Stetige Verteilung

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

In diesem Artikel erhältst du einen Überblick über "Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen". Die stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind inhaltlich dem Themenbereich "Zufallsgrößen" im Fach Mathematik zuzuordnen.

Es gibt einige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die den stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen zugeordnet werden können. In diesem Artikel kann nicht auf jede einzelne stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung im Detail eingegangen werden. Wenn du zu einer bestimmten Verteilung, wie zum Beispiel der Normalverteilung, mehr wissen möchtest, empfehle ich dir, dass du dir zusätzlich unseren dazugehörigen Artikel anschaust.

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Erklärung

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschreiben die Verteilung der Werte einer stetigen Zufallsvariable.

Eine Zufallsgröße ist stetig, wenn sie jeden beliebigen numerischen Wert in einem Intervall oder überabzählbar viele Werte annehmen kann.

Vereinfacht gesagt: Wenn du die Ausprägungen einer Zufallsgröße nicht abzählen kannst, ist sie stetig.

Die Wahrscheinlichkeit einer stetigen Zufallsvariablen können anhand der Fläche unter der Kurve der Dichtefunktion abgelesen werden. Nur für Wertebereiche kann eine Wahrscheinlichkeit ungleich null angeben werden. Die Wahrscheinlichkeit für eine einzige Ausprägung einer stetigen Zufallsvariablen liegt immer bei null.

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen unterscheiden sich stark von diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen geben die Wahrscheinlichkeiten für diskrete Zufallsvariablen an. Die Ausprägungen einer diskreten Zufallsvariable sind abzählbar.

Wenn dir eine Verteilung vorliegt, solltest du wegen der Unterschiedlichkeit der beiden Verteilungsformen direkt am Anfang überlegen, ob es sich um eine diskrete oder stetige Verteilung handelt.

Stetige Wahrscheinlichkeitsfunktionen lassen sich anhand ihrer Dichtefunktion f(x) und ihrer Verteilungsfunktion F(x) vollständig beschreiben.

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Dichte- und Verteilungsfunktion

Es gibt zwei Möglichkeiten, stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen vollständig zu beschreiben: mit der dazugehörigen Dichtefunktion oder der Verteilungsfunktion. Im folgenden Abschnitt erfährst du Genaueres zu diesen beiden Funktionen.

Dichtefunktion

Die Dichtefunktion wird mathematisch als f(x) bezeichnet. Die Fläche unter der gesamten Dichtefunktion, das heißt im Intervall , beträgt immer 1. Für den Wertebereich der Dichtefunktion gilt: f(x) ≥ 0.

Mithilfe der Dichtefunktion kannst du Wahrscheinlichkeiten für Wertebereiche einer stetigen Zufallsvariablen bestimmen. Dafür bestimmst du die Fläche unterhalb der Dichtefunktion, die zwischen den beiden Intervallgrenzen liegt. Du erhältst einen Wert, der mindestens 0, aber höchstens 1 beträgt.

Du kannst nur für Wertebereiche eine Wahrscheinlichkeit ungleich null angeben. Die Wahrscheinlichkeit für eine einzige Ausprägung einer stetigen Zufallsvariablen liegt immer bei null.

In der folgenden Abbildung siehst du die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung:

Die farbig markierte Fläche im Intervall [-1; +1] beträgt 0,6827. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Funktionswert einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen zwischen -1 und 1 liegt, beträgt deshalb 68,27%.

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert genau 0 beträgt, ist 0:

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion wird mathematisch als F(x) bezeichnet. Bei der Verteilungsfunktion handelt es sich um das Integral der Dichtefunktion f(x).

Die Verteilungsfunktion bestimmt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert einer Zufallsvariablen kleiner bzw. gleich einer festgelegten oberen Grenze ist. Die Verteilungsfunktion berechnet kumulierte Häufigkeiten für die Merkmalsausprägungen der Variablen, indem sie alle Wahrscheinlichkeiten unterhalb der festgelegten Grenze addiert.

Hier siehst du die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung:

Aus der Grafik kannst du ablesen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen höchstens 0,5 beträgt, bei 69,15% liegt. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert größer ist als 0,5, beträgt deshalb 30,85%.

Die wichtigsten stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Es gibt einige stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Über die Wichtigsten von ihnen erhältst du in diesem Abschnitt einen Überblick. Zu diesen zählen die stetige Gleichverteilung, die Normalverteilung und die Exponentialverteilung.

Weitere stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind die Poisson-Verteilung, die t-Verteilung und die Chi-Quadrat-Verteilung.

Stetige Gleichverteilung

Eine stetige Gleichverteilung liegt vor, wenn alle gleich großen Werteintervalle einer stetigen Zufallsgröße die gleiche Eintretenswahrscheinlichkeit haben. Wie bei allen stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen können sich bei der stetigen Gleichverteilung Wahrscheinlichkeiten immer nur für Werteintervalle ergeben. Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines einzigen Wertes liegt immer bei 0.

Die Dichtefunktion der stetigen Gleichverteilung lautet:

Dabei sind a und b die Grenzen des Intervalls.

Wie die Dichtefunktion grafisch dargestellt wird, siehst du in der folgenden Abbildung:

Die dazugehörige Verteilungsfunktion ist:

Grafisch dargestellt sieht sie so aus:

Man erkennt, dass die kumulierte Wahrscheinlichkeit stetig ansteigt, bis sie an der oberen Intervallgrenze 100% erreicht.

Normalverteilung

Eine weitere stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Normalverteilung. Viele Merkmale und Eigenschaften sind von Natur aus normalverteilt. Dazu gehört unter anderem die Körpergröße.

Die Normalverteilung ist eine symmetrische Verteilung.

Die Dichtefunktion der Normalverteilung hängt von dem Erwartungswert und der Varianz der Verteilung ab:

$f(x,\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sigma \times \sqrt{2\pi }}\times e^{-\frac{1}{2}\times {\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$

Ein Sonderfall der Normalverteilung ist die Standardnormalverteilung. Die Standardnormalverteilung liegt vor, wenn der Erwartungswert $\mu$ 0 beträgt und die Varianz ${\sigma }^2$ bei 1 liegt.

Jede Normalverteilung kann mithilfe der Z-Transformation in die Standardnormalverteilung überführt werden.

Für $\mu =10$ und ${\sigma }^2=25$ sieht die Dichtefunktion folgendermaßen aus:

Wie du sehen kannst, stimmt bei der Normalverteilung der Mittelwert der Verteilung mit dem Erwartungswert $\mu$ überein. In diesem Beispiel haben der Mittelwert und der Erwartungswert den Wert 10.

Die dazugehörige Verteilungsfunktion siehst du hier:

Man kann daraus ablesen:

Wenn $\mu =10und{\sigma }^2=25$, liegen die Werte der Verteilung zu 100% zwischen -10 und 30. Etwa die Hälfte der Werte ist kleiner als 10, die andere Hälfte ist größer als 10.

Exponentialverteilung

Mit der Exponentialverteilung $Exp\left(\lambda \right)$ kann die Dauer zufälliger Zeitintervalle bestimmt werden. Du kannst die Exponentialverteilung zum Beispiel nutzen, um die Lebensdauer technischer Geräte, die Dauer radioaktiven Zerfalls von Atomen oder Wartezeiten zu berechnen.

Die Exponentialverteilung ist nur für alle positiven reellen Zahlen definiert, da negative Zeitintervalle nicht existieren.

Der einzige Parameter der Exponentialfunktion ist $\lambda$. Dieser ist vom Kontext der Beobachtung abhängig und kann deshalb von Exponentialfunktion zu Exponentialfunktion variieren.

Die Formel für die Dichtefunktion der Exponentialfunktion ist diese: $f_{\lambda }\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x}$

Für $\lambda =1$ sieht die Dichtefunktion dann folgendermaßen aus:

Wenn du das Integral der Dichtefunktion $f_{\lambda }\left(x\right)$ bildest, erhältst du die dazugehörige Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung: $F_{\lambda }\left(x\right)=1-e^{(-\lambda x)}$

Grafisch dargestellt sieht diese, wenn $\lambda =1$ ist, wie folgt aus:

Aus der Verteilungsfunktion kann man folgendes ablesen:

Kein Wert der Exponentialverteilung mit $\lambda =1$ ist kleiner als 0,2. Etwa die Hälfte der Werte ist kleiner als ungefähr 0,7, die andere Hälfte ist größer. Außerdem sind nahezu alle Werte der Verteilung kleiner als 5.

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen - alles Wichtige auf einen Blick!

In diesem Artikel hast du eine Menge über stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen gelernt. Hier findest du eine Zusammenfassung der Punkte, die du dir unbedingt merken solltest:

• Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschreiben die Verteilung der Werte einer stetigen Zufallsvariable.
• Eine Zufallsvariable ist stetig, wenn ihre Merkmalsausprägungen nicht abzählbar sind.
• Wahrscheinlichkeiten für Wertebereiche einer stetigen Zufallsvariablen werden mithilfe der Dichtefunktion f(x) bestimmt. Dafür wird die Größe der Fläche, die zwischen den beiden Intervallgrenzen liegt und sich unterhalb der Dichtefunktion befindet, berechnet.
• Bei stetigen Zufallsvariablen können Wahrscheinlichkeiten immer nur für Werteintervalle, nicht für einzelne Werte berechnet werden. Für einzelne Werte beträgt die Wahrscheinlichkeit immer 0.

• Die Verteilungsfunktion F(x) ist das Integral der Dichtefunktion. Sie bestimmt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert einer Zufallsvariablen kleiner bzw. gleich einer festgelegten oberen Grenze ist.

• Die wichtigsten stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind: stetige Gleichverteilung, Normalverteilung und Exponentialverteilung.
• Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind von diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen abzugrenzen.