Ähnlich wie in einem Computerspiel geht es bei einer Simulation der Wahrscheinlichkeit darum, reale Situationen, die sich aus verschiedenen Gründen nur schlecht oder gar nicht in der Realität wiederholen lassen, mit passenden Zufallsexperimenten nachzustellen, um deren Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen. In dieser Erklärung wird Dir etwa die Definition der Simulation in der Stochastik näher gebracht und Du lernst verschiedene Arten der Simulation, wie die Simulation mit Zufallszahlen oder der Monte Carlo Simulation, kennen.
Simulation Definition
In der Stochastik stellt die Simulation die Nachbildung eines Zufallsversuches mit einem geeigneten Zufallsgerät, wie mit einem Würfel, einer Münze oder auch einer Tabelle dar. Im Allgemeinen ist der Ausgangspunkt einer Simulation ein reales Zufallsexperiment, das aus verschiedenen Gründen nicht hinreichend oft wiederholt werden kann.
Zu den Gründen, warum ein Zufallsexperiment nicht hinreichend oft wiederholt werden kann, zählen etwa:
- zu wenig Ressourcen (Geld, Rohstoffe etc.)
- mangelnde Zeit
- zu Hoher aufwand
- unethische Vorgehensweisen
Sollte das reale Zufallsexperiment solche Hürden aufweisen, ist es also sinnvoll eine Simulation durchzuführen.
Simulation Stochastik
Wie sieht nun die Verbindung Simulation – Wahrscheinlichkeit in der Stochastik aus? Und welche Arten existieren?
Simulation von Zufallsexperimenten – Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Wenn auch in der Mathematik unüblich, hat die Simulation kein eindeutiges Rezept, sondern lediglich ein grobes Schema, das während der Ausführung beachtet wird.
- Modellbildung: Vom realen Problem zum mathematischen Problem
- In diesem Schritt entwirfst Du ein Model, dass möglichst repräsentativ für das reale Problem ist.
- Identifiziere dafür die Schlüsselpunkte des realen Problems und stelle sie mathematisch dar.
- Simulation: Vom mathematischen Problem zur mathematischen Lösung
- Führe hier Deine Simulation durch und notiere die Ergebnisse.
- Berechne aus deinen Ergebnissen Werte wie die relative Häufigkeit.
- \(\text{relative Häufigkeit}=\frac{\text{Anzahl Ergebnis}}{\text{Anzahl günstige Fälle}} \)
- Interpretation: Von der mathematischen Lösung zur realen Lösung
- Interpretiere in diesem Schritt, was Dein errechneter Wert für Dein reales Zufallsexperiment bedeutet, oder welche Aussage es trifft.
- Überprüfung: Von der realen Lösung zum realen Problem
- Im letzten Schritt überprüfst Du Dein Ergebnis und gleichst es mit bereits existierenden Statistiken und realen Beispielen ab.
- Frage Dich, ob das reale Ergebnis auch wirklich eine Antwort für Dein reales Problem ist.
Aufgabe 1
Eine Familie hat zwei Kinder, eines davon ist ein Junge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Familie ein Mädchen hat?
Diese Frage lässt sich natürlich schwer mit echten Familien und Kindern darstellen. Die Zeit und der Aufwand, ganz abgesehen vom ethischen Aspekt, ist deutlich zu groß. Also ist eine passende Simulation für das reale Zufallsexperiment gefragt.
Lösung
1. Schritt: Modellbildung
Um ein Modell zu bilden, musst Du erst einmal die Schlüsselpunkte identifizieren. In diesem Beispiel sind das Folgende:
- Es geht um die Wahrscheinlichkeiten zweier Kinder. In Deiner Simulation müssen also zwei Variablen, hier benannt als \(\text{Kind 1}\) und \(\text{Kind 2}\), mit jeweiligen Wahrscheinlichkeiten auftreten.
- Die Kinder können jeweils nur entweder männlich oder weiblich sein. Also können die Variablen beide nur die Eigenschaften männlich oder weiblich annehmen.
- Die Wahrscheinlichkeit einen Jungen oder ein Mädchen zu bekommen liegt jeweils bei \(50 \%\).
Da Du also zwei Variablen brauchst, die jeweils nur zwei verschiedene Ergebnisse annehmen können, die beide gleich wahrscheinlich sind, bietet es sich an, zwei Münzen als Zufallsgeräte zu verwenden.
2. Schritt: Simulation
Für die Simulation wirfst Du jetzt diese zwei Münzen 100-mal und notierst Dir jedes Mal die Zahl \(0\), \(1\) oder \(2\). Dabei steht
- \(0\) für keinen Jungen (also zwei Mädchen)
- \(1\) für einen Jungen (also ein Mädchen und einen Jungen)
- \(2\) für zwei Jungen (also kein Mädchen).
Wurf | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | \[\cdots\] | 100 |
Zahl | 1 | 2 | 2 | 0 | 1 | 2 | 2 | \[\cdots\] | 2 |
Sobald Du diese 100 Würfe notiert hast, zählst Du zuerst die Anzahl aller Würfe zusammen, in denen mindestens ein Junge vorkommt, oder auch aller Fälle, die „günstig“ sind. Also alle Ergebnisse, die mit entweder der Zahl \(1\) oder \(2\) versehen sind. Alle, die mit der Zahl \(0\) gekennzeichnet sind, können nicht weiter betrachten werden, da in der Aufgabenstellung ausdrücklich steht, dass bereits ein Kind ein Junge ist.
\[\text{Anzahl günstige Fälle} = \text{Anzahl Ergebnis 1} + \text{Anzahl Ergebnis 2}\]
Als Nächstes zählst Du die Anzahl der Ergebnisse 1 und teilst diese durch die vorher berechnete Anzahl der günstigen Fälle:
\[\text{relative Häufigkeit h}(1)=\frac{\text{Anzahl Ergebnis 1}}{\text{Anzahl günstige Fälle}}\]
Damit Du jetzt nicht anfängst wirklich 100 Mal Münzen zu werfen, wird Dir vorweggenommen, dass eine Zahl um \(0.67\) herauskommt. Diese ist Deine mathematische Lösung.
3. Schritt: Interpretation
Jetzt, hast Du ein mathematisches Ergebnis, welches Du auf das reale Problem beziehen kannst. In diesem geht es darum, den berechneten Wert mit der Frage zu verknüpfen.
Die Zahl \(0{,}67\) entspricht der Wahrscheinlichkeit einen Jungen und ein Mädchen zu haben, unter der Voraussetzung, dass ein Junge auf jeden Fall in der Familie ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass die besagte Familie einen Jungen hat, liegt also bei ca. \(67 \%\).
4. Schritt: Überprüfung
In diesem letzten Schritt überprüfst Du Dein Ergebnis noch einmal. Das kannst Du tun, indem Du Dein Ergebnis mit bereits erstellten Statistiken vergleichst, oder prüfst, ob die Praxis mit der Theorie übereinstimmt.
Grundsätzlich sind die folgenden vier Ereignisse, auch Tupel genannt, möglich, wobei \(M=\text{Mädchen}\) und \(J=\text{Jungen}\) bedeutet.
\[(M;M)\;\;\;(M;J)\;\;\;(J;M)\;\;\;(J;J)\]
Alle Tupel sind gleich wahrscheinlich. Aufgrund der Aufgabenstellung kann aber \(M;M\) ausgeschlossen werden. Auch hier teilst Du wieder die Anzahl der günstigen Fälle, also Tupel \((M;J)\) und \((J;M)\), durch die Anzahl aller möglichen Tupel. Damit landest Du bei \(\frac{2}{3}\), was wiederum ungefähr \(0{,}67\) entspricht und somit das Ergebnis der Simulation bestätigt.
Arten der Simulation
Nun existiert nicht nur eine Form zur Simulation, sondern mehrere verschiedene. Hier wird zwischen der Simulation mit Zufallszahlen und der Monte-Carlo Simulation unterschieden.
Simulation mit Zufallszahlen
Bei der Simulation mit Zufallszahlen, oder auch Simulation mit Zufallszahlentabellen, werden zufällig generierte Zahlen als Zufallsgerät verwendet. Diese Zahlen könntest Du theoretisch mit einem Würfel erlangen, doch heutzutage werden dazu Computerprogramme verwendet. Dabei handelt es sich aber nur um Pseudozufallszahlen, da diese durch einen Algorithmus generiert wurden. Das heißt, in der Theorie könnte vorhergesagt werden, welche Zahl als Nächstes generiert wird.
Folgende Punkte solltest Du bei der Arbeit mit Zufallszahlen beachten:
- Es werden eine Anzahl an Ziffern zwischen 0 und 9 (pseudo-)zufällig generiert.
- Jede Ziffer ist dabei gleich wahrscheinlich.
- Die Ziffern sind voneinander unabhängig, das heißt, Du kannst durch eine Ziffer keine Aussage über die Ziffern davor oder danach machen.
- Die Ziffern werden in fünfer Schritten durch einen Abstand getrennt, um die Lesbarkeit zu verbessern. Diese Abgrenzungen haben aber keinen Einfluss auf die Zahlenreihe an sich.
Da diese Zufallszahlentabellen auf unterschiedliche Weise als Zufallsgerät verwendet werden können, gibt es auch hier keine konkrete Vorgehensweise. Um trotzdem ein Bild von dieser Vorgehensweise zu haben, kannst Du Dir folgendes Beispiel ansehen:
Aufgabe 2
An Eurer Schule gab es ein Gewinnspiel, bei dem eine Woche freie Verpflegung gewonnen werden konnte. Es haben insgesamt \(70\) Schüler teilgenommen, doch nur \(3\) können den Preis gewinnen. Ermittle die drei Gewinner mithilfe einer Zufallszahlentabelle.
Lösung
Die teilnehmenden Schüler bekommen Nummern von \(01\) bis \(70\) zugewiesen. Als Nächstes werden 30 Zufallszahlen generiert und aufgeschrieben:
\[96565\;05007\;16605\;81194\;14873\;04197\]
Gehe jetzt wie folgt vor:
- Fange mit der ersten Zahl von links an.
- Betrachte dabei die Ziffern immer als zweistellige Zahlen.
- Bei einer zweistelligen Zahl von \(01\) bis \(70\) wird dieser Schüler mit zu den Gewinnern gezählt. Zahlen, die nicht zwischen \(01\) und \(70\) sind, kannst Du einfach überspringen.
- Auch darf es keine doppelten Zahlen geben, das heißt eine Zahl, die bereits aufgekommen war, wird auch übersprungen.
Wenn Du diese Regeln richtig befolgst, kommst Du auf das Ergebnis:
\[96{\color{#1478c8}56}{\color{#00dcb4}5\;0}50{\color{#fa3273 }07}\;16605\;81194\;14873\;04197\]
Das Einteilen der Zahlen in 5er Päckchen dient nur der besseren Lesbarkeit. Die zweistelligen Zahlen können über die Päckchen hinaus gebildet werden.
- Da nur Zahlen von \(01\) bis \(70\) zugelassen sind, fällt die erste Zahl \(96\) schon raus.
- Danach kommen die \(56\) und die \(50\), die \(50\) ist zwar durch einen Abstand getrennt, doch sie zählt immer noch als eine Zahl.
- Die Zahl darauf ist wieder eine \(50\) und wird deshalb übersprungen.
- Als Nächstes kommt die Zahl \(07\), diese erfüllt alle Kriterien und da jetzt bereits 3 Gewinner ermittelt worden sind, werden keine weiteren Zahlen rausgeschrieben.
Die Schüler mit den Nummern \({\color{#1478c8}56} \), \({\color{#00dcb4}50} \) und \({\color{#fa3273 }07} \) gewinnen den Preis.
Monte Carlo Simulation – Wahrscheinlichkeit bestimmen
Die Monte Carlo Simulation ist ein Verfahren, in dem Zufallsexperimente mithilfe von Zufallszahlen oder Pseudozufallszahlen durchgeführt werden. Das Prinzip der Methode beruht auf dem Gesetz der großen Zahlen.
Gelöst werden können mit dieser Methode Fälle wie:
- rein mathematische analytisch unlösbare Probleme, etwa die Approximation von Pi
- Verteilungseigenschaften einer Variable mit einem nicht bekannten Verteilungstypen
- Die Simulation von Prozessen, die nur sehr komplex und mit vielen Variablen durchgeführt werden können
Mehr zu diesem Thema kannst Du in der Erklärung Monte Carlo Methode nachlesen.
Simulation Wahrscheinlichkeit – Das Wichtigste
- In der Stochastik stellt Simulation die Nachbildung eines Zufallsversuches mit einem geeigneten Zufallsgerät, wie mit einem Würfel, einer Münze oder auch einer Tabelle dar. Im Allgemeinen ist der Ausgangspunkt einer Simulation ein reales Zufallsexperiment, das aus verschiedenen Gründen nicht hinreichend oft wiederholt werden kann.
- Zu den Gründen, warum ein Zufallsexperiment nicht hinreichend oft wiederholt werden kann, zählen etwa:
- zu wenig Ressourcen (Geld, Rohstoffe etc.)
- mangelnde Zeit
- zu hoher Aufwand
- unethische Vorgehensweisen
Die einzelnen Schritte der Modellbildung lauten:
- Modellbildung: Vom realen Problem zum mathematischen Problem
Analyse und Simulation: Vom mathematischen Problem zur mathematischen Lösung
Interpretation: Von der mathematischen Lösung zur realen Lösung
Überprüfung: Von der realen Lösung zum realen Problem
Arten der Simulation: Simulation mit Zufallszahlen, Monte Carlo Simulation
Bei der Simulation mit Zufallszahlen, oder auch Simulation mit Zufallszahlentabellen, werden zufällig generierte Zahlen als Zufallsgerät verwendet
Die Monte Carlo Simulation ist ein Verfahren, in dem Zufallsexperimente mithilfe von Zufallszahlen oder Pseudozufallszahlen durchgeführt werden. Das Prinzip der Methode beruht auf dem Gesetz der großen Zahlen.
Nachweise
- Kurt Binder(1979). Monte Carlo methods in statistical physics. Springer
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