Exponentialverteilung

Wusstest Du, dass Du mit der Exponentialverteilung ermitteln kannst, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein technisches Gerät (zum Beispiel ein Laptop) innerhalb einer gewissen Zeitspanne ausfällt? In dieser Erklärung erfährst Du, welche Formel Du dazu benötigst, wie Du die Wahrscheinlichkeit berechnen kannst und wie Du diese in weiteren Aufgaben mit Lösungen anwendest. Dazu bekommst Du einen Einblick in die Dichtefunktion und in die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung sowie in weitere Kenngrößen wie den Erwartungswert, die Standardabweichung und die Varianz.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Exponentialverteilung – Exponentialverteilung Lambda

    Die Exponentialverteilung \(Exp(\lambda)\) gehört zu den Wahrscheinlichkeitsverteilungen einer stetigen Zufallsvariable.

    Mehr darüber kannst Du in der Erklärung „Stetige Verteilung“ nachlesen.

    Sie findet im Alltag ihre Anwendung beispielsweise bei der zufallsabhängigen Länge eines Telefongespräches, unserer Lebensdauer oder die Lebensdauer von Maschinen.

    Die Exponentialverteilung \(Exp(\lambda)\) wird unter anderem zur Abbildung von Zeitintervallen genutzt.

    Der Parameter \(\lambda\) (Lambda) beschreibt die Zahl der erwarteten Ereignisse pro Zeitintervall mit \(\lambda > 0\).

    Hast Du die mittlere Lebensdauer eines Bauteils gegeben, so kannst Du den Parameter \(\lambda\) berechnen. Mehr dazu erfährst Du später.

    Die Exponentialverteilung ist „Gedächtnislos“, denn alles vor dem Berechnungszeitraum ist für die Zukunft irrelevant.

    Ein Laptop beispielsweise kann zufallsbedingt sowohl nach dem ersten Benutzen als auch zwei Jahre später kaputtgehen.

    Exponentialverteilung – Formel: Wahrscheinlichkeit berechnen

    Bei der Exponentialverteilung können verschiedene Eigenschaften und Kennwerte zugeteilt werden. Dazu gehören:

    • die Dichtefunktion \(f_{\lambda}(x)\)
    • die Verteilungsfunktion \(F(x)\)
    • der Erwartungswert \(E(X)\)
    • die Varianz \(Var(X)\)
    • die Standardabweichung \(\sigma\)

    Schau Dir gerne die nächsten Abschnitte an, um mehr zu den Themen zu erfahren.

    Dichtefunktion Exponentialverteilung

    Die Dichtefunktion beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable \(X\) einen bestimmten Wert annimmt.

    Bei einer Exponentialverteilung \(Exp(\lambda)\) gilt für die Dichtefunktion \(f_{\lambda}(x)\):

    \begin{align} f_{\lambda}(x)=P(X=x)=\begin{cases} \lambda \cdot e^{-\lambda x} &x\geq 0 \\[0.2cm] \hspace{1.3cm}0 &x<0 \end{cases}\end{align}

    Je größer der Parameter \(\lambda\), desto steiler ist der typische Verlauf des Funktionsgraphen. Dies kannst Du in der folgenden Grafik für verschiedene \(\lambda\)-Werte nachvollziehen.

    Exponentialverteilung Dichtefunktion verschiedene Parameter StudySmarterAbb. 1 - Dichtefunktion mit verschiedenen Parametern.

    Der Modus (\(x\)-Wert, bei dem die Wahrscheinlichkeit am größten ist) liegt bei dieser Dichtefunktion bei \(x_{mod}=0\).

    Verteilungsfunktion Exponentialverteilung

    Wird die Dichtefunktion \(f_{\lambda}(x)\) integriert, so erhältst Du die entsprechende Verteilungsfunktion \(F(x)\) der Exponentialverteilung.

    Mehr zu dieser Funktion kannst Du in der Erklärung „Verteilungsfunktion“ nachlesen.

    Bei einer Exponentialverteilung \(Exp(\lambda)\) gilt für die Verteilungsfunktion \(F(x)\):

    \begin{align} F(x)=P(X\leq x)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda x} &x\geq0 \\[0.2cm] \hspace{1.8cm}0&x<0 & \end{cases}\end{align}

    Den Verlauf für verschiedene Parameterwerte \(\lambda\) siehst Du in der folgenden Grafik.

    Exponentialverteilung Verteilungsfunktion verschiedene Parameter StudySmarterAbb. 2 - Verteilungsfunktion mit verschiedenen Parametern.

    Neben der Dichtefunktion und der Verteilungsfunktion gibt es noch weitere Kenngrößen einer Exponentialverteilung.

    Exponentialverteilung Erwartungswert und Standardabweichung

    Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen beschreibt den Mittelwert, wie beispielsweise die mittlere Lebensdauer eines elektronischen Bauteils.

    Für den Erwartungswert \(E(X)\) und die Standardabweichung \(\sigma\) bei einer Exponentialverteilung gilt:

    \[E(X)=\sigma=\frac{1}{\lambda}\]

    Alles rund um diese Kenngrößen kannst Du in der Erklärung „Erwartungswert“ und „Standardabweichung“ nachlesen.

    Varianz Exponentialverteilung

    Die Varianz ist ein Maß für die Streuung der einzelnen Werte um den Erwartungswert (Mittelwert). Dazu wird die Standardabweichung \(\sigma\) quadriert.

    Für die Varianz \(Var(X)\) bei einer Exponentialverteilung gilt:

    \[Var(X)=\sigma^2=\frac{1}{\lambda^2}\]

    Wie kannst Du diese Formeln nun nutzen und mit ihnen rechnen? Sieh Dir dazu gleich das nächste Kapitel an.

    Exponentialverteilung – Beispiele

    Mit der Verteilungsfunktion \(F(x)\) kannst Du beispielsweise berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass ein technisches Gerät eine gewisse Lebensdauer überschreitet.

    Aufgabe 1

    In einem Elektronikgeschäft wird die mittlere Lebensdauer für einen Laptop mit etwa \(2\,000\) Tagen geschätzt, bei einer Nutzungsdauer von einer Stunde pro Tag. Der Parameter \(\lambda\) wird mit \(\lambda=0,0005\,\frac{1}{h}\) angegeben.

    Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Laptop nach \(1\) Jahr noch funktioniert.

    Lösung

    Du setzt jetzt die Werte in die Verteilungsfunktion für \(x\geq 0\) ein. Der \(x\)-Wert ist \(x=365\,h\), weil ein Jahr \(365\) Tage hat bei einer Stunde Nutzung pro Tag.

    Über diese Formel wird zunächst die „Ausfallwahrscheinlichkeit“ berechnet. Also die Wahrscheinlichkeit, dass der Laptop innerhalb eines Jahres ausfällt.

    \begin{align}P(X\leq 365)&=1-e^{-\lambda x}\\[0.2cm] &=1-e^{-0{,}0005\,\frac{1}{h}\cdot 365\,h}\\[0.2cm] &\approx0{,}1668 \end{align}

    Nun rechnest Du die Dezimalzahl in Prozent um.

    \[0{,}1668=16{,}68\,\text{%}\]

    Somit fällt der Laptop mit einer Wahrscheinlichkeit von \(16{,}68\,\text{%}\) im ersten Jahr aus. Demnach gilt:

    \[P(X>365)=100\,\%-16{,}68\,\%=83{,}32\,\%\]

    Mit einer Wahrscheinlichkeit von \(83{,}32\,\%\) ist das Gerät nach einem Jahr noch intakt.

    Durch den Parameter \(\lambda\) kannst Du zudem noch die mittlere Lebensdauer selbst berechnen.

    Aufgabe 2

    Zwei Laptops werden mit den Parametern \(\lambda_1=0{,}0005\,\frac{1}{h}\) und \(\lambda_2 = 0{,}0008\,\frac{1}{h}\) angegeben.

    Berechne die mittlere Lebensdauer beider Geräte.

    Lösung

    Um das herauszufinden, musst Du die Erwartungswerte der beiden Laptops \(1\) und \(2\) berechnen.

    \[E_1(X)=\frac{1}{0{,}0005\,\frac{1}{h}} = 2\,000\,h\]

    \[E_2(X)=\frac{1}{0{,}0008\,\frac{1}{h}} = 1\,250\,h\]

    Somit hat der Laptop mit einem geringeren \(\lambda\)-Wert eine höhere Lebensdauer von \(2\,000\) Stunden.


    Möchtest Du direkt noch ein paar Übungsaufgaben zur Exponentialverteilung lösen? Dann sieh Dir die nachfolgenden Aufgaben an.

    Exponentialverteilung – Aufgaben mit Lösung

    Nun kannst Du Dein Wissen mit einer Aufgabe überprüfen.

    Aufgabe 3

    Berechne die mittlere Lebensdauer Deines Fernsehers, der mit \(\lambda = 0{,}0002\,\frac{1}{h}\) exponentialverteilt ist.

    Lösung

    Für diese Berechnung benötigst Du die Formel zur Berechnung des Erwartungswertes und dort setzt Du \(\lambda=0{,}0002\,\frac{1}{h}\) ein.

    \[E(X)=\frac{1}{0{,}0002\,\frac{1}{h}}=5\,000\,h\]

    Dein Fernseher hat eine mittlere Lebensdauer von \(5\,000\) Stunden.

    Aufgabe 4

    Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Waschmaschine die mittlere Lebensdauer von \(3\,000\,h\) nicht überschreitet.

    Lösung

    Dafür berechnest Du zunächst den Parameter \(\lambda\) für die mittlere Lebensdauer von \(3\,000\,h\).

    \[E(X)=\frac{1}{\lambda}\hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} \lambda=\frac{1}{E(X)}\]

    Nach Einsetzen der Zahlenwerte erhältst Du:

    \[\lambda=\frac{1}{E(X)}=\frac{1}{3\,000\,h}=0{,}00033\,\tfrac{1}{h}\]

    Jetzt kannst Du die Ausfallwahrscheinlichkeit berechnen, indem Du die Werte in die Verteilungsfunktion einsetzt.

    \begin{align}P(X\leq 3000)&=1-e^{-\lambda x}\\[0.2cm] &=1-e^{-0{,}00033\,\frac{1}{h}\cdot 3\,000\,h}\\[0.2cm] &= 0{,}6284\end{align}

    Jetzt rechnest Du noch die Dezimalzahl in Prozent um.

    \[0{,}6284=62{,}84\,\text{%}\]

    Die Wahrscheinlichkeit, dass die Waschmaschine in den ersten \(3\,000\,h\) kaputtgeht, liegt bei \(62{,}84\,\text{%}\).

    In den zugehörigen Karteikarten findest Du noch weitere Übungsaufgaben zur Exponentialverteilung!

    Exponentialverteilung – Das Wichtigste

    • Die Exponentialverteilung \(Exp(\lambda)\) wird zur Abbildung von Zeitintervallen, wie etwa der Lebensdauer von technischen Geräten, genutzt.
    • Dichtefunktion \(f_{\lambda}(x)\):

      \begin{align} f_{\lambda}(x)=P(X=x)=\begin{cases} \lambda \cdot e^{-\lambda x} &x\geq 0 \\[0.2cm] \hspace{1.3cm}0 &x<0 \end{cases}\end{align}

    • Verteilungsfunktion \(F(x)\):\begin{align} F(x)=P(X\leq x)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda x} &x\geq0 \\[0.2cm] \hspace{1.8cm}0&x<0 & \end{cases}\end{align}
    • Erwartungswert \(E(X)\) und Standardabweichung \(\sigma\):

      \[E(X)=\sigma=\frac{1}{\lambda}\]

    • Varianz \(Var(X)\):

      \[Var(X)=\frac{1}{\lambda^2}\]


    Nachweise

    1. Janedu UG(2011): https://welt-der-bwl.de/Exponentialverteilung.
    2. Behrends, E. (2013). Die Exponentialverteilung. In: Elementare Stochastik. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden.
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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Exponentialverteilung

    Ist die Exponentialverteilung stetig?

    Die Exponentialverteilung gehört zu den stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

    Wann ist etwas exponentialverteilt?

    Die Exponentialverteilung \(Exp(\lambda)\) wird zur Abbildung von Zeitintervallen, wie etwa der Lebensdauer von technischen Geräten, genutzt. Die Lebensdauer ist hierbei die exponentialverteilte Zufallsvariable.

    Was gibt Lambda bei der Exponentialverteilung an?

    Der Parameter λ (Lambda) beschreibt die Zahl der erwarteten Ereignisse pro Zeitintervall mit  λ > 0. 

    Wann Poissonverteilung und Exponentialverteilung? 

    Die Poissonverteilung gehört zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen, wobei die Exponentialverteilung einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung zuzuordnen ist.

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