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Ähnlich wie in einem Computerspiel geht es bei einer Simulation der Wahrscheinlichkeit darum, reale Situationen, die sich aus verschiedenen Gründen nur schlecht oder gar nicht in der Realität wiederholen lassen, mit passenden Zufallsexperimenten nachzustellen, um deren Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen. In dieser Erklärung wird Dir etwa die Definition der Simulation in der Stochastik näher gebracht und Du lernst verschiedene Arten der Simulation, wie die Simulation mit Zufallszahlen oder der Monte Carlo Simulation, kennen.
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Leg kostenfrei losWas ist das Ziel einer Simulation in der Stochastik?
Welche Art von Zahlen wird in der Simulation mit Zufallszahlen verwendet?
Warum werden Zufallszahlen in Simulationen oft als Pseudozufallszahlen bezeichnet?
Welche Methode der Simulation wird oft zur Approximation von Pi genutzt?
Was wird bei einer Simulation mit Zufallszahlen als Zufallsgerät benutzt?
Welche der folgenden Gründe ist KEIN Hindernis für die Wiederholung eines Zufallsexperiments?
Welche Schritte gehören zur Modellbildung in einer Simulation?
Welches Prinzip liegt der Monte Carlo Simulation zugrunde?
Welche Art von Gerät wird in einer Simulation verwendet?
Warum kann ein reales Zufallsexperiment oft nicht wiederholt werden?
Welche Wahrscheinlichkeit hat eine Familie mit zwei Kindern mindestens ein Mädchen zu haben, wenn ein Kind ein Junge ist?
Was ist das Ziel einer Simulation in der Stochastik?
Welche Art von Zahlen wird in der Simulation mit Zufallszahlen verwendet?
Warum werden Zufallszahlen in Simulationen oft als Pseudozufallszahlen bezeichnet?
Welche Methode der Simulation wird oft zur Approximation von Pi genutzt?
Was wird bei einer Simulation mit Zufallszahlen als Zufallsgerät benutzt?
Welche der folgenden Gründe ist KEIN Hindernis für die Wiederholung eines Zufallsexperiments?
Welche Schritte gehören zur Modellbildung in einer Simulation?
Welches Prinzip liegt der Monte Carlo Simulation zugrunde?
Welche Art von Gerät wird in einer Simulation verwendet?
Warum kann ein reales Zufallsexperiment oft nicht wiederholt werden?
Welche Wahrscheinlichkeit hat eine Familie mit zwei Kindern mindestens ein Mädchen zu haben, wenn ein Kind ein Junge ist?
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Team Simulation Wahrscheinlichkeit Lehrer
In der Stochastik stellt die Simulation die Nachbildung eines Zufallsversuches mit einem geeigneten Zufallsgerät, wie mit einem Würfel, einer Münze oder auch einer Tabelle dar. Im Allgemeinen ist der Ausgangspunkt einer Simulation ein reales Zufallsexperiment, das aus verschiedenen Gründen nicht hinreichend oft wiederholt werden kann.
Zu den Gründen, warum ein Zufallsexperiment nicht hinreichend oft wiederholt werden kann, zählen etwa:
Sollte das reale Zufallsexperiment solche Hürden aufweisen, ist es also sinnvoll eine Simulation durchzuführen.
Wie sieht nun die Verbindung Simulation – Wahrscheinlichkeit in der Stochastik aus? Und welche Arten existieren?
Wenn auch in der Mathematik unüblich, hat die Simulation kein eindeutiges Rezept, sondern lediglich ein grobes Schema, das während der Ausführung beachtet wird.
Aufgabe 1
Eine Familie hat zwei Kinder, eines davon ist ein Junge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Familie ein Mädchen hat?
Diese Frage lässt sich natürlich schwer mit echten Familien und Kindern darstellen. Die Zeit und der Aufwand, ganz abgesehen vom ethischen Aspekt, ist deutlich zu groß. Also ist eine passende Simulation für das reale Zufallsexperiment gefragt.
Lösung
1. Schritt: Modellbildung
Um ein Modell zu bilden, musst Du erst einmal die Schlüsselpunkte identifizieren. In diesem Beispiel sind das Folgende:
Da Du also zwei Variablen brauchst, die jeweils nur zwei verschiedene Ergebnisse annehmen können, die beide gleich wahrscheinlich sind, bietet es sich an, zwei Münzen als Zufallsgeräte zu verwenden.
2. Schritt: Simulation
Für die Simulation wirfst Du jetzt diese zwei Münzen 100-mal und notierst Dir jedes Mal die Zahl \(0\), \(1\) oder \(2\). Dabei steht
| Wurf | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | \[\cdots\] | 100 |
| Zahl | 1 | 2 | 2 | 0 | 1 | 2 | 2 | \[\cdots\] | 2 |
Sobald Du diese 100 Würfe notiert hast, zählst Du zuerst die Anzahl aller Würfe zusammen, in denen mindestens ein Junge vorkommt, oder auch aller Fälle, die „günstig“ sind. Also alle Ergebnisse, die mit entweder der Zahl \(1\) oder \(2\) versehen sind. Alle, die mit der Zahl \(0\) gekennzeichnet sind, können nicht weiter betrachten werden, da in der Aufgabenstellung ausdrücklich steht, dass bereits ein Kind ein Junge ist.
\[\text{Anzahl günstige Fälle} = \text{Anzahl Ergebnis 1} + \text{Anzahl Ergebnis 2}\]
Als Nächstes zählst Du die Anzahl der Ergebnisse 1 und teilst diese durch die vorher berechnete Anzahl der günstigen Fälle:
\[\text{relative Häufigkeit h}(1)=\frac{\text{Anzahl Ergebnis 1}}{\text{Anzahl günstige Fälle}}\]
Damit Du jetzt nicht anfängst wirklich 100 Mal Münzen zu werfen, wird Dir vorweggenommen, dass eine Zahl um \(0.67\) herauskommt. Diese ist Deine mathematische Lösung.
3. Schritt: Interpretation
Jetzt, hast Du ein mathematisches Ergebnis, welches Du auf das reale Problem beziehen kannst. In diesem geht es darum, den berechneten Wert mit der Frage zu verknüpfen.
Die Zahl \(0{,}67\) entspricht der Wahrscheinlichkeit einen Jungen und ein Mädchen zu haben, unter der Voraussetzung, dass ein Junge auf jeden Fall in der Familie ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass die besagte Familie einen Jungen hat, liegt also bei ca. \(67 \%\).
4. Schritt: Überprüfung
In diesem letzten Schritt überprüfst Du Dein Ergebnis noch einmal. Das kannst Du tun, indem Du Dein Ergebnis mit bereits erstellten Statistiken vergleichst, oder prüfst, ob die Praxis mit der Theorie übereinstimmt.
Grundsätzlich sind die folgenden vier Ereignisse, auch Tupel genannt, möglich, wobei \(M=\text{Mädchen}\) und \(J=\text{Jungen}\) bedeutet.
\[(M;M)\;\;\;(M;J)\;\;\;(J;M)\;\;\;(J;J)\]
Alle Tupel sind gleich wahrscheinlich. Aufgrund der Aufgabenstellung kann aber \(M;M\) ausgeschlossen werden. Auch hier teilst Du wieder die Anzahl der günstigen Fälle, also Tupel \((M;J)\) und \((J;M)\), durch die Anzahl aller möglichen Tupel. Damit landest Du bei \(\frac{2}{3}\), was wiederum ungefähr \(0{,}67\) entspricht und somit das Ergebnis der Simulation bestätigt.
Mehr zu dem Thema findest Du in der Erklärung Simulation von Zufallsexperimenten.
Nun existiert nicht nur eine Form zur Simulation, sondern mehrere verschiedene. Hier wird zwischen der Simulation mit Zufallszahlen und der Monte-Carlo Simulation unterschieden.
Bei der Simulation mit Zufallszahlen, oder auch Simulation mit Zufallszahlentabellen, werden zufällig generierte Zahlen als Zufallsgerät verwendet. Diese Zahlen könntest Du theoretisch mit einem Würfel erlangen, doch heutzutage werden dazu Computerprogramme verwendet. Dabei handelt es sich aber nur um Pseudozufallszahlen, da diese durch einen Algorithmus generiert wurden. Das heißt, in der Theorie könnte vorhergesagt werden, welche Zahl als Nächstes generiert wird.
Folgende Punkte solltest Du bei der Arbeit mit Zufallszahlen beachten:
Da diese Zufallszahlentabellen auf unterschiedliche Weise als Zufallsgerät verwendet werden können, gibt es auch hier keine konkrete Vorgehensweise. Um trotzdem ein Bild von dieser Vorgehensweise zu haben, kannst Du Dir folgendes Beispiel ansehen:
Aufgabe 2
An Eurer Schule gab es ein Gewinnspiel, bei dem eine Woche freie Verpflegung gewonnen werden konnte. Es haben insgesamt \(70\) Schüler teilgenommen, doch nur \(3\) können den Preis gewinnen. Ermittle die drei Gewinner mithilfe einer Zufallszahlentabelle.
Lösung
Die teilnehmenden Schüler bekommen Nummern von \(01\) bis \(70\) zugewiesen. Als Nächstes werden 30 Zufallszahlen generiert und aufgeschrieben:
\[96565\;05007\;16605\;81194\;14873\;04197\]
Gehe jetzt wie folgt vor:
Wenn Du diese Regeln richtig befolgst, kommst Du auf das Ergebnis:
\[96{\color{#1478c8}56}{\color{#00dcb4}5\;0}50{\color{#fa3273 }07}\;16605\;81194\;14873\;04197\]
Das Einteilen der Zahlen in 5er Päckchen dient nur der besseren Lesbarkeit. Die zweistelligen Zahlen können über die Päckchen hinaus gebildet werden.
Die Schüler mit den Nummern \({\color{#1478c8}56} \), \({\color{#00dcb4}50} \) und \({\color{#fa3273 }07} \) gewinnen den Preis.
Die Monte Carlo Simulation ist ein Verfahren, in dem Zufallsexperimente mithilfe von Zufallszahlen oder Pseudozufallszahlen durchgeführt werden. Das Prinzip der Methode beruht auf dem Gesetz der großen Zahlen.
Gelöst werden können mit dieser Methode Fälle wie:
Mehr zu diesem Thema kannst Du in der Erklärung Monte Carlo Methode nachlesen.
Die einzelnen Schritte der Modellbildung lauten:
Analyse und Simulation: Vom mathematischen Problem zur mathematischen Lösung
Interpretation: Von der mathematischen Lösung zur realen Lösung
Überprüfung: Von der realen Lösung zum realen Problem
Arten der Simulation: Simulation mit Zufallszahlen, Monte Carlo Simulation
Bei der Simulation mit Zufallszahlen, oder auch Simulation mit Zufallszahlentabellen, werden zufällig generierte Zahlen als Zufallsgerät verwendet
Die Monte Carlo Simulation ist ein Verfahren, in dem Zufallsexperimente mithilfe von Zufallszahlen oder Pseudozufallszahlen durchgeführt werden. Das Prinzip der Methode beruht auf dem Gesetz der großen Zahlen.
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Wie simuliert man ein Zufallsexperiment?
Du simulierst ein Zufallsexperiment, indem Du Dein reales Zufallsexperiment mit einem geeignetem Zufallsgerät, wie einen Würfel oder einer Münze nachstellst.
Was versteht man unter Simulation?
Unter der Simulation verstehst Du die Nachbildung eines Zufallsversuches mit einem geeigneten Zufallsgerät, wie mit einem Würfel, einer Münze oder auch einer Tabelle. Im Allgemeinen ist der Ausgangspunkt einer Simulation ein reales Zufallsexperiment, das aus verschiedenen Gründen nicht hinreichend oft wiederholt werden kann.
Wann ist Simulation sinnvoll?
Eine Simulation ist sinnvoll, wenn das reale Zufallsexperiment aus Gründen wie zu wenig Ressourcen, Zeit oder zu hohem Aufwand nicht hinreichend oft wiederholt werden kann.
Warum wird simuliert?
Es wird simuliert, wenn das reale Zufallsexperiment aus Gründen wie zu wenig Ressourcen, Zeit oder zu hohem Aufwand nicht hinreichend oft wiederholt werden kann.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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