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Binomialverteilung

Binomialverteilung

Eine Binomialverteilung wirst Du häufig in Deinem Leben antreffen, beispielsweise bei einem Glücksrad. Dabei kannst Du Dir die Frage stellen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, einen Treffer zu erzielen, oder zum Beispiel drei Treffer bei drei Versuchen.

In dieser Erklärung zur Binomialverteilung wirst Du die Definition und Beispiele kennen lernen und Du wirst erfahren, was eine kumulierte Binomialverteilung oder eine negative Binomialverteilung ist.

Binomialverteilung – Grundlagen

Eine Binomialverteilung entspricht einer diskreten Verteilung. Diskret ist dabei eine Verteilung, wenn einer Zufallsvariable ein konkreter Wert zugewiesen werden kann und es sich dabei um eine abzählbare Menge handelt.

Nähere Informationen findest Du unter Diskrete Verteilung. Falls eine Verteilung nicht diskret ist, ist sie stetig. Dies kannst Du unter Stetige Verteilung nachlesen. Außerdem kannst Du gerne die Thematik Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung auffrischen.

Eine weitere Voraussetzung für die Binomialverteilung ist das Bernoulli Experiment, das beschreibt, ob ein Ereignis eintritt (Treffer) oder nicht (Misserfolg).

Das sogenannte Bernoulli Experiment kannst Du in dieser Erklärung nachlesen.

Binomialverteilung – Erklärung

Bei einer Binomialverteilung wird ausschließlich geklärt, ob ein Treffer stattfindet oder nicht. Außerdem kann die Anzahl der Treffer oder auch Misserfolge gezählt werden. Wichtig ist jedoch, dass bei jedem Zufallsexperiment eben nur diese beiden Resultate möglich sind. Dies wird als Bernoulli Experiment bezeichnet. Diese lassen sich nun mit einer Binomialverteilung beschreiben.

Binomialverteilung Definition

Ob in einem Zufallsexperiment ein Treffer stattfindet oder nicht, kannst Du mithilfe der Binomialverteilung bestimmen.

Eine Binomialverteilung beschreibt eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der ein Bernoulli Experiment (oder mehrere) durchgeführt werden. Dabei handelt es sich um eine gleiche und vor allem unabhängige Folge an Zufallsexperimenten, die mit Treffer (Erfolg) oder Niete (Misserfolg) beschrieben wird.

Pro Bernoulli Experiment kann also lediglich ein Treffer oder kein Treffer stattfinden, wobei sich die Experimente nicht beeinflussen und somit unabhängig sind. Außerdem spielt die Reihenfolge keine Rolle.

Als Basis der Binomialverteilung gilt das Experiment von Bernoulli, bei dem ein Experiment \(n\) mal durchgeführt wird, ohne dass sich die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ändert. Dabei entspricht \(p\) der Wahrscheinlichkeit für das Experiment und \(q \) der Gegenwahrscheinlichkeit. Die Gegenwahrscheinlichkeit lässt sich auch mit \(1 - p\) beschreiben.

Einen viel tieferen Einblick in diese beiden Themen erhältst Du in den dafür vorgesehenen Erklärungen:

Unter anderem lässt sich bei einem Bernoulli Experiment sowohl der Erwartungswert \( \mathbb{E}\), als auch die Varianz \( \mathbb{V}\) oder die Standardabweichung \( \sigma\) berechnen.

Dazu gibt es übrigens auch Erklärungen mit vielen Übungen:

Binomialverteilung Formel

Es lässt sich nun die konkrete Formel für die Binomialverteilung bilden.

Die Formel für die Binomialverteilung lautet allgemein:

\[f\,(k) = P \,(X = k) = \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k} \text{ für } k \in {0; 1; 2; ... n}\]

Der Parameter \(k\) für die Anzahl der Erfolge kann auch mit \(x\) bezeichnet werden.

Die Anwendung dieser Formel kannst Du Dir in der Bernoulli Kette ansehen.

Binomialverteilung – Histogramm

Ein Histogramm ist eine Möglichkeit, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zu visualisieren. Dabei wird ein Säulendiagramm verwendet. Die x-Achse entspricht dabei einem Wert der Zufallsvariable \(X\). Die y-Achse wiederum zeigt die Wahrscheinlichkeit an, mit der diese Größe in einem Zufallsexperiment eintrifft.

Es wird beispielsweise das Würfeln als Zufallsexperiment betrachtet. Dabei soll insgesamt \(9\) mal geworfen werden, wobei \(k\) mal eine drei gewürfelt werden soll.

Dazu wird eine Binomialverteilung aufgestellt und verschiedene Werte für \(k\) ermittelt.

\[P \, (X = k) = \left( \begin{array}{c} 9 \\ k \end{array} \right) \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^k \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{9 - k} \]

\(k_n\) \(0\)\(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\) \(9\)
\(P \,(X = k_n)\)\(0{,}19\)\(0{,}34\)\(0{,}28\)\(0{,}13\)\(0{,}039\)\(0{,}0078\)\(0{,}0010\)\(0{,}000089\)\(0{,}0000045\)

\(0{,}000000099\)

Das Histogramm hierfür sieht wie folgt aus:

Binomialverteilung Histogramm StudySmarterAbb. 1 – Histogramm für eine Binomialverteilung.

Binomialverteilung – kumulierte Binomialverteilung

Manchmal möchtest Du nicht nur die Wahrscheinlichkeit für einen konkreten Fall eines Zufallsexperiments bekommen, sondern Du möchtest höchstens oder mindestens eine bestimmte Anzahl an Treffern erzielen. Dazu verwendest Du die kumulierte Binomialverteilung.

Für die kumulierte Binomialverteilung \(F\, (n; p; k)\) mit

  • \(n = \text{Gesamtanzahl}\)
  • \(p = \text{Wahrschein} \text{lichkeit für Gewinn}\)
  • \(k = \text{Anzahl einer Ziehung}\)

gilt:

\begin{align} F\, (n; p; k) &= P\, (X \leq k) \\ &= \sum_{i = 0}^{k} \left( \begin{array}{c} n \\ i \end{array} \right) \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n-i} \end{align}

Dabei entspricht \(X\) der Zufallsgröße.

Dabei lautet die Fragestellung: "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Du höchstens/mindestens \(x\) Treffer erzielst?"

Weitere Informationen findest Du in der Erklärung "kumulierte Binomialverteilung".

Binomialverteilung – Tabelle

Oftmals besteht Deine Aufgabe auch darin, aus einem Tafelwerk die Wahrscheinlichkeit der genannten Werte \(n\), \(p\) und \(k\) herauszufinden. Ein entsprechendes Tafelwerk wird im Unterricht zur Verfügung gestellt.

Aufgabe 1

Du wirfst einen Würfel \(100\) mal. Wie wahrscheinlich ist es, höchstens \(5\) mal eine Drei zu würfeln?

Lösung

Dazu ist Deine Aufgabe, nun aus den Informationen die richtigen Werte für die kumulierte Binomialverteilung zu erhalten. Es gibt insgesamt \(100\) Versuche, wobei \(5\) erfolgreich sein sollen. Die Wahrscheinlichkeit, die Augenzahl \(3\) zu werfen, liegt bei \( \frac{1}{6}\). Die Zufallsgröße \(X\) entspricht dabei der Anzahl an geworfenen Dreien.

  • \(n = 100\)
  • \(k = 5\)
  • \(p = \frac{1}{6} \)

Der Begriff "höchstens" entspricht dabei \( \leq\). "Mindestens" wiederum bedeutet \( \geq \).

Theoretisch würde Die Rechnung also wie folgt aussehen.

\[P\, (X \leq 5) = P\, (X = 0) + P\, (X = 1) + P\, (X = 2) + P\, (X = 3) + P\, (X = 4) + P\, (X = 5)\]

Praktisch lässt sich jedoch über ein Tafelwerk die kumulierte Binomialverteilung ermitteln. Schaue dazu in der Tabelle für die Werte von \(n, p, k\).

\[P \, (X \leq 5) = F\, \left(100; \frac{1}{6}; 5 \right) = 0,0004\]

Das entspricht einer Wahrscheinlichkeit von \(0,04\) Prozent.

In dem jeweiligen Tafelwerk sind jedoch ausschließlich die Wahrscheinlichkeiten enthalten, die die Frage nach "höchstens" beantworten. Es können also nur die Fragestellungen nach \( P\, (X \leq X)\) beantwortet werden.

Da alle Wahrscheinlichkeiten zusammen immer \(1\) ergeben, kannst Du für "mindestens" die entsprechende Gegenwahrscheinlichkeit von \(1\) abziehen.

Es gibt auch besondere Aufgabenstellungen, die sich "dreimal-mindestens-Aufgaben" nennen. Mehr dazu findest Du in der Erklärung 3M Aufgaben.

Binomialverteilung – negative Binomialverteilung

Auch die negative Binomialverteilung wird über ein Bernoulli-Experiment beschrieben, also ist entweder ein Erfolg oder Misserfolg möglich als Ergebnis. Die negative Binomialverteilung kehrt die Aussage der Binomialverteilung um und stellt die Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei \(n\) Wiederholungen der \(k\)-te Erfolg erzielt wird. Somit ist sie die Verallgemeinerung der geometrischen Verteilung.

Für die negative Binomialverteilung gilt folgende Formel:

\[ \left( \begin{array}{c} k + r - 1 \\ k \end{array} \right) \cdot p^r \cdot (1 - p)^k \]

Dabei bekommt die Zufallsvariable \(X\) folgende Definition: Es handelt sich dabei um die Zahl der Versuche, bis zum ersten \(k\)-ten Mal \(r\) Erfolge erzielt wurden.

Die negative Binomialverteilung findet in der Poisson Verteilung eine Anwendung.

Binomialverteilung – Beispiele

Nun kannst Du die Binomialverteilung noch mithilfe von ein paar Aufgaben üben. Viel Spaß!

Aufgabe 2

Du kannst an einem Glücksrad, bestehend aus sechs Sektoren, drehen, wobei nur bei einem ein Treffer erzielt wird. Du hast \(3\) Versuche. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Treffer zu erzielen?

Lösung

Du kannst insgesamt dreimal drehen, außerdem sollst Du zwei Treffer für den Pinguin erzielen. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer pro Zug liegt bei \( \frac{1}{6} \).

  • \(n = 3\)
  • \(k = 2\)
  • \(p = \frac{1}{6}\)

Setze die Werte für die Binomialverteilung ein.

\begin{align} P \, (X = 2) &= \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right) \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^2 \cdot \left( \begin{array}{c} 5 \\ 6 \end{array} \right)^1 \end{align}

Berechne nun dies.

\begin{align} P \, (X = 2) &= \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right) \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^2 \cdot \left( \begin{array}{c} 5 \\ 6 \end{array} \right)^1 \\[0,2cm] &= 3 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{5}{6} \\[0,2cm] &= \frac{5}{72} \\[0,2cm] &\approx 0{,}069 \end{align}

Damit kannst Du mit einer Wahrscheinlichkeit von \(6{,}9\,\%\) gewinnen.

Aufgabe 3

In einer Schraubenfabrik werden \(10\,\%\) der Schrauben fehlerhaft gefertigt. Heinz überprüft mit Stichproben, wie viele Produkte insgesamt fehlerhaft sind. Dazu entnimmt er \(5\) Produkte.

  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den \(5\) Schrauben genau eine fehlerhaft ist?
  2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den \(5\) Schrauben genau drei fehlerhaft sind?

Lösung

Die verschiedenen Größen für die Berechnung sind folgende: \(p = 0{,}1, n = 5, k = 1\)Diese Zahlen werden nun in die Formel für die Binomialverteilung gegeben:\begin{align} P\, (X = k) &= \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \\[0,2cm] &= \left( \begin{array}{c} 5 \\ 1 \end{array} \right) \cdot 0{,}1^1 \cdot (1 - 0{,}1)^{5 - 1} \end{align}Mithilfe des Binomialkoeffizienten erhältst Du folgenden Wert.\begin{align} P\, (X = k) &= 5 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^4 \\ &= 0{,}3280... \end{align}Das bedeutet also, die Wahrscheinlichkeit liegt bei \(32{,}8\,\% \).

Da drei der fünf Schrauben fehlerhaft sein sollen, ändert sich lediglich \(k = 3\).Setze die Werte wieder in die Formel für die Binomialverteilung.\begin{align} P\, (X = 3) &= \left( \begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right) \cdot 0{,}1^3 \cdot (1 - 0{,}1)^{5 - 3} \end{align}Nach dem Binomialkoeffizienten erhältst Du:\begin{align} \left(\begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right) &= \frac{5!}{3! \cdot (5 - 3) } \\[0,2cm] &= 10 \end{align}Damit gilt nun für die Binomialverteilung folgendes:\begin{align} P\, (X = k) &= 10 \cdot 0{,}1^3 \cdot 0{,}9^2 \\[0,2 cm] &= \frac{81}{10 000} \\[0,2 cm] &= 0{,}0081 ... \end{align}Damit besteht eine Wahrscheinlichkeit von \(0{,}8\,\%\), dass drei der fünf gezogenen Schrauben kaputt sind.

Binomialverteilung - Das Wichtigste

  • Binomialverteilung Definition: Eine Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der mehrere Bernoulli-Experimente durchgeführt werden.
  • Ein Bernoulli-Experiment unterscheidet ausschließlich zwischen Treffer und Niete für jeden Zug, wobei sich die Züge nicht beeinflussen.
  • Es gilt für die Binomialverteilung diese Formel: \[P \, (X = k) = \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
  • Das Histogramm einer Binomialverteilung wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit für jede Zufallsgröße \(X\) zu bestimmen. Es handelt sich grafisch gesehen um ein Säulendiagramm.
  • Es wird für die Kumulierte Binomialverteilung eine Tabelle verwendet. Diese Tabelle gibt die Werte an für \(P (X \leq k)\).
  • Für die Negative Binomialverteilung gilt folgende Formel \[ \left(\begin{array}{c} k + r - 1 \\ k \end{array} \right) \cdot p^r \cdot (1 - p)^k \]

Finales Binomialverteilung Quiz

Frage

Das Glücksrad ist in 6 Teile geteilt. Dabei sind 2 Teile gleich groß und in 6 je halb so groß. Es wird sechsmal gedreht.

 


Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass

a. der Zeiger genau dreimal auf einem Stern stehen bleibt.

b. der Zeiger genau zweimal auf dem Herz stehen bleibt.

c. der Zeiger höchstens zweimal auf dem Herz stehen bleibt.

d. der Zeiger mindestens viermal auf keinem Symbol stehen bleibt (weder Stern noch Herz)?




Antwort anzeigen

Antwort

a) 13,18%

b) 30%

c) 83,06%

d) 34,37%

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Frage

Berechne mit Hilfe der Binomialverteilung!


Bei einem Test gibt es 12 Fragen mit jeweils drei Antworten, von denen nur eine richtig ist. Der Schüler kreuzt bei jeder Frage rein zufällig eine Antwort an.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er


  1. genau fünf richtige Antworten?
  2. mindestens zehn richtige Antworten?
  3. höchstens eine richtige Antwort?
  4. mehr als neun richtige Antworten?

Antwort anzeigen

Antwort

a) 19,08%

b) 0,05%

c) 0,54%

d) 0,05%

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Frage

Ein Schüler hat 80% der zu lernenden Latein-Vokabeln gelernt. Bei der Prüfung wird er 5 zufällig ausgewählte Vokabeln gefragt. Die Prüfung gilt als bestanden, wenn er mindestens drei der Vokabeln kann. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in %, gerundet auf eine ganze Zahl), dass der Schüler die Prüfung besteht?

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Antwort

94%

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Frage

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariable Z?

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Antwort

Var(Z) = n · p · (1 – p).

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Frage

Wie wird der Erwartungswert für die Nullhypothese berechnet?

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Antwort

E(X) = n ⋅ p0

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Frage

Eine Firma stellt Volleybälle her. Aus langjähriger Erfahrung weiß man, dass 12% aller produzierten Bälle fehlerhaft sind. In der Endkontrolle werden 15 Bälle zufällig ausgewählt und kontrolliert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit 


  1. sind genau vier Bälle fehlerhaft? 
  2. sind höchstens 5 Bälle fehlerhaft? 
  3.  sind mehr als vier Bälle fehlerhaft? 
  4.  sind mindestens zwei, aber weniger als fünf Bälle fehlerhaft?

Antwort anzeigen

Antwort

a. 7%

b. 99%

c. 97%

d. 53%

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Frage

Eine Maschine produziert Bleche mit einer Dicke von durchschnittlich 0,9 mm. Die Standardabweichung beträgt 0,05 mm. 


Berechnen Sie den Prozentsatz der Bleche, die dicker als 0,75 mm sind.

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Antwort

99,87%

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Frage

Bearbeite die folgende Aufgabe!


Ein großes Möbelhaus hat in seinem Sortiment einen Kleiderschrank, bei dem für den Zusammenbau 48 Schrauben der Sorte A und 21 Schauben der Sorte B benötigt werden. Vom Lieferanten der Schrauben weiß man, dass 3% der Schrauben von Sorte A und 4% von Sorte B Fehler aufweisen und nicht für den Zusammenbau geeignet sind.

  1.  Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ausreichend fehlerfreie Schrauben von Typ A vorhanden sind, wenn der Bausatz 50 Schrauben der Sorte A enthält.
  2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die 25 Schrauben der Sorte B, die der Bausatz enthält nicht ausreichen um den Schrank komplett zusammen zu bauen.
  3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann der Schrank unter den in a. und b. gegebenen Voraussetzungen aufgebaut werden?
  4. Gib dem Möbelhaus auf Basis deiner Ergebnisse eine sinnvolle Empfehlung für die Anzahl der im Bausatz beigefügten Schrauben von Typ A und B.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 0,8108 = 81,1%
  2. 0,00278 = 0,3%
  3. 0,80855 = 80,9%
  4. z.B. mehr Schrauben der Sorte A beifügen, um die Kundenzufriedenheit zu erhöhen.

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Frage

Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten!


Ein Fußballer hat beim Elfmeterschießen eine Trefferquote von 75%

  1. Wie wahrscheinlich ist es, dass er bei 10 Versuchen mindestens 8-mal trifft?
  2. Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass er höchstens 5 von 10 Schüssen trifft.
  3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mehr als 8 aber weniger als 12 von 15 Elfmetern?
  4. Durch intensives Training konnte er seine Erfolgsquote um 10% steigern. Wie wahrscheinlich ist es nun, dass er von 20 Elfmetern mehr als 4 vergibt?

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Antwort

  1. 0,52559 = 52,6%
  2. 0,07813 = 7,8%
  3. 0,48209 = 48,2%
  4. 0,17015 = 17,0%

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Frage

Eine Fabrik F stellt Rußfilter für für Dieselmotoren her mit einem Ausschussanteil von 20%.

Es werden 50 Rußfilter kontrolliert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:


a. Genau 15 defekte Rußfilter werden gefunden.

b. Mehr als 12 defekte Rußfilter werden gefunden.

c. Mindestens 11 aber höchstens 18 defekte Rußfilter werden gefunden:

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Antwort

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Frage

Eine Fabrik F1 stellt Rußfilter für Dieselmotoren mit einem Ausschussanteil von 20% her. Die Fabriken F2 und F3 stellen ebenfalls Rußfilter her. Die Herstellung hat bei der Fabrik F2 einen Ausschussanteil von 15% und bei F3 von 35%.

Ein Rußfilter wird zufällig aus dem Lager des Autoherstellers genommen und überprüft.


a. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er defekt ist.

b. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Filter, der defekt ist von Fabrik F1, F2 oder F3 gekauft wurde.

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Antwort

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Frage

Eine Fabrik F1 stellt Rußfilter für Dieselmotoren mit einem Ausschussanteil von 22,5% her. Die Fabriken F2 und F3 stellen ebenfalls Rußfilter her. Die Herstellung hat bei der Fabrik F2 einen Ausschussanteil von 18,5% und bei F3 von 35,66%. Der Autohersteller hat auch eine Eigenproduktion von Filtern, dabei sind 95% in Ordnung. Der Autohersteller beizieht 40% von F1, 30% von F2 und 5% von F3.

Ein Rußfilter wird zufällig aus dem Lager des Autoherstellers genommen und überprüft.


a. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er defekt ist.

b. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Filter, der defekt ist von Fabrik F1, F2 oder F3 gekauft wurde.

Antwort anzeigen

Antwort


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Frage

In einer Fabrik wird ein neues Herstellungsverfahren eingeführt. Der Ausschussanteil soll auf 10% gesenkt werden. Dies soll anhand eines Hypothesentests auf einem Signifikanzniveau von 5% und eine Stichprobenumfang von 100 Filtern geprüft werden.


a. Ermitteln Sie einen kritischen Wert k.

b. Formulieren Sie eine Entscheidungsregel.

Antwort anzeigen

Antwort

a. k=2

b. Es darf nicht mehr als 1 Filter defekt sein.

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Frage

Antwort anzeigen

Antwort

a. k=20

b. Es dürfen nicht mehr als 20 Filter defekt sein.

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Frage

Eine faire Münze wird n mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für k mal Kopf:


  1. n= 8k =3
  2. n= 12, k=4
  3. n= 20, k=7

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 21,875%
  2. 12,085%
  3. 7,393%

Frage anzeigen

Frage

Eine fairer Würfel (1-6 Augen) wird n mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für k mal die Augenzahl "6":

 

  1. n=10, k =3
  2. n=16, k =2
  3. n=20, k=5

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 15,505%
  2. 25,962%
  3. 12,941%

Frage anzeigen

Frage

Eine fairer Würfel (1-6 Augen) wird 10 mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau


  1. 4 mal eine gerade Zahl
  2. 3 mal eine Zahl größer als 4
  3. 6 mal eine Zahl kleiner als 5

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 20,507%
  2. 26,012%
  3. 22,761%

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Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse


Ein Würfel (6-Seiten) wird insgesamt 10 Mal geworfen

  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit nur beim ersten Wurf eine sechs zu Würfeln?
  2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeiten, dass bei den 10 Würfen genau eine sechs geworfen wird (egal bei welchem Wurf)?
  3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mindestens 2 Mal eine sechs zu würfeln?


Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 3,2 %
  2. 32,3%
  3. 80,6%

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Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse


Aus einem Set mit Pokerkarten (52 Karten, davon je 13 in Herz, Karo, Pik und Kreuz) werden zufällig 10 Karten gezogen. Die gezogene Karte wird danach wieder in den Stapel gelegt.

  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur die ersten beiden gezogenen Karten Herz sind?
  2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau 3 Karos zu ziehen?
  3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass von den 10 gezogenen Karten exakt 4 rot sind.


Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 0,6 %
  2. 25,0 %
  3. 20,5 %

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse 


Ben spielt gerne Basketball und hat herausgefunden, dass seine Trefferquote bei Freiwürfen 8/10 beträgt. In einer Trainingssession wirft er 20 Freiwürfe.

  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er nur den ersten und den letzten Ball verwirft?
  2. Er möchte sich weiter verbessern und fragt sich, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass er mit seiner Trefferquote nur drei Fehlwürfe hat
  3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er mindestens 2 Fehlwürfe hat
  4. Wie hoch müsste Bens Trefferquote sein, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% alle 20 Freiwürfe trifft?


Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 0,1%
  2. 20,5%
  3. 93,1%
  4. 96,6%

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Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse 


Die Wahrscheinlichkeit ein Mädchengeburt liegt bei 48%. Familie Meier hat 7 Kinder.

  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es genau vier Jungen sind?
  2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es maximal 3 Mädchen gibt.
  3. Was bedeutet folgender Ausdruck?


Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 28,3%
  2. 54,4%
  3. Die Wahrscheinlichkeit, dass Familie Meier mindestens 2 Mädchen hat bzw. höchstens 5 Jungen

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Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse 


Bei einem Glücksspiel wird das folgende Glücksrad verwendet (siehe Abb. 1). Das Glücksrad wird insgesamt acht mal gedreht. Bleibt das Glücksrad auf einem roten Feld stehen so gewinnt man nichts, bei einem grünen Feld bekommt man einen kleinen Gewinn.




  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, keinen Gewinn zu bekommen?
  2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, bei der Hälfte der Versuche einen Gewinn zu erhalten.
  3. Schafft man es mindestens 6 mal das grüne Feld zu treffen bekommt man den Hauptgewinn. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür?


Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 1,3%
  2. 24,4%
  3. 6,1%

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse 


Eine Maschine produziert Kugellager, welche zu 95% den Anforderungen entsprechen. Zur Qualitätskontrolle werden 50 Kugellager zufällig ausgewählt.


  1. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass unter den kontrollierten Teilen genau 5 fehlerhaft sind.
  2. Die Vorgabe gibt an, dass unter den 50 kontrollierten Teilen mindestens 48 den Anforderungen entsprechen sollen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit hierfür?
  3. Durch eine Optimierung der Maschine soll erreicht werden, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% alle Teile den Anforderungen entsprechen. Mit welcher neuen Wahrscheinlichkeit muss ein von der Maschine hergestelltes Kugellager nun in Ordnung sein?


Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 6,6%
  2. 54,1%
  3. 98,6%

Frage anzeigen

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