Binomialverteilung

Es wird beispielsweise das Würfeln als Zufallsexperiment betrachtet. Dabei soll insgesamt \(9\) mal geworfen werden, wobei \(k\) mal eine drei gewürfelt werden soll.

Dazu wird eine Binomialverteilung aufgestellt und verschiedene Werte für \(k\) ermittelt.

\[P \, (X = k) = \left( \begin{array}{c} 9 \\ k \end{array} \right) \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^k \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{9 - k} \]

Das Histogramm hierfür sieht wie folgt aus:

Abb. 1 – Histogramm für eine Binomialverteilung.

Aufgabe 1

Du wirfst einen Würfel \(100\) mal. Wie wahrscheinlich ist es, höchstens \(5\) mal eine Drei zu würfeln?

Lösung

Dazu ist Deine Aufgabe, nun aus den Informationen die richtigen Werte für die kumulierte Binomialverteilung zu erhalten. Es gibt insgesamt \(100\) Versuche, wobei \(5\) erfolgreich sein sollen. Die Wahrscheinlichkeit, die Augenzahl \(3\) zu werfen, liegt bei \( \frac{1}{6}\). Die Zufallsgröße \(X\) entspricht dabei der Anzahl an geworfenen Dreien.

• \(n = 100\)
• \(k = 5\)
• \(p = \frac{1}{6} \)

Der Begriff "höchstens" entspricht dabei \( \leq\). "Mindestens" wiederum bedeutet \( \geq \).

Theoretisch würde Die Rechnung also wie folgt aussehen.

\[P\, (X \leq 5) = P\, (X = 0) + P\, (X = 1) + P\, (X = 2) + P\, (X = 3) + P\, (X = 4) + P\, (X = 5)\]

Praktisch lässt sich jedoch über ein Tafelwerk die kumulierte Binomialverteilung ermitteln. Schaue dazu in der Tabelle für die Werte von \(n, p, k\).

\[P \, (X \leq 5) = F\, \left(100; \frac{1}{6}; 5 \right) = 0,0004\]

Das entspricht einer Wahrscheinlichkeit von \(0,04\) Prozent.

Aufgabe 2

Du kannst an einem Glücksrad, bestehend aus sechs Sektoren, drehen, wobei nur bei einem ein Treffer erzielt wird. Du hast \(3\) Versuche. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Treffer zu erzielen?

Lösung

Du kannst insgesamt dreimal drehen, außerdem sollst Du zwei Treffer für den Pinguin erzielen. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer pro Zug liegt bei \( \frac{1}{6} \).

• \(n = 3\)
• \(k = 2\)
• \(p = \frac{1}{6}\)

Setze die Werte für die Binomialverteilung ein.

\begin{align} P \, (X = 2) &= \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right) \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^2 \cdot \left( \begin{array}{c} 5 \\ 6 \end{array} \right)^1 \end{align}

Berechne nun dies.

\begin{align} P \, (X = 2) &= \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right) \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^2 \cdot \left( \begin{array}{c} 5 \\ 6 \end{array} \right)^1 \\[0,2cm] &= 3 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{5}{6} \\[0,2cm] &= \frac{5}{72} \\[0,2cm] &\approx 0{,}069 \end{align}

Damit kannst Du mit einer Wahrscheinlichkeit von \(6{,}9\,\%\) gewinnen.

Aufgabe 3

In einer Schraubenfabrik werden \(10\,\%\) der Schrauben fehlerhaft gefertigt. Heinz überprüft mit Stichproben, wie viele Produkte insgesamt fehlerhaft sind. Dazu entnimmt er \(5\) Produkte.

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den \(5\) Schrauben genau eine fehlerhaft ist?
2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den \(5\) Schrauben genau drei fehlerhaft sind?

Lösung

Die verschiedenen Größen für die Berechnung sind folgende: \(p = 0{,}1, n = 5, k = 1\)Diese Zahlen werden nun in die Formel für die Binomialverteilung gegeben:\begin{align} P\, (X = k) &= \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \\[0,2cm] &= \left( \begin{array}{c} 5 \\ 1 \end{array} \right) \cdot 0{,}1^1 \cdot (1 - 0{,}1)^{5 - 1} \end{align}Mithilfe des Binomialkoeffizienten erhältst Du folgenden Wert.\begin{align} P\, (X = k) &= 5 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^4 \\ &= 0{,}3280... \end{align}Das bedeutet also, die Wahrscheinlichkeit liegt bei \(32{,}8\,\% \).

Da drei der fünf Schrauben fehlerhaft sein sollen, ändert sich lediglich \(k = 3\).Setze die Werte wieder in die Formel für die Binomialverteilung.\begin{align} P\, (X = 3) &= \left( \begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right) \cdot 0{,}1^3 \cdot (1 - 0{,}1)^{5 - 3} \end{align}Nach dem Binomialkoeffizienten erhältst Du:\begin{align} \left(\begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right) &= \frac{5!}{3! \cdot (5 - 3) } \\[0,2cm] &= 10 \end{align}Damit gilt nun für die Binomialverteilung folgendes:\begin{align} P\, (X = k) &= 10 \cdot 0{,}1^3 \cdot 0{,}9^2 \\[0,2 cm] &= \frac{81}{10 000} \\[0,2 cm] &= 0{,}0081 ... \end{align}Damit besteht eine Wahrscheinlichkeit von \(0{,}8\,\%\), dass drei der fünf gezogenen Schrauben kaputt sind.