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Die Mengenalgebra, auch Mengenlehre oder in der Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignisalgebra genannt, befasst sich mit den Rechengesetzen, die sich auf Mengen anwenden lassen. Die Mengenalgebra gehört zu den grundlegenden mathematischen Operationen und ist als Ereignisalgebra Teil der Wahrscheinlichkeitsrechnung und damit der Stochastik.
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Jetzt kostenlos anmeldenDie Mengenalgebra, auch Mengenlehre oder in der Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignisalgebra genannt, befasst sich mit den Rechengesetzen, die sich auf Mengen anwenden lassen. Die Mengenalgebra gehört zu den grundlegenden mathematischen Operationen und ist als Ereignisalgebra Teil der Wahrscheinlichkeitsrechnung und damit der Stochastik.
Eine Menge ist eine Zusammenfassung eindeutig unterscheidbarer Objekte zu einem Kollektiv. Diese Objekte werden Elemente genannt und können alles von unterschiedlichen Obstsorten, über Kleidungsstücke bis hin zu einfachen Zahlen sein.
Die Menge aller möglichen Augenzahlen auf einem Würfel lautet: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Die Mengehat n Elemente
Es gibt drei grundlegende Operationen, die du auf Mengen anwenden kannst: Durchschnitt, Vereinigung und Komplement (oder Differenz). Bildlich kann man sich diese Operationen wie folgt vorstellen:
Eine Menge B, die einen Teil der Elemente einer anderen Menge A beinhaltet und dazu keine weiteren Elemente enthält, nennt sich eine Teilmenge von A. Die Notation erfolgt durch: B⊆A.
Übrigens: der Strich unter dem Operator bedeutet, dass es sich um eine echte Teilmenge handelt. Nach der Definition der Teilmenge können auch identische Mengen Teilmengen voneinander sein. Dies kann jedoch nur durch den Operator „⊃/⊂“ ausgedrückt werden. Der Strich unter dem Operator schließt also aus, dass die Mengen identisch sind.
Das Gegenteil einer Menge A wird Ᾱ geschrieben. In der Menge Ᾱ sind alle möglichen Elemente enthalten, außer denen, die in A enthalten sind.
Nun da du die Operationen kennst, können wir uns die Gesetze der Mengenalgebra näher anschauen.
So wie es bei Zahlen „Punkt- vor Strichrechnung“ gibt, gibt es verschiedene Gesetze, die sich beim Rechnen mit Mengen anwenden lassen: die Gesetze der Mengenalgebra. In der nachfolgenden Tabelle findest du die einzelnen Gesetze bezogen auf drei Mengen A, B, C:
Kommutativgesetze | A∪B=B∪A A∩B=B∩A |
Assoziativgesetze | A∪B∪C=A∪B∪C=A ∪B∪C A∩B∩C=A∩B∩C=A ∩B∩C |
Distributivgesetze | A∪B∩C=(A∪B)∩(A∪C) A∩B∪C=(A∩B)∪(A∩C) |
Absorptionsgesetze | A∪A∩B=A A∩A∪B=A |
Gesetze von De Morgan | A∪B=AB „weder A, noch B“ tritt ein A∩B=AB „höchstens eines von beiden“ tritt ein |
Bildlich kann man sich die Gesetze von De Morgan wie unten dargestellt vorstellen. Dabei entspricht der Ausdruck darunter den farbig ausgefüllten Bereichen.
Tipp: Versuche dir auch die jeweils andere Formel für denselben Ausdruck bildlich als Venn-Diagramm vorzustellen. Du solltest dann zu demselben Ergebnis kommen.
Als Beispielaufgaben schauen wir uns zwei unterschiedliche Ausdrücke von Mengen an und versuchen, diese zu vereinfachen!
Die Mengenlehre lässt sich auch auf Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitsrechnung anwenden. Die Gesetze, die in der Mengenalgebra gelten, finden ebenso Anwendung auf Ereignisse, da Ereignisse nichts anderes als Teilmengen der Ergebnismenge sind.
Auf zwei Mengen lassen sich im Allgemeinen drei Operationen anwenden:
Für diese Operationen zwischen zwei oder mehr Mengen gibt eine Reihe an Rechengesetzen, die du unbedingt beachten musst. Diese Gesetze lassen sich auch auf Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitsrechnung anwenden.
Falls es dir schwerfallen sollte, die Rechenregeln zu verstehen, probiere es doch mal an konkreten Beispielen. Denke dir einfach zwei oder drei beliebige Mengen aus, die sich teilweise überschneiden. Dann versuchst du Schritt für Schritt auf diese Mengen die oben erklärten Rechenoperationen anzuwenden. Schon lassen sich die Zusammenhänge zwischen den Gesetzen viel leichter verstehen!
Wenn du dir vorstellst, dass „“ ein gekipptes D ist (wie Durchschnitt) und „
“, was ja für „oder“ steht, auch ein Flussbett (der Oder) sein könnte, verwechselst du nie wieder die beiden Operatoren! Clever oder?
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