Kugel Fächer Modell

\(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200} \definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180} \definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115} \definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226} \definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0}\)Hast Du Dich schon einmal gefragt, warum in manchen Rosinenbrötchen mehr Rosinen sind als in anderen?

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Eine Antwort darauf liefern Mathematiker mit dem sogenannten Kugel-Fächer-Modell. Mit dem Kugel-Fächer-Modell kannst Du erklären, warum die Rosinen-Anzahl in den Brötchen nicht überall gleich ist. Eine genaue Erklärung mit Beispiel, sowie Aufgaben mit Lösung findest Du in diesem Artikel.

    Kugel-Fächer-Modell – Erklärung

    Das Kugel-Fächer-Modell ist Teil der Stochastik. Möchtest Du Dir noch einmal Grundlagen aus diesem Bereich ansehen, dann lohnt sich ein Blick in folgende Erklärungen.

    Aber was genau ist das Kugel-Fächer-Modell?

    Kugel Fächer Modell Definition

    Grundsätzlich beinhaltet das Kugel-Fächer-Modell – wie der Name schon sagt – Kugeln und Fächer. Damit wird simuliert, wie sich eine bestimmte Anzahl an Kugeln zufällig auf eine bestimmte Anzahl an Fächern verteilt.

    Das Kugel-Fächer-Modell ist ein Zufallsexperiment, bei dem insgesamt \(n\) Kugeln auf \(f\) Fächer verteilt werden.

    Die Verteilung geschieht dabei zufällig. Das heißt, es können mehrere Kugeln in das gleiche Fach fallen oder auch nur eine oder gar keine.

    Dieses Prinzip kannst Du auf sämtliche Alltagssituationen übertragen, wie zum Beispiel das oben erwähnte Brötchen backen mit Rosinen.

    Stelle das Experiment doch zu Hause selbst einmal nach. Schnapp Dir dazu ein Blatt Papier und eine Handvoll Kaffeebohnen. Unterteile das Blatt Papier mit einem Stift etwa in \(12\) gleich große Quadrate. Nimm die Kaffeebohnen in die Hand und lasse sie etwa aus einer Höhe von \(20\,cm\) auf das Blatt fallen.

    Was stellst Du fest?

    In manchen Quadraten (entspricht den Fächern) liegen mehr Kaffeebohnen (entspricht den Kugeln) als in anderen Quadraten. Sie sind demnach nicht gleichmäßig in den Fächern verteilt.

    Du kannst zwar nicht exakt voraussagen, wie viele Bohnen oder Kugeln in einem Fach landen werden, aber die Wahrscheinlichkeit ermitteln, in wie vielen Fächern sich zum Beispiel keine Bohnen finden.

    Hierzu gibt es eine Formel.

    Kugel-Fächer-Modell Formel

    Um die Wahrscheinlichkeiten beim Kugel-Fächer-Modell zu bestimmen, wird die Formel für eine Bernoulli-Kette genutzt.

    Auf die Herleitung wird in diesem Fall verzichtet, aber Du kannst mehr über die Bernoulli-Kette in der Erklärung „Bernoulli Experiment“ erfahren.

    Damit ergibt sich:

    Die Wahrscheinlichkeit \(P(X=k)\) für Fächer mit genau \(k\) Kugeln in einem Kugel-Fächer-Modell berechnet sich durch:

    \[P(X=k)=\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

    Dabei gilt:

    • \(n\): Anzahl der Kugeln insgesamt
    • \(p=\dfrac{1}{f}\): Treffer-Wahrscheinlichkeit für jedes der \(f\) Fächer

    Den Binomialkoeffizient \(\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)\) kannst Du alternativ auch über \(\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\) berechnen. Mehr dazu findest Du in der Erklärung „Binomialkoeffizient Kombinatorik“.

    Je nach Fall kannst Du diese Formel allerdings ein wenig kürzen.

    Fall

    Formel

    \[P(X=0)=\left(1-p\right)^n\]

    • Mindestens eine Kugel im Fach

    \[P(X\geq 1)=1-P(X=0)\]

    Möchtest Du die Wahrscheinlichkeit für Fächern berechnen, bei denen zum Beispiel mindestens \(3\) Kugeln in einem Fach landen, dann hast Du zwei Möglichkeiten, dies zu berechnen.

    \(1.\) Möglichkeit:

    Du ziehst von der Zahl \(1\) alle anderen Wahrscheinlichkeiten, die nicht zutreffen, ab.

    \[P(X \geq 3) =1-P(X=2)-P(X=1)-P(X=0)\]

    \(2.\) Möglichkeit:

    Du addierst alle zutreffenden Wahrscheinlichkeiten auf.

    \begin{align} P(X \geq 3) & =\sum_{k=3}^nP(X=k) \\[0.2cm] \rightarrow P(X \geq 3) & =P(X=3)+P(X=4)+\dots+P(X=n) \end{align}

    Die Formeln kannst Du entsprechend für eine andere Kugelanzahl erweitern. Für welchen Fall Du Dich entscheidest, hängt natürlich auch von der Aufgabenstellung ab.

    Wieso lässt sich die Formel für \(P(X=0)\) eigentlich kürzen? Interessiert Dich diese Herleitung, dann sieh Dir die nachfolgende Vertiefung an.

    Die Formel aus der Definition wird nun für den Fall \((X=0)\) betrachtet:

    \[P(X=k)=\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

    Eingesetzt in die Formel ergibt sich:

    \begin{align} P(X=0) & = \left(\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}\right) \cdot p^0 \cdot \left(1-p \right)^{n-0} \\[0.2cm]P(X=0) & = 1 \cdot 1 \cdot \left(1-p \right)^{n} \\[0.2cm] \Rightarrow \quad P(X=0) & = (1-p)^n \end{align}

    Mit der Formel der Bernoulli-Kette kannst Du also jede beliebige Anzahl \(k\) an Treffern berechnen. Setze dafür einfach für \(k\) die gewünschte Anzahl ein.

    Im nächsten Abschnitt erfährst Du, wie Du diese Formeln direkt anwenden kannst.

    Kugel Fächer Modell – Beispiel Rosinen

    Ein bekanntes und oft verwendetes Beispiel ist die Verteilung von Rosinen in Rosinenbrötchen. Die \(f\) Fächer stellen in diesem Fall die einzelnen Brötchen dar und die Rosinen sind die \(n\) Kugeln, die auf die Fächer (also die Brötchen) verteilt werden.

    Ein Bäcker möchte \(100\) Rosinenbrötchen backen und verwendet dafür \(500\) Rosinen, die er in den Teig mischt.

    a) Berechne die Wahrscheinlichkeit für Brötchen mit genau \(5\) Rosinen sowie die entsprechende Anzahl der Brötchen mit \(5\) Rosinen.

    b) Berechne die Wahrscheinlichkeit für Brötchen mit mindestens \(2\) Rosinen sowie die entsprechende Brötchenanzahl.

    Lösung

    a) Um die Wahrscheinlichkeit des „Idealfalls“ zu berechnen, setzt Du die gegebenen Werte in die Formel ein.

    • \(n=500\): Anzahl der Rosinen insgesamt
    • \(p=\frac{1}{100}\): Treffer-Wahrscheinlichkeit pro Brötchen
    • \(k=5\): Gewünschte Rosinen-Anzahl pro Brötchen

    \begin{align} P(X=k) & =\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \\[0.2cm] P(X=5) & =\left(\begin{array}{c} 500 \\ 5 \end{array} \right)\cdot \left(\frac{1}{100}\right)^5 \cdot \left(1-\frac{1}{100}\right)^{500-5} \\[0.2cm] & = \left(\begin{array}{c} 500 \\ 5 \end{array} \right)\cdot \left(\frac{1}{100}\right)^5 \cdot \left(1-\frac{1}{100}\right)^{500-5} \\[0.2cm] & = 0{,}1764\end{align}

    In diesem Beispiel sind somit nur bei \(17{,}64\,\%\) aller Brötchen genau \(5\) Rosinen enthalten. Das entspricht etwa \(18\) Brötchen, da gilt:

    \[0{,}1764\cdot100\,\text{Brötchen} \approx 18\,\text{Brötchen}\]

    b) Wie sieht es aber aus, wenn die Kunden einfach nur mindestens \(2\) Rosinen im Brötchen haben wollen?

    \begin{align} P(X \geq 2) & =1-{\color{#1478C8}P(X=1)}-{\color{#00DCB4}P(X=0)} \\[0.2cm] & = 1 - {\color{#1478C8}\left(\begin{array}{c} 500 \\ 1 \end{array} \right)\cdot \left(\frac{1}{100}\right)^1\cdot \left(1-\frac{1}{100}\right)^{500-1}}- {\color{#00DCB4}\left(1-\frac{1}{100}\right)^{500}} \\[0.2cm] & = 0{,}9602\end{align}

    Etwa \(96\) der \(100\) Brötchen enthalten mindestens zwei Rosinen, da gilt:

    \[0{,}9602\cdot100\,\text{Brötchen} \approx 96\,\text{Brötchen}\]

    Dieses Beispiel kannst Du natürlich auf viele andere Alltagssituationen übertragen.

    Übrigens: Werden genau \(n\) Kugeln auf \(n\) Fächern verteilt, dann bleiben in etwa \(37\,\%\) der Fächer leer und in etwa genau so vielen Fächern befindet sich genau eine Kugel. Die Wahrscheinlichkeitswerte \(P(X=0)\) und \(P(X=1)\) nähern sich bei einer großen Anzahl \(n\) somit dem Wert \(\dfrac{1}{e}\) an.

    \[P(X=0)=P(X=1)\approx \dfrac{1}{e}\]

    Nimm an, Du möchtest \(1\,000\,000\) Kugeln auf \(1\,000\,000\) Fächer verteilen. Laut der Formel müsste sich für \(P(X=1)\) folgender Wert ergeben:

    \[P(X=1)\approx \dfrac{1}{e}\approx 0{,}36788\]

    Werden die Werte für \(n\) nun in die Formel des Kugel-Fächer-Modells eingesetzt, so ergibt sich:

    \begin{align} P(X=1) & =\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \\[0.2cm] & =\left(\begin{array}{c} 1\,000\,000 \\ 1 \end{array} \right)\cdot \left(\frac{1}{1\,000\,000}\right)^1 \cdot \left(1-\frac{1}{1\,000\,000}\right)^{999\,999} \\[0.2cm] & \approx 0{,}36788 \end{align}

    Kugel-Fächer-Modell – Aufgaben mit Lösung

    Nun kannst Du die Formeln einmal selbst anwenden. Viel Spaß!

    Aufgabe 1

    In einem Kino herrscht heute großer Andrang. Das Kino hat \(95\) Sitzplätze und \(80\) Karten wurden verkauft. Sobald der Saal geöffnet wird, stürmen alle los, um den besten Platz zu bekommen. Bei wie vielen Sitzplätzen wollen sich mehr als \(1\) Zuschauer hinsetzen?

    Lösung

    Hierfür benötigst Du die Formel für \(2\) oder mehr Treffer:

    \begin{align} P(X \geq 2) & =1-{\color{#1478C8}P(X=1)}-{\color{#00DCB4}P(X=0)} \\[0.2cm]& = 1 - {\color{#1478C8}\left(\begin{array}{c}80 \\ 1 \end{array} \right)\cdot \left(\frac{1}{95}\right)^1\cdot \left(1-\frac{1}{95}\right)^{80-1}}- {\color{#00DCB4}\left(1-\frac{1}{95}\right)^{80}} \\[0.2cm] & = 0{,}206\end{align}

    Nun muss noch die Anzahl der Sitzplätze bestimmt werden:

    \[0{,}206\cdot 95 \approx 20\]

    Somit wollen sich bei etwa \(20\) Sitzplätzen mindestens \(2\) Zuschauer hinsetzen.

    Aufgabe 2

    Das Beispiel mit den Rosinenbrötchen kannst Du auch umdrehen. Berechne, wie viele Rosinen theoretisch in den Teig gemischt werden müssen, wenn \(8\) von den \(100\) Rosinenbrötchen keine Rosinen enthalten.

    Lösung

    Setze alle gegebenen Werte in die Formel ein. Da Du den Fall gegeben hast, dass keine Rosinen im Brötchen sind, verwendest Du die Formel für \(P(X=0)\).

    Beachte dabei, dass Du für \(P(X=0)\) den Wert \(0{,}08\) einsetzt, weil in \(8\) Rosinenbrötchen keine Rosinen enthalten sind:

    \[P(X=0)=\dfrac{8\,\text{Brötchen}}{100\,\text{Brötchen}}=0{,}08\]

    Damit ergibt sich:

    \begin{align} P(X=0) & =\left(1-p\right)^n \\[0.1cm] 0{,}08 & =\left(1-\frac{1}{100}\right)^n \\[0.2cm] 0{,}08 & = 0{,}99^n && | \log \\[0.4cm] n & = \log _{0{,}99}(0{,}08) = 251{,}31 \approx 251\end{align}

    Es wurden also etwa \(251\) Rosinen in den Teig gemischt.

    Kugel Fächer Modell – Das Wichtigste

    • Das Kugel-Fächer-Modell ist ein Zufallsexperiment, bei dem \(n\) Kugeln auf \(f\) Fächer verteilt werden.
    • Die Wahrscheinlichkeit \(P(X=k)\) für Fächer mit genau \(k\) Kugeln in einem Kugel-Fächer-Modell berechnet sich durch:

      \[P(X=k)=\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

      mit:

      • \(n\): Anzahl der Kugeln insgesamt

      • \(p=\dfrac{1}{f}\): Treffer-Wahrscheinlichkeit für jedes der \(f\) Fächer

    Nachweise

    1. Meintrup; Schäffler (2006). Stochastik Theorie und Anwendungen. Springer Berlin Heidelberg.
    2. Behrends (2012). Elementare Stochastik Ein Lernbuch - von Studierenden mitentwickelt. Vieweg+Teubner Verlag.
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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Kugel Fächer Modell

    Was ist das Kugel-Fächer-Modell?

    Das Kugel-Fächer-Modell beschreibt die zufällige Verteilung von k Kugeln auf f Fächer. Die Wahrscheinlichkeit für Fächer mit genau k Kugeln lässt sich über die Formel der Bernoulli-Kette herleiten.

    Wie berechnest Du das Kugel-Fächer-Modell?

    Zur Berechnung des Kugel-Fächer-Modells verwendest Du die Formel einer Bernoulli-Kette. Dabei wird die Wahrscheinlichkeit für Fächer mit genau k Kugeln ermittelt. So lässt sich beispielsweise die Wahrscheinlichkeit P(X=0) für leere Fächer berechnen. 

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