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Zufallsexperiment

Zufallsexperiment

Damit gilt allgemein:

Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment, das unter genau festgelegten Bedingungen mit vorher bekannten unterschiedlichen Ausgängen beliebig oft wiederholbar ist und dessen Ergebnis zufällig ist.

Die Begriffe Zufallsversuch oder Zufallsvorgang stehen ebenfalls für ein Zufallsexperiment.

Wie viele Elemente in der Ergebnismenge \(\Omega\) oder in der Teilmenge des Ergebnisses \(E\) enthalten sind, kann durch die Mächtigkeit beschrieben werden.

Die folgende Ergebnismenge \(\Omega\) aus dem obigen Beispiel enthält insgesamt 6 Elemente.

\begin{align}{\Omega = \{{\color{#1478C8}blau};\, {\color{#00DCB4}grün};\, {\color{#FA3273}rot};\, {\color{#FFCD00}gelb};\, {\color{#8363E2}lila};\, {\color{#5E7387}grau}} \} \end{align}

Demnach gilt für die Mächtigkeit \(|\Omega|\) der Ergebnismenge \(\Omega\):

\begin{align} {|\Omega| = 6} \end{align}

Mit der Ergebnismenge \(\Omega\) eines Zufallsexperiments kannst Du verschiedene Ereignisse \(E\) bilden. Diese lassen sich beispielsweise auch verknüpfen, indem die Mengenalgebra genutzt wird. Alle möglichen Ereignisse, die Du damit formen kannst, werden im sogenannten Ereignisraum oder Ereignisfeld zusammengefasst.

In den Artikeln Ereignis und Mengenalgebra kannst Du Dir Ereignisse und deren Verknüpfung noch genauer ansehen.

Was passiert denn eigentlich, wenn Du aus den 4 oder 6 verdeckten Kärtchen eine Karte aufdeckst und dann noch eine weitere Karte? Dann besteht Dein Zufallsexperiment aus mehreren Schritten, weshalb bei Zufallsexperimenten zwischen zwei Formen unterschieden wird.

Zufallsexperimente – einstufig und mehrstufig

Wusstest Du, dass Spielwürfel für zu Hause zum Teil gar nicht so „fair“ sind wie sie zunächst scheinen? In der Stochastik kannst Du vereinfachte Modelle nutzen, um reale Zufallsexperimente wie den Würfelwurf mathematisch zu beschreiben und zu berechnen.

Zufallsexperiment modellieren

Da ein sechsseitiger Würfel sechs gleich große Seiten besitzt, ist die Augenzahl drei genauso wahrscheinlich wie die Augenzahl fünf zu würfeln, oder? Theoretisch schon, aber in der Praxis können nur professionell hergestellte Spielwürfel annähernd diese idealen Bedingungen erfüllen. Jeder noch so kleine Fehler im Material oder bei der Bearbeitung kann dazu führen, dass die Würfel leicht gezinkt sind.

Zufallsexperiment – Das Wichtigste

  • Ein Zufallsexperiment (Zufallsvorgang, Zufallsversuch) ist ein Experiment, das
    • unter genau festgelegten Bedingungen,
    • mit vorher bekannten unterschiedlichen Ausgängen
    • beliebig oft wiederholbar ist und
    • dessen Ergebnis zufällig ist.
  • Alle möglichen Ausgänge des Zufallsexperiments werden in der Ergebnismenge \(\Omega\) festgehalten, wobei ein einzelnes Element als Elementarereignis \(\omega_i\) bezeichnet wird.
  • Das Zusammenfassen von einem oder mehreren Elementarereignissen \(\omega_i\) zu einer Teilmenge, stellt ein Ereignis \(E\) dar.
  • Wie wahrscheinlich ein Ereignis \(E\) in einem Zufallsexperiment eintritt, kann durch die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) angegeben werden.
  • Wird ein Vorgang in einem Experiment einmalig durchgeführt, handelt es sich um ein einstufiges Zufallsexperiment (Beispiel: einmaliges Würfeln eines Würfels).
  • Das Durchführen mehrerer Vorgänge in einem Zufallsexperiment beschreibt ein mehrstufiges Zufallsexperiment.
  • Mithilfe von Urnenmodelle (Kugeln in einer Urne) lassen sich Zufallsexperimente mathematisch modellieren, wobei zwischen „Ziehen mit Zurücklegen“ und „Ziehen ohne Zurücklegen“ unterschieden wird. Zudem ist zu hinterfragen, ob die Reihenfolge beachtetet werden muss oder nicht.

Nachweise

  1. Papula (2016). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3. Springer Vieweg Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Zufallsexperiment

Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment, das unter festgelegten Bedingungen durchgeführt wird und dessen Ergebnis rein zufällig ist. Die möglichen Ergebnisse des Experiments sind vorher bekannt. So kann das Zufallsexperiment, zumindest theoretisch, beliebig oft wiederholt werden.

Das Werfen eines sechsseitigen, nicht manipulierten Würfels ist ein Beispiel für ein Zufallsexperiment. Vor dem Wurf kann nicht vorausgesagt werden, welche Augenzahl (1 - 6) gewürfelt wird. Das Ergebnis des Experiments ist demnach zufällig.

Ist das Ergebnis eines Experiments beispielsweise schon vor der Durchführung bekannt, so tritt das Ergebnis nicht mehr zufällig ein. Das Experiment ist demnach kein Zufallsexperiment.

Alle möglichen zufälligen Ausgänge (Ergebnisse) eines Zufallsexperiments sind in der Ergebnismenge Ω zusammengefasst. Eine Teilmenge dieser Ergebnismenge wird als Ereignis E bezeichnet. Über die Wahrscheinlichkeit P(E) lassen sich Aussagen darüber treffen, wie wahrscheinlich das Ereignis eintritt.

Finales Zufallsexperiment Quiz

Frage

Wähle aus den folgenden Aussagen zutreffende Merkmale für Zufallsexperimente aus.

Antwort anzeigen

Antwort

Das Ergebnis des Experiments tritt zufällig ein.

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Frage

Ergänze die Lücken durch passende Begriffe.


Experimente, die unter .......................... Bedingungen durchgeführt werden und

dessen .................. zufällig eintritt, werden als ..................................... bezeichnet. Da alle

 möglichen ......................... vorher ......................... sind, kann das Experiment theoretisch

 beliebig oft ............................... werden.

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Antwort

Lösungsvorschlag:


Experimente, die unter festgelegten Bedingungen durchgeführt werden und dessen Ergebnis zufällig eintritt, werden als Zufallsexperimente bezeichnet. Da alle möglichen Ausgänge/Ergebnisse vorher bekannt sind, kann das Experiment theoretisch beliebig oft wiederholt werden.

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Frage

Gib an, was ein einstufiges Zufallsexperiment von einem mehrstufigen Zufallsexperiment unterscheidet.

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Antwort

Bei einem einstufigen Zufallsexperiment wird ein Vorgang einmalig durchgeführt, wie beispielsweise das einmalige Werfen eines Würfels. Das Ergebnis des Experiments ist genau ein Element (hier: Augenzahl des Würfels).


Werden mehrere Vorgänge hintereinander durchgeführt, so entspricht dies einem mehrstufigen Zufallsexperiment. Als Ergebnis des Experiments ergeben sich zusammengesetzte Elemente, sogenannte Tupeln. Wird ein Würfel zweimal geworfen, so ergibt sich als Ergebnis etwa die Augenzahl 3 und die Augenzahl 4. 

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Frage

Die Mächtigkeit \(|\Omega|\) gibt ...

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Antwort

... die Anzahl der Elemente im Ergebnisraum an.

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Frage

Eine Münze wird zweimalig geworfen, wobei jeweils entweder „Zahl“ oder „Kopf“ als Ergebnis möglich ist.

Gib eine passende Ergebnismenge \(\Omega\) für das Zufallsexperiment an.

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Antwort

\(\Omega = \{KK; KZ; ZK; ZZ\} \)

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Frage

Entscheide, bei welchen Experimenten es sich um Zufallsexperimente handelt.

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Antwort

Ziehen eines Loses.

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Frage

In einem Zufallsexperiment wird ein sechsseitiger, nicht manipulierter Würfel verwendet. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) ermittelt werden, mit der das Ereignis \(E\) Würfeln einer geraden Zahl“ eintritt.


Nenne die Elemente, die dem Ereignis \(E\) entsprechen.

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Antwort

Bei einem sechsseitigen Würfel können die Zahlen 1 bis 6 gewürfelt werden. In diesem Fall wird die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) für das Würfeln einer geraden Zahl ermittelt. Nur die Augenzahlen 2, 4 und 6 treffen auf dieses Ereignis zu. Demnach gilt:


\begin{align}E=\{2;\, 4;\, 6\}\end{align}

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Frage

Überprüfe folgende Aussage eines Klassenkameraden oder einer Klassenkameradin auf ihre Korrektheit.


„Bei einem Würfelwurf mit einem sechsseitigen Würfel (Zahlen 1 - 6) stellt das Würfeln der Augenzahl 7 ein unmögliches Ereignis dar.“

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Antwort

Handelt es sich bei dem Würfelwurf um ein einstufiges Zufallsexperiment (einmaliges Würfeln), so ist die Aussage korrekt. Auf dem Würfel gibt es nur die Augenzahlen 1 bis 6. Es kann also keine 7 gewürfelt werden.


Wird im Zufallsexperiment aber beispielsweise das zweimalige Würfeln betrachtet (mehrstufig) und die Augenzahlen zusammengezählt, so ist die Aussage nicht korrekt. Die Augenzahl 7 kann sich etwa aus den Zahlen 3 und 4 oder 5 und 2 zusammensetzen.

Frage anzeigen

Frage

Das dreimalige Werfen einer Münze liefert insgesamt 8 mögliche Ergebnisse, zum Beispiel \(\{ZZK\}\) oder \(\{KZK\}\).


Gib eine Teilmenge an, die das Ereignis \(E\) „Mindestens zweimal Zahl“ beschreibt.

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Antwort

Für die Teilmenge müssen alle Ergebnisse ermittelt werden, die mindestens zweimal Zahl beinhalten. Insgesamt gibt es folgende 8 Möglichkeiten:


\begin{align} \Omega = \{ ZZZ;\, ZZK;\, ZKZ;\, ZKK;\, KZZ;\, KZK;\, KKZ;\, KKK\} \end{align}


Von diesen möglichen Ergebnissen enthalten 4 Ergebnisse mindestens zweimal Zahl und es gilt:


\begin{align} E = \{ ZZZ;\, ZZK;\, ZKZ;\, KZZ\} \end{align}

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Frage

In einem Zufallsexperiment mit 4 verschiedenen Spielkarten \( (♠, ♦, ♣, ♥) \) wird zunächst eine Karte aufgedeckt, das Symbol notiert und wieder umgedreht. Danach wird erneut eine Karte offengelegt und das Symbol notiert.


Zeige, dass das Zufallsexperiment 16 mögliche Ergebnisse liefern kann. 

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Antwort

Das zweistufige Zufallsexperiment behandelt das Aufdecken aus jeweils 4 Karten \( (♠, ♦, ♣, ♥) \). Nach dem ersten Zug wird die aufgedeckte Karte wieder umgedreht. Es ist daher ein Zufallsexperiment mit Zurücklegen. Somit ergibt sich folgende Ergebnismenge \(\Omega\):


\begin{align} \Omega = \{ &(♠,\,♠); (♠,\,♦); (♠,\,♣); (♠,\,♥); \\[0.1cm]
&(♦,\,♠); (♦,\,♦); (♦,\,♣); (♦,\,♥); \\[0.1cm]
&(♣,\,♠); (♣,\,♦); (♣,\,♣); (♣,\,♥); \\[0.1cm]
&(♥,\,♠); (♥,\,♦); (♥,\,♣); (♥,\,♥) \} \end{align}


Die Mächtigkeit \(|\Omega|\) ist hier \(|\Omega|=16\).

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