Select your language

Suggested languages for you:
Log In Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Binomialverteilung

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
Binomialverteilung

Die Binomialverteilung zählt zu den wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Bei der Binomialverteilung gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse. Diese Ergebnisse resultieren aus Bernoulli-Ketten. Schau dir doch hierzu noch unseren Artikel zu Bernoulli-Ketten an. Binomialverteilungen beschreiben die Wahrscheinlichkeit eines Prozesses mit gleichartigen und unabhängigen Versuchen.

Unser gewünschtes Ergebnis besitzt die Wahrscheinlichkeit p und wir haben insgesamt n Versuche. Die Binomialverteilung gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit wir insgesamt k Erfolge erzielen. Der Versuch ist ein Bernoulli-Versuch, denn wir haben nur zwei mögliche Ereignisse – Erfolg oder kein Erfolg.

Die allgemeine Formel der Binomialverteilung

Zugegeben, das ganze klingt erstmal etwas abstrakt! Wir erklären dir aber im folgenden Absatz noch ein konkretes Beispiel und dann sollte das Ganze kein Problem mehr für dich sein. Eigentlich musst du nämlich nur die richtigen Werte in die Formel einsetzen.

Zur Erinnerung:

Beispiel zur Binomialverteilung

In einer Schraubenfabrik werden 10 Prozent der Schrauben fehlerhaft gefertigt. Heinz überprüft mit Stichproben, wie viele Produkte insgesamt fehlerhaft sind. Dazu entnimmt er 5 Produkte.

a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 5 Schrauben genau Eine fehlerhaft ist?

Lösung:

Zuerst schreiben wir die verschiedenen Größen heraus. Wir erhalten:

p=0.1, n= 5, k=1

Anschließend setzen wir diese Zahlen in die Formel ein und erhalten:

Mithilfe des Binomialkoeffizienten erhalten wir:

b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 5 Schrauben genau Drei fehlerhaft sind?

Lösung:

Zuerst schreiben wir die verschiedenen Größen heraus. Wir erhalten:

p=0.1, n= 5, k=3

Anschließend setzen wir diese Zahlen in die Formel ein und erhalten:

Mithilfe des Binomialkoeffizienten erhalten wir:

Binomialverteilung - Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die Formel der Binomialverteilung lautet:
  • Mit dieser Formel kannst du die Wahrscheinlichkeit von Bernoulli-Prozessen berechnen.
  • Bei dieser Art von Prozessen, gibt es nur zwei Ereignisse.
  • Der Binomialkoeffizient lautet:

Unser Tipp für euch

Ich würde dir empfehlen, dir die einzelnen Größen, also n,k und p, herauszuschreiben. Bei der Binomialverteilung musst du eigentlich nur die richtigen Werte in die Formel einsetzen. So kannst du verhindern, dass du unnötig Punkte verschenkst! ☺

Finales Binomialverteilung Quiz

Frage

Das Glücksrad ist in 6 Teile geteilt. Dabei sind 2 Teile gleich groß und in 6 je halb so groß. Es wird sechsmal gedreht.

 


Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass

a. der Zeiger genau dreimal auf einem Stern stehen bleibt.

b. der Zeiger genau zweimal auf dem Herz stehen bleibt.

c. der Zeiger höchstens zweimal auf dem Herz stehen bleibt.

d. der Zeiger mindestens viermal auf keinem Symbol stehen bleibt (weder Stern noch Herz)?




Antwort anzeigen

Antwort

a) 13,18%

b) 30%

c) 83,06%

d) 34,37%

Frage anzeigen

Frage

Berechne mit Hilfe der Binomialverteilung!


Bei einem Test gibt es 12 Fragen mit jeweils drei Antworten, von denen nur eine richtig ist. Der Schüler kreuzt bei jeder Frage rein zufällig eine Antwort an.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er


  1. genau fünf richtige Antworten?
  2. mindestens zehn richtige Antworten?
  3. höchstens eine richtige Antwort?
  4. mehr als neun richtige Antworten?
Antwort anzeigen

Antwort

a) 19,08%

b) 0,05%

c) 0,54%

d) 0,05%

Frage anzeigen

Frage

Ein Schüler hat 80% der zu lernenden Latein-Vokabeln gelernt. Bei der Prüfung wird er 5 zufällig ausgewählte Vokabeln gefragt. Die Prüfung gilt als bestanden, wenn er mindestens drei der Vokabeln kann. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in %, gerundet auf eine ganze Zahl), dass der Schüler die Prüfung besteht?

Antwort anzeigen

Antwort

94%

Frage anzeigen

Frage

Berechne die folgenden Binomialkoeffizienten!


Antwort anzeigen

Antwort

  1. 2
  2. 1
  3. 5
  4. 364
  5. 8855
  6. 19
Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariable Z?

Antwort anzeigen

Antwort

Var(Z) = n · p · (1 – p).

Frage anzeigen

Frage

Wie wird der Erwartungswert für die Nullhypothese berechnet?

Antwort anzeigen

Antwort

E(X) = n ⋅ p0

Frage anzeigen

Frage

Eine Firma stellt Volleybälle her. Aus langjähriger Erfahrung weiß man, dass 12% aller produzierten Bälle fehlerhaft sind. In der Endkontrolle werden 15 Bälle zufällig ausgewählt und kontrolliert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit 


  1. sind genau vier Bälle fehlerhaft? 
  2. sind höchstens 5 Bälle fehlerhaft? 
  3.  sind mehr als vier Bälle fehlerhaft? 
  4.  sind mindestens zwei, aber weniger als fünf Bälle fehlerhaft?
Antwort anzeigen

Antwort

a. 7%

b. 99%

c. 97%

d. 53%

Frage anzeigen

Frage

Eine Maschine produziert Bleche mit einer Dicke von durchschnittlich 0,9 mm. Die Standardabweichung beträgt 0,05 mm. 


Berechnen Sie den Prozentsatz der Bleche, die dicker als 0,75 mm sind.

Antwort anzeigen

Antwort

99,87%

Frage anzeigen

Frage

Bearbeite die folgende Aufgabe!


Ein großes Möbelhaus hat in seinem Sortiment einen Kleiderschrank, bei dem für den Zusammenbau 48 Schrauben der Sorte A und 21 Schauben der Sorte B benötigt werden. Vom Lieferanten der Schrauben weiß man, dass 3% der Schrauben von Sorte A und 4% von Sorte B Fehler aufweisen und nicht für den Zusammenbau geeignet sind.

  1.  Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ausreichend fehlerfreie Schrauben von Typ A vorhanden sind, wenn der Bausatz 50 Schrauben der Sorte A enthält.
  2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die 25 Schrauben der Sorte B, die der Bausatz enthält nicht ausreichen um den Schrank komplett zusammen zu bauen.
  3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann der Schrank unter den in a. und b. gegebenen Voraussetzungen aufgebaut werden?
  4. Gib dem Möbelhaus auf Basis deiner Ergebnisse eine sinnvolle Empfehlung für die Anzahl der im Bausatz beigefügten Schrauben von Typ A und B.
Antwort anzeigen

Antwort

  1. 0,8108 = 81,1%
  2. 0,00278 = 0,3%
  3. 0,80855 = 80,9%
  4. z.B. mehr Schrauben der Sorte A beifügen, um die Kundenzufriedenheit zu erhöhen.
Frage anzeigen

Frage

Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten!


Ein Fußballer hat beim Elfmeterschießen eine Trefferquote von 75%

  1. Wie wahrscheinlich ist es, dass er bei 10 Versuchen mindestens 8-mal trifft?
  2. Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass er höchstens 5 von 10 Schüssen trifft.
  3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mehr als 8 aber weniger als 12 von 15 Elfmetern?
  4. Durch intensives Training konnte er seine Erfolgsquote um 10% steigern. Wie wahrscheinlich ist es nun, dass er von 20 Elfmetern mehr als 4 vergibt?
Antwort anzeigen

Antwort

  1. 0,52559 = 52,6%
  2. 0,07813 = 7,8%
  3. 0,48209 = 48,2%
  4. 0,17015 = 17,0%
Frage anzeigen

Frage

Eine Fabrik F stellt Rußfilter für für Dieselmotoren her mit einem Ausschussanteil von 20%.

Es werden 50 Rußfilter kontrolliert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:


a. Genau 15 defekte Rußfilter werden gefunden.

b. Mehr als 12 defekte Rußfilter werden gefunden.

c. Mindestens 11 aber höchstens 18 defekte Rußfilter werden gefunden:

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Eine Fabrik F1 stellt Rußfilter für Dieselmotoren mit einem Ausschussanteil von 20% her. Die Fabriken F2 und F3 stellen ebenfalls Rußfilter her. Die Herstellung hat bei der Fabrik F2 einen Ausschussanteil von 15% und bei F3 von 35%.

Ein Rußfilter wird zufällig aus dem Lager des Autoherstellers genommen und überprüft.


a. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er defekt ist.

b. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Filter, der defekt ist von Fabrik F1, F2 oder F3 gekauft wurde.

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Eine Fabrik F1 stellt Rußfilter für Dieselmotoren mit einem Ausschussanteil von 22,5% her. Die Fabriken F2 und F3 stellen ebenfalls Rußfilter her. Die Herstellung hat bei der Fabrik F2 einen Ausschussanteil von 18,5% und bei F3 von 35,66%. Der Autohersteller hat auch eine Eigenproduktion von Filtern, dabei sind 95% in Ordnung. Der Autohersteller beizieht 40% von F1, 30% von F2 und 5% von F3.

Ein Rußfilter wird zufällig aus dem Lager des Autoherstellers genommen und überprüft.


a. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er defekt ist.

b. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Filter, der defekt ist von Fabrik F1, F2 oder F3 gekauft wurde.

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

In einer Fabrik wird ein neues Herstellungsverfahren eingeführt. Der Ausschussanteil soll auf 10% gesenkt werden. Dies soll anhand eines Hypothesentests auf einem Signifikanzniveau von 5% und eine Stichprobenumfang von 100 Filtern geprüft werden.


a. Ermitteln Sie einen kritischen Wert k.

b. Formulieren Sie eine Entscheidungsregel.

Antwort anzeigen

Antwort

a. k=2

b. Es darf nicht mehr als 1 Filter defekt sein.

Frage anzeigen

Frage

Antwort anzeigen

Antwort

a. k=20

b. Es dürfen nicht mehr als 20 Filter defekt sein.

Frage anzeigen

Frage

Eine faire Münze wird n mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für k mal Kopf:


  1. n= 8k =3
  2. n= 12, k=4
  3. n= 20, k=7
Antwort anzeigen

Antwort

  1. 21,875%
  2. 12,085%
  3. 7,393%
Frage anzeigen

Frage

Eine fairer Würfel (1-6 Augen) wird n mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für k mal die Augenzahl "6":

 

  1. n=10, k =3
  2. n=16, k =2
  3. n=20, k=5
Antwort anzeigen

Antwort

  1. 15,505%
  2. 25,962%
  3. 12,941%
Frage anzeigen

Frage

Eine fairer Würfel (1-6 Augen) wird 10 mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau


  1. 4 mal eine gerade Zahl
  2. 3 mal eine Zahl größer als 4
  3. 6 mal eine Zahl kleiner als 5
Antwort anzeigen

Antwort

  1. 20,507%
  2. 26,012%
  3. 22,761%
Frage anzeigen

Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse


Ein Würfel (6-Seiten) wird insgesamt 10 Mal geworfen

  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit nur beim ersten Wurf eine sechs zu Würfeln?
  2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeiten, dass bei den 10 Würfen genau eine sechs geworfen wird (egal bei welchem Wurf)?
  3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mindestens 2 Mal eine sechs zu würfeln?


Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 3,2 %
  2. 32,3%
  3. 80,6%
Frage anzeigen

Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse


Aus einem Set mit Pokerkarten (52 Karten, davon je 13 in Herz, Karo, Pik und Kreuz) werden zufällig 10 Karten gezogen. Die gezogene Karte wird danach wieder in den Stapel gelegt.

  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur die ersten beiden gezogenen Karten Herz sind?
  2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau 3 Karos zu ziehen?
  3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass von den 10 gezogenen Karten exakt 4 rot sind.


Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 0,6 %
  2. 25,0 %
  3. 20,5 %
Frage anzeigen

Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse 


Ben spielt gerne Basketball und hat herausgefunden, dass seine Trefferquote bei Freiwürfen 8/10 beträgt. In einer Trainingssession wirft er 20 Freiwürfe.

  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er nur den ersten und den letzten Ball verwirft?
  2. Er möchte sich weiter verbessern und fragt sich, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass er mit seiner Trefferquote nur drei Fehlwürfe hat
  3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er mindestens 2 Fehlwürfe hat
  4. Wie hoch müsste Bens Trefferquote sein, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% alle 20 Freiwürfe trifft?


Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 0,1%
  2. 20,5%
  3. 93,1%
  4. 96,6%
Frage anzeigen

Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse 


Die Wahrscheinlichkeit ein Mädchengeburt liegt bei 48%. Familie Meier hat 7 Kinder.

  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es genau vier Jungen sind?
  2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es maximal 3 Mädchen gibt.
  3. Was bedeutet folgender Ausdruck?


Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 28,3%
  2. 54,4%
  3. Die Wahrscheinlichkeit, dass Familie Meier mindestens 2 Mädchen hat bzw. höchstens 5 Jungen
Frage anzeigen

Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse 


Bei einem Glücksspiel wird das folgende Glücksrad verwendet (siehe Abb. 1). Das Glücksrad wird insgesamt acht mal gedreht. Bleibt das Glücksrad auf einem roten Feld stehen so gewinnt man nichts, bei einem grünen Feld bekommt man einen kleinen Gewinn.




  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, keinen Gewinn zu bekommen?
  2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, bei der Hälfte der Versuche einen Gewinn zu erhalten.
  3. Schafft man es mindestens 6 mal das grüne Feld zu treffen bekommt man den Hauptgewinn. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür?


Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 1,3%
  2. 24,4%
  3. 6,1%
Frage anzeigen

Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse 


Eine Maschine produziert Kugellager, welche zu 95% den Anforderungen entsprechen. Zur Qualitätskontrolle werden 50 Kugellager zufällig ausgewählt.


  1. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass unter den kontrollierten Teilen genau 5 fehlerhaft sind.
  2. Die Vorgabe gibt an, dass unter den 50 kontrollierten Teilen mindestens 48 den Anforderungen entsprechen sollen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit hierfür?
  3. Durch eine Optimierung der Maschine soll erreicht werden, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% alle Teile den Anforderungen entsprechen. Mit welcher neuen Wahrscheinlichkeit muss ein von der Maschine hergestelltes Kugellager nun in Ordnung sein?


Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 6,6%
  2. 54,1%
  3. 98,6%
Frage anzeigen
Mehr zum Thema Binomialverteilung
60%

der Nutzer schaffen das Binomialverteilung Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Gerade angemeldet?

Ja
Nein, aber ich werde es gleich tun

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.