Bedingte Wahrscheinlichkeit

Q: Was ist eine Vierfeldertafel?

Eine Vierfeldertafel stellt neben Baumdiagrammen eine weitere Möglichkeit dar, bedingte Wahrscheinlichkeiten zu visualisieren. In ihr lassen sich Wahrscheinlichkeiten übersichtlich zusammentragen und ergänzen.

Q: Was ist ein inverses Baumdiagramm?

In einem inversen Baumdiagramm werden die Ereignisse in ihrer Reihenfolge vertauscht. Die Endwahrscheinlichkeiten bleiben dabei gleich, aber die bedingten Wahrscheinlichkeiten ändern sich, da die Bedingungen nun anders sind.

Q: Was sagt der Satz von Bayes aus?

Der Satz von Bayes stellt eine direkte Verbindung zwischen einer bedingten Wahrscheinlichkeit und ihrer umgekehrten bedingten Wahrscheinlichkeit her. Das heißt wenn du PA(B) gegeben hast und PB(A) berechnen willst, hilft dir der Satz von Bayes weiter.

Q: Was ist die bedingte Wahrscheinlichkeit?

Die bedingte Wahrscheinlichkeit PB(A) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B.

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Bedingte Wahrscheinlichkeit

Algebra

Analysis

Geometrie

Stochastik

Inhaltsangabe :

INHALTSANGABE

Du bist auf einem Weihnachtsmarkt und dir läuft die Nase. Nun musst du eine fremde Person ansprechen, um nach einem Taschentuch zu fragen. Auf dem Weihnachtsmarkt sind viele ältere Leute unterwegs, aber du magst keine Stofftaschentücher. Wie wahrscheinlich ist es also, dass dir die Person, die du ansprichst, ein Stofftaschentuch anbietet, unter der Bedingung, dass die Person älter als 65 ist?

Hier bekommst du einen Überblick, was bedingte Wahrscheinlichkeiten sind, sodass du genau solche Aufgabenstellungen berechnen kannst. Außerdem siehst du, wie du mit Vierfeldertafeln schnell und übersichtlich bedingte Wahrscheinlichkeiten darstellen kannst. Bedingte Wahrscheinlichkeiten sind Teil der Wahrscheinlichkeitsrechnung und damit der Stochastik.

Dieser Artikel setzt voraus, dass du dich mit der Mengenlehre/Mengenalgebra und somit auch mit der Ereignisalgebra auskennst! Falls du dich auf diesem Gebiet noch nicht sicher fühlst, solltest du vorab den Beitrag zur Mengenalgebra lesen.

Bedingte Wahrscheinlichkeit – Definition

Die zugehörige Frage lautet: „Wie wahrscheinlich ist es, dass das Ereignis A eintritt, wenn man davon ausgeht, dass B bereits eingetreten ist oder mit Sicherheit eintreten wird?“

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, nachdem ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist. Sie wird als P geschrieben.

Also bezeichnet die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{B} (A)$ die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B.

Da es sich bei Ereignissen um Teilmengen der Ergebnismenge Ω handelt, gelten für das Rechnen mit den Wahrscheinlichkeiten dieser Mengen und Operationen dieselben Regeln, wie in der Mengenalgebra.

Falls du dich jetzt fragst, was eine Ergebnismenge ist, oder wo der Unterschied zwischen Ergebnissen und Ereignissen liegt, schau einfach beim Artikel Zufallsexperimente, Ergebnisse und Ereignisse vorbei!

Erinnere dich nochmal an das Beispiel vom Anfang. Nochmal zur Erinnerung:

Dieses Problem kannst du in zwei Ereignisse zusammenfassen:

S = "Stofftaschentuch"

A = "Person über 65"

Die bedingte Wahrscheinlichkeit, die dich interessiert, lautet dann: $P_{A} (S)$ .

Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen und Formel

Wie so oft gibt es auch für die bedingte Wahrscheinlichkeit eine Formel.

Formel zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit:

$P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$

Wie es zu dieser Formel kommt, kannst du gut erkennen, wenn du die Ereignisse A und B in einem Baumdiagramm festhältst. Da die Bedingung $B$ als bereits eingetreten betrachtet wird, steht sie im Baumdiagramm zusammen mit ihrem Gegenereignis $B$ an erster Stelle.

Ein Gegenereignis ist das Gegenteil von einem bestimmten Ereignis. Es wird mit einem Querbalken über dem Buchstaben geschrieben und umfasst alle Ereignisse, die nicht das gewünschte Ereignis sind.

Mehr zum Baumdiagramm findest du im entsprechenden Artikel hier auf StudySmarter!

An den Pfaden, die zu $B$ und $B$ führen, stehen die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten $P (B)$ und $P (B)$ geschrieben.

Bedingte Wahrscheinlichkeit Baumdiagramm Pfade StudySmarter Abbildung 1: Baumdiagramm mit bedingten Wahrscheinlichkeiten

Nachdem entweder $B$ oder $B$ eingetreten ist, kann nun entweder $A$ oder $A$ eintreten. Die Wahrscheinlichkeiten dafür sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_{B} (A)$ und $P_{B} (A)$ oder $P_{B} (A)$ und $P_{B} (A)$ .

Mit der Schnittmenge ∩ kannst du die Wahrscheinlichkeiten eines Pfades miteinander verknüpfen.

Die Schnittmenge ∩ beschreibt die gemeinsame Menge mehrerer Elemente.

Das heißt $P (A) \cdot P (B)$ ist gleichwertig zu $A \cap B$ .

Neben der Schnittmenge gibt es noch die Vereinigungsmenge ∪. Es beschreibt die Menge von A und/oder B, sprich neben der gemeinsamen Menge von A und B kann auch nur A oder B eintreffen.

Die 1. Pfadregel für Baumdiagramme besagt, dass sich die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten einer Ereignismenge (z.B. $B \cap A$ ) aus dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten ergibt, die entlang dieses Pfades stehen. Als Formel sieht das so aus:

$P (A \cap B) = P (B) \cdot P_{B} (A)$

Diese Formel kannst du jetzt anhand von Division durch $P (B)$ so umstellen, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{B} (A)$ allein steht:

$P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$

Und schon hast du die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit!

Hier kurz etwas zur 1. Pfadregel, die du gerade für die Herleitung gebraucht hast:

1. Pfadregel (Produkt von Wahrscheinlichkeiten)

Die 1. Pfadregel – oder auch das Produkt von Wahrscheinlichkeiten – besagt, dass du die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades miteinander multiplizieren darfst, um die gemeinsame Wahrscheinlichkeit der betreffenden Ereignisse zu berechnen.

Gegeben ist ein Baumdiagramm mit den Ereignissen A und B. Möchtest du die gemeinsame Wahrscheinlichkeit von $A$ und $B$ berechnen, kannst du die Wahrscheinlichkeit $P (A)$ mit der Wahrscheinlichkeit $P (B)$ oder $P_{A} (B)$ (je nachdem, ob $B$ stochastisch unabhängig ist oder nicht) multiplizieren.

bedingte Wahrscheinlichkeit Baumdiagramm 1. Pfadregel StudySmarter Abbildung 2: Baumdiagramm zur 1. Pfadregel

Du rechnest also $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ .

Wenn du wissen möchtest, warum das so ist und wie man sich diese Regel herleiten kann, findest du alles dazu im Artikel zur 1. Pfadregel.

Und nun zurück zur bedingten Wahrscheinlichkeit. Du hast soeben die Formel herausgefunden. Sicher möchtest du nun wissen, wie du sie anwenden kannst.

Schau dir nochmal das Beispiel von oben mit den älteren Herrschaften und den Stofftaschentüchern an.

Du hast bereits definiert:

S = "Stofftaschentuch"

A = "Person über 65"

Dazu kommen die Gegenereignisse:

$S$ = "kein Stofftaschentuch"

$A$ = "Person 65 oder jünger"

Nun wird dir gesagt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die du zufällig auswählst und ansprichst, mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 % über 65 Jahre alt ist. Außerdem wurde aus Durchschnittswerten von anderen, die nach Taschentüchern fragten ermittelt, dass die Wahrscheinlichkeit, ein Stofftaschentuch von einer Person über 65 zu erhalten, bei 21 % liegt.

Aus der Aufgabe kannst du hier lesen, dass gilt:

$P (A) = 70 % = 0, 7 P (S \cap A) = 21 % = 0, 21$

Erstelle als nächstes ein zu deiner Aufgabe passendes Baumdiagramm. So gewinnst du einen guten Überblick. Notiere dir dazu, welche Wahrscheinlichkeiten gegeben sind und welche gesucht werden.

Im linken Baumdiagramm siehst du nochmal die allgemeinen Bezeichnungen, im rechten sind die gegebenen Wahrscheinlichkeiten bereits eingetragen. Die fehlenden kannst du ganz einfach ausrechnen, indem du die bereits gegebene Wahrscheinlichkeit von 1, also 100%, abziehst.

Bedingte Wahrscheinlichkeit Baumdiagramm StudySmarter Abbildung 3: Baumdiagramm mit BezeichnungenAbbildung 4: Baumdiagramm mit Werten

Wie wahrscheinlich ist es, dass dir ein Stofftaschentuch angeboten wird, wenn die Person, die du ansprichst, über 65 ist?

Da du nach der bedingten Wahrscheinlichkeit $P_{A} (S)$ suchst, kannst du für deine Berechnung direkt die Formel von oben nutzen:

$P_{A} (S) = \frac{P (S \cap A)}{P (A)} = \frac{0, 21}{0, 7} = 0, 3 = 30 %$

Die Wahrscheinlichkeit, ein Stofftaschentuch von einer Person über 65 zu bekommen, liegt bei 30%.

Übrigens: Solltest du in einer Aufgabe nach der Gegenteiligen Wahrscheinlichkeit von $P_{B} (A)$ , also $P_{A} (B)$ gefragt werden, kannst du hierfür den Satz von Bayes verwenden. Schau dir gerne den Artikel dazu an!

Vierfeldertafel

Eine Vierfeldertafel stellt neben Baumdiagrammen eine weitere Möglichkeit dar, bedingte Wahrscheinlichkeiten zu visualisieren. In ihr lassen sich Wahrscheinlichkeiten übersichtlich zusammentragen und ergänzen.

Der Aufbau einer Vierfeldertafel sieht so aus, dass je eine Zeile mit $A$ und $A$ beschriftet ist und je eine Spalte mit $B$ und $B$ (oder andersrum). So ergeben sich in der Tabelle vier Felder aus den Beschriftungen: $A \cap B$ , $A \cap B$ , $A \cap B$ und $A \cap B$ . Die einzelnen Zeilen und Spalten werden jeweils summiert. Die Summe der Zeilensummen und die Summe der Spaltensummen jeweils addiert ergibt 1, denn Ereignis und Gegenereignis beinhalten alle Wahrscheinlichkeiten und damit 100%.

Variante für absolute Häufigkeiten

Grundsätzlich ist der Aufbau der Vierfeldertafel immer gleich. Du kannst aber entweder absolute oder relative Häufigkeiten eintragen und bekommst somit unterschiedliche Werte.

Die absolute Häufigkeit ist die Anzahl der gewünschten Ereignisse. Sie kann maximal so groß werden, wie es Ereignisse gibt.

Das heißt, wenn beispielsweise auf dem Weihnachtsmarkt 100 Glühweine pro Tag verkauft werden und du 3 davon trinkst, trägst du die Zahl 3 in deine Vierfeldertafel ein. Folglich steht unten rechts in der Tabelle die Gesamtzahl aller Glühweine, also 100.

	$B$	$B$	$\sum_{}$
$A$	$A \cap B$	$A \cap B$	$A$
$A$	$A \cap B$	$A \cap B$	$A$
$\sum_{}$	$B$	$B$	$\|Ω\|$

Variante für relative Häufigkeiten

Alternativ dazu kannst du natürlich auch relative Wahrscheinlichkeiten eintragen.

Eine relative Häufigkeit gibt an, wie groß der Anteil der absoluten Häufigkeiten an der Gesamtzahl der Ereignisse ist. Man rechnet die relative Häufigkeit so aus:

$r e l a t i v e H a u f i g k e i t h_{n} = \frac{a b s o l u t e H ä u f i g k e i t H_{n}}{A n z a h l d e r E r e i g n i s s e n}$

Das heißt, wenn du von 100 Glühweinen 3 Stück trinkst, entspricht das dem Verhältnis $P = \frac{3}{100}$ . Folglich steht am Ende der Tabelle eine 1, denn 100 geteilt durch 100 ergibt 1.

	$B$	$B$	$\sum_{}$
$A$	$P (A \cap B)$	$P (A \cap B)$	$P (A)$
$A$	$P (A \cap B)$	$P (A \cap B)$	$P (A)$
$\sum_{}$	$P (B)$	$P (B)$	$1$

In der Vierfeldertafel kannst du nun übersichtlich erkennen, dass gilt (siehe erste Zeile):

$P (A \cap B) + P (A \cap B) = P (A)$

Mit der Zusatzinformation, dass du von einer Person unter 65 mit einer Wahrscheinlichkeit von 2% ein Stofftaschentuch erhältst, kannst du die Vierfeldertafel ausfüllen und die fehlenden Zahlen berechnen. Die Zahlen, die du noch berechnen musst, sind in blau markiert.

	$A$	$A$
$S$	$0, 21$	$0, 02$	$0, 23$
$S$	$0, 49$	$0, 28$	$0, 77$
	$0, 7$	$0, 3$	$1$

Die fehlenden Zahlen erhältst du, indem du so viel addierst, dass die Rechnung in der jeweiligen Zeile/Spalte aufgeht und du am Ende der Tabelle auf 1 kommst.

Stochastische Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse A und B sind immer dann stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten von keinem der beiden Ereignisse das jeweils andere beeinflusst. Das ist der Fall, wenn es genauso wahrscheinlich ist, dass A eintritt, nachdem B eingetreten ist, wie das A eintritt obwohl B nicht eingetreten ist und umgekehrt.

Im Gegensatz dazu redet man von stochastischer Abhängigkeit, wenn die Wahrscheinlichkeit von B von dem Eintreten von A abhängt, also sich abhängig davon, ob A eintritt, verändert.

Die Frage nach der stochastischen Abhängigkeit stellt sich in der Wahrscheinlichkeitsrechnung bei mehrstufigen Zufallsexperimenten.

Zwei Ereignisse A und B sind immer dann stochastisch unabhängig, wenn gilt:

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$

Da allgemein gilt, dass $P (A \cap B) = P_{B} (A) \cdot P (B)$ , muss bei stochastischer Unabhängigkeit $P_{B} (A) = P (A)$ sein.

In Worten ausgedrückt muss bei stochastischer Unabhängigkeit die bedingte Wahrscheinlichkeit von A den gleichen Wert haben, wie die totale Wahrscheinlichkeit von A.

Überprüfe doch einfach mal, ob der Fall mit den Taschentüchern stochastisch abhängig oder unabhängig ist.

Hier nochmal die Vierfeldertafel von vorhin:

	$A$	$A$
$S$	$0, 21$	$0, 02$	$0, 23$
$S$	$0, 49$	$0, 28$	$0, 77$
	$0, 7$	$0, 3$	$1$

Hier kannst du Prüfen, ob das Alter und die Stofftaschentücher voneinander unabhängig sind oder nicht.Dazu setzt du die Zahlen aus der Vierfeldertafel in oben genannte Formel ein:

$\begin{array}{rcl} P (S \cap A) & = & P (S) \cdot P (A) \\ 0, 21 & = & 0, 23 \cdot 0, 7 \\ 0, 21 & \neq & 0, 161 \end{array}$

Für eine stochastische Unabhängigkeit müsste die Rechnung aufgehen. Weil aber etwas anderes rauskommt, ist dieser Fall stochastisch abhängig.

Eine stochastische Unabhängigkeit liegt beispielsweise dann vor, wenn die Wahrscheinlichkeit, von einer Person bis 65 ein Stofftaschentuch zu bekommen, ebenfalls bei 30% liegt. In diesem Fall wäre es dann unerheblich, ob die Person alt oder jung ist, denn du bekommst von 30% aller anwesenden Personen ein Stofftaschentuch, unabhängig davon, wie alt sie sind.

Bedingte Wahrscheinlichkeit – Aufgaben

Zum Abschluss gibt's hier noch ein paar Aufgaben zum Üben.

Aufgabe 1

Beim Mensch-Ärgere-Dich-Nicht brauchst du erst eine 6 und dann eine 4, um in dein Haus zu kommen. Handelt es sich dabei um eine einfache oder bedingte Wahrscheinlichkeit?

Lösung

Es handelt sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit, weil die 4 unter der Bedingung gewürfelt wird, dass vorher eine 6 gefallen ist.

Aufgabe 2a

In einem Supermarkt bestehen 70% des Sortiments aus Nahrungsmitteln und der Rest aus Nonfood-Artikeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter reduzierter Artikel ein Nahrungsmittel ist, liegt bei 17,5%. Welcher Anteil der Nahrungsmittel ist reduziert?

Lösung

Aus der Aufgabe kannst du herauslesen, dass ein Artikel mit der Wahrscheinlichkeit 0,7 ein Nahrungsmittel ist und ein Artikel mit der Wahrscheinlichkeit 0,175 reduziert und ein Nahrungsmittel ist.

$P (N) = 0, 7 P (N \cap R) = 0, 175$

Diese Wahrscheinlichkeiten kannst du in die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit einsetzen.

$P_{N} (R) = \frac{P (N \cap R)}{P (N)} = \frac{0, 175}{0, 7} = 0, 25$

Also sind insgesamt 25% der Nahrungsmittel reduziert.

Aufgabe 2b

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter reduzierter Artikel ein Nonfood-Artikel ist, liegt bei 7,5%. Handelt es sich um eine stochastische Abhängigkeit oder Unabhängigkeit?

Lösung

Es gibt eine einfache und eine ausführlichere Lösung zu dieser Aufgabe. Für die einfache setzt du die 7,5% in die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit ein.

$P_{N} (R) = \frac{P (N \cap R)}{P (N)} = \frac{0, 075}{0, 3} = 0, 25$

Hier kannst du schon sehen, dass – genau wie bei den Nahrungsmitteln – 25% des Sortiments reduziert sind. Du kannst also sagen, es sind 25% des gesamten Sortiments reduziert, unabhängig davon, welche Art von Artikel der gewählte ist. Es liegt also eine stochastische Unabhängigkeit vor.

Wenn dir das unlogisch erscheint, kannst du die Aufgabe auch rechnerisch lösen:

Hierbei solltest du dir auf jeden Fall eine Vierfeldertafel zu Hilfe nehmen.

Wenn 25% des Nahrungsmittelsortiments reduziert sind, sind 75% nicht reduziert.

	$N$	$N$
$R$	$P (N \cap R) 0, 7 \cdot 0, 25 = 0, 175$	$P (N \cap R) 0, 3 \cdot 0, 25 = 0, 075$	$0, 25$
$R$	$P (N \cap R) 0, 7 \cdot 0, 75 = 0, 525$	$P (N \cap R) 0, 3 \cdot 0, 75 = 0, 225$	$0, 75$
	$0, 7$	$0, 3$	$1$

Jetzt kannst du prüfen, ob eine stochastische Abhängigkeit vorliegt:

$\begin{array}{rcl} P (N \cap R) & = & P (N) \cdot P (R) \\ 0, 175 & = & 0, 7 \cdot 0, 25 \\ 0, 175 & = & 0, 175 \end{array}$

Das Ergebnis ist dasselbe. Die Ereignisse sind also voneinander unabhängig.

Mehr zum Baumdiagramm findest du im entsprechenden Artikel hier auf StudySmarter!

Bedingte Wahrscheinlichkeit – Das Wichtigste

Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{B} (A)$ ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B.
Die Formel zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit lautet $P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$
Während die Schnittmenge ∩ nur die gemeinsame Menge mehrerer Elemente beschreibt, kann bei der Vereinigungsmenge ∪sowohl alle, als auch nur eines der Elemente enthalten sein.
Zur Darstellung eignen sich Baumdiagramme und Vierfeldertafeln. Diese solltest du unbedingt nutzen, um dir einen Überblick über die Aufgabe zu verschaffen.
Bei stochastisch unabhängigen Vorgängen beeinflusst ein Ereignis nicht das andere und die Wahrscheinlichkeit der Menge A∩B entspricht dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von A und B.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Bedingte Wahrscheinlichkeit

In einem inversen Baumdiagramm werden die Ereignisse in ihrer Reihenfolge vertauscht. Die Endwahrscheinlichkeiten bleiben dabei gleich, aber die bedingten Wahrscheinlichkeiten ändern sich, da die Bedingungen nun anders sind.

Der Satz von Bayes stellt eine direkte Verbindung zwischen einer bedingten Wahrscheinlichkeit und ihrer umgekehrten bedingten Wahrscheinlichkeit her. Das heißt wenn du P_A(B) gegeben hast und P_B(A) berechnen willst, hilft dir der Satz von Bayes weiter.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit P_B(A) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B.

Finales Bedingte Wahrscheinlichkeit Quiz

Frage

Was ist die Verzweigungsregel bei Baumdiagrammen?

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Antwort

Bei einem vollständigen Baumdiagramm beträgt die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, stets 1

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Frage

Wie werden bedingte Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm dargestellt?

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Antwort

Ab der 2. Stufe stehen im Baumdiagramm auf den Ästen bedingte Wahrscheinlichkeiten.

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Frage

In einer Schulklasse sind 12 Mädchen und 18 Jungen. Die Schülerinnen und Schüler werden befragt, ob sie lieber Schokolade oder Chips essen. 8 Mädchen bevorzugen Schokolade. Von den Jungen essen 10 lieber Chips.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein befragtes Kind lieber Schokolade isst.

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Antwort

P(S) = P (M ∩ S) + P (J∩S)
P(S) = 12 / 30 * 8 /12 + 18 / 30 * 8 /18 = 8 / 15 = 53,33%

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Frage

Untersuchen, ob die Ereignisse „Mädchen“ und „Schokolade“ stochastisch unabhängig sind.

Antwort anzeigen

Antwort

P (M∩S) = P(M) * PM(S) = 12 / 30 * 8 / 12 = 4 / 15

P(M) * P(S) =12 / 30 * 8 /15 = 16 / 75

P(M∩S) != P(M) * P(S)

Die Ereignisse „Mädchen“ und „Schokolade“ sind stochastisch abhängig.

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Frage

Was bedeutet stochastisch unabhängig?

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Antwort

Dass sich die Ereignisse nicht gegenseitig beeinflussen

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Frage

Was bedeutet stochastisch unvereinbar?

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Antwort

Dass nicht beide Ereignisse gleichzeitig eintreten können.

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Frage

Was ist der Unterschied zwischen PB(A) und P(A ∩ B)?

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Antwort

PB(A) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt unter der Bedingung, dass B bereits erfüllt ist.

P(A ∩ B) ist die Wahrscheinlichkeit, dass A und B gleichzeitig eintreten.

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Frage

Kann man bedingte Wahrscheinlichkeiten direkt in Vierfeldertafeln eintragen?

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Antwort

Nein. Bedingte Wahrscheinlichkeiten lassen sich in der Vierfeldertafel nicht direkt eintragen. Jedoch können P(A ∩ B) und P(B) direkt aus der Vierfeldertafel abgelesen werden.

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Frage

Bei der Produktion eines Spielzeugs für Kinder können zwei Fehler auftreten. 10 % der produzierten Spielzeuge haben einen Funktions- fehler (F1), 20 % haben einen Farbfehler (F2). 25 % aller Spielzeuge haben mindestens einen Fehler

Überprüfe die Ereignisse F1 und F2 auf stochastische Unabhängigkeit

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Antwort

P(F1 ∩ F2) = 0,05 P(F1) * P(F2) = 0,1 * 0,2 = 0,02
Also: P(F1 ∩ F2) = 0,05 != 0,02 = P(F1) * P(F2)

Die Ereignisse F1 und F2 sind stochastisch abhängig.

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Frage

Eine Fernsehredaktion will wissen, wie bekannt ihre neue Sendung „Wissenschaft für alle“ ist, und hat deshalb eine Umfrage durchgeführt. 45 % der Befragten waren männlich, 15 % der befragten Personen gaben an, dass sie die Sendung kennen. Unter denjenigen, die die Sendung kannten, waren 40 % männlich.

Eine befragte Person ist männlich. Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie die Sendung kannte.

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Antwort

Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine befragte Person die Sendung kannte, wenn man bereits weiß, dass sie männlich ist.

PM(B) = P(M∩B) / P(M) = 0,06 / 0,45 = 0,133

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 13,3 % kannte ein männlicher Befragter die Sendung.

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Frage

Was lässt sich mit Baumdiagrammen darstellen?

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Antwort

Mehrstufige Zufallsexperimente

Frage anzeigen

Frage

Was ergeben die Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Wahrscheinlichkeiten ergeben in der Summe immer 1

Frage anzeigen

Frage

Was ist die 1. Pfadregel?

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Antwort

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Zufallsexperiments erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen des Pfades multipliziert, der zu dem Ergebnis führt.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die 2. Pfadregel?

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Antwort

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, werden die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse (Pfade) addiert, die zu dem Ereignis gehören.

Frage anzeigen

Frage

Per Losverfahren werden zwei Schüler einer Klasse ausgewählt, die gemeinsam den Vortrag über ein Klassenprojekt halten müssen. In der Klasse sind 12 Mädchen und 15 Jungen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst der Name eines Jungen und dann der eines Mädchens gezogen wird.

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Antwort

Ereignis A: „Es wird erst ein Junge und dann ein Mädchen gezogen.“ Das gesuchte Ergebnis ist also JM. Mit der 1. Pfadregel erhält man:

P(A) = P(JM) = 15 / 27 * 12 / 26 = 0,2564 = 25,64%

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Frage

Was sagt die Anzahl der Pfade in einem Baumdiagramm aus?

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Antwort

Die Anzahl der Pfade zeigt an, wie viele Ergebnisse das Zufallsexperiment enthält. Mit ihnen lässt sich der Ergebnisraum aufstellen.

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Frage

In welchen Aufgaben finden Baumdiagramme typischerweise Anwendung?

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Antwort

In Aufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit und zur stochastischen Unabhängigkeit

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Frage

Beim Würfeln seien die Ereignisse A = {6} und B = {2; 4; 6} definiert.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit von A, gegeben B. Interpretieren Sie das Ergebnis.

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Antwort

Wegen A ∩ B = {6} gilt Pb(A) = P (A ∩ B) / P(B) = ( 1 / 6 ) / (3 / 6) = 1 / 3

Durch die Zusatzinformation, dass die gewürfelte Zahl gerade ist, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs auf 1 / 3

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Frage

Wann sind zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig?

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Antwort

Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn die spezielle Produktformel P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) gilt.

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Frage

Welche zwei Möglichkeiten gibt es um A und B auf stochastische Unabhängigkeit zu prüfen?

Antwort anzeigen

Antwort

Man prüft, ob die spezielle Produktformel gilt
Man prüft, ob die bedingten Wahrscheinlichkeiten mit den unbedingten Wahrscheinlichkeiten übereinstimmen.

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Frage

A und B seien stochastisch unabhängig, es gelte P(A) = 0,4.

Die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten von A und B betrage 0,1.

Wie groß ist P(B)?

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Antwort

Wegen der stochastischen Unabhängigkeit gilt P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B).

P(B) = P(A ∩ B) / P(A) = 0,1 / 0,4 = 0,25

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Frage

Ein Wurf mit einem Würfel kostet 1€ Einsatz. Ist das Produkt der beiden Augenzahlen größer als zwanzig, werden 3€ ausgezahlt.

a. Ist das Spiel fair?

b. Wie müsste das Spiel geändert werden, damit das Spiel fair ist?

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Antwort

a. Nein

b. Die Auszahlung müsste 7€ betragen

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Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeiten!

Ein neuer Test für das Anoroc Virus weist das Virus bei 95% der infizierten Personen zuverlässig nach. Auch bei 10% der Patienten, die nicht mit dem Virus infiziert sind, liefert der Test ein positives Ergebnis.

Wie wahrscheinlich ist es, dass ein positive getesteter Patient tatsächlich infiziert ist, wenn davon ausgegangen wird, dass 3% der Bevölkerung erkrankt sind.
Wie verändert sich diese Wahrscheinlichkeit, wenn 6% der Bevölkerung erkrankt sind?
Der Test wurde so verbessert, dass er auch bei 95% der nicht infizierten Patienten richtig ausfällt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit aus b. erneut und begründe, warum es zu einer Veränderung kommt.

Antwort anzeigen

Antwort

22,7%
37,7%
54,8%
Durch die Verbesserung kommt es zu weniger falsch positiv getesteten Patienten, daher wird es wahrscheinlicher, dass ein positives Testergebnis tatsächlich auf eine Erkrankung basiert.

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Frage

Ein Lehrer möchte ermitteln, wie viele seiner Schüler beim letzten Test geschummelt haben. Da er damit rechnet, dass die Schüler auf eine direkte Frage nicht wahrheitsgemäß antworten lässt er sie zunächst verdeckt würfeln. Schüler, die eine gerade Zahl gewürfelt haben, antworten grundsätzlich mit „ja“, bei einem ungeraden Würfelergebnis antwortet der Schüler wahrheitsgemäß.

Bestimme den Anteil der Schüler, die beim letzten Test vermutlich geschummelt haben, wenn 19 von 32 Schülern, nach dem Würfeln die Frage mit „ja“ beantworten.
Wie zuverlässig ist dieses Ergebnis einzuordnen?

Antwort anzeigen

Antwort

18,75%
Selbst wenn man davon ausgeht, dass die Schüler nach den Regeln des Experiments wahrheitsgemäß antworten ist die Stichprobe zu klein, um zuverlässige Ergebnisse zu erhalten.

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Frage

In der Hundezucht WOUF hat es Nachwuchs gegeben. Hündin Bella hat sechs zuckersüße Welpen, von denen zwei gescheckt, einer schwarz und drei braun sind. Diese Verteilung ist typisch für Hundepapa Rumo. Bei Würfen von Rüde Waldemar ist in der Regel die Hälfte der Welpen gescheckt, 35% sind weiß und die restlichen braun. Beide Rüden kommen abwechselnd zum Einsatz.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Rumo der Vater eines beliebigen gescheckten Welpen?
Maja und Goofy sind zwei braune Hunde aus der Hundezucht WOUF, mit welcher Wahrscheinlichkeit haben die beiden denselben Vater?

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Antwort

57,14%
64,50%

Frage anzeigen

Frage

Es werden zwei faire Würfel (mit den Augenzahlen 1,2,3,4,5 und 6) geworfen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 Würfel eine 3 zeigt?
Es sei bekannt, dass mindestens ein Würfel eine 3 zeigt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der andere Würfel auch eine 3 zeigt?
Es sei bekannt, dass die Summe der beiden Würfel gleich 8 ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den beiden Würfeln mindestens eine 3 ist?

Antwort anzeigen

Antwort

11/36
1/11
2/5

Frage anzeigen

Frage

Es werden 3 faire Münzen (mit den Seiten Kopf und Zahl) geworfen.

Nenne alle Kombinationen, die beim Werfen von 3 Münzen auftreten können. Wie viele gibt es?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 1 Münze "Zahl" zeigt?
Es sei bekannt, dass die 3. Münze Kopf zeigt. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass genau 1 Münze "Zahl" zeigt?

Antwort anzeigen

Antwort

(KKK, KKZ, KZK, KZZ, ZKK, ZKZ, ZZK, ZZZ) , also insgesamt 8 Kombinationen
3/8
1/2

Frage anzeigen

Frage

Warum kannst du nicht einfach sagen, in der zweiten Runde der Gameshow triffst du zu 50% die Tür mit dem Gewinn?

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Antwort

Weil der Moderator weiß, hinter welcher Türe der Gewinn ist und mit Absicht eine Tür mit Niete geöffnet hat. Aus diesem Grund handelt es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit und du musst die Wahrscheinlichkeiten aus der ersten Runde mit einbeziehen.

Frage anzeigen

Frage

In der Vierfeldertafel hast du 5 Felder mit dem gewünschten Ereignis und 4 Felder mit dem unerwünschten Ereignis. Wie hoch steht die Wahrscheinlichkeit, dass das gewünschte Ereignis eintritt?

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Die Wahrscheinlichkeit liegt bei 55,56%.

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Was ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit?

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Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, nachdem ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist. Sie wird als P geschrieben.

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Wie kannst du die fehlenden relativen Häufigkeiten auf dem Baumdiagramm ausrechnen?

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Alle Äste, die vom selben Punkt ausgehen, müssen zusammen immer 1 ergeben. Also kannst du 1 minus die bereits gegebene Zahl rechnen und erhältst die fehlende Zahl.

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Wozu ist die Vierfeldertafel gut?

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Die Vierfeldertafel ist ein einfaches und dennoch hilfreiches Tool um Zusammenhänge zwischen 2 Ereignissen zu untersuchen. Du kannst sie jedoch nur bei unabhängigen Ereignissen anwenden.

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Was ist stochastische Unabhängigkeit?

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Stochastische Unabhängigkeit sagt aus, dass zwei Ereignisse unabhängig voneinander eintreten können und sich durch das Eintreten eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeiten nicht verändern. Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse werden einfach miteinander multipliziert.

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Wie kannst du überprüfen, ob du in der Vierfeldertafel richtig gerechnet hast?

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Alle 4 Felder zusammen müssen immer 1 ergeben. Ist die Summer größer oder kleiner als 1, hast du dich irgendwo verrechnet.

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Was ist der Unterschied zwischen absoluter und relativer Häufigkeit?

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Die absolute Häufigkeit gibt die Anzahl bestimmter Ereignisse an, während die relative Häufigkeit nur den Anteil bestimmter Ereignisse an der Gesamtzahl der Ereignisse angibt.

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Von 20 Hasen sind 10 weiß und 15 fressen am liebsten Karotten.

Reichen dir diese Angaben schon, um die fehlenden Zahlen auszurechnen?

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Ja, denn von 20 Hasen sind 10 weiß, also sind die anderen 10 nicht weiß. 15 Hasen mögen Karotten, also fressen 5 Hasen lieber etwas anderes. Nun hast du alle Angaben, die du brauchst.

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Kannst du eine Vierfeldertafel auch ohne ein Baumdiagramm erstellen?

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Ja, allerdings musst du dann aufpassen, dass du nicht durcheinander kommst, weil du vieles erst im Kopf ausrechnen musst, bevor du es in die Felder der Vierfeldertafel schreibst. Es empfiehlt sich also immer, zumindest eine grobe Skizze vom Baumdiagramm zu machen.

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Welche Regel braucht man für die Vierfeldertafel?

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Wie ist der Ablauf der Show, auf der das Ziegenproblem basiert?

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In einer Show mit dem Namen "Let's make a deal" gab es 3 Türen. Hinter einer von ihnen stand ein Auto, hinter den anderen beiden jeweils eine Ziege. Nun fragte der Moderator den Kandidaten, hinter welcher Tür das Auto sei. Nachdem der Kandidat sich für eine Tür entschieden hatte, öffnete der Moderator eine Tür mit einer Ziege dahinter und frage den Kandidaten, ob er seine Entscheidung ändern wolle.

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Was antwortete Marylin ihren Lesern auf die Frage, ob es klug sei, bei der zuerst gewählten Tür zu bleiben?

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"Wechseln Sie. Sie verdoppeln sich damit Ihre Chance, zu gewinnen."

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Welche Art von Wahrscheinlichkeit stellt ein Würfelwurf dar?

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Es handelt sich hier um eine einfache Wahrscheinlichkeit, da jede Seite die selbe Wahrscheinlichkeit hat, oben zu liegen. Die einfache Wahrscheinlichkeit wird als p geschrieben.

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Warum musst du beim Ziegenproblem mit der bedingten Wahrscheinlichkeit rechnen?

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Du musst die bedingte Wahrscheinlichkeit anwenden, weil der Moderator bewusst eine Tür mit einer Ziege öffnet. Daher steigt in der 2. Runde die Chance auf den Gewinn.

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Warum kannst du das Baumdiagramm vereinfachen, wenn der Kandidat bei seiner zuerst getroffenen Entscheidung bleibt?

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Wenn der Kandidat sich nicht umentscheidet, sind die Wahrscheinlichkeiten aus der 2. Runde irrelevant.

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Wie rechnest du Wahrscheinlichkeiten aus dem Baumdiagramm aus?

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Im Baumdiagramm wendest du bedingte Wahrscheinlichkeiten an und brauchst deshalb die 1. Pfadregel (Produktregel), um die Wahrscheinlichkeiten auszurechnen.

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Erkläre die Produktregel.

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Die 1. Pfadregel - auch Produktregel genannt - wird verwendet, um die bedingte Wahrscheinlichkeit eines ganz bestimmten Ereignisses zu berechnen. Dazu werden die Äste, die dorthin führen, miteinander multipliziert.

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Wozu ist die Vierfeldertafel gut?

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Mit einer Vierfeldertafel kannst du die Zusammenhänge zwischen 2 Ereignissen und deren Ausprägungen untersuchen. Sie ist ein einfaches und effektives Instrument in der bedingten Wahrscheinlichkeit.

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Glaubst du, ein Wechsel der Tür in der 2. Runde erhöht die Chance auf das Auto?

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Ja. diese Tatsache lässt sich mathematisch beweisen.

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Was bedeutet es, wenn zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind?

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Das bedeutet, dass sie sich nicht gegenseitig beeinflussen. in einem zweistufigen Zufallsexperiment hat der Ausgang des Ereignisses A damit keinen Einfluss auf den Ausgang des Ereignisses B.

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Wie hilft dir eine Vierfeldertafel beim Additionssatz weiter?

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Anhand der Vierfeldertafel kannst du erkennen, welche Wahrscheinlichkeiten du miteinander addieren musst und es wird deutlich, warum du beim Additionssatz die Schnittmenge der Ereignisse wieder abziehen musst.

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Warum musst du beim Additionssatz die Schnittmenge der Ereignisse wieder abziehen?

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Beim Additionssatz addierst du die Wahrscheinlichkeit beider Ereignisse miteinander. Dadurch ist die Schnittmenge, also dort wo sich die Ereignisse überlappen, zweimal vorhanden und muss deshalb einmal wieder abgezogen werden.

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