Bedingte Wahrscheinlichkeit, Vierfeldertafel, Stochastische Unabhängigkeit - Easy erklärt!
In diesem Artikel erklären wir dir, was bedingte Wahrscheinlichkeiten sind und wie man sie berechnet. Außerdem zeigen wir dir, wie du mit Vierfeldertafeln schnell und übersichtlich bedingte Wahrscheinlichkeiten darstellen kannst. Bedingte Wahrscheinlichkeiten sind Teil der Wahrscheinlichkeitsrechnung und damit der Stochastik.
Wir setzen in diesem Artikel voraus, dass du dich mit der Mengenlehre/Mengenalgebra und somit auch mit der Ereignisalgebra auskennst! Falls du dich auf diesem Gebiet noch nicht sicher fühlst, empfehlen wir dir, vorab unseren Beitrag zur Mengenalgebra durchzuarbeiten.
Was ist eine Bedingte Wahrscheinlichkeit?
Die bedingte Wahrscheinlichkeit 
bezeichnet die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B. Es stellt sich also die Frage: „Wie wahrscheinlich ist es, dass das Ereignis A eintritt, wenn man davon ausgeht, dass B bereits eingetreten ist oder mit Sicherheit eintreten wird?“
Da es sich bei Ereignissen um Teilmengen der Ergebnismenge 
handelt, gelten für das Rechnen mit den Wahrscheinlichkeiten dieser Mengen und Operationen auf sie dieselben Regeln, wie in der Mengenalgebra.
Tipp: Falls du dich jetzt fragst, was eine Ergebnismenge ist, oder wo der Unterschied zwischen Ergebnissen und Ereignissen liegt, schau einfach bei unserem Artikel Zufallsexperimente, Ergebnisse und Ereignisse vorbei!
Beispiel einer Bedingten Wahrscheinlichkeit
Stell dir vor, du bist auf einem Weihnachtsmarkt und dir läuft kräftig die Nase. Nun musst du eine fremde Person ansprechen, um nach einem Taschentuch zu fragen. Auf dem Weihnachtsmarkt sind viele ältere Leute unterwegs, aber du magst keine Stofftaschentücher. Du fragst dich jetzt: „Wie wahrscheinlich ist es, dass mir die Person, die ich anspreche, ein Stofftaschentuch anbietet, unter der Bedingung, dass die Person älter als 65 ist.
Dieses Problem kannst du leicht in zwei Ereignisse zusammenfassen:
A = „Stofftaschentuch”
B = “Person über 65”
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, die dich interessiert, lautet dann: 
. Du kannst sie aber auch so ausdrücken: P(A|B).
Berechnung der Bedingten Wahrscheinlichkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten lassen sich mit der folgenden Formel berechnen:
Wie es zu dieser Formel kommt, lässt sich gut erkennen, wenn wir die Ereignisse A und B in einem Baumdiagramm festhalten. Da unsere Bedingung ja als bereits eingetreten betrachtet wird, steht sie im Baumdiagramm zusammen mit ihrem Gegenereignis 
an erster Stelle. An den Pfaden, die zu B und 
führen, stehen die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten P(B) und 
geschrieben.
Nachdem entweder B oder 
eingetreten ist, kann nun entweder A oder 
eintreten. Die Wahrscheinlichkeiten dafür sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten 
und 
oder 
und 
. Sie stehen an den Pfaden zwischen A/
und B/
. Die Gesamtpfade beschreiben die Menge, die durch die jeweiligen Ereignisse gebildet wird, als Durchschnitt (
) aller Ereignisse entlang des Pfades.
Beispiel: Der Pfad „Start 🡪 B 🡪 
“ ergibt die Menge:
. In ihr sind alle Elemente enthalten, die sowohl die Bedingung B, also auch 
erfüllen.
Die Produktregel für Baumdiagramme sagt uns, dass die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten dieser Ereignismengen (z.B.
) sich aus dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten ergibt, die entlang des Pfades stehen. Als Formel sieht das so aus:
Diese Formel können wir jetzt anhand von Division durch 
so umstellen, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit 
alleine steht:
Tadaa! Da ist sie ja: unsere Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit!
Rechenbeispiel
Sehen wir uns nochmal das Beispiel von oben mit den älteren Herrschaften und den Stofftaschentüchern an. Wir haben bereits definiert:
A = „Stofftaschentuch”
B = “Person über 65”
Dazu kommen nun die Gegenereignisse:
= „kein Stofftaschentuch“
= „Person 65 oder jünger“
Nun wird dir gesagt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die du zufällig auswählst und ansprichst mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7 über 65 Jahre alt ist. Außerdem wurde aus Durchschnittswerten von anderen, die nach Taschentüchern fragten ermittelt, dass die Wahrscheinlichkeit, am Ende des Tages ein Stofftaschentuch zu erhalten, das dazu von einer Person über 65 angeboten wird, bei 0,21 % liegt.
Es lohnt sich immer, bei solchen Angaben zunächst zu identifizieren, welche Wahrscheinlichkeiten nun genau gegeben sind. Aus der Aufgabe kannst du hier lesen, dass gilt:
Tipp: Erstelle als nächstes ein zu deiner Aufgabe passendes Baumdiagramm. So gewinnst du einen guten Überblick. Notiere dir dazu, welche Wahrscheinlichkeiten gegeben sind und welche gesucht werden.
Die Frage lautet: „Wie wahrscheinlich ist es, dass dir ein Stofftaschentuch angeboten wird, wenn die Person, die du ansprichst über 65 ist?“. Da du nach der bedingten Wahrscheinlichkeit 
suchst, kannst du für deine Berechnung direkt die Formel von oben nutzen:
Antwort: die Wahrscheinlichkeit, dass du ein Stofftaschentuch angeboten bekommst, wenn du zuvor eine Person über 65 angesprochen hast, liegt bei 
Klasse!
Übrigens: Solltest du in deiner Aufgabe nach der Gegenteiligen Wahrscheinlichkeit von 
, also 
gefragt werden, kannst du hierfür den Satz von Bayes verwenden. Schau dir unseren Beitrag dazu an!
Vierfeldertafel
Eine Vierfeldertafel stellt neben Baumdiagrammen eine weitere Möglichkeit dar, bedingte Wahrscheinlichkeiten zu visualisieren. In ihr lassen sich Wahrscheinlichkeiten übersichtlich zusammentragen und ergänzen.
Der Aufbau einer Vierfeldertafel sieht so aus, dass je eine Zeile mit A und 
beschriftet ist und je eine Spalte mit B und 
(oder andersrum). So ergeben sich in der Tabelle vier Felder aus den Durchschnitten der Beschriftungen: 
. Die einzelnen Zeilen und Spalten werden jeweils summiert. Die Summe der Zeilensummen und die Summe der Spaltensummen jeweils addiert ergibt 1, denn Ereignis und Gegenereignis beinhalten alle Wahrscheinlichkeiten und damit 100%.
So sieht eine nicht ausgefüllte Vierfeldertafel aus:
Je nachdem ob in eurer Aufgabe relative/ absolute Häufigkeiten oder Wahrscheinlichkeiten gegeben sind, tragt ihr diese in die entsprechenden Felder ein. Aufgaben werden eigentlich immer so gestellt, dass ihr durch einfache Rechnungen die leeren Felder ergänzen könnt!
In dieser Tafel kannst du nun z.B. übersichtlich erkennen, dass gilt:
Mit ein paar zusätzlichen Informationen könnte die Vierfeldertafel für das Taschentuchbeispiel zum Beispiel folgendermaßen aussehen:
Rechenbeispiel
An einem Flughafen wurde eine Umfrage durchgeführt. Insgesamt wurden 100 Menschen befragt, wovon 24 fließend Englisch sprachen. Von diesen 24 Menschen lebten 18 in Großbritannien. 68 der Menschen, die nicht fließend Englisch sprachen gaben an, nicht in Großbritannien zu leben.
Im ersten Schritt solltest du die dir zur Verfügung stehenden Daten immer in eine Vierfeldertafel aufnehmen. Achte dabei auf den genauen Wortlaut, um zu vermeiden, dass du eine Bedingung übersiehst.
Nun lassen sich die fehlenden Einträge leicht ergänzen, indem wir z.B. 24 - 18 = 6 rechnen.
Als nächstes musst du die einzelnen Einträge ins Verhältnis zu der Anzahl aller Befragten setzen. Das tust du, indem du alle Einträge durch den Betrag von 
, also die Anzahl der möglichen Elementarereignisse teilst. So erhältst du die relative Häufigkeit und damit die angenäherte Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ereignisse oder ihrer Kombinationen.
Jetzt, wo du alle nötigen Wahrscheinlichkeiten gegeben hast, kannst du sie in die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit einsetzen, um beliebige bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.
Du könntest zum Beispiel berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass eine beliebig aus den 100 Personen ausgewählte Person fließend Englisch spricht, unter der Bedingung, dass er oder sie nicht in Großbritannien lebt. Hierfür nutzt du dann folgende Gleichung und setzt ein:
Übrigens: Sollte sich deine Vierfeldertafel nicht durch einfaches Addieren/Subtrahieren ergänzen lassen, könnte das an der stochastischen Unabhängigkeit liegen. Was genau das ist, erklären wir dir jetzt!
Stochastische Unabhängigkeit
Zwei Ereignisse A und B sind immer dann stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten von keinem der beiden Ereignisse das jeweils andere beeinflusst. Das ist der Fall, wenn es genauso wahrscheinlich ist, das A eintritt nachdem B eingetreten ist, wie das A eintritt obwohl B nicht eingetreten ist und umgekehrt. Im Gegensatz dazu redet man von stochastischer Abhängigkeit, wenn die Wahrscheinlichkeit von B von dem Eintreten von A abhängt, also sich abhängig davon, ob A eintritt, verändert.
Die Frage nach der stochastischen Abhängigkeit stellt sich in der Wahrscheinlichkeitsrechnung bei mehrstufigen Zufallsexperimenten.
Merke: Zwei Ereignisse A und B sind immer dann stochastisch unabhängig, wenn gilt: 
. Da allgemein gilt, dass 
, muss bei stochastischer Unabhängigkeit 
sein.
Rechenbeispiel
Wenn wir uns nochmal die Vierfeldertafel aus dem Beispiel mit den Briten und der Englischen Sprache ansehen, würde es sich dann um einen stochastisch unabhängigen Vorgang handeln, wenn der Wohnort der befragten Personen keinen Einfluss auf ihre Sprachfähigkeiten hätte.
Wenn man sich das aber logisch vorstellt, liegt es nahe zu vermuten, dass ein Mensch, der in einem rein englischsprachigen Land lebt mit einer größeren Wahrscheinlichkeit fließend Englisch spricht, als jemand, der aus einem beliebigen anderen, mit großer Wahrscheinlichkeit nicht englischsprachigen Land stammt. Diese Theorie bringt dir zwar nicht viel, aber der Zusammenhang lässt sich mathematisch schnell und unkompliziert beweisen.
Wie? - Ganz einfach, du setzt deine gegebenen Daten in die Formel oben ein und überprüfst damit, ob die Wahrscheinlichkeit von A multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit von B dasselbe ergibt, wie die Wahrscheinlichkeit von dem Durchschnitt von A und B.
Aus der Vierfeldertafel kannst du ablesen, dass gilt:
. Wenn du jetzt 
rechnest, müsste ebenfalls 0,18 herauskommen, damit eine stochastische Unabhängigkeit vorliegt. Wenn das Ergebnis jedoch anders ausfällt, steht fest, dass es einen stochastischen Zusammenhang zwischen Wohnort und Sprache der Befragten gibt.
Na Also! Es liegt also eine stochastische Abhängigkeit vor.
Übrigens: Wenn A und B stochastisch unabhängig sind, dann gilt dasselbe auch für A und 
, 
und B sowie 
und 
.
Bei Urnenmodellen liegt eine stochastische Unabhängigkeit immer dann vor, wenn ein Zufallsexperiment mit Wiederholung, also mit Zurücklegen stattfindet. Denn dann ist die Wahrscheinlichkeit jedes Mal wieder gleich, eine bestimmte Kugel zu ziehen.
Tipp: In manchen Schulaufgaben musst du Vierfeldertafeln ergänzen. Wenn bei einer solchen Aufgabe gegeben ist, dass es sich um ein stochastisch Unabhängiges Experiment handelt, nutze die Formel 
, um die fehlenden Wahrscheinlichkeiten zu ergänzen. Ohne sie wirst du bei solchen Fragestellungen häufig durch subtrahieren alleine nicht alle Wahrscheinlichkeiten ergänzen können. Versuch deshalb immer aus der Beschreibung des Experiments herauszulesen, ob die unterschiedlichen Ereignisse sich beeinflussen!
Bedingte Wahrscheinlichkeit - Alles Wichtige auf einen Blick
- Die bedingte Wahrscheinlichkeit
bezeichnet die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B. - Zur Darstellung eignen sich Baumdiagramme und Vierfeldertafeln.
- Bei stochastisch Unabhängigen Vorgängen beeinflusst ein Ereignis nicht das andere und Wahrscheinlichkeit der Menge A∩B entspricht dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von A und B.
bezeichnet die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B.Unsere Empfehlung
Mehr ist mehr! Im Gegensatz zu dem bekannten Sprichwort „Weniger ist mehr“ solltest du bei der Bearbeitung von Aufgaben zum Thema bedingte Wahrscheinlichkeit lieber zu viel, als zu wenig aufschreiben. Denn bei den Ganzen Ps und As und Bs kommt man schnell mal durcheinander. Stelle dir die Aufgabe bildlich vor und formuliere im Kopf oder auf Papier ganze Sätze, um die Logik hinter der Aufgabe zu verstehen. So fällt es am Ende leichter, den Überblick zu behalten und das richtige Ergebnis für die richtige Fragestellung zu berechnen.
Insider Tipp:
Wusstest du, dass du die Indizes A und B ganz leicht durch andere Buchstaben austauschen kannst? Benenne bei deiner nächsten Aufgabe einfach die Indizes nach dem Anfangsbuchstaben des zugehörigen Ereignisses. Beispiel: P(F) = P(Frosch im Hals). So kommst du garantiert nicht mehr so leicht durcheinander!
