Simulation Wahrscheinlichkeit

Ähnlich wie in einem Computerspiel geht es bei einer Simulation der Wahrscheinlichkeit darum, reale Situationen, die sich aus verschiedenen Gründen nur schlecht oder gar nicht in der Realität wiederholen lassen, mit passenden Zufallsexperimenten nachzustellen, um deren Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen. In dieser Erklärung wird Dir etwa die Definition der Simulation in der Stochastik näher gebracht und Du lernst verschiedene Arten der Simulation, wie die Simulation mit Zufallszahlen oder der Monte Carlo Simulation, kennen.

Simulation Definition

Zu den Gründen, warum ein Zufallsexperiment nicht hinreichend oft wiederholt werden kann, zählen etwa:

• zu wenig Ressourcen (Geld, Rohstoffe etc.)
• mangelnde Zeit
• zu Hoher aufwand
• unethische Vorgehensweisen

Sollte das reale Zufallsexperiment solche Hürden aufweisen, ist es also sinnvoll eine Simulation durchzuführen.

Simulation Stochastik

Wie sieht nun die Verbindung Simulation – Wahrscheinlichkeit in der Stochastik aus? Und welche Arten existieren?

Simulation von Zufallsexperimenten – Wahrscheinlichkeiten bestimmen

Wenn auch in der Mathematik unüblich, hat die Simulation kein eindeutiges Rezept, sondern lediglich ein grobes Schema, das während der Ausführung beachtet wird.

1. Modellbildung: Vom realen Problem zum mathematischen Problem
   • In diesem Schritt entwirfst Du ein Model, dass möglichst repräsentativ für das reale Problem ist.
   • Identifiziere dafür die Schlüsselpunkte des realen Problems und stelle sie mathematisch dar.
2. Simulation: Vom mathematischen Problem zur mathematischen Lösung
   • Führe hier Deine Simulation durch und notiere die Ergebnisse.
   • Berechne aus deinen Ergebnissen Werte wie die relative Häufigkeit.
   • \(\text{relative Häufigkeit}=\frac{\text{Anzahl Ergebnis}}{\text{Anzahl günstige Fälle}} \)
3. Interpretation: Von der mathematischen Lösung zur realen Lösung
   • Interpretiere in diesem Schritt, was Dein errechneter Wert für Dein reales Zufallsexperiment bedeutet, oder welche Aussage es trifft.
4. Überprüfung: Von der realen Lösung zum realen Problem
   • Im letzten Schritt überprüfst Du Dein Ergebnis und gleichst es mit bereits existierenden Statistiken und realen Beispielen ab.
   • Frage Dich, ob das reale Ergebnis auch wirklich eine Antwort für Dein reales Problem ist.

Arten der Simulation

Nun existiert nicht nur eine Form zur Simulation, sondern mehrere verschiedene. Hier wird zwischen der Simulation mit Zufallszahlen und der Monte-Carlo Simulation unterschieden.

Simulation mit Zufallszahlen

Bei der Simulation mit Zufallszahlen, oder auch Simulation mit Zufallszahlentabellen, werden zufällig generierte Zahlen als Zufallsgerät verwendet. Diese Zahlen könntest Du theoretisch mit einem Würfel erlangen, doch heutzutage werden dazu Computerprogramme verwendet. Dabei handelt es sich aber nur um Pseudozufallszahlen, da diese durch einen Algorithmus generiert wurden. Das heißt, in der Theorie könnte vorhergesagt werden, welche Zahl als Nächstes generiert wird.

Folgende Punkte solltest Du bei der Arbeit mit Zufallszahlen beachten:

• Es werden eine Anzahl an Ziffern zwischen 0 und 9 (pseudo-)zufällig generiert.
• Jede Ziffer ist dabei gleich wahrscheinlich.
• Die Ziffern sind voneinander unabhängig, das heißt, Du kannst durch eine Ziffer keine Aussage über die Ziffern davor oder danach machen.
• Die Ziffern werden in fünfer Schritten durch einen Abstand getrennt, um die Lesbarkeit zu verbessern. Diese Abgrenzungen haben aber keinen Einfluss auf die Zahlenreihe an sich.

Da diese Zufallszahlentabellen auf unterschiedliche Weise als Zufallsgerät verwendet werden können, gibt es auch hier keine konkrete Vorgehensweise. Um trotzdem ein Bild von dieser Vorgehensweise zu haben, kannst Du Dir folgendes Beispiel ansehen:

Monte Carlo Simulation – Wahrscheinlichkeit bestimmen

Die Monte Carlo Simulation ist ein Verfahren, in dem Zufallsexperimente mithilfe von Zufallszahlen oder Pseudozufallszahlen durchgeführt werden. Das Prinzip der Methode beruht auf dem Gesetz der großen Zahlen.

Gelöst werden können mit dieser Methode Fälle wie:

• rein mathematische analytisch unlösbare Probleme, etwa die Approximation von Pi
• Verteilungseigenschaften einer Variable mit einem nicht bekannten Verteilungstypen
• Die Simulation von Prozessen, die nur sehr komplex und mit vielen Variablen durchgeführt werden können