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Exponentialverteilung

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Exponentialverteilung

Die Exponentialverteilung gehört zu den Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ist neben der Binomialverteilung eine bekannte Verteilungsfunktion. Anders als bei der Binomialverteilung ist die Exponentialverteilung stetig. Wenn du zu diesem Thema mehr erfahren willst, findest du alle Infos zu den verschiedenen Verteilungen in unseren Artikeln. Wir erklären dir nun die Exponentialverteilung, damit du alle wichtigen Eigenschaften zu dieser Funktion kennenlernst.

Wann verwenden wir die Exponentialverteilung?

Mit der Exponentialverteilung wird die Dauer zufälliger Zeitintervalle bestimmt. Sie ist ausschließlich für alle reellen positiven Zahlen definiert.

Sie findet in unserem Alltag ihre Anwendung bei der zufallsabhängigen Länge eines Telefonsgespräch, unsere Lebensdauer oder die Lebensdauer von Maschinen. Ebenso können Wartezeiten in einer Schlange oder in einer Arztpraxis anhand der Exponentialverteilung errechnet werden.

Die Definition der Exponentialverteilung

Die Zufallsvariable X steht für eine vom Zufall abhängige Zeitspanne.

X ist exponentialverteilt: X∽Exp(λ).

Dabei wird λ (Lambda) als Parameter in der Exponentialverteilung verwendet und beschreibt die Zahl der erwarteten Ereignisse pro Zeitintervall. Der Parameter 𝜆 ist eine reelle positive Zahl.

  • Die exponentialverteilte Zufallsgröße X besitzt die Wahrscheinlichkeitsdichte
    • f𝜆(x)=𝜆e−𝜆x ;x≥00 ;x<0
  • Die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung ist
    • PX≤x=Fx=∫0xf𝜆t dt=1−e−𝜆x ;x≥00 ;x<0

Damit wird die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des nächsten Ereignisses im Intervall 0 bis x berechnet.

Anwendungsbeispiel einer Exponentialverteilung

Mit Beginn der Corona Pandemie gibt es für die Sicherheit der Bevölkerung strenge Auflagen. Die Supermärkte dürfen je nach Flächengröße nur noch begrenzt Personen einlassen. Die Wartezeit in einer Schlange vor einem Geschäft ist exponentialverteilt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person innerhalb von 5 Minuten Wartezeit das Geschäft betreten darf?

Die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung lautet:

PX≤x=Fx=∫0xf𝜆t dt=1−e−𝜆x ;x≥00 ;x<0

Der Parameter λ gibt den Kehrwert der mittleren, durchschnittlichen Wartezeit bzw. der Kehrwert des Erwartungswerts, in unserem Beispiel: 1/10 = 0,1 an.

Dabei gibt x die Wartezeit 5 min an und e ist die Eulersche Zahl 2,718...

PX≤5=F5=1−e−0,1∙5≈0,394

Die Wahrscheinlichkeit nach maximal 5 Minuten das Geschäft zu betreten beträgt ca. 39,4%.

Ergebnis: Folglich ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person das Geschäft mit einer maximalen Wartezeit von 5 Minuten das Geschäft betreten kann, ungefähr 39 %.

Die Dichtefunktion der Exponentialverteilung ist gegeben durch

f0,1(x)=0,1e−0,1x ;x≥00 ;x<0

Die Dichtefunktion für die Exponentialverteilung gezeichnet:

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist die Fläche unter der Verteilungsfunktion (hier schraffiert bis 5 Minuten).

Zur Erinnerung:

  • Die Exponentialverteilung gehört zu den kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
  • Sie berechnet die Dauer zufälliger Zeitintervalle.
  • Mit der Exponentialverteilung findest du beispielsweise die Lebensdauer oder Wartezeiten von Lebewesen und Gegenstände heraus.
  • λ dient als Parameter und stellt die Zahl der erwarteten Ereignisse pro Zeitintervall dar.

Die Eigenschaften der Exponentialverteilung

Der Median

Der Median der Exponentialverteilung liegt bei

x~=ln⁡(2)𝜆

Der Median gibt den Zentralwert an. Aus einer Liste von sortierten Messwerten ist der Wert in der Mitte der Median.

Die Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung ist

PX≤x=Fx=∫0xf𝜆t dt=1−e−𝜆x ;x≥00 ;x<0

Erwartungswert

Der Erwartungswert einer Zufallsvariable beschreibt den Mittelwert der Verteilung dieser Zufallsvariablen bei einer hohen Anzahl an Versuchen.

Der Wert bei der Exponentialverteilung ist der Parameter 1𝜆.

Varianz

Als Varianz für die Exponentialverteilung gilt VarX=1𝜆2.

Die Varianz bildet ein Maß für die Streuung der Wahrscheinlichkeitsdichte um den Erwartungswert. Sie wird mittels der mittleren, quadratischen Abweichung einer Zufallsvariable von ihrem Erwartungswert berechnet.

Standardabweichung

Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz:

𝜎=Var(X)=1𝜆2=1𝜆

Variationskoeffizient

Der Variationskoeffizient der Exponentialverteilung liegt bei 1.

Überlebenswahrscheinlichkeit

Auch ist die Exponentialverteilung unter Lebensdauerverteilung bekannt, womit Überlebenswahrscheinlichkeiten oder restliche Lebensdauer anhand der Verteilungsfunktion bestimmt werden können. Das sogenannte Gegenereignis ist dann die Überlebenswahrscheinlichkeit und wird wie folgt angegeben:

PX>x=1−PX≤x=1−Fx=1−1−e−𝜆x= e−𝜆x

wobei x≥0.

Gedächtnislosigkeit

Die Exponentialverteilung hat kein Gedächtnis.

Die Exponentialverteilung - Alles Wichtige auf einen Blick

  • Die Definition der Exponentialverteilung lautet: Die exponentialverteilte Zufallsgröße X besitzt die Wahrscheinlichkeitsdichte f𝜆(x)=𝜆e−𝜆x ;x≥00 ;x<0

  • Mit der Exponentialverteilung kannst du die Dauer von kontinuierlichen Vorgängen wie Lebensdauer oder Wartezeiten berechnen.
  • Das Besondere an dieser Verteilungsfunktion ist, dass sie stetig ist.
  • Die Exponentialverteilung hat kein Gedächtnis.

Unser Tipp an dich:

Betrachte die Exponentialverteilung nicht nur als die Antwort auf zufällige Zeitintervalle. Du kannst sie dir mit verschiedenen Beispielen aus dem täglichen Leben besser merken. Wenn du sie mit Beispielen separat auf einem Blatt mit wichtigen Formeln notiert, wird es dir einfacher fallen, es zu verstehen. Es gibt viele, spannende Szenarien, die durch die Exponentialverteilung berechnet werden können. Nun kannst du also die Lebensdauer deines Handys ausrechnen. :)

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