Binomialverteilung

Das Glücksrad ist in 6 Teile geteilt. Dabei sind 2 Teile gleich groß und in 6 je halb so groß. Es wird sechsmal gedreht.

a. der Zeiger genau dreimal auf einem Stern stehen bleibt.

b. der Zeiger genau zweimal auf dem Herz stehen bleibt.

c. der Zeiger höchstens zweimal auf dem Herz stehen bleibt.

d. der Zeiger mindestens viermal auf keinem Symbol stehen bleibt (weder Stern noch Herz)?

Berechne mit Hilfe der Binomialverteilung!

Bei einem Test gibt es 12 Fragen mit jeweils drei Antworten, von denen nur eine richtig ist. Der Schüler kreuzt bei jeder Frage rein zufällig eine Antwort an.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er

1. genau fünf richtige Antworten?
2. mindestens zehn richtige Antworten?
3. höchstens eine richtige Antwort?
4. mehr als neun richtige Antworten?

Berechne die folgenden Binomialkoeffizienten!

Eine Firma stellt Volleybälle her. Aus langjähriger Erfahrung weiß man, dass 12% aller produzierten Bälle fehlerhaft sind. In der Endkontrolle werden 15 Bälle zufällig ausgewählt und kontrolliert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit 

1. sind genau vier Bälle fehlerhaft? 
2. sind höchstens 5 Bälle fehlerhaft? 
3.  sind mehr als vier Bälle fehlerhaft? 
4.  sind mindestens zwei, aber weniger als fünf Bälle fehlerhaft?

Eine Maschine produziert Bleche mit einer Dicke von durchschnittlich 0,9 mm. Die Standardabweichung beträgt 0,05 mm. 

Berechnen Sie den Prozentsatz der Bleche, die dicker als 0,75 mm sind.

Bearbeite die folgende Aufgabe!

Ein großes Möbelhaus hat in seinem Sortiment einen Kleiderschrank, bei dem für den Zusammenbau 48 Schrauben der Sorte A und 21 Schauben der Sorte B benötigt werden. Vom Lieferanten der Schrauben weiß man, dass 3% der Schrauben von Sorte A und 4% von Sorte B Fehler aufweisen und nicht für den Zusammenbau geeignet sind.

1.  Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ausreichend fehlerfreie Schrauben von Typ A vorhanden sind, wenn der Bausatz 50 Schrauben der Sorte A enthält.
2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die 25 Schrauben der Sorte B, die der Bausatz enthält nicht ausreichen um den Schrank komplett zusammen zu bauen.
3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann der Schrank unter den in a. und b. gegebenen Voraussetzungen aufgebaut werden?
4. Gib dem Möbelhaus auf Basis deiner Ergebnisse eine sinnvolle Empfehlung für die Anzahl der im Bausatz beigefügten Schrauben von Typ A und B.

Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten!

Ein Fußballer hat beim Elfmeterschießen eine Trefferquote von 75%

1. Wie wahrscheinlich ist es, dass er bei 10 Versuchen mindestens 8-mal trifft?
2. Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass er höchstens 5 von 10 Schüssen trifft.
3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mehr als 8 aber weniger als 12 von 15 Elfmetern?
4. Durch intensives Training konnte er seine Erfolgsquote um 10% steigern. Wie wahrscheinlich ist es nun, dass er von 20 Elfmetern mehr als 4 vergibt?

Eine Fabrik F stellt Rußfilter für für Dieselmotoren her mit einem Ausschussanteil von 20%.

Es werden 50 Rußfilter kontrolliert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:

a. Genau 15 defekte Rußfilter werden gefunden.

b. Mehr als 12 defekte Rußfilter werden gefunden.

c. Mindestens 11 aber höchstens 18 defekte Rußfilter werden gefunden:

Eine Fabrik F1 stellt Rußfilter für Dieselmotoren mit einem Ausschussanteil von 20% her. Die Fabriken F2 und F3 stellen ebenfalls Rußfilter her. Die Herstellung hat bei der Fabrik F2 einen Ausschussanteil von 15% und bei F3 von 35%.

Ein Rußfilter wird zufällig aus dem Lager des Autoherstellers genommen und überprüft.

a. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er defekt ist.

b. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Filter, der defekt ist von Fabrik F1, F2 oder F3 gekauft wurde.

Eine Fabrik F1 stellt Rußfilter für Dieselmotoren mit einem Ausschussanteil von 22,5% her. Die Fabriken F2 und F3 stellen ebenfalls Rußfilter her. Die Herstellung hat bei der Fabrik F2 einen Ausschussanteil von 18,5% und bei F3 von 35,66%. Der Autohersteller hat auch eine Eigenproduktion von Filtern, dabei sind 95% in Ordnung. Der Autohersteller beizieht 40% von F1, 30% von F2 und 5% von F3.

Ein Rußfilter wird zufällig aus dem Lager des Autoherstellers genommen und überprüft.

a. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er defekt ist.

b. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Filter, der defekt ist von Fabrik F1, F2 oder F3 gekauft wurde.

In einer Fabrik wird ein neues Herstellungsverfahren eingeführt. Der Ausschussanteil soll auf 10% gesenkt werden. Dies soll anhand eines Hypothesentests auf einem Signifikanzniveau von 5% und eine Stichprobenumfang von 100 Filtern geprüft werden.

a. Ermitteln Sie einen kritischen Wert k.

b. Formulieren Sie eine Entscheidungsregel.

Eine faire Münze wird n mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für k mal Kopf:

1. n= 8, k =3
2. n= 12, k=4
3. n= 20, k=7

Eine fairer Würfel (1-6 Augen) wird n mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für k mal die Augenzahl "6":

1. n=10, k =3
2. n=16, k =2
3. n=20, k=5

Eine fairer Würfel (1-6 Augen) wird 10 mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau

1. 4 mal eine gerade Zahl
2. 3 mal eine Zahl größer als 4
3. 6 mal eine Zahl kleiner als 5

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse

Ein Würfel (6-Seiten) wird insgesamt 10 Mal geworfen

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit nur beim ersten Wurf eine sechs zu Würfeln?
2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeiten, dass bei den 10 Würfen genau eine sechs geworfen wird (egal bei welchem Wurf)?
3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mindestens 2 Mal eine sechs zu würfeln?

Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse

Aus einem Set mit Pokerkarten (52 Karten, davon je 13 in Herz, Karo, Pik und Kreuz) werden zufällig 10 Karten gezogen. Die gezogene Karte wird danach wieder in den Stapel gelegt.

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur die ersten beiden gezogenen Karten Herz sind?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau 3 Karos zu ziehen?
3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass von den 10 gezogenen Karten exakt 4 rot sind.

Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse 

Ben spielt gerne Basketball und hat herausgefunden, dass seine Trefferquote bei Freiwürfen 8/10 beträgt. In einer Trainingssession wirft er 20 Freiwürfe.

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er nur den ersten und den letzten Ball verwirft?
2. Er möchte sich weiter verbessern und fragt sich, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass er mit seiner Trefferquote nur drei Fehlwürfe hat
3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er mindestens 2 Fehlwürfe hat
4. Wie hoch müsste Bens Trefferquote sein, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% alle 20 Freiwürfe trifft?

Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse 

Die Wahrscheinlichkeit ein Mädchengeburt liegt bei 48%. Familie Meier hat 7 Kinder.

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es genau vier Jungen sind?
2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es maximal 3 Mädchen gibt.
3. Was bedeutet folgender Ausdruck?

Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse 

Bei einem Glücksspiel wird das folgende Glücksrad verwendet (siehe Abb. 1). Das Glücksrad wird insgesamt acht mal gedreht. Bleibt das Glücksrad auf einem roten Feld stehen so gewinnt man nichts, bei einem grünen Feld bekommt man einen kleinen Gewinn.

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, keinen Gewinn zu bekommen?
2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, bei der Hälfte der Versuche einen Gewinn zu erhalten.
3. Schafft man es mindestens 6 mal das grüne Feld zu treffen bekommt man den Hauptgewinn. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür?

Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse 

Eine Maschine produziert Kugellager, welche zu 95% den Anforderungen entsprechen. Zur Qualitätskontrolle werden 50 Kugellager zufällig ausgewählt.

1. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass unter den kontrollierten Teilen genau 5 fehlerhaft sind.
2. Die Vorgabe gibt an, dass unter den 50 kontrollierten Teilen mindestens 48 den Anforderungen entsprechen sollen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit hierfür?
3. Durch eine Optimierung der Maschine soll erreicht werden, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% alle Teile den Anforderungen entsprechen. Mit welcher neuen Wahrscheinlichkeit muss ein von der Maschine hergestelltes Kugellager nun in Ordnung sein?

Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.