Spannweite

Stell Dir vor, Du bist \(14\) Jahre alt und Dein bester Freund ist \(16\). Dann habt ihr einen Altersunterschied von \(2\) Jahren. Dieser Altersunterschied kann als Spannweite angesehen werden. Was genau die Spannweite in der Statistik ist, ihre Definition sowie die Berechnung und der Zusammenhang zwischen der Spannweite und dem Boxplot wird Dir in dieser Erklärung vorgestellt.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Spannweite – Statistik Definition

    Die Spannweite ist ein Streuungsmaß der deskriptiven Statistik.

    Eine Spannweite gibt die Differenz zwischen dem kleinsten und größten Messwert einer Datenreihe an.

    Hierbei kann es auch Ausreißer geben, die die eigentliche Spannweite verfälschen. Mehr dazu weiter unten im Kapitel Interpretation.

    Andere Streuungsmaße sind etwa die „Varianz“ und die „Standardabweichung“.

    Spannweite – berechnen: Minimum Maximum Spannweite

    Für die Berechnung der Spannweite eines Datensatzes benötigst Du eine Formel.

    Formel zur Berechnung der Spannweite \(R\) eines Datensatzes:

    \[R=x_{max}-x_{min}\]

    mit: größter Datenwert \(x_{max}\) und kleinster Datenwert \(x_{min}\)

    Wenn Du die Spannweite eines Datensatzes bestimmen möchtest, kannst Du Dich an diesen Schritten orientieren:

    1. Ordne die Daten anhand ihrer Größe vom kleinsten Wert in einer Tabelle bis zum größten Wert. Dadurch erhältst Du einen groben Überblick über den Datensatz.

    2. Bestimme den kleinsten Wert \(x_{min}\) und den größten Wert \(x_{max}\).

    3. Danach setzt Du die Werte in die Formel zur Berechnung der Spannweite \(R\) ein und berechnest diese.

    Die Spannweite hat immer genau die gleiche Einheit, wie der Datensatz. Sind etwa alle Werte in der Längeneinheit \([km]\) angegeben, so trägt die Spannweite auch die Einheit \([km]\).

    Hier siehst Du ein Beispiel.

    Beispiel 1

    Betrachte Deine ganze Familie und notiere jeweils das Alter. Für eine Datenreihe werden beispielhaft folgende Werte verwendet:

    • Oma: \(78\) Jahre
    • Vater: \(49\) Jahre
    • Mama: \(44\) Jahre
    • Schwester: \(2\) Jahre
    • Opa: \(83\) Jahre
    • Du: \(15\) Jahre
    • Bruder: \(20\) Jahre

    Nun musst Du die Spannweite \(R\) dieses Datensatzes berechnen.

    Lösung

    Zuerst erstellst Du eine Tabelle und ordnest die Datensätze von \(x_{min}\) bis \(x_{max}\).

    PersonSchwesterDuBruderMamaPapaOmaOpa
    Alter (in Jahren)\(2\)\(15\)\(20\)\(44\)\(49\)\(78\)\(83\)

    Das Minimum \(x_{min}\) ist das Alter der Schwester, die \(2\) Jahre alt ist und am ältesten ist der Opa, der \(83\) ist. Also ist das Alter des Opas das Maximum \(x_{max}\).

    \[x_{min}=2 \hspace{1cm} x_{max}=83\]

    Jetzt setzt Du beide Werte in die Formel ein.

    \begin{align}R&=x_{max}-x_{min} \\[0.1cm]R&=83-2=81\end{align}

    Die Spannweite \(R\) liegt bei \(R=81\) Jahren zwischen der kleinen Schwester und dem Opa.

    Was kannst Du nun die Spannweite in der Statistik interpretieren?

    Spannweite Statistik Interpretation

    Mit der Spannweite lassen sich Aussagen zur Streuung auslesen und interpretieren. Dazu ein kleines Beispiel, um diesen Sachverhalt zu verdeutlichen.

    Beispiel 2

    An einem Schießstand werden drei Zielscheiben und die getroffenen Werte verglichen. Die drei Datensätze zeigen die jeweilige getroffene Punktzahl in sortierter Reihenfolge.

    Getroffene Punktezahl
    Zielscheibe \(1\)\(8\)\(9\)\(9\)\(9\)\(10\)\(10\)
    Zielscheibe \(2\)\(5\)\(8\)\(9\)\(9\)\(10\)\(10\)
    Zielscheibe \(3\)\(5\)\(5\)\(7\)\(7\)\(8\)\(10\)

    Für alle drei Zielscheiben soll nun die Spannweite ermittelt werden.

    \begin{align}R_1&=10-8=2\\[0.1cm]R_2&=10-5=5\\[0.1cm]R_3&=10-5=5\end{align}

    Bei Zielscheibe \(1\) ist die Spannweite mit \(R_1=2\) relativ klein, die einzelnen Werte liegen auch nah beieinander.

    Die Zielscheibe \(2\) und Zielscheibe \(3\) liefern exakt dieselbe Spannweite mit \(R=5\), jedoch kann anhand der Spannweite selbst nicht auf die getroffenen Werte geschlossen werden.

    In der Zielscheibe \(2\) sind fast alle Werte nah beieinander, jedoch gibt es einen Ausreißer, der die Spannweite verfälscht.

    Die Punktezahl bei der Zielscheibe \(3\) ist sehr weit gestreut, liefert jedoch dieselbe Spannweite wie bei der Zielscheibe \(2\).

    Das Beispiel zeigt:

    • Wenn eine Spannweite sehr groß ist, dann kann die Streuung auch sehr groß sein oder Ausreißer verfälschen die Spannweite.
    • Wenn eine Spannweite klein ist, dann ist die Streuung der Werte ebenfalls klein. Die einzelnen Werte liegen nahe beieinander.

    Bei der Spannweite werden also nur Randwerte betrachtet, die keine Rückschlüsse auf die dazwischenliegenden Werte lassen.

    Die Spannweite findest Du übrigens auch in einem sogenannten Boxplot wider. Sieh Dir dazu die folgende Vertiefung an.

    Spannweite – Boxplot

    Bei einem Boxplot gibt es ebenfalls eine Spannweite zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Wert.

    Die Antennen (Whisker) werden am Rand durch den Minimalwert und den Maximalwert begrenzt.

    Auch hier kannst Du wieder das Alter der Familienmitglieder verwenden, was bereits in einem Beispiel gezeigt wurde.


    Alter\(2\)\(15\)\(20\)\(44\)\(49\)\(78\)\(83\)

    Pink = Minimal- und Maximalwert

    Türkis = Median

    Blau = \(1.\) und \(3.\) Quartil

    Spannweite Boxplot StudySmarterAbb. 2 - Boxplot.

    Mehr zu dieser Diagrammart findest Du in der Erklärung „Boxplot“.

    Hier hast Du noch einmal alles Wichtige auf einen Blick.

    Spannweite – Das Wichtigste

    • Eine Spannweite gibt die Differenz zwischen dem kleinsten und größten Messwert einer Datenreihe an.
    • Die Spannweite \(R\) ist ein Streuungsmaß der deskriptiven Statistik.
    • Formel zur Berechnung der Spannweite \(R\)eines Datensatzes:

      \[R=x_{max}-x_{min}\]

    • Zum Berechnen der Spannweite sortierst Du zuerst die den Datensatz von kleinstem Wert bis hin zum größten Wert in Deiner Tabelle. Dann bestimmst Du \(x_{min}\) und \(x_{max}\) und setzt diese in die Formel zur Berechnung ein und erhältst Deine Spannweite.

    • In einem Boxplot lässt sich die Spannweite ebenfalls veranschaulichen.

    Nachweise

    1. Engelhardt(2013): https://www.crashkurs-statistik.de/boxplots/#:~:text=Am%20Boxplot%20kann%20man%20auch%20zwei%20Streuungsma%C3%9Fe%20ablesen%3A,definiert%20wurde%2C%20ist%20genau%20die%20Breite%20der%20Box.(Zugriff am 28.10.2022)
    2. Unbekannt(unbekannt):https://de.statista.com/statistik/lexikon/definition/125/spannweite/. (zugriff am 28.10.2022)
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Spannweite

    Was sagt einem die Spannweite?

    Die Spannweite R entspricht der Differenz zwischen dem größten und kleinsten Wert eines Datensatzes.

    Wie berechnest Du die Differenz zwischen Minimum und Maximum?

    Die Differenz zwischen dem Minimum xmin und dem Maximum xmax, also die Spannweite R, berechnest Du mithilfe einer Formel, in die Du das Minimum und das Maximum einsetzt.

    R=xmax-xmin

    Wie kommst Du auf die Spannweite?

    Auf die Spannweite R kommst Du, in dem Du das Minimum des Datensatzes von dem Maximum abziehst.

    R=xmax-xmin

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