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Mengenalgebra

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Mengenalgebra

Die Mengenalgebra, auch Mengenlehre oder in der Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignisalgebra genannt, befasst sich mit den Rechengesetzen, die sich auf Mengen anwenden lassen. Die Mengenalgebra gehört zu den grundlegenden mathematischen Operationen und ist als Ereignisalgebra Teil der Wahrscheinlichkeitsrechnung und damit der Stochastik.

Mengen

Eine Menge ist eine Zusammenfassung eindeutig unterscheidbarer Objekte zu einem Kollektiv. Diese Objekte werden Elemente genannt und können alles von unterschiedlichen Obstsorten, über Kleidungsstücke bis hin zu einfachen Zahlen sein.

Beispiel (H3)

Die Menge aller möglichen Augenzahlen auf einem Würfel lautet: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Die Mengehat n Elemente

Operationen auf Mengen

Es gibt drei grundlegende Operationen, die du auf Mengen anwenden kannst: Durchschnitt, Vereinigung und Komplement (oder Differenz). Bildlich kann man sich diese Operationen wie folgt vorstellen:

  • Durchschnitt: Der Durchschnitt enthält nur Elemente, die sowohl in Menge A, als auch in Menge B vorkommen. Man sagt auch „A und B“
  • Vereinigung: Die Vereinigung enthält alle Elemente, die in A, B oder beiden Mengen vorkommen. Man sagt auch „A oder B“ (oder beides)
  • Komplement (oder Differenz): A∖BDie Differenz beschreibt alle Elemente, die in der Menge A vorkommen, außer denen, die auch in B vorkommen. Man sagt auch: „A ohne B“

Eine Menge B, die einen Teil der Elemente einer anderen Menge A beinhaltet und dazu keine weiteren Elemente enthält, nennt sich eine Teilmenge von A. Die Notation erfolgt durch: B⊆A.

Übrigens: der Strich unter dem Operator bedeutet, dass es sich um eine echte Teilmenge handelt. Nach der Definition der Teilmenge können auch identische Mengen Teilmengen voneinander sein. Dies kann jedoch nur durch den Operator „⊃/⊂“ ausgedrückt werden. Der Strich unter dem Operator schließt also aus, dass die Mengen identisch sind.

Das Gegenteil einer Menge A wird Ᾱ geschrieben. In der Menge Ᾱ sind alle möglichen Elemente enthalten, außer denen, die in A enthalten sind.

Nun da du die Operationen kennst, können wir uns die Gesetze der Mengenalgebra näher anschauen.

Gesetze der Mengenalgebra

So wie es bei Zahlen „Punkt- vor Strichrechnung“ gibt, gibt es verschiedene Gesetze, die sich beim Rechnen mit Mengen anwenden lassen: die Gesetze der Mengenalgebra. In der nachfolgenden Tabelle findest du die einzelnen Gesetze bezogen auf drei Mengen A, B, C:

Kommutativgesetze

A∪B=B∪A

A∩B=B∩A

Assoziativgesetze

A∪B∪C=A∪B∪C=A ∪B∪C

A∩B∩C=A∩B∩C=A ∩B∩C

Distributivgesetze

A∪B∩C=(A∪B)∩(A∪C)

A∩B∪C=(A∩B)∪(A∩C)

Absorptionsgesetze

A∪A∩B=A

A∩A∪B=A

Gesetze von De Morgan

A∪B=AB

„weder A, noch B“ tritt ein

A∩B=AB

„höchstens eines von beiden“ tritt ein

Bildlich kann man sich die Gesetze von De Morgan wie unten dargestellt vorstellen. Dabei entspricht der Ausdruck darunter den farbig ausgefüllten Bereichen.

Tipp: Versuche dir auch die jeweils andere Formel für denselben Ausdruck bildlich als Venn-Diagramm vorzustellen. Du solltest dann zu demselben Ergebnis kommen.

Beispielaufgaben

Als Beispielaufgaben schauen wir uns zwei unterschiedliche Ausdrücke von Mengen an und versuchen, diese zu vereinfachen!

  1. Vereinfache :Laut dem De Morgan’schen Gesetz entspricht , also entspricht und da eine doppelte Negation einer Menge der Menge selbst entspricht, ist das nichts anderes als: A ∩ BGar nicht so schwer, oder? Jetzt können wir uns an konkrete Mengen heranwagen!
  2. A = {rot, grün, gelb, lila}, B = {lila, orange, blau, gelb, grau}. Bestimme :Hier kannst du wieder das De Morgan’sche Gesetz anwenden!Denn der Durchschnitt von „nicht A“ und „nicht B“ enthält keine Elemente aus A und keine Elemente aus B. Wenn es in aber weitere Farben gäbe, die weder in A, noch in B vorkämen, wären diese Farben Elemente des oben genannten Durchschnitts.

Ereignisalgebra

Die Mengenlehre lässt sich auch auf Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitsrechnung anwenden. Die Gesetze, die in der Mengenalgebra gelten, finden ebenso Anwendung auf Ereignisse, da Ereignisse nichts anderes als Teilmengen der Ergebnismenge sind.

Mengenalgebra - Alles Wichtige auf einen Blick

Auf zwei Mengen lassen sich im Allgemeinen drei Operationen anwenden:

  • Durchschnitt
  • Vereinigung
  • Komplement.

Für diese Operationen zwischen zwei oder mehr Mengen gibt eine Reihe an Rechengesetzen, die du unbedingt beachten musst. Diese Gesetze lassen sich auch auf Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitsrechnung anwenden.

Unsere Empfehlung

Falls es dir schwerfallen sollte, die Rechenregeln zu verstehen, probiere es doch mal an konkreten Beispielen. Denke dir einfach zwei oder drei beliebige Mengen aus, die sich teilweise überschneiden. Dann versuchst du Schritt für Schritt auf diese Mengen die oben erklärten Rechenoperationen anzuwenden. Schon lassen sich die Zusammenhänge zwischen den Gesetzen viel leichter verstehen!

Insider Tipp:

Wenn du dir vorstellst, dass „“ ein gekipptes D ist (wie Durchschnitt) und „“, was ja für „oder“ steht, auch ein Flussbett (der Oder) sein könnte, verwechselst du nie wieder die beiden Operatoren! Clever oder?

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