Hier bekommst Du einen Überblick, was bedingte Wahrscheinlichkeiten sind. Außerdem siehst Du, wie Du mit Vierfeldertafeln schnell und übersichtlich bedingte Wahrscheinlichkeiten darstellen kannst. Bedingte Wahrscheinlichkeiten sind Teil der Wahrscheinlichkeitsrechnung und damit der Stochastik.
Bedingte Wahrscheinlichkeit – Definition
Die zugehörige Frage lautet: „Wie wahrscheinlich ist es, dass das Ereignis A eintritt, wenn man davon ausgeht, dass B bereits eingetreten ist oder mit Sicherheit eintreten wird?“
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, nachdem ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist. Sie wird als P geschrieben.
Also bezeichnet die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_B(A)\) die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B.
Da es sich bei Ereignissen um Teilmengen der Ergebnismenge Ω handelt, gelten für das Rechnen mit den Wahrscheinlichkeiten dieser Mengen und Operationen dieselben Regeln, wie in der Mengenalgebra.
Falls Du Dich jetzt fragst, was eine Ergebnismenge ist, oder wo der Unterschied zwischen Ergebnissen und Ereignissen liegt, schau einfach beim Artikel Zufallsexperimente, Ergebnisse und Ereignisse vorbei!
Du bist auf einem Weihnachtsmarkt und Dir läuft die Nase. Nun musst Du eine fremde Person ansprechen, um nach einem Taschentuch zu fragen. Auf dem Weihnachtsmarkt sind viele ältere Leute unterwegs, aber Du magst keine Stofftaschentücher. Wie wahrscheinlich ist es also, dass Dir die Person, die Du ansprichst, ein Stofftaschentuch anbietet, unter der Bedingung, dass die Person älter als 65 ist?
Dieses Problem kannst Du in zwei Ereignisse zusammenfassen:
S = "Stofftaschentuch"
A = "Person über 65"
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, die Dich interessiert, lautet dann: .
Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen und Formel
Die Formel zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist, lautet \[P_B(A) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]
wobei \(P(A\cap B)\) die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass die Ereignisse A und B gemeinsam auftreten, und \(P(B)\) die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass A eintritt.
Wie es zu dieser Formel kommt, kannst Du gut erkennen, wenn Du die Ereignisse A und B in einem Baumdiagramm festhältst. Da die Bedingung B als bereits eingetreten betrachtet wird, steht sie im Baumdiagramm zusammen mit ihrem Gegenereignis \(\bar B\) an erster Stelle.
Ein Gegenereignis \(\bar A\) ist das Gegenteil von einem bestimmten Ereignis A. Es wird mit einem Querbalken über dem Buchstaben geschrieben und umfasst alle Elemente der Ergebnismenge \(\Omega\), die nicht Teil der Menge A sind.
Mehr zum Baumdiagramm findest Du im entsprechenden Artikel hier auf StudySmarter!
An den Pfaden, die zu \(B\) und \(\bar B\) führen, stehen die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten \(P(B)\) und \(P(\bar B)\) geschrieben.
Abbildung 1: Baumdiagramm mit bedingten Wahrscheinlichkeiten
Nachdem entweder \(B\) oder \(\bar B\) eingetreten ist, kann nun entweder \(A\) oder \(\bar A\) eintreten. Die Wahrscheinlichkeiten dafür sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P_B(A)\) und \(P_B(\bar A)\) oder \(P_{\bar B}(A)\) und \(P_{\bar B}(\bar A)\).
Mit der Schnittmenge ∩ kannst Du die Wahrscheinlichkeiten eines Pfades miteinander verknüpfen.
Neben der Schnittmenge gibt es noch die Vereinigungsmenge ∪. Es beschreibt die Menge von A und/oder B, sprich neben der gemeinsamen Menge von A und B kann auch nur A oder B eintreffen.
Die 1. Pfadregel für Baumdiagramme besagt, dass sich die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten einer Ereignismenge \(A\cap B\) aus dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten ergibt, die entlang dieses Pfades stehen. Als Formel sieht das so aus:
\(P(A\cap B) = P(A)\cdot P_A(B)\)
oder
\(P(A\cap B) = P(B)\cdot P_B(A)\)
Diese Formel kannst du jetzt anhand von Division durch \(P(B)\) so umstellen, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_B(A)\) allein steht:
\(P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
Und schon hast du die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit!
Hier kurz etwas zur 1. Pfadregel, die du gerade für die Herleitung gebraucht hast:
1. Pfadregel (Produkt von Wahrscheinlichkeiten)
Die 1. Pfadregel – oder auch das Produkt von Wahrscheinlichkeiten – besagt, dass du die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades miteinander multiplizieren darfst, um die gemeinsame Wahrscheinlichkeit der betreffenden Ereignisse zu berechnen.
Gegeben ist ein Baumdiagramm mit den Ereignissen A und B. Möchtest Du die gemeinsame Wahrscheinlichkeit von \(A\) und \(\bar B\).berechnen, kannst Du die Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) mit der Wahrscheinlichkeit \(P_A(\bar B)\) multiplizieren.
Abbildung 2: Baumdiagramm zur 1, Pfadregel
Du rechnest also \(P(A\cap \bar B)=P(A)\cdot P_A(\bar B)\).
Wenn Du wissen möchtest, warum das so ist und wie man sich diese Regel herleiten kann, findest Du alles dazu im Artikel zur 1. Pfadregel.
Und nun zurück zur bedingten Wahrscheinlichkeit. Du hast soeben die Formel herausgefunden. Sicher möchtest Du jetzt wissen, wie Du sie anwenden kannst.
Schau Dir nochmal das Beispiel von oben mit den älteren Herrschaften und den Stofftaschentüchern an.
Du hast bereits definiert:
S = "Stofftaschentuch"
A = "Person über 65"
Dazu kommen die Gegenereignisse:
\(\bar S\) = "kein Stofftaschentuch"
\(\bar A\) = "Person 65 oder jünger"
Nun wird Dir gesagt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die Du zufällig auswählst und ansprichst, mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 % über 65 Jahre alt ist. Außerdem wurde aus Durchschnittswerten von anderen, die nach Taschentüchern fragten ermittelt, dass der Anteil 21 % der befragten Personen über 65 sind und ein Stofftuch bei sich tragen.
Aus der Aufgabe kannst Du hier lesen, dass gilt:
\begin{align}P(A)&=70\%\\P(S\cap A)&=21\%\end{align}
Erstelle als Nächstes ein zu Deiner Aufgabe passendes Baumdiagramm. So gewinnst Du einen guten Überblick. Notiere Dir dazu, welche Wahrscheinlichkeiten gegeben sind und welche gesucht werden.
Im Baumdiagramm (Abb. 3) siehst Du nochmal die allgemeinen Bezeichnungen, im rechten sind die gegebenen Wahrscheinlichkeiten bereits eingetragen. Die fehlenden kannst Du ganz einfach ausrechnen, indem Du die bereits gegebene Wahrscheinlichkeit von 1, also 100%, abziehst.
Abbildung 3: Baumdiagramm mit Bezeichnungen
Abbildung 4: Baumdiagramm mit Werten
Wie wahrscheinlich ist es, dass Dir ein Stofftaschentuch angeboten wird, wenn die Person, die Du ansprichst, über 65 ist?
Da Du nach der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P_A(S)\) suchst, kannst Du für Deine Berechnung direkt die Formel von oben nutzen:
\[P_A(S)=\frac{P(S\cap A}{P(A)}=\frac{0{,}21}{0{,}7}=0{,}3=30\%\]
Die Wahrscheinlichkeit, ein Stofftaschentuch von einer Person über 65 zu bekommen, liegt bei 30%
Vierfeldertafel
Eine Vierfeldertafel stellt neben Baumdiagrammen eine weitere Möglichkeit dar, bedingte Wahrscheinlichkeiten zu visualisieren. In ihr lassen sich Wahrscheinlichkeiten übersichtlich zusammentragen und ergänzen.
Der Aufbau einer Vierfeldertafel sieht so aus, dass je eine Zeile mit \(A\) und \(\bar A\) beschriftet ist und je eine Spalte mit \(B\) und \(\bar B\) (oder umgekehrt). So ergeben sich in der Tabelle vier Felder aus den Beschriftungen: \(A\cap B\), \(A\cap \bar B\), \(\bar A\cap B\) und \(\bar A\cap \bar B\). Die einzelnen Zeilen und Spalten werden jeweils summiert. Die Summe der Zeilensummen und die Summe der Spaltensummen jeweils addiert ergibt 1, denn Ereignis und Gegenereignis beinhalten alle Wahrscheinlichkeiten und damit 100 %.
Variante für absolute Häufigkeiten
Grundsätzlich ist der Aufbau der Vierfeldertafel immer gleich. Du kannst aber entweder absolute oder relative Häufigkeiten eintragen und bekommst somit unterschiedliche Werte.
Die absolute Häufigkeit ist die Anzahl der gewünschten Ereignisse. Sie kann maximal so groß werden, wie es Ereignisse gibt.
Das heißt, wenn beispielsweise auf dem Weihnachtsmarkt 100 Glühweine pro Tag verkauft werden und Du 3 davon trinkst, trägst Du die Zahl 3 in deine Vierfeldertafel ein. Folglich steht unten rechts in der Tabelle die Gesamtzahl aller Glühweine, also 100.
| \(B\) | \(\bar B\) | |
| \(A\) | \(|A\cap B|\) | \(|A\cap \bar B|\) | \(|A|\) |
| \(\bar A\) | \(|\bar A\cap B|\) | \(|\bar A\cap \bar B|\) | \(|\bar{A}|\) |
| \(|B|\) | \(|\bar B|\) | \(|\Omega|\) |
Variante für relative Häufigkeiten
Alternativ dazu kannst Du natürlich auch relative Wahrscheinlichkeiten eintragen.
Eine relative Häufigkeit gibt an, wie groß der Anteil der absoluten Häufigkeiten an der Gesamtzahl der Ereignisse ist. Man rechnet die relative Häufigkeit so aus:
\[\text{Relative Häufigkeit }h(A) = \frac{\text{Absolute Häufigkeit }H(A)}{\text{Anzahl aller Ergebnisse }n}\]
Das heißt, wenn Du von 100 Glühweinen 3 Stück trinkst, entspricht das dem Verhältnis \(P(\frac{3}{100})\). Folglich steht am Ende der Tabelle eine 1, denn 100 geteilt durch 100 ergibt 1.
| \(B\) | \(\bar B\) | |
| \(A\) | \(P(A\cap B)\) | \(P(A\cap \bar B)\) | \(P(A)\) |
| \(\bar A\) | \(P(\bar A\cap B)\) | \(P(\bar A\cap \bar B)\) | \(P(\bar{A})\) |
| \(P(B)\) | \(P(\bar B)\) | 1 |
Bedingte Wahrscheinlichkeit – Aufgaben
In einem Supermarkt bestehen 70 % des Sortiments aus Nahrungsmitteln und der Rest aus Nonfood-Artikeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Artikel reduziert und ein Nahrungsmittel ist, liegt bei 17,5 %. Aufgabe 1
Welcher Anteil der Nahrungsmittel ist reduziert?
Lösung
Aus der Aufgabe kannst Du herauslesen, dass ein Artikel mit der Wahrscheinlichkeit 0,7 ein Nahrungsmittel ist und ein Artikel mit der Wahrscheinlichkeit 0,175 reduziert und ein Nahrungsmittel ist.
\begin{align} P(N)&= 0{,}7 \\P(N\cap R) &= 0{,}175\end{align}
Diese Wahrscheinlichkeiten kannst Du in die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit einsetzen.
\[P_N(R)=\frac{P(N\cap R)}{P(N)}=\frac{0{,}175}{0{,}7}=0{,}25\]
Also sind insgesamt 25 % der Nahrungsmittel reduziert.
Bedingte Wahrscheinlichkeit – Das Wichtigste
- Die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_B(A)\) ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B.
- Die Formel zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit lautet \(P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
- Während die Schnittmenge ∩ nur die gemeinsame Menge mehrerer Elemente beschreibt, kann bei der Vereinigungsmenge ∪sowohl alle, als auch nur eines der Elemente enthalten sein.
- Zur Darstellung eignen sich Baumdiagramme und Vierfeldertafeln. Diese solltest du unbedingt nutzen, um dir einen Überblick über die Aufgabe zu verschaffen.
- Bei stochastisch unabhängigen Vorgängen beeinflusst ein Ereignis nicht das andere und die Wahrscheinlichkeit der Menge A∩B entspricht dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von A und B.
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