge des Zufallsexperiments werden in der Ergebnismenge \(\Omega\) festgehalten, wobei ein einzelnes Element als Elementarereignis \(\omega_i\) bezeichnet wird.
- Das Zusammenfassen von einem oder mehreren Elementarereignissen \(\omega_i\) zu einer Teilmenge, stellt ein Ereignis \(E\) dar.
- Wie wahrscheinlich ein Ereignis \(E\) in einem Zufallsexperiment eintritt, kann durch die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) angegeben werden.
- Wird ein Vorgang in einem Experiment einmalig durchgeführt, handelt es sich um ein einstufiges Zufallsexperiment (Beispiel: einmaliges Würfeln eines Würfels).
- Das Durchführen mehrerer Vorgänge in einem Zufallsexperiment beschreibt ein mehrstufiges Zufallsexperiment.
- Mithilfe von Urnenmodelle (Kugeln in einer Urne) lassen sich Zufallsexperimente mathematisch modellieren, wobei zwischen „Ziehen mit Zurücklegen“ und „Ziehen ohne Zurücklegen“ unterschieden wird. Zudem ist zu hinterfragen, ob die Reihenfolge beachtetet werden muss oder nicht.
Nachweise
- Papula (2016). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3. Springer Vieweg Verlag.
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