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Eine Vermutung über die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses heißt Hypothese über diese Wahrscheinlichkeit. Der Hypothesentest dient zur Entscheidung, inwieweit eine Hypothese wahr oder falsch ist.
Die Bevölkerung eines Staates z.B. kann Merkmale besitzen, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht genau bekannt ist, über die man aber Vermutungen besitzt. Du kannst aber durch Erhebung einer Stichprobe aus der Gesamtheit entscheiden, welche dieser Vermutungen am zutreffendsten ist. Gefährlich ist aber, dass ein solches Verfahren zum Prüfen von Hypothesen auch falsch sein kann. Im Folgenden untersuchen wir das Risiko solcher Fehleinschätzungen für verschiedene Verfahren zum Testen von Hypothesen.
Das Ergebnis einer Stichprobe ist zufallsbedingt. Die Entscheidung zugunsten von H0 oder gegen H0 hängt vom Zufall ab.
Du unterscheidest vier Fälle:
Entscheidung für H0 | Entscheidung gegen H0 | |
| Richtige Entscheidung | Falsche Entscheidung Fehler 1.Art |
| Falsche Entscheidung Fehler 2.Art | Richtige Entscheidung |
Es gibt zwei Möglichkeiten einer falschen Entscheidung:
Fehler 1. Art: Man entscheidet sich gegen , obwohl
zutrifft.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, einen Fehler 1. Art zu begehen, bezeichnet man als Irrtumswahrscheinlichkeit .
Fehler 2. Art: Man entscheidet sich für , obwohl
nicht zutrifft.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, einen Fehler 2. Art zu begehen, bezeichnet man auch als Irrtumswahrscheinlichkeit .
Es gibt drei relevante Testarten:
Linksseitiger Test:
Du gehst von einer bekannten Wahrscheinlichkeit von mindestensRechtsseitiger Test:
Du gehst von einer bekannten Wahrscheinlichkeit von höchstensAlternativtest:
Du gehst von einer bekannten Wahrscheinlichkeit vonKenngrößen beim linksseitigen Test
Zufallsgröße | X: Anzahl der Treffer ist binomialverteilt |
Aufstellen der Hypothesen | Die Nullhypothese Die Gegenhypothese |
Entscheidung | Verwerfungsbereich von Annahmebereich von |
Fehlerwahrscheinlichkeiten | Fehler 1.Art Fehler 2. Art Bei der Berechnung des Fehler 2.Art rechnest du mit der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit, die in der Aufgabe angegeben sein muss. |
Beispiel
Die Hersteller eines Kartendecks behaupten, dass mindestens jede fünfte Karte ihrer Karten ein Ass ist. Du hast den Verdacht, dass diese Wahrscheinlichkeit nicht stimmen kann. Du schaust dir ein Deck mit 30 zufälligen Karten an und beschließt die Hersteller zu kontaktieren, wenn höchstens drei Asse dabei sind.
Lösung
Wir führen den Hypothesentest nach dem Muster durch:
Kenngrößen beim rechtsseitigen Test
Zufallsgröße | X: Anzahl der Treffer Ist binomialverteilt mit n und |
Aufstellen der Hypothesen | Die Nullhypothese Die Gegenhypothese |
Entscheidung | Verwerfungsbereich von Annahmebereich von |
Fehlerwahrscheinlichkeiten | Fehler 1.Art: Fehler 2.Art Bei der Berechnung des Fehler 2.Art rechnest du mit der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit, die in der Aufgabe angegeben sein muss. |
Beispiel
Für eine leckere Lasagne, die du vorbereiten möchtest, kaufst du Karotten auf dem Markt. Die Verkäuferin behauptet, dass von ihren gelieferten Karotten höchstens 10% verdorben sind. Du möchtest diese Behauptung durch einen Test überprüfen. Du akzeptierst die Behauptung, wenn von 50 Karotten weniger als 8 schlechte gefunden werden.
Lösung
Wir führen den Hypothesentest nach dem Muster durch:
Kenngrößen beim Alternativtest
Zufallsgröße | X: Anzahl der Treffer ist binomialverteilt mit n und |
Aufstellen der Hypothesen | Die Nullhypothese Die Gegenhypothese |
Entscheidung, falls | Verwerfungsbereich von Annahmebereich von |
Entscheidung, falls | Verwerfungsbereich von Annahmebereich von |
Fehlerwahrscheinlichkeiten, falls | Fehler 1.Art Fehler 2. Art Bei der Berechnung des Fehlers 2.Art rechnest du mit der Wahrscheinlichkeit der Gegenhypothese. |
Fehlerwahrscheinlichkeiten, falls | Fehler 1.Art: Fehler 2.Art Bei der Berechnung des Fehlers 2.Art rechnest du mit der Wahrscheinlichkeit der Gegenhypothese. |
oder
Beispiel
Auf der Kirmes gibt es ein Losespiel. Der Verkäufer behauptet, dass mindestens jedes fünfte Los gewinnt. Du hast den Verdacht, dass dies gelogen ist und zählst unbemerkt bei 100 Losen die Anzahl der Gewinne.
Bestimme die kritische Zahl k so, dass der Schüler den Verkäufer bei einem Signifikanzniveau von 5% als Betrüger darstellen kann.
Lösung
k bestimmen durch Ausprobieren oder mithilfe des Taschenrechners
Du erstellst mit Hilfe des Taschenrechners eine Liste.
Du beginnst links vom Erwartungswert E(X) = n x p = 100 x 0,2 = 20.
Nun kannst du die kritische Zahl ablesen:
k = 19
Somit gilt: A = {20, …,100} und V = {0, …, 19}
Werden höchstens 19 Gewinnlose gezogen, ist der Verkäufer ein Betrüger.
Beispiel
Bei einem Losespiel auf einer Kirmes wird versprochen, dass höchstens 30% der Lose Nieten sind. Du vermutest jedoch, dass die falsch ist und der Anteil der Nieten höher ist. Du kaufst 100 Lose und erhältst 37 Nieten.
Überlege nun, ob dieses Ergebnis erlaubt, die Aussage, dass es nur 30% Nieten sind, zu verwerfen, wenn das Signifikanzniveau nur 5% betragen soll.
Lösung
k bestimmen durch Ausprobieren oder mithilfe des Taschenrechners
Umformungen:
Du erstellst mit Hilfe des Taschenrechners eine Liste.
Du beginnst rechts vom Erwartungswert E(X) = n x p
Nun kannst du die kritische Zahl ablesen:
k – 1 = 38
k = 39
Somit gilt: V = {39, …,100} und A = {0, …, 38}
Die gezogenen Nieten liegen im Annahmebereich der Nullhypothese. Auf einem Signifikanzniveau von 5% wird die Aussage der 30% Nieten beibehalten.
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