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Bedingte Wahrscheinlichkeit

Hier bekommst Du einen Überblick, was bedingte Wahrscheinlichkeiten sind. Außerdem siehst Du, wie Du mit Vierfeldertafeln schnell und übersichtlich bedingte Wahrscheinlichkeiten darstellen kannst. Bedingte Wahrscheinlichkeiten sind Teil der Wahrscheinlichkeitsrechnung und damit der Stochastik.Die zugehörige Frage lautet: „Wie wahrscheinlich ist es, dass das Ereignis A eintritt, wenn man davon ausgeht, dass B bereits eingetreten ist oder mit Sicherheit eintreten wird?“Die bedingte…

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Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit
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Hier bekommst Du einen Überblick, was bedingte Wahrscheinlichkeiten sind. Außerdem siehst Du, wie Du mit Vierfeldertafeln schnell und übersichtlich bedingte Wahrscheinlichkeiten darstellen kannst. Bedingte Wahrscheinlichkeiten sind Teil der Wahrscheinlichkeitsrechnung und damit der Stochastik.

Bedingte Wahrscheinlichkeit – Definition

Die zugehörige Frage lautet: „Wie wahrscheinlich ist es, dass das Ereignis A eintritt, wenn man davon ausgeht, dass B bereits eingetreten ist oder mit Sicherheit eintreten wird?“

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, nachdem ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist. Sie wird als P geschrieben.

Also bezeichnet die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_B(A)\) die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B.

Da es sich bei Ereignissen um Teilmengen der Ergebnismenge Ω handelt, gelten für das Rechnen mit den Wahrscheinlichkeiten dieser Mengen und Operationen dieselben Regeln, wie in der Mengenalgebra.

Falls Du Dich jetzt fragst, was eine Ergebnismenge ist, oder wo der Unterschied zwischen Ergebnissen und Ereignissen liegt, schau einfach beim Artikel Zufallsexperimente, Ergebnisse und Ereignisse vorbei!

Du bist auf einem Weihnachtsmarkt und Dir läuft die Nase. Nun musst Du eine fremde Person ansprechen, um nach einem Taschentuch zu fragen. Auf dem Weihnachtsmarkt sind viele ältere Leute unterwegs, aber Du magst keine Stofftaschentücher. Wie wahrscheinlich ist es also, dass Dir die Person, die Du ansprichst, ein Stofftaschentuch anbietet, unter der Bedingung, dass die Person älter als 65 ist?

Dieses Problem kannst Du in zwei Ereignisse zusammenfassen:

S = "Stofftaschentuch"

A = "Person über 65"

Die bedingte Wahrscheinlichkeit, die Dich interessiert, lautet dann: PA(S).

Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen und Formel

Die Formel zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist, lautet \[P_B(A) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

wobei \(P(A\cap B)\) die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass die Ereignisse A und B gemeinsam auftreten, und \(P(B)\) die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass A eintritt.

Wie es zu dieser Formel kommt, kannst Du gut erkennen, wenn Du die Ereignisse A und B in einem Baumdiagramm festhältst. Da die Bedingung B als bereits eingetreten betrachtet wird, steht sie im Baumdiagramm zusammen mit ihrem Gegenereignis \(\bar B\) an erster Stelle.

Ein Gegenereignis \(\bar A\) ist das Gegenteil von einem bestimmten Ereignis A. Es wird mit einem Querbalken über dem Buchstaben geschrieben und umfasst alle Elemente der Ergebnismenge \(\Omega\), die nicht Teil der Menge A sind.

Mehr zum Baumdiagramm findest Du im entsprechenden Artikel hier auf StudySmarter!

An den Pfaden, die zu \(B\) und \(\bar B\) führen, stehen die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten \(P(B)\) und \(P(\bar B)\) geschrieben.

Bedingte Wahrscheinlichkeit Baumdiagramm Pfade StudySmarterAbbildung 1: Baumdiagramm mit bedingten Wahrscheinlichkeiten

Nachdem entweder \(B\) oder \(\bar B\) eingetreten ist, kann nun entweder \(A\) oder \(\bar A\) eintreten. Die Wahrscheinlichkeiten dafür sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P_B(A)\) und \(P_B(\bar A)\) oder \(P_{\bar B}(A)\) und \(P_{\bar B}(\bar A)\).

Mit der Schnittmenge ∩ kannst Du die Wahrscheinlichkeiten eines Pfades miteinander verknüpfen.

Neben der Schnittmenge gibt es noch die Vereinigungsmenge. Es beschreibt die Menge von A und/oder B, sprich neben der gemeinsamen Menge von A und B kann auch nur A oder B eintreffen.

Die 1. Pfadregel für Baumdiagramme besagt, dass sich die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten einer Ereignismenge \(A\cap B\) aus dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten ergibt, die entlang dieses Pfades stehen. Als Formel sieht das so aus:

\(P(A\cap B) = P(A)\cdot P_A(B)\)

oder

\(P(A\cap B) = P(B)\cdot P_B(A)\)

Diese Formel kannst du jetzt anhand von Division durch \(P(B)\) so umstellen, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_B(A)\) allein steht:

\(P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)

Und schon hast du die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit!

Hier kurz etwas zur 1. Pfadregel, die du gerade für die Herleitung gebraucht hast:

1. Pfadregel (Produkt von Wahrscheinlichkeiten)

Die 1. Pfadregel – oder auch das Produkt von Wahrscheinlichkeiten – besagt, dass du die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades miteinander multiplizieren darfst, um die gemeinsame Wahrscheinlichkeit der betreffenden Ereignisse zu berechnen.

Gegeben ist ein Baumdiagramm mit den Ereignissen A und B. Möchtest Du die gemeinsame Wahrscheinlichkeit von \(A\) und \(\bar B\).berechnen, kannst Du die Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) mit der Wahrscheinlichkeit \(P_A(\bar B)\) multiplizieren.

bedingte Wahrscheinlichkeit Baumdiagramm 1. Pfadregel StudySmarterAbbildung 2: Baumdiagramm zur 1, Pfadregel

Du rechnest also \(P(A\cap \bar B)=P(A)\cdot P_A(\bar B)\).

Wenn Du wissen möchtest, warum das so ist und wie man sich diese Regel herleiten kann, findest Du alles dazu im Artikel zur 1. Pfadregel.

Und nun zurück zur bedingten Wahrscheinlichkeit. Du hast soeben die Formel herausgefunden. Sicher möchtest Du jetzt wissen, wie Du sie anwenden kannst.

Schau Dir nochmal das Beispiel von oben mit den älteren Herrschaften und den Stofftaschentüchern an.

Du hast bereits definiert:

S = "Stofftaschentuch"

A = "Person über 65"

Dazu kommen die Gegenereignisse:

\(\bar S\) = "kein Stofftaschentuch"

\(\bar A\) = "Person 65 oder jünger"

Nun wird Dir gesagt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die Du zufällig auswählst und ansprichst, mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 % über 65 Jahre alt ist. Außerdem wurde aus Durchschnittswerten von anderen, die nach Taschentüchern fragten ermittelt, dass der Anteil 21 % der befragten Personen über 65 sind und ein Stofftuch bei sich tragen.

Aus der Aufgabe kannst Du hier lesen, dass gilt:

\begin{align}P(A)&=70\%\\P(S\cap A)&=21\%\end{align}

Erstelle als Nächstes ein zu Deiner Aufgabe passendes Baumdiagramm. So gewinnst Du einen guten Überblick. Notiere Dir dazu, welche Wahrscheinlichkeiten gegeben sind und welche gesucht werden.

Im Baumdiagramm (Abb. 3) siehst Du nochmal die allgemeinen Bezeichnungen, im rechten sind die gegebenen Wahrscheinlichkeiten bereits eingetragen. Die fehlenden kannst Du ganz einfach ausrechnen, indem Du die bereits gegebene Wahrscheinlichkeit von 1, also 100%, abziehst.

Bedingte Wahrscheinlichkeit Baumdiagramm StudySmarterAbbildung 3: Baumdiagramm mit Bezeichnungen

Bedingte Wahrscheinlichkeit Baumdiagramm StudySmarterAbbildung 4: Baumdiagramm mit Werten

Wie wahrscheinlich ist es, dass Dir ein Stofftaschentuch angeboten wird, wenn die Person, die Du ansprichst, über 65 ist?

Da Du nach der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P_A(S)\) suchst, kannst Du für Deine Berechnung direkt die Formel von oben nutzen:

\[P_A(S)=\frac{P(S\cap A}{P(A)}=\frac{0{,}21}{0{,}7}=0{,}3=30\%\]

Die Wahrscheinlichkeit, ein Stofftaschentuch von einer Person über 65 zu bekommen, liegt bei 30%

Vierfeldertafel

Eine Vierfeldertafel stellt neben Baumdiagrammen eine weitere Möglichkeit dar, bedingte Wahrscheinlichkeiten zu visualisieren. In ihr lassen sich Wahrscheinlichkeiten übersichtlich zusammentragen und ergänzen.

Der Aufbau einer Vierfeldertafel sieht so aus, dass je eine Zeile mit \(A\) und \(\bar A\) beschriftet ist und je eine Spalte mit \(B\) und \(\bar B\) (oder umgekehrt). So ergeben sich in der Tabelle vier Felder aus den Beschriftungen: \(A\cap B\), \(A\cap \bar B\), \(\bar A\cap B\) und \(\bar A\cap \bar B\). Die einzelnen Zeilen und Spalten werden jeweils summiert. Die Summe der Zeilensummen und die Summe der Spaltensummen jeweils addiert ergibt 1, denn Ereignis und Gegenereignis beinhalten alle Wahrscheinlichkeiten und damit 100 %.

Variante für absolute Häufigkeiten

Grundsätzlich ist der Aufbau der Vierfeldertafel immer gleich. Du kannst aber entweder absolute oder relative Häufigkeiten eintragen und bekommst somit unterschiedliche Werte.

Die absolute Häufigkeit ist die Anzahl der gewünschten Ereignisse. Sie kann maximal so groß werden, wie es Ereignisse gibt.

Das heißt, wenn beispielsweise auf dem Weihnachtsmarkt 100 Glühweine pro Tag verkauft werden und Du 3 davon trinkst, trägst Du die Zahl 3 in deine Vierfeldertafel ein. Folglich steht unten rechts in der Tabelle die Gesamtzahl aller Glühweine, also 100.

\(B\)\(\bar B\)
\(A\)\(|A\cap B|\)\(|A\cap \bar B|\)\(|A|\)
\(\bar A\)\(|\bar A\cap B|\)\(|\bar A\cap \bar B|\)\(|\bar{A}|\)
\(|B|\)\(|\bar B|\)\(|\Omega|\)

Variante für relative Häufigkeiten

Alternativ dazu kannst Du natürlich auch relative Wahrscheinlichkeiten eintragen.

Eine relative Häufigkeit gibt an, wie groß der Anteil der absoluten Häufigkeiten an der Gesamtzahl der Ereignisse ist. Man rechnet die relative Häufigkeit so aus:

\[\text{Relative Häufigkeit }h(A) = \frac{\text{Absolute Häufigkeit }H(A)}{\text{Anzahl aller Ergebnisse }n}\]

Das heißt, wenn Du von 100 Glühweinen 3 Stück trinkst, entspricht das dem Verhältnis \(P(\frac{3}{100})\). Folglich steht am Ende der Tabelle eine 1, denn 100 geteilt durch 100 ergibt 1.

\(B\)
\(\bar B\)
\(A\)\(P(A\cap B)\)\(P(A\cap \bar B)\)\(P(A)\)
\(\bar A\)\(P(\bar A\cap B)\)\(P(\bar A\cap \bar B)\)\(P(\bar{A})\)
\(P(B)\)\(P(\bar B)\)
1

Bedingte Wahrscheinlichkeit – Aufgaben

In einem Supermarkt bestehen 70 % des Sortiments aus Nahrungsmitteln und der Rest aus Nonfood-Artikeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Artikel reduziert und ein Nahrungsmittel ist, liegt bei 17,5 %. Aufgabe 1

Welcher Anteil der Nahrungsmittel ist reduziert?

Lösung

Aus der Aufgabe kannst Du herauslesen, dass ein Artikel mit der Wahrscheinlichkeit 0,7 ein Nahrungsmittel ist und ein Artikel mit der Wahrscheinlichkeit 0,175 reduziert und ein Nahrungsmittel ist.

\begin{align} P(N)&= 0{,}7 \\P(N\cap R) &= 0{,}175\end{align}

Diese Wahrscheinlichkeiten kannst Du in die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit einsetzen.

\[P_N(R)=\frac{P(N\cap R)}{P(N)}=\frac{0{,}175}{0{,}7}=0{,}25\]

Also sind insgesamt 25 % der Nahrungsmittel reduziert.

Bedingte Wahrscheinlichkeit – Das Wichtigste

  • Die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_B(A)\) ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B.
  • Die Formel zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit lautet \(P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
  • Während die Schnittmenge nur die gemeinsame Menge mehrerer Elemente beschreibt, kann bei der Vereinigungsmengesowohl alle, als auch nur eines der Elemente enthalten sein.
  • Zur Darstellung eignen sich Baumdiagramme und Vierfeldertafeln. Diese solltest du unbedingt nutzen, um dir einen Überblick über die Aufgabe zu verschaffen.
  • Bei stochastisch unabhängigen Vorgängen beeinflusst ein Ereignis nicht das andere und die Wahrscheinlichkeit der Menge A∩B entspricht dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von A und B.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Bedingte Wahrscheinlichkeit

Eine Vierfeldertafel stellt neben Baumdiagrammen eine weitere Möglichkeit dar, bedingte Wahrscheinlichkeiten zu visualisieren. In ihr lassen sich Wahrscheinlichkeiten übersichtlich zusammentragen und ergänzen.

In einem inversen Baumdiagramm werden die Ereignisse in ihrer Reihenfolge vertauscht. Die Endwahrscheinlichkeiten bleiben dabei gleich, aber die bedingten Wahrscheinlichkeiten ändern sich, da die Bedingungen nun anders sind.

Der Satz von Bayes stellt eine direkte Verbindung zwischen einer bedingten Wahrscheinlichkeit und ihrer umgekehrten bedingten Wahrscheinlichkeit her. Das heißt wenn du PA(B) gegeben hast und PB(A) berechnen willst, hilft dir der Satz von Bayes weiter.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit PB(A) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B.

Finales Bedingte Wahrscheinlichkeit Quiz

Bedingte Wahrscheinlichkeit Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Was ist die Verzweigungsregel bei Baumdiagrammen?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem vollständigen Baumdiagramm beträgt die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, stets 1

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Frage

Wie werden bedingte Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm dargestellt?


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Antwort

Ab der 2. Stufe stehen im Baumdiagramm auf den Ästen bedingte Wahrscheinlichkeiten.

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Frage

In einer Schulklasse sind 12 Mädchen und 18 Jungen. Die Schülerinnen und Schüler werden befragt, ob sie lieber Schokolade oder Chips essen. 8 Mädchen bevorzugen Schokolade. Von den Jungen essen 10 lieber Chips.


Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein befragtes Kind lieber Schokolade isst.

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Antwort

P(S) = P (M ∩ S) + P (J∩S)
P(S) = 12 / 30 * 8 /12 + 18 / 30 * 8 /18 = 8 / 15 = 53,33%

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Frage

In einer Schulklasse sind 12 Mädchen und 18 Jungen. Die Schülerinnen und Schüler werden befragt, ob sie lieber Schokolade oder Chips essen. 8 Mädchen bevorzugen Schokolade. Von den Jungen essen 10 lieber Chips.


Untersuchen, ob die Ereignisse „Mädchen“ und „Schokolade“ stochastisch unabhängig sind.

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Antwort

P (M∩S) = P(M) * PM(S) = 12 / 30 * 8 / 12 = 4 / 15 

P(M) * P(S) =12 / 30 * 8 /15 = 16 / 75

P(M∩S) != P(M) * P(S)

Die Ereignisse „Mädchen“ und „Schokolade“ sind stochastisch abhängig.

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Frage

Was bedeutet stochastisch unabhängig?

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Antwort

Dass sich die Ereignisse nicht gegenseitig beeinflussen

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Frage

Was bedeutet stochastisch unvereinbar?

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Antwort

Dass nicht beide Ereignisse gleichzeitig eintreten können.

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Frage

Was ist der Unterschied zwischen PB(A) und P(A ∩ B)?

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Antwort

PB(A) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt unter der Bedingung, dass B bereits erfüllt ist. 


P(A ∩ B) ist die Wahrscheinlichkeit, dass A und B gleichzeitig eintreten.

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Frage

Kann man bedingte Wahrscheinlichkeiten direkt in Vierfeldertafeln eintragen?

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Antwort

Nein. Bedingte Wahrscheinlichkeiten lassen sich in der Vierfeldertafel nicht direkt eintragen. Jedoch können P(A ∩ B) und P(B) direkt aus der Vierfeldertafel abgelesen werden.

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Frage

Bei der Produktion eines Spielzeugs für Kinder können zwei Fehler auftreten. 10 % der produzierten Spielzeuge haben einen Funktions- fehler (F1), 20 % haben einen Farbfehler (F2). 25 % aller Spielzeuge haben mindestens einen Fehler


Überprüfe die Ereignisse F1 und F2 auf stochastische Unabhängigkeit

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Antwort

P(F1 ∩ F2) = 0,05 P(F1) * P(F2) = 0,1 * 0,2 = 0,02
Also: P(F1 ∩ F2) = 0,05 != 0,02 = P(F1) * P(F2)

Die Ereignisse F1 und F2 sind stochastisch abhängig.

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Frage

Eine Fernsehredaktion will wissen, wie bekannt ihre neue Sendung „Wissenschaft für alle“ ist, und hat deshalb eine Umfrage durchgeführt. 45 % der Befragten waren männlich, 15 % der befragten Personen gaben an, dass sie die Sendung kennen. Unter denjenigen, die die Sendung kannten, waren 40 % männlich.


Eine befragte Person ist männlich. Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie die Sendung kannte.

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Antwort

Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine befragte Person die Sendung kannte, wenn man bereits weiß, dass sie männlich ist.


PM(B) = P(M∩B) / P(M) = 0,06 / 0,45 = 0,133

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 13,3 % kannte ein männlicher Befragter die Sendung.

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Frage

Was lässt sich mit Baumdiagrammen darstellen? 

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Antwort

Mehrstufige Zufallsexperimente

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Frage

Was ergeben die Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen?



Antwort anzeigen

Antwort

Die Wahrscheinlichkeiten ergeben in der Summe immer 1

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Frage

Was ist die 1. Pfadregel? 

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Antwort

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Zufallsexperiments erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen des Pfades multipliziert, der zu dem Ergebnis führt.

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Frage

Was ist die 2. Pfadregel?

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Antwort

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, werden die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse (Pfade) addiert, die zu dem Ereignis gehören.

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Frage

Was sagt die Anzahl der Pfade in einem Baumdiagramm aus? 

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Antwort

Die Anzahl der Pfade zeigt an, wie viele Ergebnisse das Zufallsexperiment enthält. Mit ihnen lässt sich der Ergebnisraum aufstellen.

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Frage

Beim Würfeln seien die Ereignisse A = {6} und B = {2; 4; 6} definiert. 

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit von A, gegeben B. Interpretieren Sie das Ergebnis.

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Antwort

Wegen A ∩ B = {6} gilt Pb(A) = P (A ∩ B) / P(B) = ( 1 / 6 ) / (3 / 6) = 1 / 3


Durch die Zusatzinformation, dass die gewürfelte Zahl gerade ist, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs auf 1 / 3

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Frage

Wann sind zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig?

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Antwort

Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn die spezielle Produktformel P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) gilt.

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Frage

Welche zwei Möglichkeiten gibt es um A und B auf stochastische Unabhängigkeit zu prüfen?

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Antwort

  • Man prüft, ob die spezielle Produktformel gilt
  • Man prüft, ob die bedingten Wahrscheinlichkeiten mit den unbedingten Wahrscheinlichkeiten übereinstimmen.

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Frage

A und B seien stochastisch unabhängig, es gelte P(A) = 0,4. 

Die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten von A und B betrage 0,1. 

Wie groß ist P(B)?

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Antwort

Wegen der stochastischen Unabhängigkeit gilt P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B).


P(B) = P(A ∩ B) / P(A) = 0,1 / 0,4 = 0,25 

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Frage

Ein Wurf mit einem Würfel kostet 1€ Einsatz. Ist das Produkt der beiden Augenzahlen größer als zwanzig, werden 3€ ausgezahlt. 

a. Ist das Spiel fair?

b. Wie müsste das Spiel geändert werden, damit das Spiel fair ist?

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Antwort

a. Nein

b. Die Auszahlung müsste 7€ betragen

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Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeiten!



Ein neuer Test für das Anoroc Virus weist das Virus bei 95% der infizierten Personen zuverlässig nach. Auch bei 10% der Patienten, die nicht mit dem Virus infiziert sind, liefert der Test ein positives Ergebnis.

  1. Wie wahrscheinlich ist es, dass ein positive getesteter Patient tatsächlich infiziert ist, wenn davon ausgegangen wird, dass 3% der Bevölkerung erkrankt sind. 
  2. Wie verändert sich diese Wahrscheinlichkeit, wenn 6% der Bevölkerung erkrankt sind? 
  3. Der Test wurde so verbessert, dass er auch bei 95% der nicht infizierten Patienten richtig ausfällt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit aus b. erneut und begründe, warum es zu einer Veränderung kommt.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 22,7%
  2. 37,7%
  3. 54,8%
    Durch die Verbesserung kommt es zu weniger falsch positiv getesteten Patienten, daher wird es wahrscheinlicher, dass ein positives Testergebnis tatsächlich auf eine Erkrankung basiert.

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Frage

Ein Lehrer möchte ermitteln, wie viele seiner Schüler beim letzten Test geschummelt haben. Da er damit rechnet, dass die Schüler auf eine direkte Frage nicht wahrheitsgemäß antworten lässt er sie zunächst verdeckt würfeln. Schüler, die eine gerade Zahl gewürfelt haben, antworten grundsätzlich mit „ja“, bei einem ungeraden Würfelergebnis antwortet der Schüler wahrheitsgemäß.


  1. Bestimme den Anteil der Schüler, die beim letzten Test vermutlich geschummelt haben, wenn 19 von 32 Schülern, nach dem Würfeln die Frage mit „ja“ beantworten. 
  2. Wie zuverlässig ist dieses Ergebnis einzuordnen?

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Antwort

  1. 18,75%
  2. Selbst wenn man davon ausgeht, dass die Schüler nach den Regeln des Experiments wahrheitsgemäß antworten ist die Stichprobe zu klein, um zuverlässige Ergebnisse zu erhalten.

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Frage

In der Hundezucht WOUF hat es Nachwuchs gegeben. Hündin Bella hat sechs zuckersüße Welpen, von denen zwei gescheckt, einer schwarz und drei braun sind. Diese Verteilung ist typisch für Hundepapa Rumo. Bei Würfen von Rüde Waldemar ist in der Regel die Hälfte der Welpen gescheckt, 35% sind weiß und die restlichen braun. Beide Rüden kommen abwechselnd zum Einsatz.


  1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Rumo der Vater eines beliebigen gescheckten Welpen? 
  2. Maja und Goofy sind zwei braune Hunde aus der Hundezucht WOUF, mit welcher Wahrscheinlichkeit haben die beiden denselben Vater?

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Antwort

  1.  57,14%
  2.  64,50%

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Frage

Es werden zwei faire Würfel (mit den Augenzahlen 1,2,3,4,5 und 6) geworfen. 


  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 Würfel eine 3 zeigt?
  2. Es sei bekannt, dass mindestens ein Würfel eine 3 zeigt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der andere Würfel auch eine 3 zeigt?
  3. Es sei bekannt, dass die Summe der beiden Würfel gleich 8 ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den beiden Würfeln mindestens eine 3 ist?

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Antwort

  1. 11/36
  2. 1/11
  3. 2/5

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Frage

Es werden 3 faire Münzen (mit den Seiten Kopf und Zahl) geworfen.


  1. Nenne alle Kombinationen, die beim Werfen von 3 Münzen auftreten können. Wie viele gibt es?
  2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 1 Münze "Zahl" zeigt?
  3. Es sei bekannt, dass die 3. Münze Kopf zeigt. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass genau 1 Münze "Zahl" zeigt?

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Antwort

  1. (KKK, KKZ, KZK, KZZ, ZKK, ZKZ, ZZK, ZZZ) , also insgesamt 8 Kombinationen
  2. 3/8
  3. 1/2

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Frage

Warum kannst du nicht einfach sagen, in der zweiten Runde der Gameshow triffst du zu 50% die Tür mit dem Gewinn?

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Antwort

Weil der Moderator weiß, hinter welcher Türe der Gewinn ist und mit Absicht eine Tür mit Niete geöffnet hat. Aus diesem Grund handelt es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit und du musst die Wahrscheinlichkeiten aus der ersten Runde mit einbeziehen.

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Frage

In der Vierfeldertafel hast du 5 Felder mit dem gewünschten Ereignis und 4 Felder mit dem unerwünschten Ereignis. Wie hoch steht die Wahrscheinlichkeit, dass das gewünschte Ereignis eintritt?

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Antwort

Die Wahrscheinlichkeit liegt bei 55,56%.

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Frage

Was ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit?

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Antwort

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, nachdem ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist. Sie wird als P geschrieben.

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Frage

Wie kannst du die fehlenden relativen Häufigkeiten auf dem Baumdiagramm ausrechnen?

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Antwort

Alle Äste, die vom selben Punkt ausgehen, müssen zusammen immer 1 ergeben. Also kannst du 1 minus die bereits gegebene Zahl rechnen und erhältst die fehlende Zahl.

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Frage

Wozu ist die Vierfeldertafel gut?

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Antwort

Die Vierfeldertafel ist ein einfaches und dennoch hilfreiches Tool um Zusammenhänge zwischen 2 Ereignissen zu untersuchen. Du kannst sie jedoch nur bei unabhängigen Ereignissen anwenden.

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Frage

Was ist stochastische Unabhängigkeit?

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Antwort

Stochastische Unabhängigkeit sagt aus, dass zwei Ereignisse unabhängig voneinander eintreten können und sich durch das Eintreten eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeiten nicht verändern. Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse werden einfach miteinander multipliziert.

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Frage

Wie kannst du überprüfen, ob du in der Vierfeldertafel richtig gerechnet hast?

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Antwort

Alle 4 Felder zusammen müssen immer 1 ergeben. Ist die Summer größer oder kleiner als 1, hast du dich irgendwo verrechnet.

Frage anzeigen

Frage

Von 20 Hasen sind 10 weiß und 15 fressen am liebsten Karotten.

Reichen dir diese Angaben schon, um die fehlenden Zahlen auszurechnen?

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Antwort

Ja, denn von 20 Hasen sind 10 weiß, also sind die anderen 10 nicht weiß. 15 Hasen mögen Karotten, also fressen 5 Hasen lieber etwas anderes. Nun hast du alle Angaben, die du brauchst.

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Frage

Kannst du eine Vierfeldertafel auch ohne ein Baumdiagramm erstellen?

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Antwort

Ja, allerdings musst du dann aufpassen, dass du nicht durcheinander kommst, weil du vieles erst im Kopf ausrechnen musst, bevor du es in die Felder der Vierfeldertafel schreibst. Es empfiehlt sich also immer, zumindest eine grobe Skizze vom Baumdiagramm zu machen.

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Frage

Welche Regel braucht man für die Vierfeldertafel?

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Antwort

Summenregel

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Frage

Wie ist der Ablauf der Show, auf der das Ziegenproblem basiert?

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Antwort

In einer Show mit dem Namen "Let's make a deal" gab es 3 Türen. Hinter einer von ihnen stand ein Auto, hinter den anderen beiden jeweils eine Ziege. Nun fragte der Moderator den Kandidaten, hinter welcher Tür das Auto sei. Nachdem der Kandidat sich für eine Tür entschieden hatte, öffnete der Moderator eine Tür mit einer Ziege dahinter und frage den Kandidaten, ob er seine Entscheidung ändern wolle. 

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Frage

Was antwortete Marylin ihren Lesern auf die Frage, ob es klug sei, bei der zuerst gewählten Tür zu bleiben?

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Antwort

"Wechseln Sie. Sie verdoppeln sich damit Ihre Chance, zu gewinnen."

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Frage

Welche Art von Wahrscheinlichkeit stellt ein Würfelwurf dar?

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Antwort

Es handelt sich hier um eine einfache Wahrscheinlichkeit, da jede Seite die selbe Wahrscheinlichkeit hat, oben zu liegen. Die einfache Wahrscheinlichkeit wird als p geschrieben.

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Frage

Warum musst du beim Ziegenproblem mit der bedingten Wahrscheinlichkeit rechnen?

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Antwort

Du musst die bedingte Wahrscheinlichkeit anwenden, weil der Moderator bewusst eine Tür mit einer Ziege öffnet. Daher steigt in der 2. Runde die Chance auf den Gewinn.

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Frage

Warum kannst du das Baumdiagramm vereinfachen, wenn der Kandidat bei seiner zuerst getroffenen Entscheidung bleibt?

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Antwort

Wenn der Kandidat sich nicht umentscheidet, sind die Wahrscheinlichkeiten aus der 2. Runde irrelevant.

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Frage

Wie rechnest du Wahrscheinlichkeiten aus dem Baumdiagramm aus?

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Antwort

Im Baumdiagramm wendest du bedingte Wahrscheinlichkeiten an und brauchst deshalb die 1. Pfadregel (Produktregel), um die Wahrscheinlichkeiten auszurechnen.

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Frage

Erkläre die Produktregel.

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Antwort

Die 1. Pfadregel - auch Produktregel genannt - wird verwendet, um die bedingte Wahrscheinlichkeit eines ganz bestimmten Ereignisses zu berechnen. Dazu werden die Äste, die dorthin führen, miteinander multipliziert.

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Frage

Wozu ist die Vierfeldertafel gut?

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Antwort

Mit einer Vierfeldertafel kannst du die Zusammenhänge zwischen 2 Ereignissen und deren Ausprägungen untersuchen. Sie ist ein einfaches und effektives Instrument in der bedingten Wahrscheinlichkeit.

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Frage

Glaubst du, ein Wechsel der Tür in der 2. Runde erhöht die Chance auf das Auto?

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Antwort

Ja. diese Tatsache lässt sich mathematisch beweisen.

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Frage

Was bedeutet es, wenn zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind?

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Antwort

Das bedeutet, dass sie sich nicht gegenseitig beeinflussen. in einem zweistufigen Zufallsexperiment hat der Ausgang des Ereignisses A damit keinen Einfluss auf den Ausgang des Ereignisses B.

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Frage

Wie hilft dir eine Vierfeldertafel beim Additionssatz weiter?

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Antwort

Anhand der Vierfeldertafel kannst du erkennen, welche Wahrscheinlichkeiten du miteinander addieren musst und es wird deutlich, warum du beim Additionssatz die Schnittmenge der Ereignisse wieder abziehen musst.

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Frage

Warum musst du beim Additionssatz die Schnittmenge der Ereignisse wieder abziehen?

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Antwort

Beim Additionssatz addierst du die Wahrscheinlichkeit beider Ereignisse miteinander. Dadurch ist die Schnittmenge, also dort wo sich die Ereignisse überlappen, zweimal vorhanden und muss deshalb einmal wieder abgezogen werden.

Frage anzeigen

Frage

Wie kannst du prüfen, ob deine Rechnung mit dem Additionssatz stimmt?

Antwort anzeigen

Antwort

Du kannst dir eine Vierfeldertafel erstellen und die entsprechenden Felder selbst addieren.

Frage anzeigen

Frage

Wie kannst du dir den Additionssatz für 3 Ereignisse herleiten?

Antwort anzeigen

Antwort

Mit einem Venn-Diagramm kannst du dir die Situation mit 3 Ereignissen veranschaulichen und ablesen, was du addieren und subtrahieren musst.

Frage anzeigen

Frage

Wie kannst du berechnen, dass genau ein Ereignis eintritt?

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Antwort

Wenn genau ein Ereignis eintreten soll, hilft dir die Binomialverteilung weiter.

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