Eine Binomialverteilung wirst Du häufig in Deinem Leben antreffen, beispielsweise bei einem Glücksrad. Dabei kannst Du Dir die Frage stellen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, einen Treffer zu erzielen, oder zum Beispiel drei Treffer bei drei Versuchen.
In dieser Erklärung zur Binomialverteilung wirst Du die Definition und Beispiele kennen lernen und Du wirst erfahren, was eine kumulierte Binomialverteilung oder eine negative Binomialverteilung ist.
Binomialverteilung – Grundlagen
Eine Binomialverteilung entspricht einer diskreten Verteilung. Diskret ist dabei eine Verteilung, wenn einer Zufallsvariable ein konkreter Wert zugewiesen werden kann und es sich dabei um eine abzählbare Menge handelt.
Eine weitere Voraussetzung für die Binomialverteilung ist das Bernoulli Experiment, das beschreibt, ob ein Ereignis eintritt (Treffer) oder nicht (Misserfolg).
Binomialverteilung – Erklärung
Bei einer Binomialverteilung wird ausschließlich geklärt, ob ein Treffer stattfindet oder nicht. Außerdem kann die Anzahl der Treffer oder auch Misserfolge gezählt werden. Wichtig ist jedoch, dass bei jedem Zufallsexperiment eben nur diese beiden Resultate möglich sind. Dies wird als Bernoulli Experiment bezeichnet. Diese lassen sich nun mit einer Binomialverteilung beschreiben.
Binomialverteilung Definition
Ob in einem Zufallsexperiment ein Treffer stattfindet oder nicht, kannst Du mithilfe der Binomialverteilung bestimmen.
Eine Binomialverteilung beschreibt eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der ein Bernoulli Experiment (oder mehrere) durchgeführt werden. Dabei handelt es sich um eine gleiche und vor allem unabhängige Folge an Zufallsexperimenten, die mit Treffer (Erfolg) oder Niete (Misserfolg) beschrieben wird.
Pro Bernoulli Experiment kann also lediglich ein Treffer oder kein Treffer stattfinden, wobei sich die Experimente nicht beeinflussen und somit unabhängig sind. Außerdem spielt die Reihenfolge keine Rolle.
Als Basis der Binomialverteilung gilt das Experiment von Bernoulli, bei dem ein Experiment \(n\) mal durchgeführt wird, ohne dass sich die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ändert. Dabei entspricht \(p\) der Wahrscheinlichkeit für das Experiment und \(q \) der Gegenwahrscheinlichkeit. Die Gegenwahrscheinlichkeit lässt sich auch mit \(1 - p\) beschreiben.
Einen viel tieferen Einblick in diese beiden Themen erhältst Du in den dafür vorgesehenen Erklärungen:
- Bernoulli Experiment
- Bernoulli Kette
Unter anderem lässt sich bei einem Bernoulli Experiment sowohl der Erwartungswert \( \mathbb{E}\), als auch die Varianz \( \mathbb{V}\) oder die Standardabweichung \( \sigma\) berechnen.
Dazu gibt es übrigens auch Erklärungen mit vielen Übungen:
Binomialverteilung Formel
Es lässt sich nun die konkrete Formel für die Binomialverteilung bilden.
Die Formel für die Binomialverteilung lautet allgemein:
\[f\,(k) = P \,(X = k) = \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k} \text{ für } k \in {0; 1; 2; ... n}\]
Der Parameter \(k\) für die Anzahl der Erfolge kann auch mit \(x\) bezeichnet werden.
Die Anwendung dieser Formel kannst Du Dir in der Bernoulli Kette ansehen.
Binomialverteilung – Histogramm
Ein Histogramm ist eine Möglichkeit, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zu visualisieren. Dabei wird ein Säulendiagramm verwendet. Die x-Achse entspricht dabei einem Wert der Zufallsvariable \(X\). Die y-Achse wiederum zeigt die Wahrscheinlichkeit an, mit der diese Größe in einem Zufallsexperiment eintrifft.
Es wird beispielsweise das Würfeln als Zufallsexperiment betrachtet. Dabei soll insgesamt \(9\) mal geworfen werden, wobei \(k\) mal eine drei gewürfelt werden soll.
Dazu wird eine Binomialverteilung aufgestellt und verschiedene Werte für \(k\) ermittelt.
\[P \, (X = k) = \left( \begin{array}{c} 9 \\ k \end{array} \right) \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^k \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{9 - k} \]
| \(k_n\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) |
| \(P \,(X = k_n)\) | \(0{,}19\) | \(0{,}34\) | \(0{,}28\) | \(0{,}13\) | \(0{,}039\) | \(0{,}0078\) | \(0{,}0010\) | \(0{,}000089\) | \(0{,}0000045\) | \(0{,}000000099\) |
Das Histogramm hierfür sieht wie folgt aus:
Abb. 1 – Histogramm für eine Binomialverteilung.
Binomialverteilung – kumulierte Binomialverteilung
Manchmal möchtest Du nicht nur die Wahrscheinlichkeit für einen konkreten Fall eines Zufallsexperiments bekommen, sondern Du möchtest höchstens oder mindestens eine bestimmte Anzahl an Treffern erzielen. Dazu verwendest Du die kumulierte Binomialverteilung.
Für die kumulierte Binomialverteilung \(F\, (n; p; k)\) mit
- \(n = \text{Gesamtanzahl}\)
- \(p = \text{Wahrschein} \text{lichkeit für Gewinn}\)
- \(k = \text{Anzahl einer Ziehung}\)
gilt:
\begin{align} F\, (n; p; k) &= P\, (X \leq k) \\ &= \sum_{i = 0}^{k} \left( \begin{array}{c} n \\ i \end{array} \right) \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n-i} \end{align}
Dabei entspricht \(X\) der Zufallsgröße.
Dabei lautet die Fragestellung: "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Du höchstens/mindestens \(x\) Treffer erzielst?"
Weitere Informationen findest Du in der Erklärung "kumulierte Binomialverteilung".
Binomialverteilung – Tabelle
Oftmals besteht Deine Aufgabe auch darin, aus einem Tafelwerk die Wahrscheinlichkeit der genannten Werte \(n\), \(p\) und \(k\) herauszufinden. Ein entsprechendes Tafelwerk wird im Unterricht zur Verfügung gestellt.
Aufgabe 1
Du wirfst einen Würfel \(100\) mal. Wie wahrscheinlich ist es, höchstens \(5\) mal eine Drei zu würfeln?
Lösung
Dazu ist Deine Aufgabe, nun aus den Informationen die richtigen Werte für die kumulierte Binomialverteilung zu erhalten. Es gibt insgesamt \(100\) Versuche, wobei \(5\) erfolgreich sein sollen. Die Wahrscheinlichkeit, die Augenzahl \(3\) zu werfen, liegt bei \( \frac{1}{6}\). Die Zufallsgröße \(X\) entspricht dabei der Anzahl an geworfenen Dreien.
- \(n = 100\)
- \(k = 5\)
- \(p = \frac{1}{6} \)
Der Begriff "höchstens" entspricht dabei \( \leq\). "Mindestens" wiederum bedeutet \( \geq \).
Theoretisch würde Die Rechnung also wie folgt aussehen.
\[P\, (X \leq 5) = P\, (X = 0) + P\, (X = 1) + P\, (X = 2) + P\, (X = 3) + P\, (X = 4) + P\, (X = 5)\]
Praktisch lässt sich jedoch über ein Tafelwerk die kumulierte Binomialverteilung ermitteln. Schaue dazu in der Tabelle für die Werte von \(n, p, k\).
\[P \, (X \leq 5) = F\, \left(100; \frac{1}{6}; 5 \right) = 0,0004\]
Das entspricht einer Wahrscheinlichkeit von \(0,04\) Prozent.
In dem jeweiligen Tafelwerk sind jedoch ausschließlich die Wahrscheinlichkeiten enthalten, die die Frage nach "höchstens" beantworten. Es können also nur die Fragestellungen nach \( P\, (X \leq X)\) beantwortet werden.
Da alle Wahrscheinlichkeiten zusammen immer \(1\) ergeben, kannst Du für "mindestens" die entsprechende Gegenwahrscheinlichkeit von \(1\) abziehen.
Es gibt auch besondere Aufgabenstellungen, die sich "dreimal-mindestens-Aufgaben" nennen. Mehr dazu findest Du in der Erklärung 3M Aufgaben.
Binomialverteilung – negative Binomialverteilung
Auch die negative Binomialverteilung wird über ein Bernoulli-Experiment beschrieben, also ist entweder ein Erfolg oder Misserfolg möglich als Ergebnis. Die negative Binomialverteilung kehrt die Aussage der Binomialverteilung um und stellt die Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei \(n\) Wiederholungen der \(k\)-te Erfolg erzielt wird. Somit ist sie die Verallgemeinerung der geometrischen Verteilung.
Für die negative Binomialverteilung gilt folgende Formel:
\[ \left( \begin{array}{c} k + r - 1 \\ k \end{array} \right) \cdot p^r \cdot (1 - p)^k \]
Dabei bekommt die Zufallsvariable \(X\) folgende Definition: Es handelt sich dabei um die Zahl der Versuche, bis zum ersten \(k\)-ten Mal \(r\) Erfolge erzielt wurden.
Binomialverteilung – Beispiele
Nun kannst Du die Binomialverteilung noch mithilfe von ein paar Aufgaben üben. Viel Spaß!
Aufgabe 2
Du kannst an einem Glücksrad, bestehend aus sechs Sektoren, drehen, wobei nur bei einem ein Treffer erzielt wird. Du hast \(3\) Versuche. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Treffer zu erzielen?
Lösung
Du kannst insgesamt dreimal drehen, außerdem sollst Du zwei Treffer für den Pinguin erzielen. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer pro Zug liegt bei \( \frac{1}{6} \).
- \(n = 3\)
- \(k = 2\)
- \(p = \frac{1}{6}\)
Setze die Werte für die Binomialverteilung ein.
\begin{align} P \, (X = 2) &= \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right) \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^2 \cdot \left( \begin{array}{c} 5 \\ 6 \end{array} \right)^1 \end{align}
Berechne nun dies.
\begin{align} P \, (X = 2) &= \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right) \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^2 \cdot \left( \begin{array}{c} 5 \\ 6 \end{array} \right)^1 \\[0,2cm] &= 3 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{5}{6} \\[0,2cm] &= \frac{5}{72} \\[0,2cm] &\approx 0{,}069 \end{align}
Damit kannst Du mit einer Wahrscheinlichkeit von \(6{,}9\,\%\) gewinnen.
Aufgabe 3
In einer Schraubenfabrik werden \(10\,\%\) der Schrauben fehlerhaft gefertigt. Heinz überprüft mit Stichproben, wie viele Produkte insgesamt fehlerhaft sind. Dazu entnimmt er \(5\) Produkte.
- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den \(5\) Schrauben genau eine fehlerhaft ist?
- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den \(5\) Schrauben genau drei fehlerhaft sind?
Lösung
Die verschiedenen Größen für die Berechnung sind folgende: \(p = 0{,}1, n = 5, k = 1\)Diese Zahlen werden nun in die Formel für die Binomialverteilung gegeben:\begin{align} P\, (X = k) &= \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \\[0,2cm] &= \left( \begin{array}{c} 5 \\ 1 \end{array} \right) \cdot 0{,}1^1 \cdot (1 - 0{,}1)^{5 - 1} \end{align}Mithilfe des Binomialkoeffizienten erhältst Du folgenden Wert.\begin{align} P\, (X = k) &= 5 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^4 \\ &= 0{,}3280... \end{align}Das bedeutet also, die Wahrscheinlichkeit liegt bei \(32{,}8\,\% \).
Da drei der fünf Schrauben fehlerhaft sein sollen, ändert sich lediglich \(k = 3\).Setze die Werte wieder in die Formel für die Binomialverteilung.\begin{align} P\, (X = 3) &= \left( \begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right) \cdot 0{,}1^3 \cdot (1 - 0{,}1)^{5 - 3} \end{align}Nach dem Binomialkoeffizienten erhältst Du:\begin{align} \left(\begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right) &= \frac{5!}{3! \cdot (5 - 3) } \\[0,2cm] &= 10 \end{align}Damit gilt nun für die Binomialverteilung folgendes:\begin{align} P\, (X = k) &= 10 \cdot 0{,}1^3 \cdot 0{,}9^2 \\[0,2 cm] &= \frac{81}{10 000} \\[0,2 cm] &= 0{,}0081 ... \end{align}Damit besteht eine Wahrscheinlichkeit von \(0{,}8\,\%\), dass drei der fünf gezogenen Schrauben kaputt sind.
Binomialverteilung - Das Wichtigste
- Binomialverteilung Definition: Eine Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der mehrere Bernoulli-Experimente durchgeführt werden.
- Ein Bernoulli-Experiment unterscheidet ausschließlich zwischen Treffer und Niete für jeden Zug, wobei sich die Züge nicht beeinflussen.
- Es gilt für die Binomialverteilung diese Formel: \[P \, (X = k) = \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
- Das Histogramm einer Binomialverteilung wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit für jede Zufallsgröße \(X\) zu bestimmen. Es handelt sich grafisch gesehen um ein Säulendiagramm.
- Es wird für die Kumulierte Binomialverteilung eine Tabelle verwendet. Diese Tabelle gibt die Werte an für \(P (X \leq k)\).
- Für die Negative Binomialverteilung gilt folgende Formel \[ \left(\begin{array}{c} k + r - 1 \\ k \end{array} \right) \cdot p^r \cdot (1 - p)^k \]
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