Hypothesentest

Eine Vermutung über die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses heißt Hypothese über diese Wahrscheinlichkeit. Der Hypothesentest dient zur Entscheidung, inwieweit eine Hypothese wahr oder falsch ist.

Fehler beim Testen

Die Bevölkerung eines Staates z.B. kann Merkmale besitzen, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht genau bekannt ist, über die man aber Vermutungen besitzt.  Du kannst aber durch Erhebung einer Stichprobe aus der Gesamtheit entscheiden, welche dieser Vermutungen am zutreffendsten ist. Gefährlich ist aber, dass ein solches Verfahren zum Prüfen von Hypothesen auch falsch sein kann. Im Folgenden untersuchen wir das Risiko solcher Fehleinschätzungen für verschiedene Verfahren zum Testen von Hypothesen.

Das Ergebnis einer Stichprobe ist zufallsbedingt. Die Entscheidung zugunsten von H0 oder gegen H0 hängt vom Zufall ab. 

Du unterscheidest vier Fälle:

Es gibt zwei Möglichkeiten einer falschen Entscheidung:

Fehler 1. Art: Man entscheidet sich gegen , obwohl  zutrifft.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, einen Fehler 1. Art zu begehen, bezeichnet man als Irrtumswahrscheinlichkeit .

Fehler 2. Art: Man entscheidet sich für , obwohl  nicht zutrifft.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, einen Fehler 2. Art zu begehen, bezeichnet man auch als Irrtumswahrscheinlichkeit .

Testarten

Es gibt drei relevante Testarten: 

1. Linksseitiger Test: 

   Du gehst von einer bekannten Wahrscheinlichkeit von mindestens  aus  und hast die Vermutung, dass p kleiner ist als . Du richtest dich nach den Werten, die links vom Erwartungswert liegen, da kleine Werte gegen die Nullhypothese sprechen.
   
   

2. Rechtsseitiger Test: 

   Du gehst von einer bekannten Wahrscheinlichkeit von höchstens  aus  und hast die Vermutung, dass p größer ist als . Du richtest dich nach den Werten, die rechts vom Erwartungswert liegen, da große Werte gegen die Nullhypothese sprechen.
   
   

3. Alternativtest:

   Du gehst von einer bekannten Wahrscheinlichkeit von  aus und hast die Vermutung, dass p einen anderen Wert als hat .
   Wenn , dann rechnest du nach dem rechtsseitigen Test.
   Wenn , dann rechnest du nach dem linksseitigen Test.

Linksseitiger Test

Kenngrößen beim linksseitigen Test

Beispiel

Die Hersteller eines Kartendecks behaupten, dass mindestens jede fünfte Karte ihrer Karten ein Ass ist. Du hast den Verdacht, dass diese Wahrscheinlichkeit nicht stimmen kann. Du schaust dir ein Deck mit 30 zufälligen Karten an und beschließt die Hersteller zu kontaktieren, wenn höchstens drei Asse dabei sind. 

1. Entwickle einen Signifikanztest.
2. Berechne den Fehler 1.Art.
3. Berechne den Fehler 2.Art, wenn tatsächlich eine Wahrscheinlichkeit von 15% besteht

Lösung

Wir führen den Hypothesentest nach dem Muster durch:

1. Zufallsgröße X
   X: Anzahl der Asse
   Ist binomialverteilt mit n = 30 und p = 0,2
   
   
2. Aufstellen der Hypothesen
   : p ≥ 0,2
   : p < 0,2
   
   
3. Entscheidungsregel
   V = {0, …, 3}
   A = {4, …, 30}
   
   
4. Fehlerwahrscheinlichkeiten
   
   
   

Rechtsseitiger Test

Kenngrößen beim rechtsseitigen Test

Beispiel

Für eine leckere Lasagne, die du vorbereiten möchtest, kaufst du Karotten auf dem Markt. Die Verkäuferin behauptet, dass von ihren gelieferten Karotten höchstens 10% verdorben sind. Du möchtest diese Behauptung durch einen Test überprüfen. Du akzeptierst die Behauptung, wenn von 50 Karotten weniger als 8 schlechte gefunden werden.

1. Entwickle einen Signifikanztest.
2. Berechne den Fehler 1.Art.
3. Berechne den Fehler 2.Art, wenn tatsächlich eine 20% der Karotten verdorben sind.

Lösung

Wir führen den Hypothesentest nach dem Muster durch:

1. Zufallsgröße X
   X: Anzahl der schlechten Karotten
   ist binomialverteilt mit n = 50 und p = 0,1
   
   
2. Aufstellen der Hypothesen
   : p < 0,1
   : p > 0,1
   
   
3. Entscheidungsregel
   V = {8, …, 50}
   A = {0, …, 7}
   
   
4. Fehlerwahrscheinlichkeiten
   
   
   

Der Alternativtest

Kenngrößen beim Alternativtest 

 Bestimmen der kritischen Zahl k

• In der Aufgabe ist die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit oder das Signifikanzniveau bereits angegeben – meistens 5%, 10% oder auch 1%
• Du suchst also nach der kritischen Zahl k
• Du findest k entweder durch Ausprobieren (Zahlen für k einsetzen)

oder

• Du erstellst eine Liste auf dem Taschenrechner

Beim linksseitigen Test

Beispiel

Auf der Kirmes gibt es ein Losespiel. Der Verkäufer behauptet, dass mindestens jedes fünfte Los gewinnt. Du hast den Verdacht, dass dies gelogen ist und zählst unbemerkt bei 100 Losen die Anzahl der Gewinne.

Bestimme die kritische Zahl k so, dass der Schüler den Verkäufer bei einem Signifikanzniveau von 5% als Betrüger darstellen kann.

Lösung

1. Zufallsgröße X
   X: Anzahl der Gewinnlose
   ist binomialverteilt mit n = 100 und p = 0,2
   
   
2. Aufstellen der Hypothesen
   
   
   
   
3. Entscheidungsregel
   V = {0, …, k}
   A = {k + 1, …, 100}
   
   
4. Fehlerwahrscheinlichkeiten
   Fehler 1. Art:
   

k bestimmen durch Ausprobieren oder mithilfe des Taschenrechners

Du erstellst mit Hilfe des Taschenrechners eine Liste.

Du beginnst links vom Erwartungswert E(X) = n x p = 100 x 0,2 = 20.

Nun kannst du die kritische Zahl ablesen:

                    k = 19

Somit gilt: A = {20, …,100} und V = {0, …, 19}

Werden höchstens 19 Gewinnlose gezogen, ist der Verkäufer ein Betrüger.

Beim rechtsseitigen Test

Beispiel

Bei einem Losespiel auf einer Kirmes wird versprochen, dass höchstens 30% der Lose Nieten sind. Du vermutest jedoch, dass die falsch ist und der Anteil der Nieten höher ist. Du kaufst 100 Lose und erhältst 37 Nieten.

Überlege nun, ob dieses Ergebnis erlaubt, die Aussage, dass es nur 30% Nieten sind, zu verwerfen, wenn das Signifikanzniveau nur 5% betragen soll.

Lösung

1. Zufallsgröße X
   X: Anzahl der Gewinnlose
   ist binomialverteilt mit n = 100 und p = 0,3
   
   
2. Aufstellen der Hypothesen
   
   
   
   
3. Entscheidungsregel
   V = {k, …, 100}
   A = {0, …, k - 1}
   
   
4. Fehlerwahrscheinlichkeiten
   Fehler 1. Art:
   
   

k bestimmen durch Ausprobieren oder mithilfe des Taschenrechners

Umformungen:

Du erstellst mit Hilfe des Taschenrechners eine Liste.

Du beginnst rechts vom Erwartungswert E(X) = n x p 

Nun kannst du die kritische Zahl ablesen:    

                     k – 1 = 38

                     k = 39

Somit gilt: V = {39, …,100} und A = {0, …, 38}

Die gezogenen Nieten liegen im Annahmebereich der Nullhypothese. Auf einem Signifikanzniveau von 5% wird die Aussage der 30% Nieten beibehalten.

Hypothesentest – Alles Wichtige auf einen Blick

• Der Hypothesentest dient zur Entscheidung, inwieweit eine Hypothese wahr oder falsch ist
  
  
• Fehler beim Testen
  • Fehler 1. Art (α-Fehler): Man entscheidet sich gegen H0, obwohl H0 zutrifft. 
  • Fehler 2. Art(β-Fehler): Man entscheidet sich für H0, obwohl H0 nicht zutrifft.
    
    
• Testarten
  • linksseitiger Test: bekannte Wahrscheinlichkeit von mindestens ;
    Vermutung, dass p kleiner ist als ; links vom Erwartungswert E(X) = n x p
    
    
  • rechtsseitiger Test: bekannte Wahrscheinlichkeit von höchstens ;
    Vermutung, dass p größer ist als ; vom Erwartungswert E(X) = n x p
    
    
  • Alternativtest: bekannte Wahrscheinlichkeit von ;
    Vermutung, dass p einen anderen Wert als
    Wenn , dann rechnest du nach dem rechtsseitigen Test.
    Wenn , dann rechnest du nach dem linksseitigen Test.