Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Münzwurf die Kopfseite oben liegt? Bei einer fairen Münze liegt die Wahrscheinlichkeit bei 50 Prozent. Wenn Du Dir eine Münze zur Hand nimmst und diese 10-mal hochwirfst, sollte nach der Wahrscheinlichkeit dabei 5-mal die Kopfseite und 5-mal die Zahlseite oben liegen. Fällt bei Deinen 10 Würfen aber nur 4-mal Kopf, ist dies nicht etwa darauf zurückzuführen, dass Deine Münze gezinkt ist. Der Grund dafür liegt im Gesetz der großen Zahlen. Worum es sich dabei genau handelt, erfährst Du im Folgenden.
Gesetz der großen Zahlen – Grundlagenwissen
Bei dem Münzwurfbeispiel handelt es sich um ein Zufallsexperiment, das zwei mögliche Ereignisse als Ausgang haben kann.
| Die Kopfseite liegt oben → Ereignis K | Die Zahlseite liegt oben → Ereignis Z |
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Beide Ereignisse sind gleich wahrscheinlich. Die theoretische Wahrscheinlichkeit, bei einem Münzwurf die Kopfseite zu treffen, beträgt also 50 Prozent. Die mathematische Schreibweise sieht dabei wie folgt aus:
Neben der Wahrscheinlichkeit p(X) gibt es noch die Begriffe der absoluten und relativen Häufigkeiten eines Zufallsereignisses.
Absolute Häufigkeiten
Die absolute Häufigkeit ist im weiteren Sinne mit dem Wort Anzahl gleichzusetzen.
Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein bestimmtes Ereignis X innerhalb eines Zufallsexperimentes mit n Versuchen eintritt.
Die mathematische Schreibweise lautet wie folgt:
Du wirfst 10-mal die Münze. Gesucht ist die Anzahl der Würfe, bei dem die Kopfseite oben liegt.
In diesem Beispiel liegt die Kopfseite bei vier Würfen oben. Die absolute Häufigkeit von dem Ereignis K lautet dann wie folgt:
Relative Häufigkeiten
Die relative Häufigkeit hängt direkt mit der absoluten Häufigkeit zusammen.
Die relative Häufigkeit eines Zufallsereignisses X beschreibt den Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtmenge n der Versuche. Hierbei handelt es sich also um eine Zahl, die zwischen 0 und 1 liegt.
Du kannst die relative Häufigkeit eines Zufallsereignisses berechnen, indem Du die absolute Häufigkeit durch die Gesamtmenge der Versuche teilst:
Um die relative Häufigkeit vom Ereignis K zu berechnen, teilst Du die absolute Häufigkeit H10(K) = 4 durch die Gesamtanzahl der Würfe. In diesem Fall hast Du 10-mal die Münze geworfen.
Gesetz der großen Zahlen – Definition
Das Gesetz der großen Zahlen (Abkürzung GGZ) wurde von Jakob Bernoulli, einem Schweizer Mathematiker, 1713 erfunden. Es handelt sich dabei um Grenzwertsätze der Stochastik, also der Wahrscheinlichkeitsehre.
Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit hn(X) eines Zufallsereignisses X immer weiter an die theoretische Wahrscheinlichkeit P(X) dieses Ereignisses annähert, je häufiger das Zufallsexperiment durchgeführt wird.
Die mathematische Form des Grenzwertsatzes lautet dabei wie folgt:
- n steht für die Stichprobengröße
- hn(X) steht für die relative Häufigkeit vom Ereignis X
- P(X) steht für die theoretische Wahrscheinlichkeit von Ereignis X
- steht für eine beliebige positive Zahl
Der Grenzwertsatz sagt Folgendes aus:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer unendlich großen Stichprobenmenge die Differenz zwischen der relativen Häufigkeit und der theoretischen Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses X kleiner als eine beliebig kleine positive Zahl ist, liegt bei 100 Prozent.
Bei einer unendlichen Anzahl von Durchgängen eines Zufallsexperimentes unterscheidet sich demnach die relative Häufigkeit nicht mehr von der theoretischen Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses.
Gesetz der großen Zahlen – Beispiel
Was bedeutet das konkret für das Münzwurfbeispiel?
Die zu erwartende Wahrscheinlichkeit p(K), dass bei einem Münzwurf die Kopfseite oben ist, liegt bei 50 Prozent.
Wenn Du die Münze 10-mal hochwirfst, müsste demnach 5-mal die Kopfseite und 5-mal die Zahlseite oben liegen. Entgegen dieser Annahme zeigt die Münze aber nur 4-mal Kopf und 6-mal Zahl. Die relative Häufigkeit h(k) für Kopf liegt also nur bei 40 Prozent.
Wirfst Du jetzt die Münze im nächsten Experiment statt 10-mal, 100-mal hoch, ändert sich diese relative Häufigkeit h(K). Jetzt zeigt die Münze nämlich 44-mal Kopf und 46-mal Zahl. Das entspricht dann einer relativen Häufigkeit h(K) für Kopf von 44 Prozent.
Abbildung 1: relative Häufigkeitsverteilung für die Kopfseite im Vergleich mit der theoretischen Wahrscheinlichkeit
Die relative Häufigkeit hat sich bei 100 Würfen der theoretischen Wahrscheinlichkeit P(K) von 50 Prozent weiter angenähert. Erhöhst Du die Anzahl der Würfe jetzt immer weiter, kannst Du sehen, wie die Differenz zwischen der relativen Häufigkeit h(K) und der theoretischen Wahrscheinlichkeit P(K) immer kleiner wird.
| Anzahl Würfe | davon Kopf | relative Häufigkeit h(k) | Differenz |
| 100 | 44 | 44% | 6% |
| 1000 | 470 | 47% | 3% |
| 10000 | 4940 | 49,4% | 0,6% |
| 100000 | 49960 | 49,96% | 0,04% |
Bei 100 000 Würfen weicht die relative Häufigkeit h(K) Kopf zu treffen, nur noch um 0,04 % von der theoretischen Wahrscheinlichkeit ab. Bei einer unendlichen Anzahl von Münzwürfen entspricht die relative Häufigkeit dann praktisch der theoretischen Wahrscheinlichkeit P(K) von 50 Prozent.
Schwaches & starkes Gesetz der großen Zahlen – Unterschied
Du hast bereits gelernt, dass sich die relative Häufigkeit an die theoretische Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses mit einer hohen Stichprobenzahl annähert. Dieser Zusammenhang gilt auch für Erwartungswerte von Zufallsvariablen. Das arithmetische Mittel einer großen Stichprobe nähert sich nämlich dem Erwartungswert der Grundgesamtheit an.
Das arithmetische Mittel bezieht sich auf eine konkrete Stichprobe Deines Zufallsexperimentes, von der Du den Durchschnittswert ermittelst. Der Erwartungswert geht von einer unendlich großen Stichprobe aus und gibt den Wert an, der langfristig zu erwarten ist.
Bei dem Gesetz der großen Zahlen wird zwischen einem starken und einem schwachen Gesetz unterschieden. Dabei geht es darum, wie sicher die beobachtete Größe wirklich gegen den theoretischen Erwartungswert eines Zufallsereignisses mit einer großen Stichprobe konvergiert.
Bei dem schwachen Gesetz der großen Zahlen ist die Annäherung des Mittelwertes einer unendlichen Folge von Zufallsvariablen an den theoretischen Erwartungswert stochastisch wahrscheinlich. Vom starken Gesetz der großen Zahlen wird gesprochen, wenn diese Annäherung nahezu sicher ist.
Das starke Gesetz der großen Zahlen schließt das schwache Gesetz mit ein. Gilt bei einer Folge von Zufallsvariablen das starke Gesetz, schließt dies das schwache Gesetz der großen Zahlen mit ein.
Der nächste Abschnitt zeigt die unterschiedlichen Grenzwertsätze der beiden Gesetze nochmal genauer an.
Schwaches Gesetz der Großen Zahlen
Du hast bereits einen Grenzwertsatz des Gesetzes der großen Zahlen kennengelernt. Hier geht es aber nicht um die relativen Häufigkeiten, sondern um den Mittelwert von Zufallsvariablen.
Für das schwache Gesetz der großen Zahlen gilt folgender Grenzwertsatz:
- n steht für die Stichprobenzahl
- steht für den Mittelwert der Stichproben n
- steht für den theoretischen Erwartungswert
- steht für eine beliebige positive Zahl
Der Grenzwertsatz liest sich wie folgt:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Differenz des Mittelwertes einer unendlichen Folge von Zufallsvariablen und des Erwartungswertes kleiner als eine beliebig kleine positive Zahl ist, liegt bei 100 Prozent und ist somit stochastisch wahrscheinlich.
Starkes Gesetz der großen Zahlen
Das starke Gesetz beschreibt die fast sichere Konvergenz des Mittelwertes einer unendlichen Folge von Zufallsvariablen an den Erwartungswert .
Für das starke Gesetz der großen Zahlen gilt folgender Grenzwertsatz:
- n steht für die Stichprobenzahl
- steht für den Mittelwert der Stichproben n
- steht für den theoretischen Erwartungswert
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer unendlichen Folge von Zufallsvariablen der Mittelwert
dem Erwartungswert
entspricht, liegt bei 100 Prozent, ist also fast sicher.
Gesetz der großen Zahlen – Anwendungsbereiche
Im Folgenden erfährst Du nun, in welchen Bereichen das Gesetz der großen Zahlen eine praktische Anwendung findet.
Gesetz der großen Zahlen bei der Versicherung
Gerade für die Versicherung ist das Gesetz der großen Zahlen von großer Bedeutung. Diese nutzen es dafür, eine ungefähre Vorhersage über den zukünftigen Schadensverlauf zu treffen. Je mehr Personen, Güter und Sachwerte nämlich versichert sind, desto weniger Einfluss hat der Zufall auf die Gesamtheit der Versicherten. Individuelle Aussagen darüber, wer welchen Schaden haben wird, kann das Gesetz dabei nicht treffen.
Gesetz der großen Zahlen in der Medizin
Bei der Medizin oder auch allgemein in der Forschung wird das Gesetz der großen Zahlen ebenfalls angewendet. Dort soll eine hohe Anzahl von Versuchen unter denselben Bedingungen dafür sorgen, dass Messfehler keinen Einfluss auf das Ergebnis nehmen können. Darüber hinaus ermöglicht eine hohe Anzahl an Testpersonen eine genauere Aussage über die Wirksamkeit von Medikamenten.
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