Diskrete Verteilung

Q: Wann ist eine Zufallsvariable diskret?

Von einer diskreten Zufallsvariable spricht man, wenn diese endlich viele oder albzählbar unendlich viele Werte annimmt.

Q: Warum ist die Binomialverteilung diskret?

Die Binomialverteilung beschreibt ein Bernoulli-Experiment, welches n-mal wiederholt wird. Wie es charakteristisch für das Bernoulli-Experiment ist, gibt es auch hier nur zwei mögliche Ereignisse. Deshalb kann die Zufallsvariable nur endlich viele Werte annehmen kann und ist somit diskret.

Q: Welche Wahrscheinlichkeitsverteilungen gibt es?

Es gibt diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Die Zufallsvariable diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen nimmt nur endlich viele Werte an, während die Zufallsvariable stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen unendlich viele Werte annimmt.

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Deine Freunde und Du seid Euch uneinig, ob Ihr in den Freizeitpark oder ins Schwimmbad gehen möchtet. Ihr werft eine Münze, um Euch zu entscheiden. Bei Kopf geht Ihr in den Freizeitpark und bei Zahl ins Schwimmbad. Es gibt also zwei mögliche Ausgänge mit der gleichen Wahrscheinlichkeit: Kopf oder Zahl.

Beim Versuch, Euch für eine der beiden Möglichkeiten zu entscheiden, handelt es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Diskrete Verteilung Definition

Bei Zufallsexperimenten gibt es oft viele verschiedene Ausgänge und für jeden dieser Ausgänge gibt es eine bestimmte Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeiten werden also auf alle möglichen Ausgänge verteilt und ergeben zusammen wieder 100%.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen kannst Du als Zuordnung verstehen. Sie ordnen jedem möglichen Wert der Zufallsvariable eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null zu.

Betrachte den Münzwurf:

Wirfst du eine Münze, kannst Du einen der zwei Ausgänge erwarten. Entweder Du erhältst Kopf, oder Zahl.

Da beide Seiten der Münze gleich wahrscheinlich sind, erhältst Du die Wahrscheinlichkeiten

$P (K o p f) = \frac{1}{2} = 0, 5$

und

$P (Z a h l) = \frac{1}{2} = 0, 5$ .

Dem Ereignis "Kopf" wird eine Wahrscheinlichkeit von 50% zugeordnet, sowie auch dem Ereignis "Zahl" eine Wahrscheinlichkeit von 50% zugeordnet wird.

Diskrete Zufallsvariable

Ob eine Wahrscheinlichkeitsverteilung diskret oder stetig ist, hängt davon ab, ob ihre Zufallsvariable diskret oder stetig ist.

Aber was sind eigentlich Zufallsvariablen und was bedeutet das?

Zufallsvariablen geben alle möglichen Ausgänge eines Zufallsexperimentes an.

Die Art des Experimentes und somit die möglichen Ausgänge entscheiden darüber, ob eine Zufallsvariable X diskret oder stetig ist.

Von einer diskreten Zufallsvariable sprichst Du, wenn diese endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt.

"abzählbar unendlich" bedeutet, dass die Ereignisse theoretisch durchnummeriert werden können.

Greife das Beispiel aus der Einleitung wieder auf:

Bei dem Münzwurf gibt es die beiden Möglichkeiten "Kopf" oder "Zahl".

Die Zufallsvariable X nimmt also zwei verschiedene – und damit endlich viele – Werte an.

Zufallsvariablen können, wie oben bereits gesagt, nicht nur diskret, sondern auch stetig sein.

Stetige Zufallsvariable

Die stetigen Zufallsvariablen können auch als kontinuierliche Zufallsvariablen benannt werden.

Im Gegensatz zu diskreten Zufallsvariablen nehmen stetige Zufallsvariablen unendlich viele oder überabzählbar viele verschiedene Werte an.

Überabzählbar nennt man Mengen genau dann, wenn sie eben nicht abzählbar sind. Ihre Elemente können also nicht durchnummeriert werden, da es zwischen zwei Werten wieder unendlich viele weitere Werte gibt.

Besonders häufig beschreiben stetige Zufallsvariablen Fälle, in denen z.B. die Zeit oder eine Strecke gemessen werden. Dadurch wird die Wahrscheinlichkeit meist nicht für einen bestimmten Wert, sondern für ein bestimmtes Intervall angegeben.

Liegt eine stetige Zufallsvariable vor, wird bei der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilung von einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung gesprochen. Analog kannst du auch hier von einer kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilung sprechen. Mehr zu diesem Thema findest Du im Artikel zu diesem Thema.

Mit diesen Erkenntnissen lässt sich die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung definieren.

Die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariable.

Die Zufallsvariable einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung nimmt also nur endlich (oder albzählbar unendlich) viele Werte an.

Darstellung diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Hast Du eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben, gibt es zwei Möglichkeiten diese grafisch darzustellen.

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Bei diskreten Zufallsvariablen nennst Du die Dichtefunktion auch Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Im Beispiel mit den Losen wäre die zugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion

$f (x) = \{\begin{cases} 0, 5 & , & f ü r x = K o p f \\ 0, 5 & , & f ü r x = Z a h l \end{cases}$ .

Diese sieht wie folgt aus:

Diskrete Verteilung Wahrscheinlichkeitsfunktion StudySmarter Abbildung 1: Wahrscheinlichkeitsfunktion

Bei der Wahrscheinlichkeitsfunktion ist es wichtig zu beachten, dass $f (x) = P (X = x)$ gilt.

Verteilungsfunktion

Durch die Verteilungsfunktion kannst Du besonders gut erkennen, wie groß die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis "kleiner" dem anderen ist und wie sich die Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse zu Eins aufsummieren.

Charakteristisch für die Verteilungsfunktion diskreter Zufallsvariablen ist die Stufenform, wie Du sie unten im Beispiel erkennen kannst.

Die Verteilungsfunktion für den Münzwurf ist

$F (X) = \{\begin{cases} 0 & , & x < 0 \\ 0, 5 & , & x < 1 \\ 1 & , & x \geq 1 \end{cases}$

Dabei entspricht die 0 dem Ereignis "Kopf" und die 1 dem Ereignis "Zahl".

In einem Koordinatensystem sieht die Verteilungsfunktion so aus:

Diskrete Verteilung Verteilungsfunktion StudySmarter Abbildung 2: Verteilungsfunktion

Beispiele für diskrete Verteilungen

Nun weißt Du schon, welche Bedingungen erfüllt sein müssen, damit du von einer diskreten Wahrscheinlichkeit sprechen kannst. Im Folgenden kannst Du in diesem Zusammenhang häufig vorkommende Verteilungen betrachten.

Bernoulli-Verteilung

Eine Bernoulli-Verteilung hast Du eben schon kennengelernt: Der Münzwurf.

Bernoulli-Verteilungen sind Verteilungen, bei welchen die Zufallsgröße nur zwei verschiedene Werte annehmen kann.

$f (x) = \{\begin{cases} p & , & f ü r x = 1 \\ 1 - p & , & f ü r x = 0 \\ 0 & , & s o n s t \end{cases}$

Das eine Ereignis besitzt die Gegenwahrscheinlichkeit des anderen.

Meistens werden die zwei möglichen Fälle mit 0 und 1 beschrieben. Du kannst die beiden Ereignisse aber auch wie oben im Beispiel mit "Kopf" und "Zahl" oder Ähnlichem benennen.

Bei einem Münzwurf gibt es zwei mögliche Ereignisse.

"Kopf" mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0, 5$
"Zahl" mit der Gegenwahrscheinlichkeit $1 - p = 0, 5$

Binomialverteilung

Die Binomialverteilung beschreibt die n-fache Wiederholung eines Bernoulli-Experiments.

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Binomialverteilung, wenn ihre Zufallsvariable binomial verteilt ist. Sie beschreibt ein Bernoulli-Experiment, welches n-mal wiederholt wird. Wie es charakteristisch für das Bernoulli-Experiment ist, gibt es auch hier nur zwei mögliche Ereignisse:

Ein Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit p
Ein Ereignis B mit der Gegenwahrscheinlichkeit 1-p

$f (x) = P (x = k) = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}$

f(x) stellt die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Binomialverteilung dar, wobei n der Anzahl der Wiederholungen und k der Anzahl des Eintretens des gewünschten Ereignisses entspricht.

Wichtig ist, dass sich die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse nicht ändern. Es wird also, anders als bei der hypergeometrischen Verteilung, "zurückgelegt".

Der Binomialkoeffizient $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ wird berechnet durch $\frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}$

In einem Beutel befinden sich 10 blaue und 5 rote Murmeln.

Es gibt die beiden Ereignisse "blaue Murmel" und "rote Murmel" und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten wären

$P (x = b l a u) = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

und

$P (x = r o t) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ .

Du ziehst einmal und da Du die gezogene Murmel wieder zurücklegst, bleiben die Wahrscheinlichkeiten für die weiteren Züge gleich.

Hypergeometrische Verteilung

Die hypergeometrische Verteilung ähnelt der Bernoulli-Verteilung insoweit, dass es auch hier nur zwei mögliche Ereignisse gibt.

Die hypergeometrische Verteilung beschreibt Experimente, bei denen es nur zwei mögliche Ereignisse gibt und nicht zurückgelegt wird. Die Ereignismenge wird also mit jedem Durchlauf kleiner und die Wahrscheinlichkeiten verändern sich entsprechend.

Der Name dieser Verteilung stammt von der hypergeometrischen Funktion, die Teil der hypergeometrischen Verteilung ist.

Ein beliebtes Anwendungsgebiet dieser Verteilung sind Qualitätskontrollen, da als defekt ausgemachte Teile natürlich nicht wieder in den Produktionsprozess eingebunden werden.

Betrachte hier das Beispiel von oben, damit die Auswirkung des "Nicht-Zurücklegens" klarer wird.

In einem Beutel befinden sich 10 blaue und 5 rote Murmeln.

Es gibt die beiden Ereignisse "blaue Murmel" und "rote Murmel" und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten wären

$P (x = b l a u) = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

und

$P (x = r o t) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ .

Angenommen, Du ziehst einmal, erhältst eine blaue Murmel und legst diese nicht zurück, verändern sich die Wahrscheinlichkeiten für den zweiten Zug wie folgt:

$P (x = b l a u) = \frac{9}{14}$

und

$P (x = r o t) = \frac{5}{14}$

Poisson-Verteilung

Mit dem Begriff "Poisson" ist hier nicht die Übersetzung "Fisch" aus dem Französischen gemeint, sondern der Mathematiker Siméon Denis Poisson, nachdem sie benannt wurde.

Bei dieser Verteilung kommt ein Aspekt ins Spiel, welcher bei den vorigen Verteilungen noch nicht betrachtet wurde: die Zeit.

Die Poisson-Verteilung beschreibt Zufallsexperimente, bei denen die Anzahl eines bestimmten Ereignisses über einen bestimmten Zeitraum betrachtet wird.

Typische Anwendungen dieser Verteilung sind Zuflussraten, wie beispielsweise diese:

Um 14 Uhr startet das Fußballspiel. Wie viele Leute betreten von 13 Uhr bis 13:30 Uhr das Stadion?

Betrachtest Du nun rückblickend die oben aufgeführten diskreten Wahrscheinlichkeiten, kannst Du erkennen, dass ihre zugehörigen Zufallsvariablen endlich viele Werte annehmen:

Beim Münzwurf die Werte "Kopf" oder "Zahl".
Im Murmelsäckchen die Farbe "rot" oder "blau".
Die Anzahl der Leute, die das Stadion betreten.

Diese Erkenntnis wird dir helfen, bei den folgenden Übungsaufgaben zu entscheiden, ob es sich um diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen handelt

Diskrete Verteilung - Übungen

Hier kannst Du gleich testen, ob Du diskrete Wahrscheinlichkeiten erkennen kannst.

Aufgabe 1

Entscheide anhand der gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung, ob es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt.

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{3} & , & f ü r g r ü n \\ \frac{3}{6} & , & f ü r b l a u \\ \frac{1}{6} & , & f ü r r o t \end{cases}$

Diskrete Verteilung Wahrscheinlichkeitsfunktion StudySmarter Abbildung 3: Wahrscheinlichkeitsfunktion des Zufallsexperiments

Ein zugehöriges Zufallsexperiment könnte sein:" In einem Säckchen befinden sich vier grüne Murmeln, 6 blaue und zwei Rote. Du ziehst eine Murmel aus dem Säckchen. Mit welchen Wahrscheinlichkeiten ziehst du die entsprechenden Farben?"

Lösung

Da es nur die drei verschiedene Ausgänge "grün", "blau" und "rot" und somit endlich viele Ereignisse gibt, handelt es sich bei dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Aufgabe 2

Dir sind zwei Zufallsexperimente A und B gegeben. Entscheide, welches der beiden durch eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben wird.

Du füllst Wasser in ein Glas. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Füllmenge genau $200 m l$ beträgt?
Du ziehst ein Los aus einem Lossäckchen, in welchem sich 10 Nieten und 2 Gewinne befinden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielst du einen Gewinn?

Lösung

Zufallsexperiment B wird durch eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben.

Bei dem Zug aus dem Lossäckchen können nur zwei mögliche und somit endlich viele Ereignisse eintreffen:

du ziehst eine Niete
du ziehst einen Gewinn

Es handelt sich um ein Bernoulli-Experiment.

Zufallsexperiment A hingegen wird durch eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben, da die Zufallsvariable , welche die Füllmenge des Glases wiedergibt, theoretisch unendlich viele Werte annehmen kann:

Zwischen der Füllmenge $199 m l$ und $200 m l$ liegen die Werte $199, 1 m l$ , $199, 2 m l$ , $199, 3 m l$ ... $199, 9 m l$ .

Zwischen der Füllmenge $199, 1 m l$ und $199, 2 m l$ liegen wiederum die Werte $199, 11 m l$ , $199, 12 m l$ ... $199, 19 m l$ .

Du könntest unendlich lange so weiter machen.

Diskrete Verteilung – Das Wichtigste

Wahrscheinlichkeitsverteilungen kannst Du als Zuordnung verstehen. Sie ordnen jedem möglichen Wert der Zufallsvariable eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null zu.
Zufallsvariablen geben alle möglichen Ausgänge eines Zufallsexperimentes an.
Von einer diskreten Zufallsvariable spricht man, wenn diese endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt.
Die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariable.
Bernoulli-Verteilungen sind Verteilungen, bei denen die Zufallsgröße nur zwei verschiedene Werte annehmen kann.
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Binomialverteilung, wenn ihre Zufallsvariable binomial verteilt ist.
Die hypergeometrische Verteilung beschreibt Experimente, bei welchen es nur zwei mögliche Ereignisse gibt und nicht zurückgelegt wird. Die Ereignismenge wird also mit jedem Durchlauf kleiner und die Wahrscheinlichkeiten verändern sich entsprechend.
Die Poisson-Verteilung beschreibt Zufallsexperimente, bei denen die Anzahl eines bestimmten Ereignisses über einen bestimmten Zeitraum betrachtet wird.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Diskrete Verteilung

Von einer diskreten Zufallsvariable spricht man, wenn diese endlich viele oder albzählbar unendlich viele Werte annimmt.

Die Binomialverteilung beschreibt ein Bernoulli-Experiment, welches n-mal wiederholt wird. Wie es charakteristisch für das Bernoulli-Experiment ist, gibt es auch hier nur zwei mögliche Ereignisse. Deshalb kann die Zufallsvariable nur endlich viele Werte annehmen kann und ist somit diskret.

Es gibt diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Die Zufallsvariable diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen nimmt nur endlich viele Werte an, während die Zufallsvariable stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen unendlich viele Werte annimmt.

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Wie lautet die Formel zur Berechnung der Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariable Z?

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Wie wird der Erwartungswert für die Nullhypothese berechnet?

E(X) = n ⋅ p0

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