Hypothesentest

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Eine Vermutung über die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses heißt Hypothese über diese Wahrscheinlichkeit. Der Hypothesentest dient zur Entscheidung, inwieweit eine Hypothese wahr oder falsch ist.

Fehler beim Testen

Die Bevölkerung eines Staates z.B. kann Merkmale besitzen, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht genau bekannt ist, über die man aber Vermutungen besitzt.  Du kannst aber durch Erhebung einer Stichprobe aus der Gesamtheit entscheiden, welche dieser Vermutungen am zutreffendsten ist. Gefährlich ist aber, dass ein solches Verfahren zum Prüfen von Hypothesen auch falsch sein kann. Im Folgenden untersuchen wir das Risiko solcher Fehleinschätzungen für verschiedene Verfahren zum Testen von Hypothesen.


Das Ergebnis einer Stichprobe ist zufallsbedingt. Die Entscheidung zugunsten von H0 oder gegen H0 hängt vom Zufall ab. 


Du unterscheidest vier Fälle:



Entscheidung für H0

Entscheidung gegen H0

 ist richtig

Richtige Entscheidung

Falsche Entscheidung

Fehler 1.Art

 ist falsch

Falsche Entscheidung

Fehler 2.Art

Richtige Entscheidung



Es gibt zwei Möglichkeiten einer falschen Entscheidung:


Fehler 1. Art: Man entscheidet sich gegen , obwohl  zutrifft.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, einen Fehler 1. Art zu begehen, bezeichnet man als Irrtumswahrscheinlichkeit .


Fehler 2. Art: Man entscheidet sich für , obwohl  nicht zutrifft.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, einen Fehler 2. Art zu begehen, bezeichnet man auch als Irrtumswahrscheinlichkeit .


Testarten

Es gibt drei relevante Testarten: 


  1. Linksseitiger Test

    Du gehst von einer bekannten Wahrscheinlichkeit von mindestens  aus  und hast die Vermutung, dass p kleiner ist als . Du richtest dich nach den Werten, die links vom Erwartungswert liegen, da kleine Werte gegen die Nullhypothese sprechen.

  2. Rechtsseitiger Test

    Du gehst von einer bekannten Wahrscheinlichkeit von höchstens  aus  und hast die Vermutung, dass p größer ist als . Du richtest dich nach den Werten, die rechts vom Erwartungswert liegen, da große Werte gegen die Nullhypothese sprechen.

  3. Alternativtest:

    Du gehst von einer bekannten Wahrscheinlichkeit von  aus und hast die Vermutung, dass p einen anderen Wert als hat .
    Wenn , dann rechnest du nach dem rechtsseitigen Test.
    Wenn , dann rechnest du nach dem linksseitigen Test.


Linksseitiger Test

Kenngrößen beim linksseitigen Test


Zufallsgröße

X: Anzahl der Treffer ist binomialverteilt 

Aufstellen der Hypothesen

Die Nullhypothese  beschreibt den momentanen Zustand.



Die Gegenhypothese  formuliert eine Vermutung und widerspricht der Nullhypothese.



Entscheidung

Verwerfungsbereich von : V = (0, ..., k)


Annahmebereich von :      A = (k + 1, ..., n)


Fehlerwahrscheinlichkeiten

Fehler 1.Art                               

 


Fehler 2. Art



Bei der Berechnung des Fehler 2.Art rechnest du mit der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit, die in der Aufgabe angegeben sein muss.


Beispiel


Die Hersteller eines Kartendecks behaupten, dass mindestens jede fünfte Karte ihrer Karten ein Ass ist. Du hast den Verdacht, dass diese Wahrscheinlichkeit nicht stimmen kann. Du schaust dir ein Deck mit 30 zufälligen Karten an und beschließt die Hersteller zu kontaktieren, wenn höchstens drei Asse dabei sind. 


  1. Entwickle einen Signifikanztest.
  2. Berechne den Fehler 1.Art.
  3. Berechne den Fehler 2.Art, wenn tatsächlich eine Wahrscheinlichkeit von 15% besteht


Lösung

Wir führen den Hypothesentest nach dem Muster durch:


  1. Zufallsgröße X
    X: Anzahl der Asse
    Ist binomialverteilt mit n = 30 und p = 0,2

  2. Aufstellen der Hypothesen
    : p ≥ 0,2
    : p < 0,2

  3. Entscheidungsregel
    V = {0, …, 3}
    A = {4, …, 30}

  4. Fehlerwahrscheinlichkeiten



Rechtsseitiger Test

Kenngrößen beim rechtsseitigen Test


Zufallsgröße

X: Anzahl der Treffer

Ist binomialverteilt mit n und


Aufstellen der Hypothesen

Die Nullhypothese  beschreibt den momentanen Zustand.



Die Gegenhypothese  formuliert eine Vermutung und widerspricht der Nullhypothese.



Entscheidung

Verwerfungsbereich von : V = {k, …, n}


Annahmebereich von :      A = {0, …, k - 1}


Fehlerwahrscheinlichkeiten

Fehler 1.Art:



Fehler 2.Art



Bei der Berechnung des Fehler 2.Art rechnest du mit der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit, die in der Aufgabe angegeben sein muss.



Beispiel


Für eine leckere Lasagne, die du vorbereiten möchtest, kaufst du Karotten auf dem Markt. Die Verkäuferin behauptet, dass von ihren gelieferten Karotten höchstens 10% verdorben sind. Du möchtest diese Behauptung durch einen Test überprüfen. Du akzeptierst die Behauptung, wenn von 50 Karotten weniger als 8 schlechte gefunden werden.


  1. Entwickle einen Signifikanztest.
  2. Berechne den Fehler 1.Art.
  3. Berechne den Fehler 2.Art, wenn tatsächlich eine 20% der Karotten verdorben sind.


Lösung


Wir führen den Hypothesentest nach dem Muster durch:


  1. Zufallsgröße X
    X: Anzahl der schlechten Karotten
    ist binomialverteilt mit n = 50 und p = 0,1

  2. Aufstellen der Hypothesen
    : p < 0,1
    : p > 0,1

  3. Entscheidungsregel
    V = {8, …, 50}
    A = {0, …, 7}

  4. Fehlerwahrscheinlichkeiten


Der Alternativtest

Kenngrößen beim Alternativtest 


Zufallsgröße

X: Anzahl der Treffer

ist binomialverteilt mit n und


Aufstellen der Hypothesen

Die Nullhypothese  beschreibt den momentanen Zustand.



Die Gegenhypothese  formuliert eine Vermutung und widerspricht der Nullhypothese.



Entscheidung, falls

Verwerfungsbereich von : V = {0, …, k}


Annahmebereich von :      A = {k + 1, …, n}


Entscheidung, falls

Verwerfungsbereich von : V = {k, …, n}


Annahmebereich von :      A = {0, …, k - 1}

Fehlerwahrscheinlichkeiten, falls

Fehler 1.Art                               

 


Fehler 2. Art



Bei der Berechnung des Fehlers 2.Art rechnest du mit der Wahrscheinlichkeit der Gegenhypothese.


Fehlerwahrscheinlichkeiten, falls

Fehler 1.Art:



Fehler 2.Art



Bei der Berechnung des Fehlers 2.Art rechnest du mit der Wahrscheinlichkeit der Gegenhypothese.




 Bestimmen der kritischen Zahl k

  • In der Aufgabe ist die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit oder das Signifikanzniveau bereits angegeben – meistens 5%, 10% oder auch 1%
  • Du suchst also nach der kritischen Zahl k
  • Du findest k entweder durch Ausprobieren (Zahlen für k einsetzen)


oder


  • Du erstellst eine Liste auf dem Taschenrechner


Beim linksseitigen Test

Beispiel


Auf der Kirmes gibt es ein Losespiel. Der Verkäufer behauptet, dass mindestens jedes fünfte Los gewinnt. Du hast den Verdacht, dass dies gelogen ist und zählst unbemerkt bei 100 Losen die Anzahl der Gewinne.

Bestimme die kritische Zahl k so, dass der Schüler den Verkäufer bei einem Signifikanzniveau von 5% als Betrüger darstellen kann.


Lösung


  1. Zufallsgröße X
    X: Anzahl der Gewinnlose
    ist binomialverteilt mit n = 100 und p = 0,2

  2. Aufstellen der Hypothesen



  3. Entscheidungsregel
    V = {0, …, k}
    A = {k + 1, …, 100}

  4. Fehlerwahrscheinlichkeiten
    Fehler 1. Art:


k bestimmen durch Ausprobieren oder mithilfe des Taschenrechners


Du erstellst mit Hilfe des Taschenrechners eine Liste.


Du beginnst links vom Erwartungswert E(X) = n x p = 100 x 0,2 = 20.


Nun kannst du die kritische Zahl ablesen:

                    k = 19


Somit gilt: A = {20, …,100} und V = {0, …, 19}


Werden höchstens 19 Gewinnlose gezogen, ist der Verkäufer ein Betrüger.


Beim rechtsseitigen Test

Beispiel


Bei einem Losespiel auf einer Kirmes wird versprochen, dass höchstens 30% der Lose Nieten sind. Du vermutest jedoch, dass die falsch ist und der Anteil der Nieten höher ist. Du kaufst 100 Lose und erhältst 37 Nieten.

Überlege nun, ob dieses Ergebnis erlaubt, die Aussage, dass es nur 30% Nieten sind, zu verwerfen, wenn das Signifikanzniveau nur 5% betragen soll.


Lösung


  1. Zufallsgröße X
    X: Anzahl der Gewinnlose
    ist binomialverteilt mit n = 100 und p = 0,3

  2. Aufstellen der Hypothesen



  3. Entscheidungsregel
    V = {k, …, 100}
    A = {0, …, k - 1}

  4. Fehlerwahrscheinlichkeiten
    Fehler 1. Art:


k bestimmen durch Ausprobieren oder mithilfe des Taschenrechners


Umformungen:



Du erstellst mit Hilfe des Taschenrechners eine Liste.


Du beginnst rechts vom Erwartungswert E(X) = n x p 

Nun kannst du die kritische Zahl ablesen:    

                     k – 1 = 38

                     k = 39


Somit gilt: V = {39, …,100} und A = {0, …, 38}


Die gezogenen Nieten liegen im Annahmebereich der Nullhypothese. Auf einem Signifikanzniveau von 5% wird die Aussage der 30% Nieten beibehalten.


Hypothesentest – Alles Wichtige auf einen Blick

  • Der Hypothesentest dient zur Entscheidung, inwieweit eine Hypothese wahr oder falsch ist

  • Fehler beim Testen
    • Fehler 1. Art (α-Fehler): Man entscheidet sich gegen H0, obwohl H0 zutrifft. 
    • Fehler 2. Art(β-Fehler): Man entscheidet sich für H0, obwohl H0 nicht zutrifft.

  • Testarten
    • linksseitiger Test: bekannte Wahrscheinlichkeit von mindestens ;
      Vermutung, dass p kleiner ist als ; links vom Erwartungswert E(X) = n x p

    • rechtsseitiger Test: bekannte Wahrscheinlichkeit von höchstens ;
      Vermutung, dass p größer ist als ; vom Erwartungswert E(X) = n x p

    • Alternativtest: bekannte Wahrscheinlichkeit von ;
      Vermutung, dass p einen anderen Wert als
      Wenn , dann rechnest du nach dem rechtsseitigen Test.
      Wenn , dann rechnest du nach dem linksseitigen Test.




Finales Hypothesentest Quiz

Frage

Aus einem Kartenspiel von 32 Karten wird eine Karte gezogen. Der Einsatz wird sofort bezahlt und die Karte anschließend wieder in den Stapel gemischt.


Für das Ziehen unterschiedlicher Karten wird jeweils ein anderer Gewinn ausgeschüttet:

  • Für Herzkönig, -dame, -bube und -ass jeweils 1€.
  • Für eine Kreuzkarte 0,30€
  • Für eine Pikkarte 0,10€

a. Ist das Spiel fair, wenn der Einsatz pro Spiel 0,50€ beträgt?

b. Bei welchem Einsatz ist das Spiel fair?

c. Wie hoch sollte der Einsatz sein, damit der ausgeschüttete Gewinn 90% der Einnahmen beträgt?

Antwort anzeigen

Antwort

a. Da der Einsatz pro Spiel 0,50 € ist und der zu erwartende Gewinn bei 0,23 € liegt ist es kein faires Spiel. In diesem Fall wäre der duchschnittliche Gewinn und der Einsatz gleich.

b. Das Spiel ist bei einem Einsatz von 0,23€ fair

c. 0,23 € sind 90% des Einsatzes, daher sollte der Einsatz 0,25€ betragen.

Frage anzeigen

Frage

Von einer Testgruppe ist bekannt, dass 6% der Personen eine Droge konsumiert haben. Ein Drogentest liefert bei 95% der Konsumenten korrekt ein positives Ergebnis. Jedoch werden auch 1% jener Personen, die keine Droge konsumiert haben, fälschlicherweise positiv getestet.


Zeichne einen Ereignisbaum, der alle richtigen bzw. falschen Testergebnisse

 darstellt! Welches der Testergebnisse ist am wahrscheinlichsten?

Antwort anzeigen

Antwort

Baumdiagramm siehe Lösungsweg!
Ein richtiges, negatives Testergebnis, da P(kein Konsum und negatives Testergebnis) = 0.94*0.99 vgl. Baumdiagramm!

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Frage

Ereignisbaum/Baumdiagramm


Eine Münze wird zweimal geworfen und jeweils das Ergebnis (Kopf oder Zahl) notiert. Anna, Luisa und Svenja machen daraus ein Spiel. Anna bekommt einen Punkt, wenn keine Zahl kommt, Luisa bei einmal Zahl einen Punkt und Svenja einen Punkt, wenn zweimal Zahl fällt.


  1. Zeichne das zugehörige Baumdiagramm
  2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit zweimal hintereinander Kopf zu werfen?
  3. Begründe warum das Spiel nicht fair ist
  4. Wie kann das Spiel abgeändert werden, damit es fair wird?
Antwort anzeigen

Antwort

a. Siehe Lösungsweg 

b. 25% 

c. Einmal Zahl ist wahrscheinlicher als keinmal oder zweimal Zahl 

d. Luisa kann nur einen halben Punkt für einmal Kopf bekommen oder die beiden anderen bekommen jeweils 2 Punkte.

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Frage

Ereignisbaum/Baumdiagramm


In einer Urne befinden sich 7 blaue, 6 rote und 5 grüne Kugeln. Es werden 2 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Wahrscheinlichkeiten sollen auf eine Nachkommastelle gerundet und in Prozent angegeben werden.

  1. Erstelle ein Baumdiagramm, welches dieses Zufallsexperiment abbildet.
  2. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide gezogenen Kugeln von der gleichen Farbe sind.
  3. Wie oft müsste man ziehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95% mindestens eine grüne Kugel zu ziehen?
Antwort anzeigen

Antwort

  1. Siehe Lösungsweg
  2. 34%
  3. Mindestens 4 Kugeln müssen gezogen werden
Frage anzeigen

Frage

Ereignisbaum/Baumdiagramm


In der Schulkantine soll eine anonyme Befragung zur Essensqualität durchgeführt werden. Ein findiger Mathelehrer schlägt folgendes Verfahren vor:

Aus einer Urne mit 5 roten, 4 blauen und einer grünen Kugel, wird eine Kugel gezogen.
Wird eine rote Kugel gezogen, so wird auf jeden Fall mit Nein geantwortet.
Wird eine blaue Kugel gezogen, so wird mit ja geantwortet.
Wird eine grüne Kugel gezogen so wird wahrheitsgemäß geantwortet.
Insgesamt werden 500 Schüler befragt. Die Auszählung der Stimmen ergab, dass 238 Leute mit ja geantwortet haben.


Versuche daraus abzuleiten, wie viel Prozent der Schüler tatsächlich mit dem Essen zufrieden sind.

Stelle das Problem zunächst in einem Baumdiagramm dar.

Antwort anzeigen

Antwort

76%

Frage anzeigen

Frage

Ereignisbaum/Baumdiagramm


In einer Urne befinden sich 3 rote Kugel und eine unbekannte Anzahl an blauen Kugeln. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen aus der Urne gezogen. Wie viele blaue Kugeln befinden sich in der Urne, wenn die Wahrscheinlichkeit mindestens 1 blaue Kugel zu ziehen, 91% beträgt?

 

  1. Zeichne ein Baumdiagramm
  2. Berechne die Anzahl blauer Kugeln in der Urne
Antwort anzeigen

Antwort

  1. Siehe Lösungsweg
  2. 7
Frage anzeigen

Frage

Ereignisbaum/Baumdiagramm


Eine Fußballmannschaft bestreitet in der Saisonvorbereitung zwei Spiele. Im ersten Spiel sind sie noch ausgeruht und daher beträgt, die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen 60% und zu 10% geht das Spiel Unentschieden aus. Im zweiten Spiel ist die Wahrscheinlichkeit das Spiel zu verlieren genauso hoch, wie die Wahrscheinlichkeit für einen Sieg und ein Unentschieden zusammen. Ein Unentschieden ist immer noch 10% wahrscheinlicher als ein Sieg.


  1. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Sieg(S), Unentschieden(U) und Niederlage (N) für beide Spiele
  2. Zeichne die berechneten Werte in ein Baumdiagramm
  3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit beide Spiele zu gewinnen?
  4. Berechne die Wahrscheinlichkeit mindestens 1 Spiel zu gewinnen.
Antwort anzeigen

Antwort

a. P(S1)= 60%, P(U1)=105, P(N1)=30%, P(S2)=20%, P(U2)=30%, P(N2)=50%

b. Siehe Lösungsweg

c. 12%

d. 68%


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Frage

Ereignisbaum/Baumdiagramm


Luca hat sich eine Dartscheibe gekauft und trainiert zu Hause fleißig. Er versucht mit seinen drei Pfeilen möglichst oft das „Bullseye“ zu treffen. Mit seinem ersten Dart trifft er zu 25% genau in die Mitte, mit dem zweiten Pfeil beträgt die Wahrscheinlichkeit 1/3 und mit seinem letzten Pfeil trifft er sogar bei jedem zweiten Versuch das Bullseye.


  1. Zeichne das zugehörige Baumdiagramm
  2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer der Pfeile sein Ziel findet?
  3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er das Bullseye nicht trifft
  4. Ist die Annahme steigender Wahrscheinlichkeit sinnvoll?
Antwort anzeigen

Antwort

  1. Siehe Lösungsweg
  2. 48,3%
  3. 25%
  4. Nein
Frage anzeigen
60%

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