Spannweite

Spannweite Erklärung

Die Spannweite ist ein Streuungsmaß der deskriptiven Statistik. Da sie im Englischen als "range" bezeichnet wird, wird sie mit einem R abgekürzt. Im Deutschen wird sie auch Variationsbreite genannt.

Die Spannweite gibt den Abstand zwischen dem kleinsten und größten Messwert einer Datenreihe an. Um sie zu berechnen, bildest du die Differenz zwischen Maximalwert und Minimalwert. Die Spannweite hat deshalb die gleiche Maßeinheit wie die ihr zugrundeliegenden Messwerte.

Die Formel für die Spannweite sieht so aus:

Um die Spannweite einer Verteilung angeben zu können, muss mindestens Ordinalskalenniveau gegeben sein. Auf Ordinalskalenniveau ist die Angabe der Spannweite jedoch nur verbal möglich.

Erst bei metrischem Skalenniveau der Messwerte ist die Subtraktion der Extremwerte und damit die numerische Angabe der Spannweite möglich.

Ein großes Problem der Spannweite ist, dass sie nicht robust gegenüber Ausreißern ist. Das heißt, dass sie von extremen Werten - sowohl am unteren als auch am oberen Skalenende - stark verzerrt werden kann. Dadurch verliert die Spannweite an Informationsgehalt. Wenn in einer Verteilung Ausreißer vorliegen, sollte deshalb auf ein anderes Streuungsmaß wie die Varianz oder die Standardabweichung zurückgegriffen werden.

Spannweite berechnen

Nachdem du nun die theoretischen Grundlagen für die Berechnung der Spannweite kennengelernt hast, erfährst du in diesem Abschnitt, wie man die Spannweite in der Praxis berechnet.

Spannweite berechnen - Vorgehensweise

Wenn du die Spannweite eines Datensatzes bestimmen möchtest, kannst du dich an diesen Schritten orientieren:

1. Ordne die Daten anhand ihrer Größe vom kleinsten Wert bis zum größten Wert. Dadurch erhältst du einen groben Überblick über den Datensatz.

   Bei sehr großen Datensätzen ist das Ordnen der Datenreihe ziemlich aufwendig. Wenn du nur die Spannweite ermitteln willst und keine weiteren Informationen aus den Werten gewinnen möchtest, kannst du diesen Schritt auch überspringen.

2. Bestimme den kleinsten Wert () und den größten Wert ().

3. Nutze diese Formel, um die Spannweite zu er

   mitteln:

4. Und schon bist du fertig!

Spannweite berechnen - Beispiel 1

Nimm an, du hast diesen Datensatz vorliegen: 3, 2, 11, 19, 7, 5, 14, 18, 12, 4

Jetzt kannst du ganz einfach die Spannweite berechnen, indem du dich an die oben erläuterten Schritte hältst:

1. Ordnung der Datenreihe nach Größe: 2, 3, 4, 5, 7, 11, 12, 14, 18, 19
2. Bestimmung der Extremwerte:
3. Berechnung der Spannweite:

Die Spannweite beträgt 17.

So einfach funktioniert die Berechnung der Spannweite!

Spannweite berechnen - Beispiel 2

Nimm an, du hast fast den gleichen Datensatz vorliegen. Es wurde nur eine weitere Beobachtung aufgenommen: 3, 2, 11, 19, 7, 5, 14, 18, 12,4, 100

Die Spannweite für den leicht veränderten Datensatz berechnest du so:

1. Ordnung der Datenreihe nach Größe: 2, 3, 4, 5, 7, 11, 12, 14, 18, 19, 100
2. Bestimmung der Extremwerte:
3. Berechnung der Spannweite:

Die Spannweite beträgt 98.

Du siehst, was für einen großen Effekt Ausreißer in der Datenreihe auf die Spannweite haben.

Spannweite in Excel berechnen

Die Spannweite kannst du auch mithilfe von Excel berechnen.

Dir liegt erneut der Datensatz vor, den du schon aus Beispiel 1 kennst: 3, 2, 11, 19, 7, 5, 14, 18, 12, 4

Wenn du die Daten in Excel eingegeben hast, sieht die Datei zum Beispiel so aus:

Um nun direkt in Excel die Spannweite zu berechnen, verwendest du diese Formel: =MAX( : ) - MIN( : )

In die freien Felder der Formel fügst du ein, aus welchen Zellen die Spannweite berechnet werden soll.

Im Beispiel berechnen wir die Spannweite der Werte der Zellen B4 bis K4. In der Excel-Datei sieht das dann so aus:

Die Spannweite beträgt 17.

Spannweite - Problematik und Lösung

In Beispiel 2 hast du gesehen, wie die Spannweite von Ausreißern im Datensatz beeinflusst wird. Das liegt daran, dass sie ausschließlich von den Extremwerten der Verteilung abhängt. Im Folgenden erfährst du Genaueres zur Problematik der Spannweite und lernst mögliche Lösungsansätze kennen.

Spannweite - Problematik

Die Spannweite soll als Streuungsmaß darüber informieren, wie breit die Streuung einer Verteilung ist.

Wenn du die Verteilungen aus Beispiel 1 und 2 vergleichst, merkst du, dass sie sich bis auf einen Wert nicht unterscheiden. Die Spannweiten 17 und 98 allerdings weichen ziemlich stark voneinander ab.

Die Problematik der Spannweite liegt also darin, dass sich alleine auf ihrer Grundlage nur vage Rückschlüsse auf die Streuung der Verteilung schließen lassen. Das gilt besonders dann, wenn die Verteilung Ausreißer beinhaltet.

Spannweite - Lösung der Problematik

Die Problematik kann gelöst werden, indem die Spannweite nicht als einziger Parameter für die Streuung der Verteilung betrachtet wird.

Eine Möglichkeit ist es, zusätzlich den Quartilsabstand zu berechnen. Dieser ist robust gegenüber Ausreißern, da er den Bereich angibt, in dem die mittleren 50% der Verteilung liegen.

Der Quartilsabstand wird berechnet, indem man die Differenz zwischen oberem Angelpunkt () und unterem Angelpunkt () bildet:

Schau dir nochmal diese Datenreihe an: 2, 3, 4, 5, 7, 11, 12, 14, 18, 19, 100

Der Median ist der Wert, der genau in der Mitte liegt. Er beträgt 11. Damit teilt er den Datensatz in zwei gleich große Hälften.

Wenn du nun den Median der unteren und oberen Datenhälfte ermittelst, erhältst du für und :

Damit gilt für den Quartilsabstand: $IQA=Q_3-Q_1=18-4=14$

Auch die zusätzliche Verwendung anderer Streuungsmaße wie der Varianz oder der Standardabweichung kann dabei helfen, die Streuung der Verteilung genauer zu beschreiben.

Spannweite - Vor- und Nachteile

Die Verwendung der Spannweite als Streuungsmaß hat sowohl Vor- als auch Nachteile. Details zu den Vor- und Nachteilen erhältst du in diesem Abschnitt.

Vorteile

Die Berechnung der Spannweite ist im Vergleich zur Ermittlung anderer Streuungsmaße relativ einfach. Außerdem ist das Konzept der Spannweite leicht zu verstehen: Die Spannweite gibt die Breite des Bereichs an, in dem alle Werte der Verteilung liegen.

Nachteile

Dadurch, dass bei der Bestimmung der Spannweite nur die beiden Extremwerte betrachtet werden, ist der Informationsgehalt der Spannweite im Vergleich zu anderen Streuungsmaßen eher gering.

Ein weiterer Nachteil der Spannweite ist ihre fehlende Robustheit gegenüber Ausreißern. Die Spannweite wird schnell durch extreme Werte der Verteilung verzerrt.

Fazit

Die Spannweite als einziges Streuungsmaß einer Verteilung zu verwenden ist - besonders wenn die Verteilung Ausreißer beinhaltet - weniger sinnvoll. Um eine gute Aussage über die Streuung einer Verteilung treffen zu können, solltest du weitere Streuungsmaße wie die Varianz, die Standardabweichung oder den Quartilsabstand berücksichtigen.

Spannweite - das Wichtigste auf einen Blick!

In diesem Artikel hast du eine Menge zum Thema Spannweite gelernt. Super!

Hier findest du eine Zusammenfassung der Punkte, die du dir unbedingt merken solltest:

• Die Spannweite ist ein Streuungsmaß der deskriptiven Statistik.
• Die Spannweite gibt den Abstand zwischen dem größten und kleinsten Messwert einer Datenreihe an: $R=x_{max}-x_{min}$
• Vorteile: leichte Berechnung, leichtes Verstehen
• Nachteile: geringe Aussagekraft, fehlende Robustheit gegenüber Ausreißern

Merke: Die Spannweite als einziges Streuungsmaß einer Verteilung hat eine zu geringe Aussagekraft.

Um die Streuung einer Verteilung gut wiedergeben zu können, solltest du weitere Streuungsmaße wie die Varianz oder die Standardabweichung berücksichtigen.