Sarah möchte über das Wochenende in die Berge fahren und schaut sich den Wetterbericht an. Am Samstag liegt die Regenwahrscheinlichkeit bei 30 %, am Sonntag bei 50 %. Wie wahrscheinlich ist es, dass es an mindestens einem der Tage regnet?
Um das berechnen zu können, benötigst du den Additionssatz. Wie dieser hergeleitet und bewiesen wird, erfährst du hier.
Additionssatz – Einfach Erklärung
Hier lernst du, wie du den Additionssatz mithilfe einer Vierfeldertafel herleitest und wie du ihn beweist.
Herleitung mit der Vierfeldertafel
Du kannst eine Vierfeldertafel erstellen, um herauszufinden, wie wahrscheinlich es ist, dass es an mindestens einem der beiden Tage regnet.
Mit einer Vierfeldertafel können die Zusammenhänge zwischen 2 Ereignissen und deren Ausprägungen untersucht werden. Die Vierfeldertafel ist ein wichtiges Instrument zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit.
Zuerst werden die Bezeichnungen für die Ereignisse definiert:
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Um nun auszurechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass es am Samstag oder Sonntag regnet, benötigst du die Wahrscheinlichkeit für alle Felder, außer :
Dafür ergibt sich Folgendes in der Vierfeldertafel.
Abbildung 1: Vierfeldertafel zur Herleitung des Additionssatzes
Da bei dieser Rechnung P(S∩R) doppelt vorhanden ist, musst du es nur einmal abziehen. Demnach sieht deine Formel wie folgt aus:
Damit hast du die Formel für den Additionssatz.
Der Additionssatz besagt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass von zwei Ereignissen mindestens eines eintritt, gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten abzüglich der Schnittmenge dieser Ereignisse ist.
Vorsicht! Verwechsle "mindestens ein Ereignis tritt ein" nicht mit "entweder A oder B tritt ein". Denn dabei dürfen beide Ereignisse nicht gleichzeitig eintreten! Die Schreibweise für "entweder A oder B" ist ebenfalls eine andere:
Hinweis: Ähnlich wie bei Punkt vor Strich bindet das Schnittmengenzeichen ∩ stärker als das Vereinigungszeichen ∪. Klammern sind also nicht nötig.
Additionssatz – Beweis
Ob die Rechnung zu dem Wochenende stimmt, kannst du beweisen, indem du die drei Felder, die in der Vierfeldertafel markiert sind, einfach manuell zusammenrechnest. Genauer gesagt rechnest du alle Ereignisse zusammen, in denen entweder Regen oder Samstag vorkommt, also alle außer :
Es kommt dasselbe raus, also richtig! Damit hast du gleichzeitig auch bewiesen, dass der Additionssatz stimmt.
Wahrscheinlichkeit mit der Binomialverteilung berechnen
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es an genau einem Tag regnet? Das kannst du mit der Binomialverteilung berechnen. Die allgemeine Formel lautet:
Wie die Binomialverteilung genau funktioniert, kannst du im entsprechenden Artikel nachlesen.
Additionssatz für 3 Ereignisse
Kannst du diese Formel auch für 3 Ereignisse anwenden?
Sarah leidet von Zeit zu Zeit unter Migräne. Die Wahrscheinlichkeit für einen Migräneanfall liegt bei 20 %.
Wie wahrscheinlich ist es, dass es an mindestens einem Tag regnet oder Sarah Migräne hat?
Eine Vierfeldertafel hilft hier leider nicht mehr weiter, weil du es jetzt nicht mehr mit 2, sondern mit 3 Ereignissen zu tun hast. Es würden also 9 Felder entstehen. Sinnvoller ist ein Venn-Diagramm.
Venn-Diagramme dienen dazu, alle möglichen logischen Zusammenhänge zwischen zwei Mengen darzustellen. Dazu werden die einzelnen Mengen z. B. als Kreise dargestellt. Venn-Diagramme werden immer so gezeichnet, dass es eine Überlappung zwischen allen Mengen gibt, auch wenn sich in den Überlappungen keine Elemente befinden.
Zeichne dir ein Venn-Diagramm mit den Elementen S, R und M (für Migräne). Die Kreise müssen einander so überlappen, dass sie in der Mitte eine gemeinsame Menge haben.
Abbildung 2: Das Venn-Diagramm
Du kannst wieder ganz einfach beginnen, indem du die Wahrscheinlichkeiten von M, R und S addierst:
Ein Blick auf das Venn-Diagramm zeigt dir, dass du die Schnittmengen aus jeweils zwei Elementen immer doppelt hast und somit einmal abziehen musst:
Bisher ist das nichts Ungewöhnliches. Aber Achtung! Wie oft hast du die Schnittmenge aus allen drei Elementen (in der Mitte) addiert und wieder abgezogen?
Du hast sie 3-mal addiert und auch 3-mal wieder abgezogen, das heißt, die Schnittmenge fehlt jetzt und du musst sie ergänzen:
Mit dieser Formel kannst du nun die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass mindestens 1 von 3 Ereignissen eintritt. Du weißt schon, dass
- Sarah zu 20 % an Migräne erkrankt,
- die totale Wahrscheinlichkeit für Regen (für beide Tage, siehe Vierfeldertafel) bei 40 % liegt
- und die Wahrscheinlichkeit für einen der beiden Tage bei 50 % ist.
Wie du gemeinsame Wahrscheinlichkeiten bildest, sollte dir schon von der 1. Pfadregel oder dem Produktsatz bekannt sein. Kurz gesagt, multiplizierst du einfach die betreffenden Wahrscheinlichkeiten miteinander.
Somit tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 76 % der Fall ein, dass Sarah an mindestens einem Tag Migräne hat oder es regnet.
Da gerade in Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeiten der Produktsatz genannt wurde, gibt es hier eine kurze Erklärung dazu.
Wahrscheinlichkeit mit dem Produktsatz berechnen
Der Produktsatz sagt aus, dass zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines mehrstufigen Zufallsexperiments die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse multipliziert werden müssen.
Wenn du es mit bedingten Wahrscheinlichkeiten zu tun hast, ändert sich die Formel geringfügig, der Rechenweg ist jedoch derselbe.
Möchtest du wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit es Samstag ist und regnet, dann multiplizierst du die Wahrscheinlichkeit für Samstag mit der bedingten Wahrscheinlichkeit, dass es am Samstag regnet:
Damit weißt du, dass es zu 15 % Samstag ist und regnet.
Additionssatz – Aufgaben
Hier findest du einige Aufgaben, um das Gelernte zum Additionssatz zu üben.
Aufgabe 1
Gegeben sind folgende Wahrscheinlichkeiten:
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 der 3 Ereignisse eintritt.
Lösung
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass mindestens 1 der 3 Ereignisse eintritt, musst du die gegebenen Wahrscheinlichkeiten in den Additionssatz einsetzen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 Ereignis eintritt, liegt bei ca. 88 %.
Aufgabe 2
Du wirfst einen fairen Würfel mit 6 Seiten. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl oder eine Zahl kleiner gleich 3 zu würfeln? Erstelle dazu eine Vierfeldertafel.
Ein fairer Würfel, ist ein Würfel, bei dem jede Augenzahl mit derselben Wahrscheinlichkeit eintritt. Er ist also nicht manipuliert beziehungsweise gezinkt.
Lösung
Aus dieser Aufgabe kannst du dir 2 Ereignisse definieren:
P(G) = {gerade Zahl} = {2, 4, 6}
P(K) = {Zahl kleiner gleich 3} = {1, 2, 3}
Die Vierfeldertafel dazu sieht so aus:
Jetzt kannst du die Wahrscheinlichkeiten aus deiner Vierfeldertafel in die Formel für den Additionssatz einsetzen.
Die Wahrscheinlichkeit beträgt .
Aufgabe 3
Gibt es noch einen anderen Weg, um Aufgabe 1 ohne den Additionssatz zu lösen?
Lösung
Ja, sogar 2.
- Du kannst die einzelnen Felder der Vierfeldertafel addieren, damit kommst du auf dasselbe Ergebnis.
- Du kannst dir aufschreiben, welche Augenzahlen in der Ergebnismenge von beiden Ereignissen liegen. In diesem Fall kommen alle Augenzahlen vor, bis auf die 5. Das heißt, in 5 von 6 Fällen kommt mindestens 1 der Ereignisse vor. Die Wahrscheinlichkeit beträgt also.
Additionssatz - Das Wichtigste
- Der Additionssatz ist eine einfache Formel, um zu berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit mindestens 1 Ereignis eintritt:
- Der Additionssatz kann auch für drei oder mehr Elemente verwendet werden.
- Eine Vierfeldertafel ist dir eine gute Hilfe, um Wahrscheinlichkeiten zu sortieren und dir einen Überblick zu verschaffen.
- Bei drei oder mehr Elementen empfiehlt es sich, ein Venn-Diagramm zu verwenden.
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