Hypergeometrische Verteilung: berechnen

Inhaltsangabe

Wenn du nicht mehr genau weißt, was die Binomialverteilung ist und was ihre Eigenschaften sind, kannst du dir zuerst einmal unseren Artikel zur Binomialverteilung anzuschauen.

Hypergeometrische Verteilung Definition

Bei der hypergeometrischen Verteilung handelt es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Sie wird – ebenso wie die Binomialverteilung – für Zufallsereignisse verwendet, bei denen es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt: Erfolg und Misserfolg.

Die einzelnen Elemente, die der hypergeometrischen Verteilung folgen, können daher in Treffer und Nieten unterteilt werden. Die Verteilung ist also dichotom.

Die hypergeometrische Verteilung unterscheidet sich von der Binomialverteilung dadurch, dass sie von Versuch zu Versuch schwankende Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg berücksichtigt.

Ein typisches Beispiel, in dem die Erfolgsrate mit der hypergeometrischen Verteilung berechnet werden kann, ist das Lottospielen: dadurch, dass die gezogenen Kugeln in einer Ziehung nicht zurück in die Urne gelegt werden, verändern sich die Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen der übrigen Kugeln.

Bei der Binomialverteilung hingegen sind die Wahrscheinlichkeiten für Erfolg bzw. Misserfolg konstant. Das ist zum Beispiel bei dem Ziehen von Kugeln aus einer Urne der Fall, wenn man die gezogene Kugel im Anschluss zurück in die Urne legt.

Hypergeometrische Verteilung berechnen

In diesem Abschnitt lernst du die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion der hypergeometrischen Verteilung kennen.

Außerdem erfährst du, wie der Erwartungswert und die Varianz der hypergeometrischen Verteilung berechnet wird.

Um die Formeln anwenden zu können, solltest du wissen, welche Bedeutung die hier aufgeführten mathematischen Abkürzungen haben:

X: beobachtete Zufallsvariable, folgt der hypergeometrischen Verteilung,
N: Anzahl aller Elemente, die Ergebnisse sein können; N = Anzahl "Treffer" + Anzahl "Nieten",
M: Anzahl der Elemente, die als "Treffer" gelten,
n: Stichprobenumfang; Anzahl an Elementen, die in dieser Stichprobe gezogen werden,
k: Anzahl der in der Stichprobe erzielten "Treffer".

Hypergeometrische Verteilung: Wahrscheinlichkeitsfunktion

Folgt eine Variable der hypergeometrischen Verteilung mit den Parametern N, M und n, schreibt man auch:

$X ~ H G (N, M, n)$

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für X = k sieht folgendermaßen aus:

P (X = k) = \frac{(\begin{matrix} M \\ k \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} N - M \\ n - k \end{matrix})}{(\begin{matrix} N \\ n \end{matrix})}

Mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion kannst du die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer berechnen.

Wenn du aber wissen möchtest, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist zum Beispiel höchstens 2 Treffer zu erzielen, musst du die Einzelwahrscheinlichkeiten für k = 0, k = 1 und k = 2 addieren:

Hypergeometrische Verteilung Erwartungswert

Mithilfe dieser Formel kannst du den Erwartungswert einer Variablen bestimmen, die hypergeometrisch verteilt ist:

Der Erwartungswert einer hypergeometrischen Verteilung berechnet sich aus:

μ = E (X) = n \cdot \frac{M}{N}

Anhand des Erwartungswertes kannst du abschätzen, wie viele Treffer im Schnitt erzielt werden, wenn die Werte für n, M und N konstant bleiben.

Hypergeometrische Verteilung Varianz

Mithilfe dieser Formel kannst du die Varianz einer Variablen bestimmen, wenn diese hypergeometrisch verteilt ist:

Die Varianz einer hypergeometrischen Verteilung berechnet sich aus:

σ^{2} = V a r (x) = n \cdot \frac{M}{N} \cdot (1 - \frac{M}{N}) \cdot \frac{(N - n)}{(N - 1)}

Die Varianz liefert dir Informationen darüber, wie stark die Werte der Verteilung um den Erwartungswert streuen.

Hypergeometrische Verteilung Beispiel

Nachdem du nun alle theoretischen Grundlagen für das Rechnen mit der hypergeometrischen Verteilung kennengelernt hast, werden diese im folgenden Abschnitt auf ein praktisches Beispiel übertragen.

Stell dir vor, du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, beim Lottospielen genau drei Richtige zu tippen. Außerdem möchtest du den Erwartungswert und die Varianz beim Lotto bestimmen.

Beim Lottospiel werden 6 aus 49 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Die Anzahl aller Elemente (N) beträgt 49, da sich so viele Kugeln in der Urne befinden. Weil insgesamt 6 Kugeln aus der Urne gezogen werden und als "Treffer" gelten, gilt für M und n: $M = 6$ und $n = 6$ .

Du bist also an dieser Verteilung interessiert: $X ~ H G (49, 6, 6)$

Wenn du an der Wahrscheinlichkeit für genau drei Richtige im Lotto interessiert bist, beträgt

k = 3

.Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, musst du nun einfach nur die gegebenen Werte in die Formel einsetzen:

P (X = k) = \frac{(\begin{matrix} M \\ k \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} N - M \\ n - k \end{matrix})}{(\begin{matrix} N \\ n \end{matrix})}

Es folgt:

P (X = 3) = \frac{(\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 49 - 6 \\ 6 - 3 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 49 \\ 6 \end{matrix})} = \frac{(\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 43 \\ 3 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 49 \\ 6 \end{matrix})} \approx 0, 01765

Die Wahrscheinlichkeit beim Lotto genau 3 Richtige zu tippen beträgt 1,765 %. Bei etwa jedem 50. Spiel, an dem du teilnimmst, stimmen genau 3 Zahlen deines Tippscheins mit den tatsächlich gezogenen Zahlen überein.Um den Erwartungswert zu berechnen, setzt du die Werte für n, M und N in die dazugehörige Formel ein:

μ = n \cdot \frac{M}{N}

Daraus resultiert:

μ = 6 \cdot \frac{6}{49} = \frac{36}{49} \approx 0, 735

Der Erwartungswert liegt bei etwa 0,735 und damit unter 1. Das bedeutet, dass man beim Lottospiel in der Regel nicht einmal eine einzige Zahl richtig tippt.Nun muss nur noch die Varianz berechnet werden. Aber keine Sorge, auch hier müssen nur die oben bestimmten Werte in die Formel eingesetzt werden:

σ^{2} = n \cdot \frac{M}{N} \cdot (1 - \frac{M}{N}) \cdot \frac{(N - n)}{(N - 1)}

Nach Einsetzen der Werte folgt:

σ^{2} = 6 \cdot \frac{6}{49} \cdot (1 - \frac{6}{49}) \cdot \frac{(49 - 6)}{(49 - 1)} = 6 \cdot \frac{6}{49} \cdot (1 - \frac{6}{49}) \cdot \frac{43}{48} \approx 0, 5776

Die Varianz beim Lottospielen beträgt etwa 0,5776.

Hypergeometrische Verteilung und Binomialverteilung

Die hypergeometrische Verteilung und die Binomialverteilung haben einige Gemeinsamkeiten, aber auch Unterschiede.

Hypergeometrische Verteilung und Binomialverteilung Gemeinsamkeiten

Sowohl die hypergeometrische Verteilung als auch die Binomialverteilung sind diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Außerdem berücksichtigen beide Verteilungsformen nur zwei mögliche Ergebnisse: Erfolg und Misserfolg. Es handelt sich also um dichotome Verteilungen.

Mit beiden Wahrscheinlichkeitsverteilungen soll die Wahrscheinlichkeit für das Erzielen von genau k Treffern berechnet werden.

Hypergeometrische Verteilung und Binomialverteilung Unterschiede

Bei der Binomialverteilung sind die Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg in allen Zügen gleich groß. Das entspricht dem Prinzip "Ziehen mit Zurücklegen".

Bei der hypergeometrischen Verteilung hingegen ändern sich die Erfolgs- und Misserfolgswahrscheinlichkeiten mit jedem Zug, da es sich hier um den Fall "Ziehen ohne Zurücklegen" handelt.

Das hat zur Folge, dass die Menge, aus der gezogen wird, bei der hypergeometrischen Verteilung begrenzt ist. Bei der Binomialverteilung kann diese Menge sowohl begrenzt als auch unbegrenzt sein.

Hypergeometrische Verteilung - Das Wichtigste

Die hypergeometrische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Sie wird für Zufallsexperimente verwendet, in denen es nur zwei Ergebnisse gibt: Erfolg und Misserfolg.
Die hypergeometrische Verteilung berücksichtigt sich verändernde Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg.
Ein typisches Beispiel für die Berechnung der Erfolgswahrscheinlichkeit mithilfe der hypergeometrischen Verteilung ist das Lottospielen.
Von der Idee her ist die hypergeometrische Verteilung der Binomialverteilung sehr ähnlich.
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von X = k Treffern wird mit dieser Formel berechnet: $P (X = k) = \frac{(\begin{matrix} M \\ k \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} N - M \\ n - k \end{matrix})}{(\begin{matrix} N \\ n \end{matrix})}$ .

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Was ist die Besonderheit der hypergeometrischen Verteilung?

Die Besonderheit der hypergeometrischen Verteilung ist, dass sie Versuch zu Versuch schwankende Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg berücksichtigt.

Was sind die Gemeinsamkeiten von hypergeometrischer Verteilung und Binomialverteilung?

diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
dichotome Verteilungen: nur Erfolg bzw. Misserfolg möglich
Berechnung des Erzielen von genau k Treffern

Was sind die Unterschiede zwischen hypergeometrischer Verteilung und Binomialverteilung?

Binomialverteilung:

Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg in allen Zügen konstant
Prinzip "Ziehen mit Zurücklegen"
Menge, aus der gezogen wird begrenzt oder unbegrenzt

hypergeometrische Verteilung:

Erfolgs- und Misserfolgswahrscheinlichkeiten ändern sich mit jedem Zug
Prinzip "Ziehen ohne Zurücklegen"
Menge, aus der gezogen wird, ist begrenzt

Was ist k bei der hypergeometrischen Verteilung?

k ist die Anzahl der in der Stichprobe erzielten Treffer

Du ziehst aus einer Urne mit 8 blauen und 12 weißen Kugeln 5 Kugeln ohne Zurücklegen. Dein Ziel ist es, möglichst viele blaue Kugeln zu ziehen.

Bestimme M, N, und n.

M=8

N=20

n=5

Nenne ein typisches Beispiel für die hypergeometrische Verteilung!

das Lottospiel ist ein typisches Beispiel

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Hypergeometrische Verteilung

Wann nutze ich eine Binomialverteilung und wann eine hypergeometrische Verteilung?

Bei der Binomialverteilung sind die Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg in allen Zügen gleich groß. Das entspricht dem Prinzip "Ziehen mit Zurücklegen".

Bei der hypergeometrischen Verteilung hingegen ändern sich die Erfolgs- und Misserfolgswahrscheinlichkeiten mit jedem Zug, da es sich hier um den Fall "Ziehen ohne Zurücklegen" handelt.

Was ist eine hypergeometrische Verteilung?

Bei der hypergeometrischen Verteilung handelt es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird für Zufallsereignisse verwendet, bei denen es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt: Erfolg und Misserfolg. Die Verteilung ist also dichotom.

Die hypergeometrische Verteilung berücksichtigt sich verändernde Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg, wie es bei einer Urne ohne Zurücklegen der Fall ist.

Wann benutze ich die Poisson Verteilung?

Die Poisson-Verteilung ist eine Verteilung, die bei seltenen Ereignissen genutzt wird.

Sie stellt die genaue Binomialverteilung vereinfacht dar, da diese bei seltenen Ereignissen sehr aufwändig zu berechnen ist.

Die Konvention ist, dass die Poisson-Verteilung verwendet wird, wenn n größer als 100 und p kleiner als 0,1 ist.

Ist eine Binomialverteilung ohne zurücklegen?

Bei der Binomialverteilung sind die Wahrscheinlichkeiten für Erfolg bzw. Misserfolg konstant. Das entspricht dem Prinzip "Ziehen mit Zurücklegen".

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