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Stetige Verteilung

Stetige Verteilung

Die Verteilung der Körpergrößen in Deutschland kannst Du mit einer Zufallsvariablen beschreiben. Es handelt sich bei diesem Beispiel um eine stetige Zufallsgröße und eine stetige Verteilung, da zwischen dem kleinsten und dem größten Wert theoretisch jede beliebige Körpergröße möglich ist. Besonders gut lässt sich die Verteilung der Körpergröße mit einer Normalverteilung mit Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\) darstellen.

In dieser Erklärung erfährst Du anhand der Definition, was eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung überhaupt genau ist, warum die Punktwahrscheinlichkeit immer 0 ist und welche speziellen stetigen Verteilungen es gibt.

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschreiben die Verteilung der Werte einer stetigen Zufallsgröße.

Stetige Verteilung – Definition

Was ist eine stetige Zufallsgröße?

Eine Zufallsgröße ist stetig, wenn sie jeden beliebigen numerischen Wert in einem Intervall oder überabzählbar viele Werte annehmen kann.

Stetige Zufallsgrößen werden manchmal auch kontinuierliche Zufallsgrößen genannt.

Vereinfacht gesagt: Wenn Du die möglichen Werte einer Zufallsgröße nicht abzählen kannst, ist sie stetig.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsgröße heißt stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Dies wird häufig kurz "stetige Verteilung" genannt. Statt stetiger Verteilung wird manchmal auch der Begriff "kontinuierliche Verteilung" verwendet.

Jede stetige Wahrscheinlichkeitsfunktion wird durch eine Dichtefunktion \(\varphi (x) \) beschrieben mit

$$\int_{-\infty}^\infty \varphi(x) dx=1$$

Wenn Du allgemein mehr über Wahrscheinlichkeitsverteilungen wissen möchtest, sieh Dir die Erklärung "Wahrscheinlichkeitsverteilung" an.

Punktwahrscheinlichkeit stetige Verteilung

Die Wahrscheinlichkeit einer stetigen Zufallsvariablen kann anhand der Fläche unter der Kurve der Dichtefunktion abgelesen werden.

In Abbildung 1 siehst Du die Kurve der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung. Dann entspricht \(P(0\leq x \leq 1) \) genau der Fläche unter der Dichtefunktion von \(0\) bis \(1\). Zur genauen Berechnung verwendest Du das Integral.

Stetige Verteilung Punktwahrscheinlichkeit Intervall Flächeninhalt StudySmarterAbb. 1 - Dichtefunktion der Standardnormalverteilung.

Aber nur für Intervalle kann eine Wahrscheinlichkeit ungleich null angeben werden.

Die Wahrscheinlichkeit für einen einzigen Wert einer stetigen Zufallsvariablen liegt immer bei null:

$$P(X=x)=0 \text{ für alle }x$$

Deswegen wird auch gesagt: Die Punktwahrscheinlichkeit einer stetigen Zufallsvariablen ist immer \(0\).

Aber warum ist die Punktwahrscheinlichkeit immer \(0\)?

Eine stetige Zufallsgröße kann unendlich viele Werte annehmen. Wenn jetzt jedem dieser Werte eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null zugeordnet wird, gibt es auch unendlich viele Wahrscheinlichkeiten. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten \(P(X=x)\) muss aber genau \(1\) sein. Dies ist nicht möglich, wenn sich immer weitere Summanden finden lassen.

Unterschied diskrete und stetige Verteilung

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen unterscheiden sich stark von diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen geben die Wahrscheinlichkeiten für diskrete Zufallsvariablen an. Die möglichen Werte einer diskreten Zufallsvariablen sind abzählbar, meist sogar endlich.

Unter "Diskrete Verteilung" kannst Du mehr über diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen erfahren.

Stetige Wahrscheinlichkeitsfunktionen lassen sich anhand ihrer Dichtefunktion f(x) und ihrer Verteilungsfunktion F(x) vollständig beschreiben.

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Dichte- und Verteilungsfunktion

Jede stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung wird durch ihre Dichtefunktion eindeutig beschrieben. Mit der Dichtefunktion kann dann auch eine Verteilungsfunktion angegeben werden.

Dichtefunktion stetige Verteilung

Die Dichtefunktion einer stetigen Verteilung wird mathematisch als \(\varphi(x)\) bezeichnet.

Die gesamte Fläche unter dem Graph einer stetigen Dichtefunktion \(\varphi (x)\), das heißt im Intervall \((-\infty,\infty)\) beträgt immer 1. Dies kann auch mit dem Intgral beschrieben werden:

$$\int_{-\infty}^\infty \varphi(x) dx = 1$$

Für den Wertebereich der Dichtefunktion gilt:

$$\varphi(x) \geq 0$$

Die Dichtefunktion gibt Dir einen Überblick, wie die Werte verteilt sind. Du kannst aus ihr aber keine Wahrscheinlichkeiten ablesen.

Verteilungsfunktion stetige Verteilung

Wenn Du Wahrscheinlichkeiten \(P(X \geq x)\) bestimmen möchtest, verwendest Du die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsgröße.

Die Verteilungsfunktion \(\Phi(x)\) einer stetigen Zufallsgröße \(X\) mit Dichtefunktion \(\varphi(x)\) ist:

$$\Phi(x)=P(X \geq x)=\int_{-\infty}^x\varphi(z)dz$$

Die Verteilungsfunktion bestimmt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert einer Zufallsvariablen kleiner bzw. gleich einer festgelegten oberen Grenze ist.

Stetige Verteilung – Beispiel

Die Wahrscheinlichkeitsdichte einer stetigen Zufallsgröße sei

$$\varphi (x) = \begin{cases} \dfrac{1}{200}x & 0 \leq x \leq 20 \\[0.2 cm] 0 & \text{sonst} \end{cases} $$

In Abbildung 2 siehst Du den Graphen dieser Wahrscheinlichkeitsdichte.

Stetige Verteilung Beispiel Dichte StudySmarterAbb. 2 - Beispiel für eine Wahrscheinlichkeitsdichte.

Es handelt sich um eine Wahrscheinlichkeitsdichte, da \(\varphi(x)\leq 0\) und

$$ \int_{-\infty}^\infty \varphi(x) \, dx = \int_0^{20} \frac{1}{200}x\, dx = \left[ \frac{1}{400} x^2 \right] _0^{20}= \frac{1}{400}·20^2 - \frac{1}{400}·0^2= \frac{1}{400}·400=1$$

Es ist hier ausreichend, das Integral von \(0\) bis \(20\) zu bestimmen, da die Wahrscheinlichkeitsdichte nur in diesem Intervall ungleich 0 ist.

Die Verteilungsfunktion dieser stetigen Verteilung ist dann

$$\phi(x)=\begin{cases} 0 & x<0 \\[0.2 cm] \dfrac{1}{400}x^2 & 0 \leq x \leq 20 \\[0.2 cm] 1 & x>20 \end{cases}$$

Die Verteilungsfunktion für das Intervall \([0,20]\) bestimmst Du, indem Du integrierst:

$$P(X\geq x)=\int_0^x \frac{1}{200}z \, dz=\left[\frac{1}{400}z^2\right]_0^x=\frac{1}{400}x^2$$

In Abbildung 3 findest Du den Graphen der Verteilungsfunktion.

Stetige Verteilung Beispiel Verteilungsfunktion StudySmarterAbb. 3 - Beispiel für eine Verteilungsfunktion.

Erwartungswert stetige Verteilung – berechnen

Für jede stetige Verteilung existiert auch ein Erwartungswert \(\mu\). Du kannst ihn mit folgender Formel berechnen:

Für eine stetige Zufallsgröße \(X\) ist der Erwartungswert

$$E(X)=\mu=\int_{-\infty}^\infty x·\varphi (x) dx$$

Für das obige Beispiel berechnest Du den Erwartungswert wie folgt:

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist

\( \varphi (x) = \begin{cases} \dfrac{1}{200}x & 0 \leq x \leq 20 \\[0.2 cm] 0 & \text{sonst} \end{cases} \)

Es ist ausreichend, wenn Du das Integral von \(0\) bis \(20\) bildest, da die Wahrscheinlichkeitsdichte in den anderen Fällen den Wert \(0\) annimmt.

\begin{align} E(X)& =\int_0^{20} x· \varphi (x) dx = \int_0^{20} x· \frac{1}{200}x \, dx = \int_0^{20} \frac{1}{200}x^2 \, dx \\ &= \left[ \frac{1}{600}x^3 \right]_0^{20}=\frac{1}{600}·20^3-\frac{1}{600}·0^3=\frac{40}{3} \approx 13{,}\overline{3}\end{align}

Du brauchst das Integral immer nur für das Intervall bilden, indem die Wahrscheinlichkeitsdichte ungleich \(0\) ist.

Median stetige Verteilung – berechnen

Neben dem Erwartungswert kannst Du auch den Median einer stetigen Verteilung berechnen. Der Median und der Erwartungswert sind unterschiedliche Werte.

Für den Median gilt, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Wert links des Medians \(50 \, \%\) beträgt und für einen Wert rechts des Medians auch genau \(50 \, \%\).

Für den Median \(m\) einer stetigen Verteilung mit Wahrscheinlichkeitsdichte \( \varphi (x) \) gilt:

$$\int_{- \infty} ^m \varphi (x) \, dx =0{,}5$$

Du weißt also, dass der Wert des Integrals \( 0{,}5\) sein soll und bestimmst damit den Median \(m\).

Verwendet wird wieder das Beispiel

\( \varphi (x) = \begin{cases} \frac{1}{200}x & 0 \leq x \leq 20 \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \)

Für den Median \(m\) gilt:

$$\int_{-\infty}^m \varphi (x) = \int_0^m \frac{1}{200}x \, dx = 0{,}5$$

Du bestimmst nun das Integral und löst nach \(m\) auf.

\begin{align}\int_0^m \frac{1}{200}x \, dx &= 0{,}5 \\ \left[ \frac{1}{400}x^2 \right]_0^m & = 0{,}5 \\ \frac{1}{400}m^2-\frac{1}{400}0^2 & = 0{,}5 \\ \frac{1}{400}m^2 & = 0{,}5 &| ·400 \\ m^2 & = 200 & | \sqrt{\,} \\ m & \approx 14{,}14 \end{align}

In diesem Beispiel ist der Median also größer als der Erwartungswert.

spezielle stetige Verteilung

Es gibt einige spezielle wichtige stetige Verteilungen. Hier findest Du einen Überblick. Für jede dieser stetigen Verteilungen gibt es aber auch eine eigene, ausführliche Erklärung.

Normalverteilung

Eine bekannte stetige Verteilung ist die Normalverteilung.

Viele Merkmale und Eigenschaften sind von Natur aus normalverteilt. Dazu gehört unter anderem die Körpergröße.

Die Dichtefunktion \(\varphi (x)\) einer Normalverteilung mit Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\) ist

$$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}·e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$$

Ein Sonderfall der Normalverteilung ist die Standardnormalverteilung. Die Standardnormalverteilung liegt vor, wenn der Erwartungswert \(\mu=0\) beträgt und für die Standardabweichung \(\sigma^2=1\) gilt.

Mehr über die Normalverteilung und die Standardnormalverteilung erfährst Du in der Erklärung "Normalverteilung". Klicke einfach auf den Namen.

stetige Gleichverteilung

Eine stetige Zufallsgröße ist gleichverteilt, wenn alle gleich großen Werteintervalle die gleiche Eintretenswahrscheinlichkeit haben.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte einer stetigen Gleichverteilung in Intervall \( [a,b]\) ist konstant.

Für eine auf dem Intervall \([a,b]\) gleichverteilte stetige Zufallsgröße \(X\) lautet die Dichtefunktion

$$\varphi(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{b-a} & a \leq x \leq b \\[0.2 cm] 0 & \text{sonst} \end{cases}$$

Die Verteilungsfunktion der gleichverteilten stetigen Zufallsgröße ist

$$\Phi(X)=\begin{cases} 0 & x \leq a \\[0.2 cm] \dfrac{x-a}{b-a} & a < x < b \\[0.2 cm] 1 & x \geq b \end{cases}$$

Mehr über stetige Gleichverteilungen findest Du in der Erklärung "Gleichverteilung".

Exponentialverteilung

Eine weitere spezielle stetige Verteilung ist die Exponentialverteilung. Mit einer Exponentialverteilung wird häufig die Dauer zufälliger Zeitintervalle bestimmt.

Die Dichtefunktion \(\varphi (x)\) einer exponentialverteilten Zufallsgröße ist

$$\varphi (x) = \lambda ·e^{-\lambda x}$$

Die Verteilungsfunktion einer exponentialverteilten Zufallsgröße lautet

$$\Phi(X)=1-e^{-\lambda x}$$

Eine Exponentialverteilung wird durch den Parameter \(\lambda\) eindeutig beschrieben.

Wenn Du mehr über die Exponentialverteilung wissen möchtest, sieh Dir die Erklärung "Exponentialverteilung" an.

Stetige Verteilung – Das Wichtigste


Nachweise

  1. Becker et al. (2016). Formelsammlung bis zum Abitur - Mathematik - Physik - Astronomie - Chemie - Biologie - Informatik. Duden Schulbuchverlag.
  2. Baum et al. (2009). Lambacher Schweizer 11/12, Mathematik für Gymnasien, Gesamtband Oberstufe Niedersachsen. Ernst Klett Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Stetige Verteilung

Eine normalverteilte Zufallsvariable kann alle reellen Werte eines Werteintervalls annehmen. 

Deshalb ist die Normalverteilung eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Eine Verteilung ist stetig, wenn die zugehörige Zufallsgröße stetig ist. Eine stetige Zufallsgröße erkennst Du daran, dass sie unendlich viele Werte annehmen kann.

Ein Merkmal einer stetigen Verteilung ist auch, dass die Punktwahrscheinlichkeit stets 0 ist.

Eine Zufallsgröße ist stetig, wenn sie jeden beliebigen numerischen Wert in einem Intervall oder überabzählbar viele Werte annehmen kann.

Vereinfacht gesagt: Wenn du die Ausprägungen einer Zufallsgröße nicht abzählen kannst, ist sie stetig.

Beispiele für stetige Zufallsvariablen sind genaue Wartezeiten oder genaue Längenangaben. 

Es gibt stetige und diskrete Zufallsgrößen. 

Eine Zufallsgröße ist stetig, wenn sie jeden beliebigen numerischen Wert in einem Intervall oder überabzählbar viele Werte annehmen kann.

Vereinfacht gesagt: Wenn du die Ausprägungen einer Zufallsgröße nicht abzählen kannst, ist sie stetig.

Die Ausprägungen einer diskreten Zufallsgröße hingegen sind abzählbar oder meist sogar endlich. 

Finales Stetige Verteilung Quiz

Frage

Nenne die zwei Arten der Gleichverteilung.

Antwort anzeigen

Antwort

- diskrete Gleichverteilung

- stetige Gleichverteilung

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was ist die Hauptcharakteristik der Gleichverteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

Wie der Name „Gleichverteilung“ bereits vermuten lässt, ist die Hauptcharakteristik dieser, dass zwischen den einzelnen Möglichkeiten, die eintreten können, keine Präferenz besteht.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob es sich um eine stetige oder diskrete Zufallsvariable handelt:

Die Zufallsvariable ist abzählbar.

Antwort anzeigen

Antwort

Es handelt sich um eine diskrete Zufallsvariable. 

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob es sich um eine stetige oder diskrete Zufallsvariable handelt:

Die Zufallsvariable kann überabzählbar viele Werte annehmen.

Antwort anzeigen

Antwort

Es handelt sich um eine stetige Zufallsvariable.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob es sich um eine stetige oder diskrete Zufallsvariable handelt:

Alter in Monaten

Antwort anzeigen

Antwort

diskrete Zufallsvariable

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob es sich um eine stetige oder diskrete Zufallsvariable handelt:

Wartezeit auf einen Bus

Antwort anzeigen

Antwort

stetige Zufallsvariable

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob es sich um eine stetige oder diskrete Zufallsvariable handelt:

Exakte Geschwindigkeit eines Flugzeuges

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Antwort

Stetige Zufallsvariable

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Gleichverteilung.

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Antwort

\begin{align}f(x)=P(X=x)=\left\{\begin{array}{rl}\frac{1}{n} &\text{ für } x=x_i(i=1,2,\dots,n)\,,\\ 0 &\text{ sonst .} \end{array}\right.\end{align} 

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Erwartungswert bei dem Wurf mit einem achtseitigen Würfel

 (Oktaeder).

Antwort anzeigen

Antwort

\(\mu=E(x)=\frac{n+1}{2}=\frac{8+1}{2} =4{,}5\)

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeitsfunktion bei einem achtseitigen Würfel (Oktaeder).

Antwort anzeigen

Antwort

 \begin{align}f(x)=P(X=x)=\left\{\begin{array}{rl}\frac{1}{8} &\text{ für } x=1,2,3,4,5,6,7,8\,,\\ 0 &\text{ sonst .} \end{array}\right.\end{align} 

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Varianz bei einem achtseitigen Würfel (Oktaeder).

Antwort anzeigen

Antwort

\begin{align}\sigma ^2=\frac{1}{12}\cdot (n^2-1)=\frac{1}{12}\cdot (8^2-1)=\frac{63}{12}\end{align}

Frage anzeigen

Frage

Du gehst zu einer Zughaltestelle und weißt, dass der Zug frühestens in 30 Minuten, spätestens aber in 50 Minuten kommt. Allerdings hast Du den genauen Abfahrtsplan nicht im Kopf. Berechne den Erwartungswert für diesen Fall.

Antwort anzeigen

Antwort

\(\mu=E(x)=\frac{a+b}{2}=\frac{30+50}{2}=40\)


Der Erwartungswert für die Wartezeit beträgt 40 Minuten.

Frage anzeigen

Frage

Du gehst zu einer Zughaltestelle und weißt, dass der Zug frühestens in 30 Minuten, spätestens aber in 50 Minuten kommt. Allerdings hast Du den genauen Abfahrtsplan nicht im Kopf. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Zug in spätestens 40 Minuten ankommt.

Antwort anzeigen

Antwort

\(F(x)=\frac{x-a}{b-a}=\frac{40-30}{50-30}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\)


Die Wahrscheinlichkeit, dass der Zug in spätestens 40 Minuten ankommt beträgt \(\frac{1}{2}\).

Frage anzeigen

Frage

Du gehst zu einer Zughaltestelle und weißt, dass der Zug frühestens in 30 Minuten, spätestens aber in 50 Minuten kommt. Allerdings hast Du den genauen Abfahrtsplan nicht im Kopf. Berechne die Varianz.

Antwort anzeigen

Antwort

\begin{align}\sigma ^2=\frac{1}{12}\cdot (b-a)^2=\frac{1}{12}\cdot (50-30)^2=\frac{200}{12}=\frac{50}{3}\end{align}

Die Varianz beträgt \(\frac{50}{3}\).

Frage anzeigen

Frage

Welche Bedeutung hat die Sigma-Regel?

$$P(\mu -\sigma \leq Z \leq \mu + \sigma) \approx 0{,}683$$

Wähl aus.

Antwort anzeigen

Antwort

In der Sigma-Umgebung um den Erwartungswert liegen \(68{,}3\,\%\) der Ergebnisse.

Frage anzeigen

Frage

Für welche Verteilung einer Zufallsgröße \(Z\) gilt die Sigma-Regel immer?

Wähl aus.

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Antwort

Normalverteilung

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Frage

Welchen Wert muss die Standardabweichung \(\sigma\) einer binomialverteilten Zufallsgröße überschreiten, damit die Sigma-Regeln gelten?

Wähl aus.

Antwort anzeigen

Antwort

2

Frage anzeigen

Frage

Vervollständige den Satz, indem Du die richtige Zahl auswählst.


In der 2-Sigma-Umgebung liegen ... der Ergebnisse.

Antwort anzeigen

Antwort

$$95{,}4\,\%$$

Frage anzeigen

Frage

Die Sigma-Regeln gelten für eine binomialverteilte Zufallsgröße, wenn die Laplace-Bedingung erfüllt ist. 

Was besagt die Laplace-Bedingung? Wähl aus.

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Antwort

$$\sigma >3$$

Frage anzeigen

Frage

Um die Sigma-Umgebung einer Zufallsgröße zu bestimmen, benötigst Du neben der Standardabweichung einen weiteren Wert. Welcher ist es? Gib den Namen an.

Antwort anzeigen

Antwort

Erwartungswert

Frage anzeigen

Frage

Welcher Wert einer Binomialverteilung muss größer als 3 sein, damit die Sigma-Regeln gelten?

Gib den Namen an.

Antwort anzeigen

Antwort

Standardabweichung

Frage anzeigen

Frage

Die Zufallsgröße \(Z\) mit \(\mu = 40\) und \(\sigma=3\) ist normalverteilt. 

Bestimme die Sigma-Umgebung \(I\) mit \(P(Z\in I)=0{,}683\).

Antwort anzeigen

Antwort

Gesucht ist die Sigma-Umgebung \([\mu-\sigma; \mu+\sigma]\).

Es ist

\begin{align} 
[\mu-\sigma; \mu+\sigma] &= [40-3; 40+3] \\
&=[37; 43]
\end{align}

Frage anzeigen

Frage

Bestimme für eine normalverteilte Zufallsgröße \(Z\) mit \(\mu=250, \sigma=12\) das Intervall \(I\), indem \(99{,}7\,\%\) der Ergebnisse liegen.

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Antwort

Gesucht ist die \(3\sigma\)-Umgebung um den Erwartungswert \(\mu\):

\begin{align}
[\mu-3\sigma;\mu+3\sigma] &=[250-3·12; 250-3·12] \\
 &=[214; 286] 
\end{align}

Im Intervall \(I=[214; 286]\) liegen \(99{,}7\,\%\) aller Ergebnisse.

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Frage

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n=50, p=0{,}1\). 

Prüfe, ob Du die Sigma-Regeln anwenden darfst und bestimme dann ggf. das Intervall, indem \(95\,\%\) der Ergebnisse liegen.

Antwort anzeigen

Antwort

Zuerst prüfst Du, ob die Standardabweichung größer als 3 ist (Laplace-Bedingung):

$$\sigma=\sqrt{n·p·(1-p)}=\sqrt{50·0{,}1·0{,}9}=2{,}12<3$$

Die Standardabweichung ist kleiner als 3. Die Binomialverteilung kann nicht durch eine Normalverteilung genähert werden. Grund dafür ist ein geringer Stichprobenumfang \(n\), sowie eine Wahrscheinlichkeit \(p\), die weit entfernt von \(0{,}5\) ist.

Frage anzeigen

Frage

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n=50, p=0{,}3\). 

Prüfe, ob Du die Sigma-Regeln anwenden darfst und bestimme dann ggf. das Intervall, indem \(95\,\%\) der Ergebnisse liegen.

Antwort anzeigen

Antwort

Zuerst prüfst Du, ob die Standardabweichung größer als 3 ist (Laplace-Bedingung):

$$\sigma=\sqrt{n·p·(1-p)}=\sqrt{50·0{,}3·0{,}7}=3{,}24>3$$

Die Laplace-Bedingung ist erfüllt. Du kannst die Sigma-Regeln für diese Binomialverteilung anwenden. Der Erwartungswert ist:

$$\mu = n·p=50·0{,}3=15$$

Suche jetzt den Faktor, mit dem Du Sigma multiplizierst, um das \(95\,\%\)-Intervall zu bestimmen. Der Faktor ist \(1{,}96\):

\begin{align}
[\mu-1{,}96\sigma; \mu+1{,}96\sigma] & = [15-1{,}96·3{,}24; 15+1{,}96·3{,}24] \\ 
&= [8{,}65; 21{,}35] \\ 
&= [9; 21]
\end{align}

Zwischen \(9\) und \(21\) liegen ungefähr \(95\,\%\) aller Ergebnisse.

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Frage

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße mit Erwartungswert \(\mu=30\) ergibt die Berechnung der Sigma-Umgebung das Intervall \([35{,}42; 44{,}58]\).

Erkläre, wie hier gerundet wird.

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Antwort

Für binomialverteilte Zufallsgrößen ergeben nur ganzzahlige Ergebnisse sind. Deswegen wird das Intervall gerundet. Die Besonderheit beim Runden ist hier, dass immer zum Inneren des Intervalls gerundet wird. Dies wird auch "Runden zur sicheren Seite" genannt.

Das gesuchte Intervall ist daher \([36; 44]\).

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Frage

Berechne für einen rechtsseitigen Hypothesentest mit \(n=100\) und \(H_0: p=0{,}4\) den Annahmebereich der Nullhypothese, wenn das Signifikanzniveau \(\alpha=0{,}05\) ist. Verwende, wenn möglich, die Sigma-Regeln.

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Antwort

Zuerst prüfst Du die Laplace-Bedingung:

$$\sigma = \sqrt{n·p·(1-p)} = \sqrt{100·0{,}4·0{,}6}=4{,}9>3 $$

 

Du darfst die Sigma-Regeln verwenden.

Wenn das Signifikanzniveau \(\alpha=0{,}05\) ist, liegen im Annahmebereich \(95\,\%\) der Ergebnisse. Jetzt benötigst Du den Faktor \(k\), mit dem Du die Standardabweichung multiplizierst, um das \(95\,\%\)-Intervall zu bestimmen. Es ist \(k=1{,}64\). Der Erwartungswert ist \(\mu=100·0{,}4=40\).

\begin{align}
[\mu-1{,}64\sigma; \mu+1{,}64\sigma] &=[40-1{,}64·4{,}9; 40+1{,}64·4{,}9] \\ 
& = [31,96; 40,04] \\
& = [32; 40] 
\end{align}

Der Annahmebereich ist

$$A=\{32,\dots,40\}$$

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Frage

Die Zufallsgröße \(Z\) ist normalverteilt mit Erwartungswert \(\mu=620\) und Standardabweichung \(\sigma=40\). 

Bestimme die Wahrscheinlichkeit:

$$P(580 \leq Z \leq 660)$$

Antwort anzeigen

Antwort

Das Intervall \([580; 660]\) ist genau die Sigma-Umgebung um den Erwartungswert \(\mu=620\) mit Standardabweichung \(\sigma = 40\).

Deswegen ist \(P(580 \leq Z \leq 660)=0{,}683\).

Frage anzeigen

Frage

Die Zufallsgröße \(Z\) ist normalverteilt mit Erwartungswert \(\mu=400\) und Standardabweichung \(\sigma=15\). 

Bestimme die Wahrscheinlichkeit:

$$P(370 \leq Z \leq 430)$$

Antwort anzeigen

Antwort

Das Intervall \([370; 430]\) ist genau die 2-Sigma-Umgebung um den Erwartungswert \(\mu=400\) mit Standardabweichung \(\sigma = 15\).

Deswegen ist \(P(370 \leq Z \leq 430)=0{,}954\).

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Frage

Was ist die Formel für den Erwartungswert \(\mu\) einer stetigen Gleichverteilung im Intervall \([a;b]\).

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Antwort

\begin{align}\mu=E(x)=\frac{a+b}{2}\end{align}

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Frage

Erläutere die Exponentialverteilung.

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Antwort

Mit der Exponentialverteilung wird eine exponentialverteilte Zufallsvariable abgebildet. Das kann beispielsweise die Lebensdauer von elektronischen Geräten sein.

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Frage

Nenne, wofür der Parameter \(\lambda\) in folgender Abkürzung steht:

\[Exp(\lambda)\]

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Antwort

Dabei wird \(\lambda\) (Lambda) als Parameter in der Exponentialverteilung verwendet und beschreibt die Zahl der erwarteten Ereignisse pro Zeitintervall. Für den Parameter gilt dabei \(\lambda > 0\).

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Frage

Erläutere, warum die Exponentialverteilung auch als „Gedächtnislos“ bezeichnet wird.

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Antwort

Alles vor dem Berechnungszeitraum ist nicht relevant. Ein Laptop kann sowohl am ersten Tag der Benutzung kaputtgehen als auch erst nach zwei Jahren.

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Frage

Erläutere den Zusammenhang zwischen Erwartungswert und Standardabweichung bei einer Exponentialverteilung.

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Antwort

Der Erwartungswert und die Standardabweichung stimmen bei der Exponentialverteilung überein, da gilt:

\[E(X)=\sigma=\frac{1}{\lambda}\]

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Frage

Nenne die Formel zur Berechnung des Erwartungswertes bei einer Exponentialverteilung.

Antwort anzeigen

Antwort

 \[E(X)=\frac{1}{\lambda}\]

Frage anzeigen

Frage

Nenne ein Beispiel, wofür die Verteilungsfunktion einer Exponentialverteilung verwendet wird.

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Antwort

Mit der Verteilungsfunktion kann beispielsweise die Ausfallwahrscheinlichkeit eines technischen Gerätes ermittelt werden.

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Frage

Nenne die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung.

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Antwort

\begin{align} F(x)=P(X \leq x)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda x} &x\geq0 \\ \hspace{2cm}0&x<0 & \end{cases}\end{align}

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Frage

Beschreibe, wofür die Dichtefunktion verwendet wird und wie der Parameter \(\lambda\) den graphischen Verlauf einer Exponentialverteilung beeinflusst.

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Antwort

Die Dichtefunktion gibt eine Einsicht in die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen. Je größer der Wert \(\lambda\), desto steiler ist der Funktionsgraph.

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Frage

Gib die Dichtefunktion der Exponentialverteilung an.

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Antwort

\begin{align} f_{\lambda}(x)=P(X=x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} &x\geq 0 \\ \hspace{1.4cm} 0, &x<0 \end{cases}\end{align}

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Frage

Entscheide, mit welcher Formel die Varianz einer Exponentialverteilung berechnet wird.

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Antwort

\[Var(X)=\frac{1}{\lambda^2}\]

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Formel zur Berechnung der Varianz der Exponentialverteilung.

Antwort anzeigen

Antwort

\[Var(X)=\frac{1}{\lambda^2}\]

Frage anzeigen

Frage

Berechne die mittlere Lebensdauer Deines Fernsehers, der mit \(\lambda = 0{,}00025\,\frac{1}{h}\) exponentialverteilt ist.

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Antwort

Für diese Berechnung benötigst Du die Formel zur Berechnung des Erwartungswertes und dort setzt Du  \(\lambda=0{,}00025\,\frac{1}{h}\) ein.

\[E(X)=\frac{1}{0{,}00025\,\frac{1}{h}}=4\,000\,h\]

Dein Fernseher hat eine mittlere Lebensdauer von \(4\,000\) Stunden.

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Frage

Entscheide, welche der folgenden Größen nicht normalverteilt ist.

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Antwort

Intelligenz der Menschen

Frage anzeigen

Frage

Fülle den Lückentext:


Die Normalverteilung gehört zu den _______ Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

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Antwort

stetigen

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, wie die Normalverteilung noch genannt werden kann.

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Antwort

Binomialverteilung

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Frage

Bewerte die folgende Aussage;


Die Normalverteilung wird verwendet, um Häufigkeiten von Daten und Beobachtungen darzustellen. 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist wahr.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, welche Besonderheit auch als zentraler Grenzwertsatz bekannt ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Fast jeder Mittelwert einer beliebigen stetigen Verteilung liegt auf der Glockenkurve der Normalverteilung.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, woher der Name „Glockenkurve“ der Normalverteilung kommt.

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Antwort

Der Name „Glockenkurve“ für die Normalverteilung kommt daher, dass der Graph ihrer Dichtefunktion die Form einer Glocke besitzt. 

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Frage

Entscheide, wofür das \(\mu\) in der Dichtefunktion der Normalverteilung steht: \[f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left( \frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\]

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Erwartungswert

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Entscheide, welche der folgenden Eigenschaften die Dichtefunktion der Normalverteilung besitzt.

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Achsensymmetrie

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