Spannweite

Q: Wie berechnest Du die Differenz zwischen Minimum und Maximum?

Die Differenz zwischen dem Minimum xmin und dem Maximum xmax, also die Spannweite R, berechnest Du mithilfe einer Formel, in die Du das Minimum und das Maximum einsetzt.R=xmax-xmin

Algebra

Analysis

Geometrie

Stochastik

INHALTSANGABE :

INHALTSANGABE

Stell Dir vor, Du bist \(14\) Jahre alt und Dein bester Freund ist \(16\). Dann habt ihr einen Altersunterschied von \(2\) Jahren. Dieser Altersunterschied kann als Spannweite angesehen werden. Was genau die Spannweite in der Statistik ist, ihre Definition sowie die Berechnung und der Zusammenhang zwischen der Spannweite und dem Boxplot wird Dir in dieser Erklärung vorgestellt.

Spannweite – Statistik Definition

Die Spannweite ist ein Streuungsmaß der deskriptiven Statistik.

Eine Spannweite gibt die Differenz zwischen dem kleinsten und größten Messwert einer Datenreihe an.

Hierbei kann es auch Ausreißer geben, die die eigentliche Spannweite verfälschen. Mehr dazu weiter unten im Kapitel Interpretation.

Andere Streuungsmaße sind etwa die „Varianz“ und die „Standardabweichung“.

Spannweite – berechnen: Minimum Maximum Spannweite

Für die Berechnung der Spannweite eines Datensatzes benötigst Du eine Formel.

Formel zur Berechnung der Spannweite \(R\) eines Datensatzes:

\[R=x_{max}-x_{min}\]

mit: größter Datenwert \(x_{max}\) und kleinster Datenwert \(x_{min}\)

Wenn Du die Spannweite eines Datensatzes bestimmen möchtest, kannst Du Dich an diesen Schritten orientieren:

Ordne die Daten anhand ihrer Größe vom kleinsten Wert in einer Tabelle bis zum größten Wert. Dadurch erhältst Du einen groben Überblick über den Datensatz.
Bestimme den kleinsten Wert \(x_{min}\) und den größten Wert \(x_{max}\).
Danach setzt Du die Werte in die Formel zur Berechnung der Spannweite \(R\) ein und berechnest diese.

Die Spannweite hat immer genau die gleiche Einheit, wie der Datensatz. Sind etwa alle Werte in der Längeneinheit \([km]\) angegeben, so trägt die Spannweite auch die Einheit \([km]\).

Hier siehst Du ein Beispiel.

Beispiel 1

Betrachte Deine ganze Familie und notiere jeweils das Alter. Für eine Datenreihe werden beispielhaft folgende Werte verwendet:

Oma: \(78\) Jahre
Vater: \(49\) Jahre
Mama: \(44\) Jahre
Schwester: \(2\) Jahre
Opa: \(83\) Jahre
Du: \(15\) Jahre
Bruder: \(20\) Jahre

Nun musst Du die Spannweite \(R\) dieses Datensatzes berechnen.

Lösung

Zuerst erstellst Du eine Tabelle und ordnest die Datensätze von \(x_{min}\) bis \(x_{max}\).

Person	Schwester	Du	Bruder	Mama	Papa	Oma	Opa
Alter (in Jahren)	\(2\)	\(15\)	\(20\)	\(44\)	\(49\)	\(78\)	\(83\)

Das Minimum \(x_{min}\) ist das Alter der Schwester, die \(2\) Jahre alt ist und am ältesten ist der Opa, der \(83\) ist. Also ist das Alter des Opas das Maximum \(x_{max}\).

\[x_{min}=2 \hspace{1cm} x_{max}=83\]

Jetzt setzt Du beide Werte in die Formel ein.

\begin{align}R&=x_{max}-x_{min} \\[0.1cm]R&=83-2=81\end{align}

Die Spannweite \(R\) liegt bei \(R=81\) Jahren zwischen der kleinen Schwester und dem Opa.

Was kannst Du nun die Spannweite in der Statistik interpretieren?

Spannweite Statistik Interpretation

Mit der Spannweite lassen sich Aussagen zur Streuung auslesen und interpretieren. Dazu ein kleines Beispiel, um diesen Sachverhalt zu verdeutlichen.

Beispiel 2

An einem Schießstand werden drei Zielscheiben und die getroffenen Werte verglichen. Die drei Datensätze zeigen die jeweilige getroffene Punktzahl in sortierter Reihenfolge.

Getroffene Punktezahl
Zielscheibe \(1\)	\(8\)	\(9\)	\(9\)	\(9\)	\(10\)	\(10\)
Zielscheibe \(2\)	\(5\)	\(8\)	\(9\)	\(9\)	\(10\)	\(10\)
Zielscheibe \(3\)	\(5\)	\(5\)	\(7\)	\(7\)	\(8\)	\(10\)

Für alle drei Zielscheiben soll nun die Spannweite ermittelt werden.

\begin{align}R_1&=10-8=2\\[0.1cm]R_2&=10-5=5\\[0.1cm]R_3&=10-5=5\end{align}

Bei Zielscheibe \(1\) ist die Spannweite mit \(R_1=2\) relativ klein, die einzelnen Werte liegen auch nah beieinander.

Die Zielscheibe \(2\) und Zielscheibe \(3\) liefern exakt dieselbe Spannweite mit \(R=5\), jedoch kann anhand der Spannweite selbst nicht auf die getroffenen Werte geschlossen werden.

In der Zielscheibe \(2\) sind fast alle Werte nah beieinander, jedoch gibt es einen Ausreißer, der die Spannweite verfälscht.

Die Punktezahl bei der Zielscheibe \(3\) ist sehr weit gestreut, liefert jedoch dieselbe Spannweite wie bei der Zielscheibe \(2\).

Das Beispiel zeigt:

Wenn eine Spannweite sehr groß ist, dann kann die Streuung auch sehr groß sein oder Ausreißer verfälschen die Spannweite.
Wenn eine Spannweite klein ist, dann ist die Streuung der Werte ebenfalls klein. Die einzelnen Werte liegen nahe beieinander.

Bei der Spannweite werden also nur Randwerte betrachtet, die keine Rückschlüsse auf die dazwischenliegenden Werte lassen.

Die Spannweite findest Du übrigens auch in einem sogenannten Boxplot wider. Sieh Dir dazu die folgende Vertiefung an.

Spannweite – Boxplot

Bei einem Boxplot gibt es ebenfalls eine Spannweite zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Wert.

Die Antennen (Whisker) werden am Rand durch den Minimalwert und den Maximalwert begrenzt.

Auch hier kannst Du wieder das Alter der Familienmitglieder verwenden, was bereits in einem Beispiel gezeigt wurde.

Alter

\(2\)

\(15\)

\(20\)

\(44\)

\(49\)

\(78\)

\(83\)

Pink = Minimal- und Maximalwert

Türkis = Median

Blau = \(1.\) und \(3.\) Quartil

Spannweite Boxplot StudySmarter Abb. 2 - Boxplot.

Mehr zu dieser Diagrammart findest Du in der Erklärung „Boxplot“.

Hier hast Du noch einmal alles Wichtige auf einen Blick.

Spannweite – Das Wichtigste

Eine Spannweite gibt die Differenz zwischen dem kleinsten und größten Messwert einer Datenreihe an.
Die Spannweite \(R\) ist ein Streuungsmaß der deskriptiven Statistik.
Formel zur Berechnung der Spannweite \(R\)eines Datensatzes:
\[R=x_{max}-x_{min}\]
Zum Berechnen der Spannweite sortierst Du zuerst die den Datensatz von kleinstem Wert bis hin zum größten Wert in Deiner Tabelle. Dann bestimmst Du \(x_{min}\) und \(x_{max}\) und setzt diese in die Formel zur Berechnung ein und erhältst Deine Spannweite.
In einem Boxplot lässt sich die Spannweite ebenfalls veranschaulichen.

Nachweise

Engelhardt(2013): https://www.crashkurs-statistik.de/boxplots/#:~:text=Am%20Boxplot%20kann%20man%20auch%20zwei%20Streuungsma%C3%9Fe%20ablesen%3A,definiert%20wurde%2C%20ist%20genau%20die%20Breite%20der%20Box.(Zugriff am 28.10.2022)
Unbekannt(unbekannt):https://de.statista.com/statistik/lexikon/definition/125/spannweite/. (zugriff am 28.10.2022)

Häufig gestellte Fragen zum Thema Spannweite

Die Spannweite R entspricht der Differenz zwischen dem größten und kleinsten Wert eines Datensatzes.

Die Differenz zwischen dem Minimum x_minund dem Maximum x_max, also die Spannweite R, berechnest Du mithilfe einer Formel, in die Du das Minimum und das Maximum einsetzt.

R=x_max-x_min

Auf die Spannweite R kommst Du, in dem Du das Minimum des Datensatzes von dem Maximum abziehst.

R=x_max-x_min

Finales Spannweite Quiz

Frage

Nenne, was die Spannweite ist.

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Antwort

Streuungsmaß

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Frage

Nenne alternative Bezeichnungen für die Spannweite.

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Antwort

Variationsbreite oder range

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Frage

Nenne, wie die Spannweite mathematisch ausgedrückt wird.

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Antwort

\(R\)

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Frage

Erkläre, was die Spannweite angibt.

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Antwort

Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem kleinsten und größten Messwert einer Datenreihe.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Formel für die Spannweite.

Antwort anzeigen

Antwort

\[R=x_{max}-x_{min}\]

Frage anzeigen

Frage

Welches Skalenniveau ist Voraussetzung für die Spannweite?

Antwort anzeigen

Antwort

Ordinalskalenniveau, besser aber metrisches Skalenniveau, um die Spannweite als Zahl angeben zu können

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Frage

Nenne die Schritte zur Berechnung der Spannweite!

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Antwort

Ordne die Daten anhand ihrer Größe vom kleinsten bis zum größten Wert in einer Tabelle.
Ermittle \(x_{min}\) und \(x_{max}\).
Berechne die Spannweite mit dieser Formel: \(R=x_{max}-x_{min}\).

Frage anzeigen

Frage

Nenne Vorteile der Spannweite als Streuungsmaß.

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Antwort

einfache Berechnung
einfaches Verständnis

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Frage

Nenne die Nachteile der Aussagekraft der Spannweite.

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Antwort

geringer Informationsgehalt
berücksichtigt nur Extremwerte
nicht robust gegenüber Ausreißern

Frage anzeigen

Frage

Nenne zwei weitere Streuungsmaße neben der Spannweite.

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Antwort

Varianz
Standardabweichung

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Frage

Berechne die Spannweite dieses Datensatzes:

\(26, 15, 22, 88, 77, 53, 36\)

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Antwort

\[R=x_{max}-x_{min}=88-15=73\]

Die Spannweite beträgt \(73\) Einheiten.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Formel zur Berechnung der Spannweite.

Antwort anzeigen

Antwort

\[R=x_{max}-x_{min}\]

Frage anzeigen

Frage

Begründe, ob für die Spannweite im Normalfall als einziges Streuungsmaß reicht.

Antwort anzeigen

Antwort

Nein!

Die Spannweite als einziges Streuungsmaß einer Verteilung hat eine zu geringe Aussagekraft.

Um die Streuung einer Verteilung gut wiedergeben zu können, solltest du weitere Streuungsmaße wie die Varianz oder die Standardabweichung berücksichtigen.

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Spannweite dieses Datensatzes!

\(15,\,17,\, 21,\, 22,\, 23,\, 25,\, 29,\, 31,\, 35,\, 40,\, 47\)

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Antwort

\begin{align}R&=x_{max}-x_{min}\\[0.1cm]
R&=47-15=32\end{align}

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Frage

Erläutere die Aussage:

„Die Spannweite ist nicht robust gegenüber Ausreißern.“

Antwort anzeigen

Antwort

Die Spannweite wird berechnet, indem die Differenz zwischen Maximum und Minimum der Daten gebildet wird. Wenn der Datensatz einen Ausreißer enthält - also einen Wert, der im Vergleich zu den anderen Werten sehr klein oder sehr groß ist - wird die Spannweite deshalb verzerrt.

Frage anzeigen

Frage

Nenne, welchen Wert \(x_{min}\) hat. Es gilt: \(x_{max}=100\) und \(R=70\).

Antwort anzeigen

Antwort

\begin{align} R&=x_{max}-x_{min} \\[0.2cm] 70&=100-x_{min}\,|-100\\[0.2cm] -30&=-x_{min}\,|:(-1) \\[0.2cm] 30&=x_{min}\end{align}

Der Wert ist \(x_{min}=30\).

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Frage

Erkläre die Spannweite.

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Antwort

Eine Spannweite gibt die Dostanz zwischen dem kleinsten und größten Messwert einer Datenreihe an. Sie ist ein Mittel der deskriptiven Statistik.

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Frage

Heute Nacht wurden verschiedene Messwerte der Temperatur aufgenommen.

\[12\,°C,\,4\,°C,\,1\,°C,\,10\,°C,\,8\,°C,\,9\,°C\]

Ermittle die Spannweite \(R\).

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Antwort

Du kannst die Werte zunächst der Größe nach sortieren, oder direkt die Minimal- und Maximalwerte bestimmen.

\begin{align} x_{min}&=1\,°C \\[0.2cm] x_{max}&=12\,°C\end{align}

Nach dem Einsetzen in die Formel ergibt sich:

\[R=12\,°C-1\,°C=11\,°C\]

Die Spannweite beträgt \(R=11\,°C\).

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