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Diskrete Verteilung

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Diskrete Verteilung

Deine Freunde und Du seid Euch uneinig, ob Ihr in den Freizeitpark oder ins Schwimmbad gehen möchtet. Ihr werft eine Münze, um Euch zu entscheiden. Bei Kopf geht Ihr in den Freizeitpark und bei Zahl ins Schwimmbad. Es gibt also zwei mögliche Ausgänge mit der gleichen Wahrscheinlichkeit: Kopf oder Zahl.

Beim Versuch, Euch für eine der beiden Möglichkeiten zu entscheiden, handelt es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung Definition

Bei Zufallsexperimenten gibt es oft viele verschiedene Ausgänge und für jeden dieser Ausgänge gibt es eine bestimmte Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeiten werden also auf alle möglichen Ausgänge verteilt und ergeben zusammen wieder 100%.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen kannst Du als Zuordnung verstehen. Sie ordnen jedem möglichen Wert der Zufallsvariable eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null zu.

Betrachte den Münzwurf:

Wirfst du eine Münze, kannst Du einen der zwei Ausgänge erwarten. Entweder Du erhältst Kopf, oder Zahl.

Da beide Seiten der Münze gleich wahrscheinlich sind, erhältst Du die Wahrscheinlichkeiten

und

.

Dem Ereignis "Kopf" wird eine Wahrscheinlichkeit von 50% zugeordnet, sowie auch dem Ereignis "Zahl" eine Wahrscheinlichkeit von 50% zugeordnet wird.

Diskrete Zufallsvariable

Ob eine Wahrscheinlichkeitsverteilung diskret oder stetig ist, hängt davon ab, ob ihre Zufallsvariable diskret oder stetig ist.

Aber was sind eigentlich Zufallsvariablen und was bedeutet das?

Zufallsvariablen geben alle möglichen Ausgänge eines Zufallsexperimentes an.

Die Art des Experimentes und somit die möglichen Ausgänge entscheiden darüber, ob eine Zufallsvariable X diskret oder stetig ist.

Von einer diskreten Zufallsvariable sprichst Du, wenn diese endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt.

"abzählbar unendlich" bedeutet, dass die Ereignisse theoretisch durchnummeriert werden können.

Greife das Beispiel aus der Einleitung wieder auf:

Bei dem Münzwurf gibt es die beiden Möglichkeiten "Kopf" oder "Zahl".

Die Zufallsvariable X nimmt also zwei verschiedene – und damit endlich viele – Werte an.

Zufallsvariablen können, wie oben bereits gesagt, nicht nur diskret, sondern auch stetig sein.

Stetige Zufallsvariable

Die stetigen Zufallsvariablen können auch als kontinuierliche Zufallsvariablen benannt werden.

Im Gegensatz zu diskreten Zufallsvariablen nehmen stetige Zufallsvariablen unendlich viele oder überabzählbar viele verschiedene Werte an.

Überabzählbar nennt man Mengen genau dann, wenn sie eben nicht abzählbar sind. Ihre Elemente können also nicht durchnummeriert werden, da es zwischen zwei Werten wieder unendlich viele weitere Werte gibt.

Besonders häufig beschreiben stetige Zufallsvariablen Fälle, in denen z.B. die Zeit oder eine Strecke gemessen werden. Dadurch wird die Wahrscheinlichkeit meist nicht für einen bestimmten Wert, sondern für ein bestimmtes Intervall angegeben.

Liegt eine stetige Zufallsvariable vor, wird bei der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilung von einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung gesprochen. Analog kannst du auch hier von einer kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilung sprechen. Mehr zu diesem Thema findest Du im Artikel zu diesem Thema.

Mit diesen Erkenntnissen lässt sich die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung definieren.

Die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariable.

Die Zufallsvariable einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung nimmt also nur endlich (oder albzählbar unendlich) viele Werte an.

Darstellung diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Hast Du eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben, gibt es zwei Möglichkeiten diese grafisch darzustellen.

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Bei diskreten Zufallsvariablen nennst Du die Dichtefunktion auch Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Im Beispiel mit den Losen wäre die zugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion

.

Diese sieht wie folgt aus:

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen Wahrscheinlichkeitsfunktion StudySmarterAbbildung 1: Wahrscheinlichkeitsfunktion

Bei der Wahrscheinlichkeitsfunktion ist es wichtig zu beachten, dass gilt.

Verteilungsfunktion

Durch die Verteilungsfunktion kannst Du besonders gut erkennen, wie groß die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis "kleiner" dem anderen ist und wie sich die Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse zu Eins aufsummieren.

Charakteristisch für die Verteilungsfunktion diskreter Zufallsvariablen ist die Stufenform, wie Du sie unten im Beispiel erkennen kannst.

Die Verteilungsfunktion für den Münzwurf ist

Dabei entspricht die 0 dem Ereignis "Kopf" und die 1 dem Ereignis "Zahl".

In einem Koordinatensystem sieht die Verteilungsfunktion so aus:

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen Verteilungsfunktion StudySmarterAbbildung 2: Verteilungsfunktion

Beispiele für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Nun weißt Du schon, welche Bedingungen erfüllt sein müssen, damit du von einer diskreten Wahrscheinlichkeit sprechen kannst. Im Folgenden kannst Du in diesem Zusammenhang häufig vorkommende Verteilungen betrachten.

Bernoulli-Verteilung

Eine Bernoulli-Verteilung hast Du eben schon kennengelernt: Der Münzwurf.

Bernoulli-Verteilungen sind Verteilungen, bei welchen die Zufallsgröße nur zwei verschiedene Werte annehmen kann.

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen Bernoulli-Verteilung StudySmarter

Das eine Ereignis besitzt die Gegenwahrscheinlichkeit des anderen.

Meistens werden die zwei möglichen Fälle mit 0 und 1 beschrieben. Du kannst die beiden Ereignisse aber auch wie oben im Beispiel mit "Kopf" und "Zahl" oder Ähnlichem benennen.

Bei einem Münzwurf gibt es zwei mögliche Ereignisse.

  • "Kopf" mit der Wahrscheinlichkeit
  • "Zahl" mit der Gegenwahrscheinlichkeit

Binomialverteilung

Die Binomialverteilung beschreibt die n-fache Wiederholung eines Bernoulli-Experiments.

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Binomialverteilung, wenn ihre Zufallsvariable binomial verteilt ist. Sie beschreibt ein Bernoulli-Experiment, welches n-mal wiederholt wird. Wie es charakteristisch für das Bernoulli-Experiment ist, gibt es auch hier nur zwei mögliche Ereignisse:

  • Ein Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit p
  • Ein Ereignis B mit der Gegenwahrscheinlichkeit 1-p

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen Binomialverteilung StudySmarter

f(x) stellt die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Binomialverteilung dar, wobei n der Anzahl der Wiederholungen und k der Anzahl des Eintretens des gewünschten Ereignisses entspricht.

Wichtig ist, dass sich die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse nicht ändern. Es wird also, anders als bei der hypergeometrischen Verteilung, "zurückgelegt".

Der Binomialkoeffizient wird berechnet durch

In einem Beutel befinden sich 10 blaue und 5 rote Murmeln.

Es gibt die beiden Ereignisse "blaue Murmel" und "rote Murmel" und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten wären

und

.

Du ziehst einmal und da Du die gezogene Murmel wieder zurücklegst, bleiben die Wahrscheinlichkeiten für die weiteren Züge gleich.

Hypergeometrische Verteilung

Die hypergeometrische Verteilung ähnelt der Bernoulli-Verteilung insoweit, dass es auch hier nur zwei mögliche Ereignisse gibt.

Die hypergeometrische Verteilung beschreibt Experimente, bei denen es nur zwei mögliche Ereignisse gibt und nicht zurückgelegt wird. Die Ereignismenge wird also mit jedem Durchlauf kleiner und die Wahrscheinlichkeiten verändern sich entsprechend.

Der Name dieser Verteilung stammt von der hypergeometrischen Funktion, die Teil der hypergeometrischen Verteilung ist.

Ein beliebtes Anwendungsgebiet dieser Verteilung sind Qualitätskontrollen, da als defekt ausgemachte Teile natürlich nicht wieder in den Produktionsprozess eingebunden werden.

Betrachte hier das Beispiel von oben, damit die Auswirkung des "Nicht-Zurücklegens" klarer wird.

In einem Beutel befinden sich 10 blaue und 5 rote Murmeln.

Es gibt die beiden Ereignisse "blaue Murmel" und "rote Murmel" und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten wären

und

.

Angenommen, Du ziehst einmal, erhältst eine blaue Murmel und legst diese nicht zurück, verändern sich die Wahrscheinlichkeiten für den zweiten Zug wie folgt:

und

Poisson-Verteilung

Mit dem Begriff "Poisson" ist hier nicht die Übersetzung "Fisch" aus dem Französischen gemeint, sondern der Mathematiker Siméon Denis Poisson, nachdem sie benannt wurde.

Bei dieser Verteilung kommt ein Aspekt ins Spiel, welcher bei den vorigen Verteilungen noch nicht betrachtet wurde: die Zeit.

Die Poisson-Verteilung beschreibt Zufallsexperimente, bei denen die Anzahl eines bestimmten Ereignisses über einen bestimmten Zeitraum betrachtet wird.

Typische Anwendungen dieser Verteilung sind Zuflussraten, wie beispielsweise diese:

Um 14 Uhr startet das Fußballspiel. Wie viele Leute betreten von 13 Uhr bis 13:30 Uhr das Stadion?

Betrachtest Du nun rückblickend die oben aufgeführten diskreten Wahrscheinlichkeiten, kannst Du erkennen, dass ihre zugehörigen Zufallsvariablen endlich viele Werte annehmen:

  • Beim Münzwurf die Werte "Kopf" oder "Zahl".
  • Im Murmelsäckchen die Farbe "rot" oder "blau".
  • Die Anzahl der Leute, die das Stadion betreten.

Diese Erkenntnis wird dir helfen, bei den folgenden Übungsaufgaben zu entscheiden, ob es sich um diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen handelt

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Übungen

Hier kannst Du gleich testen, ob Du diskrete Wahrscheinlichkeiten erkennen kannst.

Aufgabe 1

Entscheide anhand der gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung, ob es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt.

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen Wahrscheinlichkeitsfunktion StudySmarterAbbildung 3: Wahrscheinlichkeitsfunktion des Zufallsexperiments

Ein zugehöriges Zufallsexperiment könnte sein:" In einem Säckchen befinden sich vier grüne Murmeln, 6 blaue und zwei Rote. Du ziehst eine Murmel aus dem Säckchen. Mit welchen Wahrscheinlichkeiten ziehst du die entsprechenden Farben?"

Lösung

Da es nur die drei verschiedene Ausgänge "grün", "blau" und "rot" und somit endlich viele Ereignisse gibt, handelt es sich bei dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Aufgabe 2

Dir sind zwei Zufallsexperimente A und B gegeben. Entscheide, welches der beiden durch eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben wird.

  1. Du füllst Wasser in ein Glas. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Füllmenge genau beträgt?
  2. Du ziehst ein Los aus einem Lossäckchen, in welchem sich 10 Nieten und 2 Gewinne befinden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielst du einen Gewinn?

Lösung

Zufallsexperiment B wird durch eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben.

Bei dem Zug aus dem Lossäckchen können nur zwei mögliche und somit endlich viele Ereignisse eintreffen:

  • du ziehst eine Niete
  • du ziehst einen Gewinn

Es handelt sich um ein Bernoulli-Experiment.

Zufallsexperiment A hingegen wird durch eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben, da die Zufallsvariable , welche die Füllmenge des Glases wiedergibt, theoretisch unendlich viele Werte annehmen kann:

Zwischen der Füllmenge und liegen die Werte , , ... .

Zwischen der Füllmenge und liegen wiederum die Werte , ... .

Du könntest unendlich lange so weiter machen.

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung - Das Wichtigste

  • Wahrscheinlichkeitsverteilungen kannst Du als Zuordnung verstehen. Sie ordnen jedem möglichen Wert der Zufallsvariable eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null zu.
  • Zufallsvariablen geben alle möglichen Ausgänge eines Zufallsexperimentes an.
  • Von einer diskreten Zufallsvariable spricht man, wenn diese endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt.
  • Die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariable.
  • Bernoulli-Verteilungen sind Verteilungen, bei denen die Zufallsgröße nur zwei verschiedene Werte annehmen kann.
  • Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Binomialverteilung, wenn ihre Zufallsvariable binomial verteilt ist.
  • Die hypergeometrische Verteilung beschreibt Experimente, bei welchen es nur zwei mögliche Ereignisse gibt und nicht zurückgelegt wird. Die Ereignismenge wird also mit jedem Durchlauf kleiner und die Wahrscheinlichkeiten verändern sich entsprechend.
  • Die Poisson-Verteilung beschreibt Zufallsexperimente, bei denen die Anzahl eines bestimmten Ereignisses über einen bestimmten Zeitraum betrachtet wird.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Diskrete Verteilung

Von einer diskreten Zufallsvariable spricht man, wenn diese endlich viele oder albzählbar unendlich viele Werte annimmt.

Die Binomialverteilung beschreibt ein Bernoulli-Experiment, welches n-mal wiederholt wird. Wie es charakteristisch für das Bernoulli-Experiment ist, gibt es auch hier nur zwei mögliche Ereignisse. Deshalb kann die Zufallsvariable nur endlich viele Werte annehmen kann und ist somit diskret.

Es gibt diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Die Zufallsvariable diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen nimmt nur endlich viele Werte an, während die Zufallsvariable stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen unendlich viele Werte annimmt.

Finales Diskrete Verteilung Quiz

Frage

Berechne mit Hilfe der Binomialverteilung!


Bei einem Test gibt es 12 Fragen mit jeweils drei Antworten, von denen nur eine richtig ist. Der Schüler kreuzt bei jeder Frage rein zufällig eine Antwort an.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er


  1. genau fünf richtige Antworten?
  2. mindestens zehn richtige Antworten?
  3. höchstens eine richtige Antwort?
  4. mehr als neun richtige Antworten?
Antwort anzeigen

Antwort

a) 19,08%

b) 0,05%

c) 0,54%

d) 0,05%

Frage anzeigen

Frage

Ein Schüler hat 80% der zu lernenden Latein-Vokabeln gelernt. Bei der Prüfung wird er 5 zufällig ausgewählte Vokabeln gefragt. Die Prüfung gilt als bestanden, wenn er mindestens drei der Vokabeln kann. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in %, gerundet auf eine ganze Zahl), dass der Schüler die Prüfung besteht?

Antwort anzeigen

Antwort

94%

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Frage

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariable Z?

Antwort anzeigen

Antwort

Var(Z) = n · p · (1 – p).

Frage anzeigen

Frage

Wie wird der Erwartungswert für die Nullhypothese berechnet?

Antwort anzeigen

Antwort

E(X) = n ⋅ p0

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Frage

Eine Firma stellt Volleybälle her. Aus langjähriger Erfahrung weiß man, dass 12% aller produzierten Bälle fehlerhaft sind. In der Endkontrolle werden 15 Bälle zufällig ausgewählt und kontrolliert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit 


  1. sind genau vier Bälle fehlerhaft? 
  2. sind höchstens 5 Bälle fehlerhaft? 
  3.  sind mehr als vier Bälle fehlerhaft? 
  4.  sind mindestens zwei, aber weniger als fünf Bälle fehlerhaft?
Antwort anzeigen

Antwort

a. 7%

b. 99%

c. 97%

d. 53%

Frage anzeigen

Frage

Eine Maschine produziert Bleche mit einer Dicke von durchschnittlich 0,9 mm. Die Standardabweichung beträgt 0,05 mm. 


Berechnen Sie den Prozentsatz der Bleche, die dicker als 0,75 mm sind.

Antwort anzeigen

Antwort

99,87%

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Frage

Bearbeite die folgende Aufgabe!


Ein großes Möbelhaus hat in seinem Sortiment einen Kleiderschrank, bei dem für den Zusammenbau 48 Schrauben der Sorte A und 21 Schauben der Sorte B benötigt werden. Vom Lieferanten der Schrauben weiß man, dass 3% der Schrauben von Sorte A und 4% von Sorte B Fehler aufweisen und nicht für den Zusammenbau geeignet sind.

  1.  Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ausreichend fehlerfreie Schrauben von Typ A vorhanden sind, wenn der Bausatz 50 Schrauben der Sorte A enthält.
  2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die 25 Schrauben der Sorte B, die der Bausatz enthält nicht ausreichen um den Schrank komplett zusammen zu bauen.
  3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann der Schrank unter den in a. und b. gegebenen Voraussetzungen aufgebaut werden?
  4. Gib dem Möbelhaus auf Basis deiner Ergebnisse eine sinnvolle Empfehlung für die Anzahl der im Bausatz beigefügten Schrauben von Typ A und B.
Antwort anzeigen

Antwort

  1. 0,8108 = 81,1%
  2. 0,00278 = 0,3%
  3. 0,80855 = 80,9%
  4. z.B. mehr Schrauben der Sorte A beifügen, um die Kundenzufriedenheit zu erhöhen.
Frage anzeigen

Frage

Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten!


Ein Fußballer hat beim Elfmeterschießen eine Trefferquote von 75%

  1. Wie wahrscheinlich ist es, dass er bei 10 Versuchen mindestens 8-mal trifft?
  2. Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass er höchstens 5 von 10 Schüssen trifft.
  3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mehr als 8 aber weniger als 12 von 15 Elfmetern?
  4. Durch intensives Training konnte er seine Erfolgsquote um 10% steigern. Wie wahrscheinlich ist es nun, dass er von 20 Elfmetern mehr als 4 vergibt?
Antwort anzeigen

Antwort

  1. 0,52559 = 52,6%
  2. 0,07813 = 7,8%
  3. 0,48209 = 48,2%
  4. 0,17015 = 17,0%
Frage anzeigen

Frage

In einer Fabrik wird ein neues Herstellungsverfahren eingeführt. Der Ausschussanteil soll auf 10% gesenkt werden. Dies soll anhand eines Hypothesentests auf einem Signifikanzniveau von 5% und eine Stichprobenumfang von 100 Filtern geprüft werden.


a. Ermitteln Sie einen kritischen Wert k.

b. Formulieren Sie eine Entscheidungsregel.

Antwort anzeigen

Antwort

a. k=2

b. Es darf nicht mehr als 1 Filter defekt sein.

Frage anzeigen

Frage

Eine faire Münze wird n mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für k mal Kopf:


  1. n= 8k =3
  2. n= 12, k=4
  3. n= 20, k=7
Antwort anzeigen

Antwort

  1. 21,875%
  2. 12,085%
  3. 7,393%
Frage anzeigen

Frage

Eine fairer Würfel (1-6 Augen) wird n mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für k mal die Augenzahl "6":

 

  1. n=10, k =3
  2. n=16, k =2
  3. n=20, k=5
Antwort anzeigen

Antwort

  1. 15,505%
  2. 25,962%
  3. 12,941%
Frage anzeigen

Frage

Eine fairer Würfel (1-6 Augen) wird 10 mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau


  1. 4 mal eine gerade Zahl
  2. 3 mal eine Zahl größer als 4
  3. 6 mal eine Zahl kleiner als 5
Antwort anzeigen

Antwort

  1. 20,507%
  2. 26,012%
  3. 22,761%
Frage anzeigen

Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse


Ein Würfel (6-Seiten) wird insgesamt 10 Mal geworfen

  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit nur beim ersten Wurf eine sechs zu Würfeln?
  2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeiten, dass bei den 10 Würfen genau eine sechs geworfen wird (egal bei welchem Wurf)?
  3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mindestens 2 Mal eine sechs zu würfeln?


Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 3,2 %
  2. 32,3%
  3. 80,6%
Frage anzeigen

Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse


Aus einem Set mit Pokerkarten (52 Karten, davon je 13 in Herz, Karo, Pik und Kreuz) werden zufällig 10 Karten gezogen. Die gezogene Karte wird danach wieder in den Stapel gelegt.

  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur die ersten beiden gezogenen Karten Herz sind?
  2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau 3 Karos zu ziehen?
  3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass von den 10 gezogenen Karten exakt 4 rot sind.


Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 0,6 %
  2. 25,0 %
  3. 20,5 %
Frage anzeigen

Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse 


Ben spielt gerne Basketball und hat herausgefunden, dass seine Trefferquote bei Freiwürfen 8/10 beträgt. In einer Trainingssession wirft er 20 Freiwürfe.

  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er nur den ersten und den letzten Ball verwirft?
  2. Er möchte sich weiter verbessern und fragt sich, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass er mit seiner Trefferquote nur drei Fehlwürfe hat
  3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er mindestens 2 Fehlwürfe hat
  4. Wie hoch müsste Bens Trefferquote sein, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% alle 20 Freiwürfe trifft?


Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 0,1%
  2. 20,5%
  3. 93,1%
  4. 96,6%
Frage anzeigen

Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse 


Eine Maschine produziert Kugellager, welche zu 95% den Anforderungen entsprechen. Zur Qualitätskontrolle werden 50 Kugellager zufällig ausgewählt.


  1. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass unter den kontrollierten Teilen genau 5 fehlerhaft sind.
  2. Die Vorgabe gibt an, dass unter den 50 kontrollierten Teilen mindestens 48 den Anforderungen entsprechen sollen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit hierfür?
  3. Durch eine Optimierung der Maschine soll erreicht werden, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% alle Teile den Anforderungen entsprechen. Mit welcher neuen Wahrscheinlichkeit muss ein von der Maschine hergestelltes Kugellager nun in Ordnung sein?


Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 6,6%
  2. 54,1%
  3. 98,6%
Frage anzeigen

Frage

"Die hypergeometrische Verteilung ist eine stetige Verteilung."

Richtig oder falsch?

Antwort anzeigen

Antwort

Falsch! Bei der hypergeometrischen Verteilung handelt es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Frage anzeigen

Frage

Welche beiden Ergebnisse gibt es bei der hypergeometrischen Verteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

Erfolg und Misserfolg. 

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Frage

Was ist die Besonderheit der hypergeometrischen Verteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Besonderheit der hypergeometrischen Verteilung ist, dass sie Versuch zu Versuch schwankende Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg berücksichtigt.

Frage anzeigen

Frage

Nenne ein typisches Beispiel für die hypergeometrische Verteilung!

Antwort anzeigen

Antwort

das Lottospiel ist ein typisches Beispiel

Frage anzeigen

Frage

Was ist das Prinzip der hypergeometrischen Verteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

"Ziehen ohne Zurücklegen"

Frage anzeigen

Frage

Was ist das Prinzip der Binomialverteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

"Ziehen mit Zurücklegen"

Frage anzeigen

Frage

Was sind die Gemeinsamkeiten von hypergeometrischer Verteilung und Binomialverteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

  • diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  • dichotome Verteilungen: nur Erfolg bzw. Misserfolg möglich
  • Berechnung des Erzielen von genau k Treffern
Frage anzeigen

Frage

Was sind die Unterschiede zwischen hypergeometrischer Verteilung und Binomialverteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

Binomialverteilung: 

  • Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg in allen Zügen konstant
  • Prinzip "Ziehen mit Zurücklegen"
  • Menge, aus der gezogen wird begrenzt oder unbegrenzt


hypergeometrische Verteilung:

  • Erfolgs- und Misserfolgswahrscheinlichkeiten ändern sich mit jedem Zug
  • Prinzip "Ziehen ohne Zurücklegen"
  • Menge, aus der gezogen wird, ist begrenzt
Frage anzeigen

Frage

In welche Gruppen können die einzelnen Elemente bei der hypergeometrischen Verteilung eingeteilt werden?

Antwort anzeigen

Antwort

In Nieten und Treffer. 

Frage anzeigen

Frage

In einer Urne liegen 10 rote und 10 schwarze Kugeln. Es werden 5 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Welche Verteilung liegt hier vor?

Antwort anzeigen

Antwort

hypergeometrische Verteilung 

Frage anzeigen

Frage

In einer Urne liegen 10 rote und 10 schwarze Kugeln. Es werden 5 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Welche Verteilung liegt hier vor?

Antwort anzeigen

Antwort

Binomialverteilung

Frage anzeigen

Frage

Was ist bei der hypergeometrischen Verteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

N ist die Anzahl aller Elemente, die Ergebnisse sein können

N= Anzahl "Treffer" + Anzahl "Nieten"

Frage anzeigen

Frage

Was ist M bei der hypergeometrischen Verteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

M ist die Anzahl der Elemente, die als Treffer gelten

Frage anzeigen

Frage

Was ist bei der hypergeometrischen Verteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

k ist die Anzahl der in der Stichprobe erzielten Treffer

Frage anzeigen

Frage

Was ist bei der hypergeometrischen Verteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

n ist der Stichprobenumfang, also die Anzahl an Elementen, die in dieser Stichprobe gezogen werden

Frage anzeigen

Frage

Du ziehst aus einer Urne mit 8 blauen und 12 weißen Kugeln 5 Kugeln ohne Zurücklegen. Dein Ziel ist es, möglichst viele blaue Kugeln zu ziehen. 

Bestimme M, N, und n. 

Antwort anzeigen

Antwort

M=8

N=20

n=5

Frage anzeigen

Frage

Du ziehst aus einer Urne mit 7 roten und 3 weißen Kugeln 4 Kugeln ohne Zurücklegen. Dein Ziel ist es, möglichst viele rote Kugeln zu ziehen. 

Bestimme M, N, und n.

Antwort anzeigen

Antwort

M = 7

N = 10

n = 4

Frage anzeigen

Frage

Zu welchem Themengebiet in der Mathematik gehört die Bernoulli Verteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Bernoulli Verteilung zählt zum Themengebiet der Stochastik.

Frage anzeigen

Frage

Von welchem Mathematiker wurde die Bernoulli Verteilung erfunden?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Bernoulli Verteilung wurde vom schweizer Mathematiker Daniel Bernoulli erfunden.

Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaften hat ein Bernoulli Experiment?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt nur zwei Ergebnismöglichkeiten z.B Erfolg oder Misserfolg

Frage anzeigen

Frage

Wie drücken wir mathematisch die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer nach Bernoulli aus?

Antwort anzeigen

Antwort

P (X=1) = .... beschreibt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer

Frage anzeigen

Frage

Wie drücken wir mathematisch die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer nach Bernoulli aus?


Antwort anzeigen

Antwort

P (X=0) = ... drückt die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer aus

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Frage

Mit welchem Buchstabe gibt man die Verteilungsfunktionen an?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Verteilungsfunktion gibt man mit dem Buchstaben F an.

Frage anzeigen

Frage

Was gibt die Verteilungsfunktion an?

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Antwort

Sie gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Ergebnis kleiner, gleich oder größer x ist.

Frage anzeigen

Frage

​Hat die Verteilungsfunktion F etwas mit der Stammfunktion F(x) zu tun?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, die beiden Funktionen haben keinen Zusammenhang miteinander.

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Frage

Wie hängen Bernoulliverteilung und Binomialverteilung miteinander zusammen?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Bernoulliverteilung ist ein Spezialfall einer Binomialverteilung

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Frage

Wie lautet die vereinfachte Form des Erwartungswertes für eine Bernoulli Verteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

Die vereinfachte Form lautet: E(X)=p

Frage anzeigen

Frage

Wann kannst du von einer diskreten Zufallsvariable sprechen?

Antwort anzeigen

Antwort

Von einer diskreten Zufallsvariable spricht man, wenn diese endlich viele oder albzählbar unendlich viele Werte annimmt.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung?


Antwort anzeigen

Antwort

Die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariable.

Frage anzeigen

Frage

Was sind hypergeometrische Verteilungen?

Antwort anzeigen

Antwort

Hypergeometrische Verteilungen gehören zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen.  Sie beschreibt Experimente, bei welchen es nur zwei mögliche Ereignisse gibt und nicht zurückgelegt wird. Die Ereignismenge wird also mit jedem Durchlauf kleiner und die Wahrscheinlichkeiten verändern sich entsprechend.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Poisson-Verteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Poisson-Verteilung beschreibt Zufallsexperimente, bei denen die Anzahl eines bestimmten Ereignisses über einen bestimmten Zeitraum betrachtet wird.

Frage anzeigen

Frage

Welche der folgenden Verteilungen ist keine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

Normalverteilung

Frage anzeigen

Frage

Handelt es sich bei der Bernoulli-Verteilung um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

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Frage

Ist der Wurf einer Münze ein Bernoulliexperiment?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen
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