In fast allen Medien wird oft fürs Lotto geworben. Errätst Du mit etwas Glück alle zufällig gezogenen Zahlen im Vorhinein, könnten Dich Preise wie mehrere Millionen Euro erwarten. Doch leider ist es nicht nur ein bisschen Glück, das man benötigt, sondern so viel, dass selbst Menschen, die ihr ganzes Leben lang jede Woche am Lotto teilnehmen, mit allergrößter Wahrscheinlichkeit nie gewinnen werden. Wie niedrig muss die Wahrscheinlichkeit für einen Lotto-Gewinn demnach sein, dass so etwas möglich sein kann? In dieser Erklärung erfährst Du, wie Du Deine Gewinnchance mathematisch berechnen kannst.
Lotto – Ablauf & Regeln
Um die Wahrscheinlichkeit eines Lottogewinns zu berechnen, solltest Du wissen, wie die Ziehung überhaupt abläuft. Dabei musst Du bedenken, dass es verschiedene Arten von Lottoziehungen gibt. Die in Deutschland prominenteste Lottoziehung ist die 6 aus 49 plus 1 aus 10. Doch was bedeutet das?
Die Lottoziehung 6 aus 49 plus 1 aus 10 bedeutet, dass aus 49 Zahlen 6 und zusätzlich aus 10 Zahlen eine zufällig ausgewählt werden.
Und wie läuft das Ganze dann ab? Zuerst gibt es einen festgelegten Zeitraum, in dem Du Dein Lottoticket kaufen kannst. Wenn Du Dein Ticket kaufst, wählst Du aus, mit welchen Zahlen Du in der Lottoziehung Dein Glück versuchen möchtest. Nachdem der festgelegte Zeitraum vorbei ist, wird dann die Lottoziehung im Fernsehen ausgestrahlt. Dabei werden aus einem Behälter mit 49 Kugeln, die von 1 bis 49 beschriftet sind, 6 Zahlen zufällig gezogen. Wenn eine Kugel gezogen wurde, wird sie nicht mehr zurückgelegt. Das Gleiche wird dann erneut mit einem Behälter mit Zahlen von 1 bis 10 getan, diese Zahl heißt Superzahl. Dabei wird aber nur eine Zahl aus dem Behälter gezogen.
Dein Gewinn wird dann daran festgelegt, wie viele Zahlen Du im Vorhinein richtig erraten hast.
Lotto Möglichkeiten
Stell Dir vor, Du hast Dein Lottoticket vor Dir und Du erkennst einige Zahlen von der Ziehung wieder. Hast Du jetzt gewonnen? Und wenn ja, wie viel? Insgesamt gibt es neun Gewinnklassen, in der folgenden Tabelle kannst Du nachschauen, in welcher Du landest.
Gewinnklasse | Anzahl richtiger Voraussagen |
I | 6 Richtige und Superzahl |
II | 6 Richtige |
III | 5 Richtige und Superzahl |
IV | 5 Richtige |
V | 4 Richtige und Superzahl |
VI | 4 Richtige |
VII | 3 Richtige und Superzahl |
VIII | 3 Richtige |
IX | 2 Richtige und Superzahl |
Du könntest also bereits mit 2 Richtigen und der Superzahl gewinnen, dieser Gewinn würde jedoch nur in einem einstelligen bis kleinen zweistelligen Bereich liegen. Je weiter Du in der Gewinnklasse hochkommst, umso mehr Geld kannst Du erwarten, doch erst in Gewinnklasse 4 kommst Du in den dreistelligen Bereich. In der zweiten Gewinnklasse bist Du dann im sechsstelligen Bereich und erst bei Gewinnklasse 1 kannst Du damit rechnen, Millionär zu werden.
Lotto-Gewinn Wahrscheinlichkeit – Formel
Wie hoch Deine Chancen auf die jeweiligen Gewinne stehen, kann berechnet werden. Als Basis für die Berechnung gilt immer die Formel für die Wahrscheinlichkeit in einem Laplace-Experiment:
Die Anzahl der gewünschten Ergebnisse ist hier die Anzahl der Kombinationen, mit denen Du gewinnen würdest. Die Reihenfolge ist dabei egal. Das heißt, solltest Du etwa nur auf die drei Zahlen 1, 6 und 40 getippt haben, würdest Du 3 Richtige erhalten für alle Kombinationen, in denen diese drei Zahlen vorkommen. Da die Zahlen jeweils an sechs verschiedenen Positionen stehen können, sind das nicht nur sechs Kombinationen, sondern in dem Fall 20.
Bei dieser Formel ist zu beachten, dass das gewünschte Ergebnis nicht nur aus den gewünschten richtigen Zahlen besteht, sondern auch aus den gewünschten nicht richtigen Zahlen. Wenn Du etwa die Wahrscheinlichkeit für 2 aus 6 richtigen Zahlen berechnen möchtest, ist Dein gewünschtes Ergebnis zwei richtige und vier falsche. Deshalb musst Du für die Anzahl der gewünschten Ergebnisse die Anzahl der richtigen mit der Anzahl der falschen multiplizieren.
Also kannst Du die Formel auch wie folgt schreiben:
In der späteren Formel werden jedoch nicht jedes Mal alle Kombinationen aufgeschrieben und gezählt, stattdessen wird der Binomialkoeffizient verwendet, um die Anzahl an Möglichkeiten zu berechnen:
Der Binomialkoeffizient wird definiert als:
Er gibt die Anzahl an, auf wie viele verschiedene Arten Du k Objekte aus einer Menge von n verschiedenen Objekten auswählen kannst. Dabei wird die Reihenfolge der Ziehung nicht beachtet.
Die Formel des Binomialkoeffizienten wird n über k gesprochen. Auf wissenschaftlichen Taschenrechnern ist diese Formel unter der Taste nCr zu finden.
Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für die x verschiedene Anzahl an "Richtigen" bzw. Treffern im Lotto, berechnest Du jetzt mithilfe des Binomialkoeffizienten gemäß der oben stehenden Formel die jeweiligen Kombinationen für die richtigen Zahlen, die falschen Zahlen und die Anzahl aller möglichen Ergebnisse.
Setzt Du diese Punkte in einer Formel um, dann erhältst Du für die Wahrscheinlichkeit, dass Du in einer Lottoziehung 6 aus 49 x richtige Zahlen erraten hast:
Die Formel setzt sich dabei aus drei Bestandteilen zusammen:
Abbildung 1: Wahrscheinlichkeit für x von 6 Richtige
Diese Formel beinhaltet jedoch noch nicht die Superzahl. Denn, wie Du ja oben in der Tabelle sehen kannst, kannst Du mit etwa zwei Richtigen nur dann einen Gewinn erzielen, wenn Du die Superzahl auch richtig erraten hast. Da die Superzahl von 0 bis 9 geht, musst Du die Wahrscheinlichkeiten für Gewinne mit Superzahl noch mit multiplizieren. Alle Gewinne ohne Superzahl dagegen multiplizierst Du mit \(\dfrac{9}{10}\), da Du nicht die gewinnende Superzahl getippt haben darfst.
Die finale Form zur Berechnung der Gewinnklassen sieht entsprechend wie folgt aus:
und
Möchtest Du jetzt die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn beim Lotto berechnen, kannst Du für x in die jeweilige Formel die Anzahl der Richtigen einsetzen.
Lotto-Formel berechnen
Jetzt, wo Du die Formel zur Berechnung kennengelernt hast, wird es direkt Zeit, sie anzuwenden. Berechne doch einmal die Gewinnchance für die Gewinnklasse 5.
Aufgabe 1
Berechne die Wahrscheinlichkeit, einen Preis der Gewinnklasse 5 zu erzielen.
Lösung
1. Schritt:
Suche Dir zuerst heraus, welche Voraussetzungen Du für die Gewinnklasse 5 erfüllen musst. Wenn Du einen Blick weiter oben in die Tabelle wirfst, siehst Du, dass Du für die Gewinnklasse 5 vier Richtige und die Superzahl erraten haben musst.
2. Schritt:
Jetzt, wo Du die Voraussetzungen kennst, wählst Du die passende Formel aus und setzt die Werte ein. Du nimmst also die Formel für einen Gewinn x mit Superzahl und setzt für x die Zahl 4 ein:
3. Schritt:
Nicht alle Taschenrechner können Binomialkoeffizienten in dieser Form berechnen, schreibe also die Formel in der Fakultätschreibweise auf, wenn nötig:
Zur Erinnerung: Der Binomialkoeffizient entspricht folgender Formel:
4. Schritt:
Gib jetzt den Term in Deinen Taschenrechner ein und notiere das Ergebnis:
Die Wahrscheinlichkeit, 4 Richtige und die Superzahl zu erraten, steht also 1 zu 10324, das entspricht etwa 0,00969 %.
Für die Gewinnklassen 1 bis 9 kommen demnach folgende Wahrscheinlichkeiten heraus:
| Gewinnklasse | Rechnung | Gewinnchance in Prozent |
| 6 Richtige + Superzahl | | 0,000000715 % |
| 6 Richtige ohne Superzahl | | 0,00000644 % |
| 5 Richtige + Superzahl | | 0,000184 % |
| 5 Richtige ohne Superzahl | | 0,00166 % |
| 4 Richtige + Superzahl | | 0,00969 % |
| 4 Richtige ohne Superzahl | | 0,0872 % |
| 3 Richtige + Superzahl | | 0,176 % |
| 3 Richtige ohne Superzahl | | 1,59 % |
| 2 Richtige + Superzahl | | 1,32 % |
Wie Du siehst, sind selbst die Wahrscheinlichkeiten einen kleinen Gewinn zu erreichen sehr gering, die Chance auf den Hauptgewinn ist dementsprechend so schwindend gering, dass die meisten Menschen zu ihren Lebzeiten keinen erzielen werden.
Gewinn berechnen Lotto
Wie Du vielleicht bemerkt hast, findest Du in dieser Erklärung keine festen Zahlen dazu, wie viel Du in den jeweiligen Gewinnklassen gewinnen kannst. Das liegt daran, dass die Höhe der Gewinne, also die Gewinnquoten, bei jeder Ziehung davon abhängig ist, wie viel Geld durch den Verkauf von den Lottotickets erzielt wurde.
Nach jeder Ziehung werden alle Einnahmen addiert und 50 % werden in einen „Gewinntopf“ gegeben. Der Inhalt dieses Gewinntopfs wird dann nach einem bestimmten System auf die verschiedenen Gewinnklassen aufgeteilt.
Die restlichen 50 % der Einnahmen werden zum Großteil zur Finanzierung von sozialen und gemeinnützigen Projekten verwendet!
1. und 9. Gewinnklasse:
Als Erstes wird der Gewinn auf die 1. und 9. Gewinnklasse aufgeteilt. Die erste Gewinnklasse erhält dabei 15 % des Gewinntopfs, während die Gewinnklasse 9 einen Festbetrag von 6 € bekommt.
Die Gewinnklassen 2 bis 8:
Den restlichen Gewinnklassen wird das Restgeld, dann entsprechend der folgenden Prozentsätze zugeordnet:
| Gewinnklasse | Prozentsatz vom übrigen Budget |
| Klasse 2 | 15 % |
| Klasse 3 | 5,2 % |
| Klasse 4 | 15,5 % |
| Klasse 5 | 4,3 % |
| Klasse 6 | 10,2 % |
| Klasse 7 | 8,7 % |
| Klasse 8 | 41,1 % |
Jetzt wunderst Du Dich vielleicht, dass in den niedrigeren Klassen teilweise höhere Prozentzahlen stehen als beim Hauptgewinn. Solltest Du dann bei einem niedrigeren Gewinn mehr Geld bekommen?
Tatsächlich eher nicht, denn auch wenn diese Gewinnklasse mehr Geld aus dem Geldtopf erhält, wird das Geld auf alle Gewinner dieser Gewinnklasse aufgeteilt. In anderen Worten: Je weniger Richtige erzielt werden müssen, umso wahrscheinlicher ist es, dass mehrere Teilnehmer diese Gewinnklasse erreicht haben, mit denen Du dann den Gewinn dieser Gewinnklasse teilen musst. In den besseren Gewinnklassen ist es so schon unwahrscheinlich, dass eine Person genügend Zahlen richtig erraten hat, umso unwahrscheinlicher ist es, dass es neben dieser Person noch weitere gibt, mit denen der Preis dann geteilt werden muss.
Lotto Formel – Das Wichtigste
- Die Lottoziehung 6 aus 49 plus 1 aus 10 bedeutet, dass aus 49 möglichen Zahlen 6 Zahlen und zusätzlich aus 10 Zahlen eine zufällige Zahl ausgewählt werden.
- Dabei gibt es neun Gewinnklassen:
- Gewinnklasse 1: 6 Richtige und Superzahl
- Gewinnklasse 2: 6 Richtige
- Gewinnklasse 3: 5 Richtige und Superzahl
- Gewinnklasse 4: 5 Richtige
- Gewinnklasse 5: 4 Richtige und Superzahl
- Gewinnklasse 6: 4 Richtige
- Gewinnklasse 7: 3 Richtige und Superzahl
- Gewinnklasse 8: 3 Richtige
- Gewinnklasse 9: 2 Richtige und Superzahl
Du berechnest die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Gewinnklassen mit x Richtigen wie folgt:
und
Nach jeder Ziehung werden alle Einnahmen addiert und 50 % werden in einen „Gewinntopf“ gegeben. Der Inhalt dieses Gewinntopfs wird dann nach einem bestimmten System auf die verschiedenen Gewinnklassen aufgeteilt.
Nachweise
- Hans-Jerg Dorn (2012). Formelsammlung Mathematik. Klett
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