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Deskriptive Statistik

Deskriptive Statistik

Die deskriptive Statistik ist ein Teilgebiet der Statistik und behandelt, wie Du eine Statistik mithilfe verschiedener Methoden, wie Tabellen, Diagrammen oder Kennzahlen wie den Mittelwert beschreiben kannst. Mithilfe dieser Methoden lassen sich später Statistiken leichter interpretieren und Zusammenfassungen erstellen.

Deskriptive Statistik – Definition

Die Statistik wird in drei Bereiche eingeteilt: die deskriptive, erkundende und schließende Statistik.

Die deskriptive Statistik kann wie folgt definiert werden:

Die deskriptive oder auch beschreibende Statistik befasst sich damit, empirische Daten (etwa aus Experimenten) durch Kennzahlen, Diagramme und Grafiken darzustellen.

Diese Darstellungen machen es möglich zu beurteilen, ob die Stichprobe repräsentativ ist und damit auf die Grundgesamtheit bezogen werden kann.

Deskriptive Statistik – Zusammenfassung & Grundlagen

Für die deskriptive Statistik sind folgende Begriffe relevant:

BegriffErklärungBeispiel
GrundgesamtheitDie Grundgesamtheit umfasst alle Objekte, über die Informationen ermittelt werden sollen.Bei einem Notenspiegel einer Klausur ist die Grundgesamtheit alle die gesamte Klasse.
StichprobeEine Stichprobe ist eine Teilmenge der Grundgesamtheit, die trotzdem die Eigenschaften der Grundgesamtheit widerspiegelt.Nur die Hälfte aller Schüler schreiben die Klausur, aber deren Notenspiegel wird auf die gesamte Klasse bezogen, die Hälfte der Schüler, die an der Klausur teilgenommen haben, sind eine Stichprobe für die ganze Klasse.
MerkmalsträgerEin Merkmalsträger ist ein Objekt der GrundgesamtheitIn dieser Klasse ist ein Schüler ein Merkmalsträger.
Merkmal/ VariablenMerkmale sind Eigenschaften, nach denen bei den Merkmalsträgern in der Statistik gefragt wirdDie Note eines Schülers ist in diesem Fall ein Merkmal.
AusprägungEine mögliche Variante des MerkmalsWelche Note ein Schüler erreicht hat, ist eine Ausprägung.
WertebereichMenge aller möglichem AusprägungenWenn ein Schüler nach seiner Note gefragt wird, sind die Noten Eins bis sechs der Wertebereich.

Behalte diese im Hinterkopf, wenn Du die weiteren Abschnitte anschaust.

Deskriptive Statistik – Methoden

In der Deskriptiven Statistik existieren eine Auswahl an Methoden, die bei der Auswertung der Ergebnisse verwendet werden können. Dazu gehören sowohl Kennzahlen als auch Darstellungsformen wie Diagramme.

Grundgesamtheit und Stichprobe

Die Grundgesamtheit ist die Menge aller Objekte, über die eine Aussage getroffen wird. Die Stichprobe dagegen ist eine Teilmenge der Grundgesamtheit. Sie umfasst alle Objekte, die an der Statistik teilnehmen.

  • Ist eine Stichprobe repräsentativ, so können von ihr aus Rückschlüssen auf die Grundgesamtheit gezogen werden
  • Eine Stichprobe kann nur repräsentativ sein, wenn sie zufällig gewählt wurde.

In der Erklärung Grundgesamtheit Stichprobe findest Du mehr Informationen zu diesem Thema.

Kennzahl Lagemaße

Die Kennzahl der Lagemaße beschreibt, wie der Name andeutet, die Lage des Zentrums in einer Verteilung.

  • Der Mittelwert ist der Durchschnittswert der Verteilung.
  • Der Modus ist der häufigste Wert der Verteilung.
  • Der Median liegt in einer nach Größe geordneten Datenreihe genau in der Mitte und teilt somit den Datensatz in zwei Hälften.

Dabei kann die Verteilung folgende Eigenschaften haben:

Eigenschaft
Voraussetzung
Symmetrisch
\[\text{Modus}=\text{Med}\text{ian}=\text{Mittel}\text{wert}\]
Rechtsschief
\[\text{Modus}<\text{Med}\text{ian}<\text{Mitte}\text{lwert}\]
Linksschief
\[\text{Modus}>\text{Median}>\text{Mittelwert}\]

Mehr zu dem Thema findest Du in der Erklärung Lagemaße.

Kennzahl Streuungsmaße

Die Kennzahl der Streuungsmaße informiert über die Streuung der Werte um das Zentrum der Verteilung. Die Verteilung kann eng oder breit sein.

  • Die Varianz ist die quadrierte durchschnittliche Abweichung der Werte vom Erwartungswert.
  • Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz und gibt die durchschnittliche Abweichung der Werte vom Mittelwert an.
  • Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert der Verteilung.
  • Der Variationskoeffizient ist die Standardabweichung geteilt durch den Mittelwert, was eine prozentuale Streuung um den Mittelwert ergibt.

Falls Du noch mehr zu dem Thema wissen möchtest, dann kannst Du Dir die Erklärung Streuungsmaß anschauen.

Diagramm

Diagramme dienen der Veranschaulichung und Visualisierung von Daten. Am häufigsten werden Streu-, Säulen-, Kreisdiagramme und der Boxplot verwendet.

Streudiagramm und Säulendiagramm

Ein Streudiagramm besteht aus einer Vielzahl von Punkten, welche in ein kartesisches Koordinatensystem eingetragen werden.

Deskriptive Statistik Streudiagramm StudySmarterAbb. 1 - Streudiagramm.

Das Säulendiagramm ist eine Diagrammart, bei der sich auf der x-Achse nebeneinander stehende Rechtecke, sogenannte „Säulen“ befinden. Diese Säulen berühren sich nicht.

Deskriptive Statistik Säulendiagramm StudySmarterAbb. 2 - Säulendiagramm

Nicht zu verwechseln ist das Säulendiagramm mit dem Histogramm. Auch dort werden Säulen verwendet, zwischen diesen gibt es jedoch keinen Abstand.

Kreisdiagramm und Boxplot

Ein Kreisdiagramm stellt die unterschiedlichen Anteile von Merkmalen in einem Ganzen dar. Jedes Merkmal wird dabei in einem Kreissektor dargestellt. Je größer ein Kreissektor ist, desto größer ist der Anteil des Merkmals am Ganzen.

Deskriptive Statistik Kreisdiagramm StudySmarterAbb. 3 - Kreisdiagramm

Ein Boxplot, auch genannt Kastengrafik, wird zur strukturierten Darstellung von Datensätzen verwendet und stellt die Streuung der Daten anschaulich dar. Die Daten werden zusammen mit einer entsprechenden Achse visualisiert.

Deskriptive Statistik Boxplot StudySmarterAbb. 4 - Boxplot

Die Darstellung ermöglicht einen schnellen Überblick darüber, über welchen Bereich sich die Daten erstrecken und wie sie in diesem Bereich verteilt sind. Ein Boxplot wird deshalb häufig zur Zusammenfassung großer Datenmengen verwendet.

Weitere Informationen über dieses Thema findest Du in der Erklärung Diagramm.

Skalenniveau

Das Skalen- oder Messniveau einer Variablen ist entscheidend dafür, welche statistische Auswertungsmethoden bei dieser Variablen sinnvoll wäre.

Unterschieden wird zwischen Nominalskala, Ordinalskala und metrischer Skala.

Skala
Eigenschaft
Beispiel
Nominalskala
Du kannst nur unterscheiden, ob ihrer Ausprägungen gleich oder ungleich sind.
Das Geschlecht einer Person kann nur weiblich oder männlich sein.
Ordinalskala
Du kannst die Ausprägungen einer Variable in eine Rangreihe bringen, die keine interpretierbaren Abstände haben.
Bei Militärrängen kann zwar unterschieden werden, welcher Rang höher ist als der andere. Doch stehen sie in keinem mathematischen Verhältnis zueinander. Ein Rang kann nicht zweimal so hoch sein wie ein anderer.
Metrische Skala
Intervallskala
Du kannst die Abstände zwischen den Variablenausprägungen interpretieren. Es ist kein natürlicher Nullpunkt vorhanden. Dabei sind Addition und Subtraktion möglich.
Bei Jahreszahlen können wir die Abstände zwischen einzelnen Jahren bestimmen. Doch gibt es keinen natürlichen Nullpunkt. Das Jahr 0 ist von uns als solches lediglich festgelegt worden.
Verhältnisskala
Du kannst die Abstände zwischen den Variablenausprägungen interpretieren. Es ist ein natürlicher Nullpunkt vorhanden. Dabei sind Addition und Subtraktion möglich, sowie Multiplikation und Division.
Längen etwa in Zentimetern haben einen natürlichen Nullpunkt. Hat etwas keine Länge, ist die Länge 0. Dies hängt von keiner Definition ab.

Wenn Du mehr zu dem Thema erfahren möchtest, dann kannst Du Dir die Erklärung Skalenniveau anschauen.

Deskriptive Statistik Formelsammlung

In der folgenden Formelsammlung sind einige wichtige Formeln aufgelistet, die Du bei der Anwendung von den Methoden gebrauchen kannst.

Wert
Formel
Anmerkung
\[\mu=\frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl aller Werte}}\]
ungerade Anzahl Messwerte
\[x_{\text{med}}=x_{\frac{n+1}{2}}\]
Kann nur bei ordinalen und kardinalen Skalenniveaus angewendet werden.
\(n\) : Anzahl und Ausprägungen
\(x_{med}\) : Median
\(x\) : Ergebnis
gerade Anzahl Messwerte
\[x_{\text{med}}=\frac{1}{2} \cdot (x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1})\]
\[\sigma^2=\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\cdot p_i\]
\(p_i\) : Wahrscheinlichkeit, dass \(x_i\) eintritt
Standardabweichung
\[\sigma=\sqrt{\text{Vari}\text{anz}}=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\cdot p_i} \]
\[R=x_{\text{max}}-x_{\text{min}}\]
\(x_{\text{max}}\) : Größter Wert
\(x_{\text{min}}\) : kleinster Wert
Variationskoeffizient
\[V=\frac{\sigma}{\mu}\]

Deskriptive Statistik R Statistik Programm

Inzwischen gibt es auch einige Datenanalyseprogramme für den Computer. Dazu gehören unter anderem SPSS und das Statistikprogramm R. Diese helfen Dir besonders bei großen Datenmengen bei der deskriptiven Auswertung Deines Datensatzes.

Neben den genannten Methoden gibt es noch viele weitere wie die Zusammenhangsmaße, zu denen auch die Korrelationen gehören.

Deskriptive Statistik interpretieren

Jetzt kennst Du zwar einzelne Kennzahlen, doch wie kannst Du diese interpretieren?

  • Sind Mittelwert und Median ähnlich, so sind die Daten symmetrisch.
  • Eine hohe Varianz bedeutet, dass die Streubreite groß ist.
  • Analog bedeutet eine hohe Standardabweichung auch, dass die Streubreite der Daten groß ist.
    • Wenn etwa 68 % der Werte innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert, 95 % der Werte innerhalb zwei Standardabweichungen und 99,7 % der Werte innerhalb drei Standardabweichungen liegen, ist eine Voraussetzung für die Normalverteilung erfüllt.
  • Ein hoher Varianzkoeffizient bedeutet eine hohe Streubreite im Verhältnis zum Mittelwert.

Deskriptive Statistik – Beispiele

In diesem Abschnitt findest Du zwei Beispiele zur Anwendung zweier Methoden.

Deskriptive Statistik Mittelwert

Ein Dir wahrscheinlich bekanntes Anwendungsbeispiel für die Berechnung des Mittelwerts ist der Durchschnitt bei einem Notenspiegel.

Aufgabe 1

In einer Klausur wurden folgende Noten erlangt:


Note
1
2
3
4
5
6
Anzahl
3
5
7
1
3
2
Berechne den Mittelwert.Lösung 1. Schritt:Rechne als Erstes die Summe aller Noten aus:\[3\cdot 1 + 5 \cdot 2 + 7 \cdot 3 + 1\cdot 4 + 3 \cdot 5 + 2 \cdot 6= 65\]2. Schritt:Berechne jetzt die Anzahl der Noten:\[3+5+7+1+3+2=21\]3. Schritt:Setzte dann die beiden Werte in die Formel für den Mittelwert ein:\begin{align}\mu&=\frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl aller Werte}}\\[0.2 cm]\mu&=\frac{65}{21}\\[0.2 cm]\mu&=3,1\end{align}

Somit erhältst Du für den Notendurchschnitt (Mittelwert) die Note \(3,1\).

Wie Du siehst, verwendest Du sogar im Alltag Methoden der deskriptiven Statistik.

Varianz Deskriptive Statistik

Als Beispiel für die Berechnung der Varianz eignet sich der Würfelwurf.

Aufgabe 2

Ein Würfel wird zehnmal geworfen, dabei kommen folgende Ergebnisse raus:

Augenzahl
1
2
3
4
5
6
Anzahl
1
2
2
1
1
3

Berechne die Varianz.

Lösung

Um die Formel der Varianz anwenden zu können, benötigst Du die Wahrscheinlichkeiten für jede Augenzahl. Da es sich hier um einen sechsseitigen Würfel handelt und Du, wenn nicht anders angegeben, von einem nicht gezinkten Würfel ausgehen kannst, ist die Wahrscheinlichkeit für alle sechs Augenzahlen \(\frac{1}{6}\).

1. Schritt:

Berechne als Erstes den Mittelwert:

\[\mu=\frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 5 + 3 \cdot 6}{10}= 3,8\]

2. Schritt:

Setze jetzt die Werte in die Formel für die Varianz ein:

\begin{align}\sigma^2&=\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\cdot p_i\\[0.2 cm]\sigma^2&=(1-3,8)^2\cdot \frac{1}{6} + (2-3,8)^2\cdot \frac{1}{6} + (3-3,8)^2\cdot \frac{1}{6} +(4-3,8)^2\cdot \frac{1}{6} + (5-3,8)^2\cdot \frac{1}{6} + (6-3,8)^2\cdot \frac{1}{6}\\\sigma^2&= 3,16\end{align}

Die Varianz beträgt also \(3,16\).

Deskriptive Statistik – Das Wichtigste

  • Die deskriptive oder auch beschreibende Statistik befasst sich damit, empirische Daten (etwa aus Experimenten) durch Kennzahlen, Diagramme und Grafiken darzustellen.
  • Die Grundgesamtheit ist die Menge aller Objekte, über die eine Aussage getroffen wird.
  • Die Kennzahl der Lagemaße, beschreibt, wie der Name andeutet, die Lage des Zentrums in einer Verteilung.
    • Der Mittelwert ist der Durchschnittswert der Verteilung.
    • Der Modus ist der häufigste Wert der Verteilung.
    • Der Median liegt in einer nach Größe geordneten Datenreihe genau in der Mitte und teilt somit den Datensatz in zwei Hälften.
  • Die Kennzahl der Streuungsmaße informiert über die Streuung der Werte um das Zentrum der Verteilung.
    • Die Varianz ist die quadrierte durchschnittliche Abweichung der Werte vom Erwartungswert.
    • Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz und gibt die durchschnittliche Abweichung der Werte vom Mittelwert an.
    • Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert der Verteilung.
    • Der Variationskoeffizient ist die Standardabweichung geteilt durch den Mittelwert, was eine prozentuale Streuung um den Mittelwert ergibt.
  • Diagramme dienen der Veranschaulichung und Visualisierung von Daten. Am häufigsten werden Streu-, Säulen- und Kreisdiagramme und Boxplot verwendet.
  • Das Skalen- oder Messniveau einer Variablen ist entscheidend dafür, welche statistische Auswertungsmethoden bei dieser Variablen sinnvoll wäre. Unterschieden wird zwischen Nominalskala, Ordinalskala und metrischer Skala.
  • Du interpretierst in der deskriptiven Statistik einen Versuch mit folgenden Punkten:
    • Sind Mittelwert und Median ähnlich, so sind die Daten symmetrisch.
    • Eine hohe Varianz bedeutet, dass die Streubreite groß ist.
    • Analog bedeutet eine hohe Standardabweichung auch, dass die Streubreite der Daten groß ist.
      • Wenn etwa 68 % der Werte innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert, 95 % der Werte innerhalb zwei Standardabweichungen und 99,7 % der Werte innerhalb drei Standardabweichungen liegen, ist eine Voraussetzung für die Normalverteilung erfüllt.
    • Ein hoher Varianzkoeffizient bedeutet eine hohe Streubreite im Verhältnis zum Mittelwert.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Deskriptive Statistik

In der Statistik sammelt man Daten zu einem interessierenden Gegenstandsbereich, untersucht diese und wertet sie anschließend aus. 

Damit hilft die Statistik dabei in Entscheidungssituationen bessere Entscheidungen treffen zu können. 

Man unterscheidet zwischen deskriptiver, erkundender und schließender Statistik. 

Die deskriptive Statistik ist neben der explorativen und induktiven Statistik ein Teilgebiet der Statistik. Ihr Ziel ist es, einen Überblick über einen vorliegenden Datensatz zu geben. Dabei werden die Daten geordnet und systematisch zusammengefasst.

Korrelationen sind deskriptiv. Sie gehören zu den Zusammenhangsmaßen, die wiederum zu den Methoden der deskriptiven Statistik gehört.

Die Statistik gliedert sich in drei Teilbereiche: die deskriptive Statistik, die erkundende Statistik und die schließende Statistik. 

Finales Deskriptive Statistik Quiz

Frage

Marc Wettermann arbeit als Meteorologe beim Fernsehen. Zu seinen Aufgaben gehört es statistische Daten des Wetters zu erheben. Darunter versteht sein Arbeitgeber den Mittelwert, die Varianz und die Standardabweichung. Für eine Woche erhält er folgende Werte der Temperatur (Runde auf zwei Stellen nach dem Komma):

Montag: 6,4°C

Dienstag: 6,3°C

Mittwoch: 4,2°C

Donnerstag: 5,0°C

Freitag: 7,3°C

Samstag: 3,2°C

Sonntag: 5,1°C


Bestimme die geforderten Werte für die Woche. Marc gibt diese Aufgabe an seine drei Mitarbeiter, die mit verschiedenen Werten wiederkommen. Welcher der Mitarbeiter hat recht?

Antwort anzeigen

Antwort

Mittelwert: 1,41°C

Varianz: 1,31

Standardabweichung: 1,71°C

Frage anzeigen

Frage

Varianz einer Binomialverteilung!


Ein Glücksrad mit vier gleichgroßen Feldern (rot, blau, gelb, grün) wird 20-mal gedreht.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gedrehten blauen Felder an. Berechne die Varianz dieser Zufallsvariablen!

Antwort anzeigen

Antwort

V(X) = 3,75

Frage anzeigen

Frage

Du fährst jeden Tag mit dem Bus in die Schule und schreibst dir jeden Tag auf, wie viel Verspätung der Bus hat. Du erhälst folgende Werte: 


Tag 1: 6 Minuten 

Tag 2: 1 Minute

Tag 3: 4 Minuten

Tag 4: 2 Minuten 

Tag 5: 7 Minuten


  1. Berechne die Varianz
  2. Wie würde sich die Varianz verändern, wenn der Bus an Tag 3 nur 3 Minuten, aber an Tag 5 = 8 Minuten Verspätung hätte?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Die Varianz beträgt 5,2
  2. Die Varianz beträgt 6,8

Frage anzeigen

Frage

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V)


a. 6, 9, 10, 8, 7

b. 1,1; 0,9; 1,3; 1,3; 1,4

c. 20, 18, 16, 22, 21, 17

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=8 ; V= 2

b. D=1,2 ; V=0,032

c. D=19 ; V=4,67

Frage anzeigen

Frage

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V)


a. 1, 3, 2, 2.5, 1, 2,5

b. 0.5, 0.4, 0.5, 0.7, 0.4, 0.5

c. 25, 26, 23, 23, 24, 23

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=2   V=0,583

b. D=0,5   V=0,01

c. D=24   V=1,33

Frage anzeigen

Frage

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V)


a. 0, 0, 1, 2, 0, 3

b. 0.8, 0.7, 0.8, 0.9, 0.6, 0.4

c. 50, 53, 51, 52, 50, 50

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=1  V=1,33

b. D=0,7   V=0,0266

c. D=51   V=1,33

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 2, 3, 1, 3, 3, 1, 2, 1

b. 0.2, 0.3, 0.2, 0.1, 0.2

c. 20, 21, 18, 18, 23, 20

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=2  S=0,866

b. D=0.2   S=0,063

c. D=20  S=1,73

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 3, 5, 1, 2, 2, 5

b. 0.8, 0.7, 0.9, 0.9, 0.7

c. 50, 55, 53, 52, 40, 50

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=3    S=1,58

b. D=0,8   S=0,089

c. D=50   S=4,8

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 5, 6, 4, 8, 5, 8

b. 0.5, 0.6, 0.6, 0.5, 0.8

c. 55, 65, 65, 75, 60, 70

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=6   S=1,53

b. D=0,6  S=0,11

c. D=65   S=6,45

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 7, 12, 9, 12, 11, 9  

b. 0.4, 0.4, 0.5, 0.4, 0.3

c. 89, 95, 88, 87, 91, 90

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=10   S=1,83

b. D=0,4   S=0,063

c. D=90   S= 2,58

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 8, 9, 10, 6, 7, 8  

b. 0.1, 0, 0.2, 0.2, 0

c. 71, 72, 77, 77, 78, 75

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=8   S=1,29

b. D=0,1   S=0,089

c. D=75   S=2,65

Frage anzeigen

Frage

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V) 


a. 2; 1; 3; 5; 6; 7

b. 51; 58; 55; 59; 52

c. 14; 18; 15; 17; 19; 21; 22



Antwort anzeigen

Antwort

a. D = 4

    V = 4,67

b. D = 55

    V = 10

c. D = 18

    V = 4,43

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 2, 3, 5, 2, 4, 2

b. 0,3; 0,4; 0,5; 0,5; 0,3

c. 28; 27, 29, 31, 30, 29

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=3   S=1,154

b. D= 0,4   S=0,089

c. D=29   S=1,29

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 7, 8, 6, 5, 9, 7

b. 0,7; 0,8; 0,7; 0,6; 0,7

c. 33; 35; 34; 36; 32; 34

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=7   S=1,29

b. D=0,7   S=0,063

C: D=34   S=1,29

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 6, 10, 3, 7, 4, 6

b. 0,01; 0,05; 0,04; 0,06; 0,04

c. 82, 84, 83, 85, 82, 88

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=6   S=2,24

b. D=0,04   S=0,0167

c. D=84   S=2,08

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 5, 6, 4, 6, 5, 4

b. 0,5; 0,3; 0,8; 0,7; 0,2

c. 66; 68; 65; 65; 67; 65

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=5   S=0,816

b. D= 0,5   S=0,51

c. D=66   S=1,154

Frage anzeigen

Frage

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V) 


a. 3; 5; 6; 2; 4; 4

b. 50; 56; 48; 47; 49

c. 10,0; 10,5; 10,2; 10,3; 10,2; 10,3

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=4   V=1,67

b. D=50   V=10

c. D=10,25   V=0,0225

Frage anzeigen

Frage

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V) 


a. 5, 4, 6, 5, 7, 3

b. 51, 55, 53, 56, 53, 50

c. 1,5; 1,8; 1,6; 1,6; 1,4; 1,7

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=5   V=1,67

b. D=53   V=4,33

c. D=1,6   V=0,1

Frage anzeigen

Frage

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V) 


a. 6, 5, 5, 8, 4, 8

b. 72, 73, 76, 77, 77

c. 2,5; 2,6; 2,8; 2,3; 2,3; 2,5

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=6   V=2,33

b. D=75   V=4,4

d. D=2,5   V=0,03

Frage anzeigen

Frage

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V) 


a. 7, 5, 5, 7, 6, 6

b. 65, 64, 66, 67, 63

c. 1,4; 1,35; 1,4; 1,35; 1,5

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=6   V=0,67

b. D=65   V=2

c. D=1,4   V=0,003

Frage anzeigen

Frage

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V)


a. 5, 6, 5, 4, 7, 3

b. 1,5; 1,6; 1,5; 1,4; 1,5; 1,5

c. 72, 75, 75, 76, 73, 73

Antwort anzeigen

Antwort

a. D= 5   V= 1,67

b. D= 1,5   V= 0,0033

c. D= 74   V= 2

Frage anzeigen

Frage

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V)


a. 2, 3, 2, 2, 3, 0

b. 0,4; 0,6; 0,5; 0,8; 0,3; 0,4

c. 55, 56, 58, 53, 52, 56

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=2   V= 1

b. D=0,5   V= 0,0267

c. D=55  V=4

Frage anzeigen

Frage

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V)


a. 0; 0,5; 0,8; 1,3; 1,4; 2

b. 5, 6, 5, 8, 3, 3

c. 100, 103, 102, 105, 95,

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=1   V= 0,2567

b. D=5   V=3

c. D=101   V=11,6

Frage anzeigen

Frage

Ein fairer Würfel wird geworfen. Berechne die Varianz, wenn der Würfel


  1. die Zahlen 1,2,3,4,5 und 6 enthält
  2. die Zahlen 2,4,8,16,32 und 64 enthält

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 2,91666666
  2. 469

Frage anzeigen

Frage

In einer Urne sind 2 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird mit zurücklegen gezogen. Sei X die Anzahl der gezogenen roten Kugeln. Berechne die Varianz von X, wenn

  1. 2 Mal gezogen wird.
  2. 3 Mal gezogen wird.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 0,48
  2. 0,72

Frage anzeigen

Frage

Ein Glücksrad hat einen roten Sektor und einen blauen Sektor. Der rote Sektor hat eine Größe von p (0<p<1), der blaue eine Größe von 1 -p. Das Rad wird einmal gedreht. Sei X eine Zufallsvariable mit X= 1, wenn das Rad rot zeigt, und 0, wenn es Blau zeigt.

  1. Berechne in Abhängigkeit von p die Varianz von X
  2. für welchen Wert von p wird die Varianz von X maximal?
  3.  Wie groß ist die Varianz in diesem Fall?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. p-p²
  2.  p =0,5; 
  3. Varianz = 0,25

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Der Notenspiegel bei einer Klausur sieht wiefolgt aus: 4 Schüler haben eine 1, 7 Schüler eine 2, 6 Schüler eine 3, 5 Schüler eine 4 und 3 Schüler haben eine 5.


  1. Berechne die Varianz der Noten.
  2. Bei 3 Schülern, die die Klausur nachgeschrieben haben, haben 2 Schüler eine 4 und ein Schüler eine 5. Berechne die neue Varianz des Notenspiegels.

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  1.  Varianz = 1,5744
  2. Varianz =  1,64285

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Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V)


a. 5, 7, 7, 8, 8

b. 2,0; 2,5; 2,4; 2,0; 2,1; 2,2

c. 34; 33; 34; 35; 33; 35

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a. D=7 ; V=1,2

b. D=2,2 ; V=0,0367

c. D=34 ; V=0,67

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Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V)


a. 3, 5, 9, 5, 3

b. 1,5 ; 1,7; 1,4; 1,5; 1,3; 1,6

c. 41, 45, 46, 42, 42, 42

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Antwort

a. D=5; V=4,8

b. D=1,5; V=0,0167

c. D=43; V=3,33

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Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V)


a. 5, 6, 7, 5, 7

b. 2,2; 1,7; 2,0; 2,2; 1,9; 2,0

c. 33, 35, 36, 34, 33, 33

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Antwort

a, D=6 ; V=0,8

b. D=2,0 ; V=0,03

c. D=34 ; V=1,33

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Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 3, 2, 5, 4, 3, 7

b. 0.5, 0.4, 0.5, 0.7, 0.4

c. 33, 35, 36, 36, 34, 36

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Antwort

a. D=4 ; S=1,63

b. D=0,5 ; S=0,11

c. D=35 ; S=1,15

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Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 5, 7, 6, 8, 4

b. 0.2, 0.3, 0.3, 0.1, 0.1, 0.2

c. 44, 38, 39, 39, 42, 38

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Antwort

a. D=6 ; S=1,41

b. D=0,2 ; S=0,082

c. D=40 ; S=2,24

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Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 6, 6, 8, 5, 5

b. 0.5, 1.5, 1.5, 1.0, 1.0 , 0.5

c. 55, 56, 52, 56, 55, 56

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Antwort

a. D=6 ; S=1,095

b. D=1 ; S=0,41

c. D=55 ; S=1,41

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Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 2, 8, 5, 7, 3

b. 0.7, 0.8, 0.9, 0.7, 0.7, 1

c. 85, 84, 89, 86, 88, 84

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Antwort

a. D=5 : S=2,28

b. D=0,8 ; S=0,15

c. D=86  S=1,91

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Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 9, 9, 3, 2, 2

b. 1.3, 1.2, 1.4, 1.5, 1.2, 1.2

c. 66, 68, 60, 66, 64, 66

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Antwort

a. D=5 ; S=3,49

b. D=1,3 ; S=0,115

c. D=65 ; S=2,52

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Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 9, 7, 3, 0, 1

b. 1.5, 1.6, 1.6, 1.3, 1.5, 1.5

c. 74, 76, 75, 72, 76, 77

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Antwort

a. D=4 ; S=3,46

b. D=1,5 ; S=0,1

c. D=75 ; S=1,63

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Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 5, 3, 6, 6, 5

b. 1.4, 1.8, 1.7, 1.5, 1.5, 1.7

c. 85, 88, 85, 86, 89, 89

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Antwort

a. D=5 ; S=1,41

b. D=1.6 ; S=0,41

c.  D=87 ; S=1,73

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Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 3, 6, 3, 5, 3

b. 3.5, 3,6, 3.2, 3.8, 3.4, 3.5

c. 95, 98, 90, 97, 93, 97

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Antwort

a. D=4 ; S=1,26

b. D=3.5 ; S=0,18

c. D=95 ; S=2,77

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Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 10, 15, 7, 7, 11

b. 2.3, 2.1, 2.4, 2.5, 2.2, 2.3

c. 67, 68, 63, 67, 64, 67

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a. D=10 ; S=2,97

b.  D=2,3 ; S=0,13

c.  D=66 ; S=1,83

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Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 12, 7, 6, 9, 6

b. 1.8, 1.9, 2.2, 2.2, 2.1, 1.8

c. 72, 75, 73, 75, 74, 75

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Antwort

a. D=8 ; S=2,28

b. D=2,0 ; S=0,17

c. D=74 ; S=1,15

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Wähle aus, wie ein Boxplot noch genannt wird.

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Zeige auf, wofür der Boxplot genutzt wird.

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Der Boxplot ist ein Diagramm, das die Verteilung statistischer Daten grafisch darstellt. Es wird häufig zur übersichtlichen Zusammenfassung großer Datenmengen verwendet.

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Nenne die Punkte, die ein Boxplot enthält.

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Ein Boxplot besteht aus:

  • einer Achse mit Einheit,
  • dem Minimum (dem kleinsten Datenwert)
  • dem untereren Whisker (Antenne),
  • dem unteren Quartil \(Q_1\),
  • dem Median M (die Mitte des Datensatzes),
  • dem oberen Quartil \(Q_3\),
  • dem Maximum (dem größten Datenwert),
  • dem oberen Whisker (Antenne),
  • und Ausreißern (Werte, die das Maximum bzw. Minimum überschreiten).

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Erkläre, was ein Median ist.

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Der Median ist der Wert, der bei einer nach der Größe geordneten Datenreihe genau in der Mitte steht. 

Er teilt den vorliegenden Datensatz in zwei Hälften, die jeweils \(50\,\%\) der Daten umfassen.

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Was sind Angelpunkte? Nenne sie und erkläre ihren Sinn.

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Der untere Angelpunkt ist das untere Quartil und der Median der unteren Datenhälfte.

Der obere Angelpunkt ist das obere Quartil und der Median der oberen Datenhälfte. 

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Benenne die einzelnen Abschnitte bei einer „Vierteilung“ des Boxplots.

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Ein Boxplot besteht bei einer Vierteilung aus drei Quartilen \(Q_1\), \(Q_2=M\) und \(Q_3\).

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Nenne die mathematischen Bezeichnungen für das obere und untere Quartil.

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Das untere Quartil heißt auch \(Q_1\), das obere Quartil \(Q_3\).

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Nenne die Formel, mit welcher Du den Interquartilabstand \(\text{IQA}\) berechnen kannst.

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\[\text{IQA}  = Q_3 - Q_1\]

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Nenne die Formel, mit welcher Du die untere Ausreißergrenze berechnen kannst.

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\[Q_1-1{,}5\cdot\text{IQA}\]

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Nenne die Formel, mit welcher Du die obere Ausreißergrenze berechnen kannst.

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\[Q_3+1{,}5\cdot \text{IQA}\]

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