Du bist auf einem Weihnachtsmarkt und dir läuft die Nase. Nun musst du eine fremde Person ansprechen, um nach einem Taschentuch zu fragen. Auf dem Weihnachtsmarkt sind viele ältere Leute unterwegs, aber du magst keine Stofftaschentücher. Wie wahrscheinlich ist es also, dass dir die Person, die du ansprichst, ein Stofftaschentuch anbietet, unter der Bedingung, dass die Person älter als 65 ist?
Hier bekommst du einen Überblick, was bedingte Wahrscheinlichkeiten sind, sodass du genau solche Aufgabenstellungen berechnen kannst. Außerdem siehst du, wie du mit Vierfeldertafeln schnell und übersichtlich bedingte Wahrscheinlichkeiten darstellen kannst. Bedingte Wahrscheinlichkeiten sind Teil der Wahrscheinlichkeitsrechnung und damit der Stochastik.
Dieser Artikel setzt voraus, dass du dich mit der Mengenlehre/Mengenalgebra und somit auch mit der Ereignisalgebra auskennst! Falls du dich auf diesem Gebiet noch nicht sicher fühlst, solltest du vorab den Beitrag zur Mengenalgebra lesen.
Bedingte Wahrscheinlichkeit – Definition
Die zugehörige Frage lautet: „Wie wahrscheinlich ist es, dass das Ereignis A eintritt, wenn man davon ausgeht, dass B bereits eingetreten ist oder mit Sicherheit eintreten wird?“
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, nachdem ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist. Sie wird als P geschrieben.
Also bezeichnet die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_B(A)\) die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B.
Da es sich bei Ereignissen um Teilmengen der Ergebnismenge Ω handelt, gelten für das Rechnen mit den Wahrscheinlichkeiten dieser Mengen und Operationen dieselben Regeln, wie in der Mengenalgebra.
Falls du dich jetzt fragst, was eine Ergebnismenge ist, oder wo der Unterschied zwischen Ergebnissen und Ereignissen liegt, schau einfach beim Artikel Zufallsexperimente, Ergebnisse und Ereignisse vorbei!
Erinnere dich nochmal an das Beispiel vom Anfang. Nochmal zur Erinnerung:
Du bist auf einem Weihnachtsmarkt und dir läuft die Nase. Nun musst du eine fremde Person ansprechen, um nach einem Taschentuch zu fragen. Auf dem Weihnachtsmarkt sind viele ältere Leute unterwegs, aber du magst keine Stofftaschentücher. Wie wahrscheinlich ist es also, dass dir die Person, die du ansprichst, ein Stofftaschentuch anbietet, unter der Bedingung, dass die Person älter als 65 ist?
Dieses Problem kannst du in zwei Ereignisse zusammenfassen:
S = "Stofftaschentuch"
A = "Person über 65"
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, die dich interessiert, lautet dann: ![]()
.
Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen und Formel
Die Formel zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung das B eingetreten ist lautet\[P_B(A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}\]
wobei \(P(A\cap B)\) die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass die Ereignisse A und B auftreten, und \(P(A)\) die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass A eintritt.
Wie es zu dieser Formel kommt, kannst du gut erkennen, wenn du die Ereignisse A und B in einem Baumdiagramm festhältst. Da die Bedingung B als bereits eingetreten betrachtet wird, steht sie im Baumdiagramm zusammen mit ihrem Gegenereignis ![]()
an erster Stelle.
Ein Gegenereignis ist das Gegenteil von einem bestimmten Ereignis. Es wird mit einem Querbalken über dem Buchstaben geschrieben und umfasst alle Ereignisse, die nicht das gewünschte Ereignis sind.
Mehr zum Baumdiagramm findest du im entsprechenden Artikel hier auf StudySmarter!
An den Pfaden, die zu ![]()
und ![]()
führen, stehen die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten ![]()
und ![]()
geschrieben.
Abbildung 1: Baumdiagramm mit bedingten Wahrscheinlichkeiten
Diese Formel kannst du jetzt anhand von Division durch ![]()
so umstellen, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit ![]()
allein steht:
![]()
Und schon hast du die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit!
Hier kurz etwas zur 1. Pfadregel, die du gerade für die Herleitung gebraucht hast:
1. Pfadregel (Produkt von Wahrscheinlichkeiten)
Die 1. Pfadregel – oder auch das Produkt von Wahrscheinlichkeiten – besagt, dass du die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades miteinander multiplizieren darfst, um die gemeinsame Wahrscheinlichkeit der betreffenden Ereignisse zu berechnen.
Wenn du wissen möchtest, warum das so ist und wie man sich diese Regel herleiten kann, findest du alles dazu im Artikel zur 1. Pfadregel.
Und nun zurück zur bedingten Wahrscheinlichkeit. Du hast soeben die Formel herausgefunden. Sicher möchtest du nun wissen, wie du sie anwenden kannst.
Schau dir nochmal das Beispiel von oben mit den älteren Herrschaften und den Stofftaschentüchern an.
Du hast bereits definiert:
S = "Stofftaschentuch"
A = "Person über 65"
Dazu kommen die Gegenereignisse:
![]()
= "kein Stofftaschentuch"
![]()
= "Person 65 oder jünger"
Nun wird dir gesagt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die du zufällig auswählst und ansprichst, mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 % über 65 Jahre alt ist. Außerdem wurde aus Durchschnittswerten von anderen, die nach Taschentüchern fragten ermittelt, dass die Wahrscheinlichkeit, ein Stofftaschentuch von einer Person über 65 zu erhalten, bei 21 % liegt.
Aus der Aufgabe kannst du hier lesen, dass gilt:
![]()
Erstelle als nächstes ein zu deiner Aufgabe passendes Baumdiagramm. So gewinnst du einen guten Überblick. Notiere dir dazu, welche Wahrscheinlichkeiten gegeben sind und welche gesucht werden.
Im linken Baumdiagramm siehst du nochmal die allgemeinen Bezeichnungen, im rechten sind die gegebenen Wahrscheinlichkeiten bereits eingetragen. Die fehlenden kannst du ganz einfach ausrechnen, indem du die bereits gegebene Wahrscheinlichkeit von 1, also 100%, abziehst.
Abbildung 3: Baumdiagramm mit Bezeichnungen
Abbildung 4: Baumdiagramm mit Werten
Wie wahrscheinlich ist es, dass dir ein Stofftaschentuch angeboten wird, wenn die Person, die du ansprichst, über 65 ist?
Da du nach der bedingten Wahrscheinlichkeit ![]()
suchst, kannst du für deine Berechnung direkt die Formel von oben nutzen:
![]()
Die Wahrscheinlichkeit, ein Stofftaschentuch von einer Person über 65 zu bekommen, liegt bei 30%.
Übrigens: Solltest du in einer Aufgabe nach der Gegenteiligen Wahrscheinlichkeit von ![]()
, also ![]()
gefragt werden, kannst du hierfür den Satz von Bayes verwenden. Schau dir gerne den Artikel dazu an!
Vierfeldertafel
Eine Vierfeldertafel stellt neben Baumdiagrammen eine weitere Möglichkeit dar, bedingte Wahrscheinlichkeiten zu visualisieren. In ihr lassen sich Wahrscheinlichkeiten übersichtlich zusammentragen und ergänzen.
Der Aufbau einer Vierfeldertafel sieht so aus, dass je eine Zeile mit ![]()
und ![]()
beschriftet ist und je eine Spalte mit ![]()
und ![]()
(oder andersrum). So ergeben sich in der Tabelle vier Felder aus den Beschriftungen: ![]()
, ![]()
, ![]()
und ![]()
. Die einzelnen Zeilen und Spalten werden jeweils summiert. Die Summe der Zeilensummen und die Summe der Spaltensummen jeweils addiert ergibt 1, denn Ereignis und Gegenereignis beinhalten alle Wahrscheinlichkeiten und damit 100%.
Variante für absolute Häufigkeiten
Grundsätzlich ist der Aufbau der Vierfeldertafel immer gleich. Du kannst aber entweder absolute oder relative Häufigkeiten eintragen und bekommst somit unterschiedliche Werte.
Die absolute Häufigkeit ist die Anzahl der gewünschten Ereignisse. Sie kann maximal so groß werden, wie es Ereignisse gibt.
Das heißt, wenn beispielsweise auf dem Weihnachtsmarkt 100 Glühweine pro Tag verkauft werden und du 3 davon trinkst, trägst du die Zahl 3 in deine Vierfeldertafel ein. Folglich steht unten rechts in der Tabelle die Gesamtzahl aller Glühweine, also 100.
Variante für relative Häufigkeiten
Alternativ dazu kannst du natürlich auch relative Wahrscheinlichkeiten eintragen.
Eine relative Häufigkeit gibt an, wie groß der Anteil der absoluten Häufigkeiten an der Gesamtzahl der Ereignisse ist. Man rechnet die relative Häufigkeit so aus:
![]()
Das heißt, wenn du von 100 Glühweinen 3 Stück trinkst, entspricht das dem Verhältnis ![]()
. Folglich steht am Ende der Tabelle eine 1, denn 100 geteilt durch 100 ergibt 1.
In der Vierfeldertafel kannst du nun übersichtlich erkennen, dass gilt (siehe erste Zeile):
![]()
Mit der Zusatzinformation, dass du von einer Person unter 65 mit einer Wahrscheinlichkeit von 2% ein Stofftaschentuch erhältst, kannst du die Vierfeldertafel ausfüllen und die fehlenden Zahlen berechnen. Die Zahlen, die du noch berechnen musst, sind in blau markiert.
Die fehlenden Zahlen erhältst du, indem du so viel addierst, dass die Rechnung in der jeweiligen Zeile/Spalte aufgeht und du am Ende der Tabelle auf 1 kommst.
Stochastische Unabhängigkeit
Zwei Ereignisse A und B sind immer dann stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten von keinem der beiden Ereignisse das jeweils andere beeinflusst. Das ist der Fall, wenn es genauso wahrscheinlich ist, dass A eintritt, nachdem B eingetreten ist, wie das A eintritt obwohl B nicht eingetreten ist und umgekehrt.
Im Gegensatz dazu redet man von stochastischer Abhängigkeit, wenn die Wahrscheinlichkeit von B von dem Eintreten von A abhängt, also sich abhängig davon, ob A eintritt, verändert.
Die Frage nach der stochastischen Abhängigkeit stellt sich in der Wahrscheinlichkeitsrechnung bei mehrstufigen Zufallsexperimenten.
Zwei Ereignisse A und B sind immer dann stochastisch unabhängig, wenn gilt:
![]()
Da allgemein gilt, dass ![]()
, muss bei stochastischer Unabhängigkeit ![]()
sein.
In Worten ausgedrückt muss bei stochastischer Unabhängigkeit die bedingte Wahrscheinlichkeit von A den gleichen Wert haben, wie die totale Wahrscheinlichkeit von A.
Überprüfe doch einfach mal, ob der Fall mit den Taschentüchern stochastisch abhängig oder unabhängig ist.
Hier nochmal die Vierfeldertafel von vorhin:
Hier kannst du Prüfen, ob das Alter und die Stofftaschentücher voneinander unabhängig sind oder nicht.Dazu setzt du die
Zahlen aus der
Vierfeldertafel in oben genannte Formel ein:
![]()
Für eine stochastische Unabhängigkeit müsste die Rechnung aufgehen. Weil aber etwas anderes rauskommt, ist dieser Fall stochastisch abhängig.
Eine stochastische Unabhängigkeit liegt beispielsweise dann vor, wenn die Wahrscheinlichkeit, von einer Person bis 65 ein Stofftaschentuch zu bekommen, ebenfalls bei 30% liegt. In diesem Fall wäre es dann unerheblich, ob die Person alt oder jung ist, denn du bekommst von 30% aller anwesenden Personen ein Stofftaschentuch, unabhängig davon, wie alt sie sind.
Bedingte Wahrscheinlichkeit – Aufgaben
Zum Abschluss gibt's hier noch ein paar Aufgaben zum Üben.
Aufgabe 1
Beim Mensch-Ärgere-Dich-Nicht brauchst du erst eine 6 und dann eine 4, um in dein Haus zu kommen. Handelt es sich dabei um eine einfache oder bedingte Wahrscheinlichkeit?
Lösung
Es handelt sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit, weil die 4 unter der Bedingung gewürfelt wird, dass vorher eine 6 gefallen ist.
Aufgabe 2a
In einem Supermarkt bestehen 70% des Sortiments aus Nahrungsmitteln und der Rest aus Nonfood-Artikeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter reduzierter Artikel ein Nahrungsmittel ist, liegt bei 17,5%. Welcher Anteil der Nahrungsmittel ist reduziert?
Lösung
Aus der Aufgabe kannst du herauslesen, dass ein Artikel mit der Wahrscheinlichkeit 0,7 ein Nahrungsmittel ist und ein Artikel mit der Wahrscheinlichkeit 0,175 reduziert und ein Nahrungsmittel ist.
![]()
Diese Wahrscheinlichkeiten kannst du in die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit einsetzen.
![]()
Also sind insgesamt 25% der Nahrungsmittel reduziert.
Aufgabe 2b
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter reduzierter Artikel ein Nonfood-Artikel ist, liegt bei 7,5%. Handelt es sich um eine stochastische Abhängigkeit oder Unabhängigkeit?
Lösung
Es gibt eine einfache und eine ausführlichere Lösung zu dieser Aufgabe. Für die einfache setzt du die 7,5% in die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit ein.
![]()
Hier kannst du schon sehen, dass – genau wie bei den Nahrungsmitteln – 25% des Sortiments reduziert sind. Du kannst also sagen, es sind 25% des gesamten Sortiments reduziert, unabhängig davon, welche Art von Artikel der gewählte ist. Es liegt also eine stochastische Unabhängigkeit vor.
Wenn dir das unlogisch erscheint, kannst du die Aufgabe auch rechnerisch lösen:
Hierbei solltest du dir auf jeden Fall eine Vierfeldertafel zu Hilfe nehmen.
Wenn 25% des Nahrungsmittelsortiments reduziert sind, sind 75% nicht reduziert.
Jetzt kannst du prüfen, ob eine stochastische Abhängigkeit vorliegt:
![]()
Das Ergebnis ist dasselbe. Die Ereignisse sind also voneinander unabhängig.
Mehr zum Baumdiagramm findest du im entsprechenden Artikel hier auf StudySmarter!
Bedingte Wahrscheinlichkeit – Das Wichtigste
- Die bedingte Wahrscheinlichkeit
![]()
ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B. - Die Formel zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit lautet
![]()
- Während die Schnittmenge ∩ nur die gemeinsame Menge mehrerer Elemente beschreibt, kann bei der Vereinigungsmenge ∪sowohl alle, als auch nur eines der Elemente enthalten sein.
- Zur Darstellung eignen sich Baumdiagramme und Vierfeldertafeln. Diese solltest du unbedingt nutzen, um dir einen Überblick über die Aufgabe zu verschaffen.
- Bei stochastisch unabhängigen Vorgängen beeinflusst ein Ereignis nicht das andere und die Wahrscheinlichkeit der Menge A∩B entspricht dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von A und B.
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