Unabhängige Zufallsvariablen

Für stochastisch unabhängige Zufallsvariablen gelten spezielle Eigenschaften. Doch wann sind Zufallsvariablen unabhängig? Was genau unabhängige Zufallsvariablen sind, welche Bedeutung die Verteilungsfunktion spielt und wie typische Aufgaben für die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen aussehen, erfährst Du in dieser Erklärung anhand von Beispielen.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen

    Wenn ein Zufallsexperiment durchgeführt wird, gibt es verschiedene mögliche Ergebnisse \(\omega\), die den Ergebnisraum \(\Omega\) bilden. Diese Ergebnisse können Begriffe, Buchstaben und Zahlen sein. Damit lässt sich nur schwer rechnen. Eine Zufallsvariable ordnet nun jedem Ergebnis eine reelle Zahl zu.

    Die Zufallsvariable \(X\) ist eine Funktion, die jedem Ergebnis \(\omega\) aus \(\Omega\) genau eine reelle Zahl zuordnet.

    Unabhängige Zufallsvariablen – Definition

    Die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen ergibt sich aus der Unabhängigkeit von Ereignissen. Zwei Zufallsvariablen \(X,Y\) sind stochastisch unabhängig, wenn sie für alle möglichen Werte der Zufallsvariablen unabhängig sind.

    Die Zufallsvariablen \(X_1,\ldots,X_n\) heißen unabhängig, genau dann wenn

    FX1,,Xn(x1,,xn)=FX1(x1)··FXn(xn)F_{X_1,\ldots,X_n}(x_1,\ldots,x_n)=F_{X_1}(x_1)· \ldots ·F_{X_n}(x_n)

    Wendest Du die Verteilungsfunktion \(F:\mathbb{R} \to [0;1]\) mit \(F(x)=P(X\leq x)\) an, so ergibt sich

    P(X1x1,,Xnxn)=P(X1x1)··P(Xnxn)P(X_1 \leq x_1, \ldots, X_n \leq x_n)=P(X_1 \leq x_1)· \ldots · P(X_n \leq x_n)

    Häufig findet die Unabhängigkeit bei zwei Zufallsvariablen Anwendung. Für zwei Zufallsvariablen kannst Du dann die folgende, vereinfachte, Definition verwenden.

    Zwei Zufallsvariablen \(X,Y\) sind unabhängig, genau dann, wenn

    FX,Y(x,y)=FX(x)·FY(y)F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)·F_Y(y)

    Daraus folgt direkt:

    P(Xx,Yy)=P(Xx)·P(Yy)P(X \leq x, Y \leq y)=P(X \leq x) · P(Y \leq y)

    Aber was bedeutet das Ganze überhaupt? Sieh Dir dazu das folgende Beispiel an.

    Ein Würfel wird zweimal geworfen. Die Zufallsvariable \(X\) gibt die Augenzahl im 1. Wurf an, die Zufallsvariable \(Y\) die Augenzahl im 2. Wurf.

    Das mehrmalige Werfen eines Würfels ist voneinander unabhängig.

    Deswegen sind die Zufallsvariablen \(X,Y\) stochastisch unabhängig.

    Unabhängige Zufallsvariablen – Beispiel

    Wenn Zufallsvariablen unabhängig sind, muss diese Unabhängigkeit für alle möglichen Werte der Zufallsvariablen gelten.

    Ein Würfel wird zweimal geworfen. Die Zufallsvariable \(X\) gibt die Augenzahl im 1. Wurf an. Die Zufallsvariable \(Y\) hingegen ordnet die Augensumme beider Würfel zu.

    Stell Dir nun vor, im 1. Wurf wird eine 2 geworfen. Die Summe nach dem 2. Wurf soll 7 sein. Damit dies gelingt, muss im 2. Wurf eine 7 geworfen werden. Dann ist

    \begin{align} P(X=2,Y=7)& =\underbrace{\frac{1}{6}}_{\text{2 im 1. Wurf}}·\underbrace{\frac{1}{6}}_{\text{5 im 2. Wurf}} \\ & = \frac{1}{36} \end{align}

    Betrachte jetzt die beiden Zufallsvariablen einzln:

    P(X=2)=16P(X=2)=\frac{1}{6}

    Für \(Y=7\) gibt es verschieden Möglichkeiten: \( (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) \)

    Dies sind sechs Möglichkeiten. Jede dieser Möglichkeiten hat eine Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{36}\). Deswegen ist

    P(Y=7)=6·136=16P(Y=7)=6·\frac{1}{36}=\frac{1}{6}

    Es ist:

    \begin{array}{rrcl}\,& P(X=2,Y=7) & = & \frac{1}{36} \\ & P(X=2) · P(Y=7) & = & \frac{1}{6} · \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \\[0.5 cm]\Rightarrow & P(X=2,Y=7) & = & P(X=2)·P(Y=7) \end{array}

    Die Zufallsvariablen \(X,Y\) sind für \(X=2,Y=7\) stochastisch unabhängig. Damit die Zufallsvariablen aber generell unabhängig sind, muss dies für alle Werte von \(X,Y\) gelten.

    Wieder wird im 1. Wurf eine 2 geworfen. Die Summe der Augenzahlen soll nun aber 8 sein.

    \begin{align} P(X=2,Y=8)& =\underbrace{\frac{1}{6}}_{\text{2 im 1. Wurf}}·\underbrace{\frac{1}{6}}_{\text{6 im 2. Wurf}} \\ & = \frac{1}{36} \end{align}

    Es bleibt bei \(P(X=2)=\frac{1}{6}\).

    Für \(Y=8\) gibt es folgende fünf Möglichkeiten: \( (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) \)

    Auch hier hat jede dieser fünf Möglichkeiten eine Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{36}\). Dann ist

    P(Y=8)=5·136=536P(Y=8)=5·\frac{1}{36}=\frac{5}{36}

    Daraus folgt

    \begin{array}{rrcl}& P(X=2,Y=8)&=&\frac{1}{36} \\ &P(X=2)·P(X=8)&=&\frac{1}{6}·\frac{5}{36}=\frac{5}{216} \\ \Rightarrow & P(X=2,Y=8) & \neq & P(X=2)·P(X=8)\end{array}

    Sobald Du ein Gegenbeispiel gefunden hast, weißt Du, dass die Zufallsvariablen nicht unabhängig sind. Die Zufallsvariablen \(X,Y\) sind in diesem Beispiel also nicht stochastisch unabhängig.

    Um zu zeigen, dass zwei Zufallsvariablen stochastisch unabhängig sind, genügt es also nicht, diese Unabhängigkeit für zwei spezielle Werte der Zufallsvariablen zu zeigen.

    Unabhängige Zufallsvariablen – Beweis

    Wenn ein Beweis für die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen gefordert ist, bedeutet dies, dass Du nachweist, dass die Zufallsvariablen unabhängig sind. Dafür benötigst Du die gemeinsame Wahrscheinlichkeit \(P(X=x,Y=y)\) für alle Werte von \(X\) und \(Y\) oder es gibt eine allgemeine Möglichkeit, diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

    Da die Unabhängigkeit manchmal schwer nachzuweisen ist, wird sie in einigen Aufgaben angenommen, ohne sie nachzuweisen.

    Unabhängige Zufallsvariablen – Eigenschaften

    Für unabhängige Zufallsvariablen \(X,Y\) gibt es spezielle Eigenschaften, die aufgrund der Unabhängigkeit gelten.

    • Erwartungswert \(E\): \(E(X·Y)=E(X)·E(Y)\)

    • Varianz \(V\): \(V(X+Y)=V(X)+V(Y) \)

    Diese Eigenschaften ermöglichen einfachere Berechnungen.

    Unabhängige Zufallsvariablen – Erwartungswert

    Hast Du ein Produkt aus Zufallsvariablen, so kannst Du dessen Erwartungswert direkt aus den einzelnen Erwartungswerten berechnen, wenn die Zufallsvariablen unabhängig sind.

    Für unabhängige Zufallsvariablen \(X,Y\) mit Erwartungswerten \(E(X),E(Y)\) gilt:

    E(X·Y)=E(X)·E(Y)E(X·Y)=E(X)·E(Y)

    Diese Eigenschaft für unabhängige Zufallsvariablen kann Dir helfen, den Erwartungswert schnell zu berechnen.

    Bei einem Stand auf einem Fest wird ein Würfel für jede Person zweimal geworfen. Die Zufallsvariable \(X\) gibt die Augenzahl beim 1. Wurf an, die Zufallsvariable \(Y\) beim 2. Wurf.

    Jede Person multipliziert die gewürfelten Augenzahlen und erhält dieses Produkt an Punkten.

    Die Veranstalter möchten gerne wissen, welche Punktzahl sie im Schnitt zu erwarten haben und wollen den Erwartungswert bestimmen. Gesucht ist \(E(X·Y)\)

    Dazu können sie nun alle möglichen Produkte berechnen, deren Wahrscheinlichkeiten bestimmen und daraus den Erwartungswert berechnen.

    Alternativ können die Veranstalter aber auch verwenden, dass die Zufallsvariablen \(X\) und \(Y\) unabhängig sind. Für einen Wurf ist der Erwartungswert \(E(X)=3{,}5=E(Y)\). Daraus ergibt sich:

    \begin{align}E(X·Y)&=E(X)·E(Y) \\ &=3{,}5·3{,}5 \\ & = 12{,}25\end{align}

    Die Veranstalter sollten mit einer durchschnittlichen Punktzahl von 12{,}5 rechnen.

    Verteilungsfunktion – unabhängige Zufallsvariablen

    Aus der Definition von unabhängigen Zufallsvariablen folgt eine wichtige Eigenschaft für ihre Verteilungsfunktion.

    Für unabhängige Zufallsvariablen \(X,Y\) mit Verteilungsfunktionen \(F_X(x),F_Y(y)\) gilt:

    FX·Y(x·y)=FX(x)·FY(y)F_{X·Y}(x·y)=F_X(x)·F_Y(y)

    Wenn Du also die Verteilungsfunktion von zwei multiplizierten und unabhängigen Zufallsvariablen suchst, kannst Du die einzelnen Verteilungsfunktionen multiplizieren. Die Voraussetzung dafür ist, dass sie unabhängig sind.

    Verteilungsfunktionen von Produkten sind häufig komplizierter zu bestimmen. Deswegen ist es ein echter Vorteil, wenn die Zufallsvariablen unabhängig sind.

    Paarweise unabhängige Zufallsvariablen

    Für mehr als zwei Zufallsvariablen ist auch die paarweise Unabhängigkeit von Bedeutung.

    Die Zufallsvariablen \(X_1,\ldots,X_n\) sind paarweise unabhängig, wenn gilt:

    FXi,Xj(xi,xj)=FXi(xi)·FXj(xj) mit i,j{1,,n}F_{X_i,X_j}(x_i,x_j)=F_{X_i}(x_i) ·F_{X_j}(x_j) \text{ mit } i,j\in \{1,\ldots,n\}

    Mehrere Zufallsvariablen können also paarweise unabhängig sein, wenn für jedes Paar von zwei Zufallsvariablen die Unabhängigkeit gilt. Aber Achtung, auch wenn alle Zufallsvariablen paarweise unabhängig sind, müssen sie nicht insgesamt unabhängig sein.

    Bedingt unabhängige Zufallsvariablen

    Es ist möglich, dass zwei Zufallsvariablen abhängig sind, sie aber unter der Bedingung einer dritten Zufallsvariable unabhängig sind. Dann handelt es sich um eine bedingte Unabhängigkeit.

    Zwei Zufallsvariablen \(X,Y\) sind bedingt unabhängig unter der Zufallsvariable \(Z\), wenn gilt:

    fX,Y|Z(x,y|z)=fX|Z(x|z)·fY|Z(y|z)f_{X,Y|Z}(x,y|z)=f_{X|Z}(x|z)·f_{Y|Z}(y|z)

    Wendest Du die Wahrscheinlichkeitsfunktion an, ergibt sich:

    P(X=x,Y=y|Z=z)=P(X=x|Z=z)·P(Y=y|Z=z)P(X=x,Y=y|Z=z)=P(X=x|Z=z)·P(Y=y|Z=z)

    Unabhängige Zufallsvariablen – Aufgabe

    Hier findest Du Aufgaben zu unabhängigen Zufallsvariablen.

    Aufgabe 1

    Das folgende Glücksrad wird einmal gedreht. Du gewinnst, wenn ein Feld mit außen gelb und innen blau angezeigt wird.

    Die Zufallsvariable \(X\) steht für das äußere Feld und ist \(1\), wenn das äußere Feld gelb ist, ansonsten \(0\). Die Zufallsvariable \(Y\) steht für das innere Feld und ist \(1\), wenn das innere Feld blau ist, ansonsten \(0\).

    Zeige, dass die Zufallsvariablen \(X,Y\) nicht unabhängig sind.

    Lösung

    Betrachten wird \(X=1,Y=1\). Die Zufallsvariablen nehmen diese Werte an, wenn außen gelb und innen blau ist.

    Es gibt zwei Felder, bei denen dieses Ereignis eintritt. Deswegen ist

    P(X=1,Y=1)=28=14P(X=1,Y=1)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}

    Für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten gilt:

    \begin{align}P(X=1)=\frac{3}{8} \\ P(Y=1)=\frac{3}{8}\end{align}

    Für das Produkt der beiden Zufallsvariablen folgt:

    P(X=1)·P(Y=1)=38·38=964P(X=1)·P(Y=1)=\frac{3}{8}·\frac{3}{8}=\frac{9}{64}

    Insgesamt ist dann

    P(X=1,Y=1)=14 P(X=1)·P(Y=1)=964P(X=1,Y=1)=\frac{1}{4} \neq P(X=1)·P(Y=1)=\frac{9}{64}

    Die Zufallsvariablen \(X,Y\) sind daher nicht stochastisch unabhängig. Die Unabhängigkeit wurde widerlegt.

    Aufgabe 2

    Es werden zwei verschiedene, unabhängige Zufallsexperimente durchgeführt. Bei beiden Experimenten können Punkte gesammelt werden. Die Zufallsvariable \(X\) ordnet den Ergebnissen des 1. Experiments ihre Punktzahl zu. Die Zufallsvariable \(Y\) ordnet den Ergebnissen des 2. Experiments die Punktzahl zu.

    Der Veranstalter hat die Zufallsexperimente so konzipiert, dass die Erwartungswerte \(E(X)=2\) und \(E(Y)=3\) sind.

    Als besonderen Anreiz gibt es zum Schluss das Produkt der Punkte in Euro als Gewinn ausgezahlt.

    Berechne, welchen durchschnittlichen Gewinn Du erwarten kannst.

    Lösung

    Gesucht ist \(E(X·Y)\). Die Zufallsexperimente sind unabhängig voneinander, deswegen auch die Zufallsvariablen \(X,Y\). Du kannst die Eigenschaft des Erwartungswerts für stochastisch unabhängige Zufallsvariablen verwenden.

    E(X·Y)=E(X)·E(Y)=2·3=6E(X·Y)=E(X)·E(Y)=2·3=6

    Du kannst mit einem durchschnittlichen Gewinn von \(6\,\text{€}\) rechnen.

    Unabhängige Zufallsvariablen – Das Wichtigste

    • Zwei Zufallsvariablen \(X,Y\) sind unabhängig, wenn für ihre Verteilungsfunktionen gilt:FX,Y(x,y)=FX(x)·FY(y)F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)·F_Y(y)
    • Als Beweis, dass zwei Zufallsvariablen nicht unabhängig sind, genügt es, dies für einen Wert der Zufallsvariablen zu zeigen.
    • Für unabhängige Zufallsvariablen \(X,Y\) gelten die folgenden Eigenschaften:
      • Erwartungswert: \(E(X·Y)=E(X)·E(Y)\)
      • Varianz: \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\)

    Nachweise

    1. Tappe (2013). Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer Spektrum.
    2. Cramer, Kamps (2020). Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Eine Einführung für Studierende der Informatik, der Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften. Springer Spektrum.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Unabhängige Zufallsvariablen

    Wann sind Zufallsvariablen unabhängig? 

    Zwei Zufallsvariablen X,Y sind unabhängig, wenn für ihre Verteilungsfunktionen gilt: F(x,y)=F(x)·F(y)

    Das bedeutet, dass Zufallsvariablen unabhängig sind, wenn ihre gemeinsame Verteilungsfunktion dem Produkt der einzelnen Verteilungsfunktionen entspricht.

    Wann ist eine Zufallsvariable diskret?

    Eine Zufallsvariable ordnet den Ergebnissen eines Zufallsexperiments Werte zu. Eine Zufallsvariable ist diskret, wenn sie nur endlich viele Werte annimmt.

    Was heißt stochastisch unabhängig? 

    Sowohl Ereignisse als auch Zufallsvariablen können stochastisch unabhängig sein. 

    Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses keine Auswirkung auf die Wahrscheinlichkeit des anderen Ereignisses hat.

    Zwei Zufallsvariablen sind stochastisch unabhängig, wenn ihre gemeinsame Verteilungsfunktion dem Produkt der einzelnen Verteilungsfunktionen entspricht. 

    Sind unkorrelierte Zufallsvariablen unabhängig? 

    Zwei unkorrelierte Zufallsvariablen müssen nicht unabhängig sein. Umgekehrt gilt die Folgerung: Aus Unabhängigkeit folgt Unkorreliertheit. 

    Aber aus Unkorreliertheit folgt nicht automatisch Unabhängigkeit.

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    Die Zufallsvariablen \(X,Y\) sind unabhängig. Welche Aussage gilt dann für ihre Verteilungsfunktionen? Wähl aus.

    Welche Eigenschaft für den Erwartungswert zweier unabhängiger Zufallsvariablen ist richtig? Wähl aus.

    Zwei Zufallsvariablen \(X,Y\) sind genau dann unabhängig, wenn ...Wähl aus.

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