Die deskriptive Statistik ist ein Teilgebiet der Statistik und behandelt, wie Du eine Statistik mithilfe verschiedener Methoden, wie Tabellen, Diagrammen oder Kennzahlen wie den Mittelwert beschreiben kannst. Mithilfe dieser Methoden lassen sich später Statistiken leichter interpretieren und Zusammenfassungen erstellen.
Deskriptive Statistik – Definition
Die Statistik wird in drei Bereiche eingeteilt: die deskriptive, erkundende und schließende Statistik.
Die deskriptive Statistik kann wie folgt definiert werden:
Die deskriptive oder auch beschreibende Statistik befasst sich damit, empirische Daten (etwa aus Experimenten) durch Kennzahlen, Diagramme und Grafiken darzustellen.
Diese Darstellungen machen es möglich zu beurteilen, ob die Stichprobe repräsentativ ist und damit auf die Grundgesamtheit bezogen werden kann.
Deskriptive Statistik – Zusammenfassung & Grundlagen
Für die deskriptive Statistik sind folgende Begriffe relevant:
| Begriff | Erklärung | Beispiel |
| Grundgesamtheit | Die Grundgesamtheit umfasst alle Objekte, über die Informationen ermittelt werden sollen. | Bei einem Notenspiegel einer Klausur ist die Grundgesamtheit alle die gesamte Klasse. |
| Stichprobe | Eine Stichprobe ist eine Teilmenge der Grundgesamtheit, die trotzdem die Eigenschaften der Grundgesamtheit widerspiegelt. | Nur die Hälfte aller Schüler schreiben die Klausur, aber deren Notenspiegel wird auf die gesamte Klasse bezogen, die Hälfte der Schüler, die an der Klausur teilgenommen haben, sind eine Stichprobe für die ganze Klasse. |
| Merkmalsträger | Ein Merkmalsträger ist ein Objekt der Grundgesamtheit | In dieser Klasse ist ein Schüler ein Merkmalsträger. |
| Merkmal/ Variablen | Merkmale sind Eigenschaften, nach denen bei den Merkmalsträgern in der Statistik gefragt wird | Die Note eines Schülers ist in diesem Fall ein Merkmal. |
| Ausprägung | Eine mögliche Variante des Merkmals | Welche Note ein Schüler erreicht hat, ist eine Ausprägung. |
| Wertebereich | Menge aller möglichem Ausprägungen | Wenn ein Schüler nach seiner Note gefragt wird, sind die Noten Eins bis sechs der Wertebereich. |
Behalte diese im Hinterkopf, wenn Du die weiteren Abschnitte anschaust.
Deskriptive Statistik – Methoden
In der Deskriptiven Statistik existieren eine Auswahl an Methoden, die bei der Auswertung der Ergebnisse verwendet werden können. Dazu gehören sowohl Kennzahlen als auch Darstellungsformen wie Diagramme.
Grundgesamtheit und Stichprobe
Die Grundgesamtheit ist die Menge aller Objekte, über die eine Aussage getroffen wird. Die Stichprobe dagegen ist eine Teilmenge der Grundgesamtheit. Sie umfasst alle Objekte, die an der Statistik teilnehmen.
- Ist eine Stichprobe repräsentativ, so können von ihr aus Rückschlüssen auf die Grundgesamtheit gezogen werden
- Eine Stichprobe kann nur repräsentativ sein, wenn sie zufällig gewählt wurde.
Kennzahl Lagemaße
Die Kennzahl der Lagemaße beschreibt, wie der Name andeutet, die Lage des Zentrums in einer Verteilung.
- Der Mittelwert ist der Durchschnittswert der Verteilung.
- Der Modus ist der häufigste Wert der Verteilung.
- Der Median liegt in einer nach Größe geordneten Datenreihe genau in der Mitte und teilt somit den Datensatz in zwei Hälften.
Dabei kann die Verteilung folgende Eigenschaften haben:
Eigenschaft | Voraussetzung |
Symmetrisch | \[\text{Modus}=\text{Med}\text{ian}=\text{Mittel}\text{wert}\] |
Rechtsschief | \[\text{Modus}<\text{Med}\text{ian}<\text{Mitte}\text{lwert}\] |
Linksschief | \[\text{Modus}>\text{Median}>\text{Mittelwert}\] |
Mehr zu dem Thema findest Du in der Erklärung Lagemaße.
Kennzahl Streuungsmaße
Die Kennzahl der Streuungsmaße informiert über die Streuung der Werte um das Zentrum der Verteilung. Die Verteilung kann eng oder breit sein.
- Die Varianz ist die quadrierte durchschnittliche Abweichung der Werte vom Erwartungswert.
- Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz und gibt die durchschnittliche Abweichung der Werte vom Mittelwert an.
- Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert der Verteilung.
- Der Variationskoeffizient ist die Standardabweichung geteilt durch den Mittelwert, was eine prozentuale Streuung um den Mittelwert ergibt.
Falls Du noch mehr zu dem Thema wissen möchtest, dann kannst Du Dir die Erklärung Streuungsmaß anschauen.
Diagramm
Diagramme dienen der Veranschaulichung und Visualisierung von Daten. Am häufigsten werden Streu-, Säulen-, Kreisdiagramme und der Boxplot verwendet.
Streudiagramm und Säulendiagramm
Ein Streudiagramm besteht aus einer Vielzahl von Punkten, welche in ein kartesisches Koordinatensystem eingetragen werden.
Abb. 1 - Streudiagramm.
Das Säulendiagramm ist eine Diagrammart, bei der sich auf der x-Achse nebeneinander stehende Rechtecke, sogenannte „Säulen“ befinden. Diese Säulen berühren sich nicht.
Abb. 2 - Säulendiagramm
Nicht zu verwechseln ist das Säulendiagramm mit dem Histogramm. Auch dort werden Säulen verwendet, zwischen diesen gibt es jedoch keinen Abstand.
Kreisdiagramm und Boxplot
Ein Kreisdiagramm stellt die unterschiedlichen Anteile von Merkmalen in einem Ganzen dar. Jedes Merkmal wird dabei in einem Kreissektor dargestellt. Je größer ein Kreissektor ist, desto größer ist der Anteil des Merkmals am Ganzen.
Abb. 3 - Kreisdiagramm
Ein Boxplot, auch genannt Kastengrafik, wird zur strukturierten Darstellung von Datensätzen verwendet und stellt die Streuung der Daten anschaulich dar. Die Daten werden zusammen mit einer entsprechenden Achse visualisiert.
Abb. 4 - Boxplot
Die Darstellung ermöglicht einen schnellen Überblick darüber, über welchen Bereich sich die Daten erstrecken und wie sie in diesem Bereich verteilt sind. Ein Boxplot wird deshalb häufig zur Zusammenfassung großer Datenmengen verwendet.
Weitere Informationen über dieses Thema findest Du in der Erklärung Diagramm.
Skalenniveau
Das Skalen- oder Messniveau einer Variablen ist entscheidend dafür, welche statistische Auswertungsmethoden bei dieser Variablen sinnvoll wäre.
Unterschieden wird zwischen Nominalskala, Ordinalskala und metrischer Skala.
Skala | Eigenschaft | Beispiel |
Nominalskala | Du kannst nur unterscheiden, ob ihrer Ausprägungen gleich oder ungleich sind. | Das Geschlecht einer Person kann nur weiblich oder männlich sein. |
Ordinalskala | Du kannst die Ausprägungen einer Variable in eine Rangreihe bringen, die keine interpretierbaren Abstände haben. | Bei Militärrängen kann zwar unterschieden werden, welcher Rang höher ist als der andere. Doch stehen sie in keinem mathematischen Verhältnis zueinander. Ein Rang kann nicht zweimal so hoch sein wie ein anderer. |
Metrische Skala | Intervallskala | Du kannst die Abstände zwischen den Variablenausprägungen interpretieren. Es ist kein natürlicher Nullpunkt vorhanden. Dabei sind Addition und Subtraktion möglich. | Bei Jahreszahlen können wir die Abstände zwischen einzelnen Jahren bestimmen. Doch gibt es keinen natürlichen Nullpunkt. Das Jahr 0 ist von uns als solches lediglich festgelegt worden. |
Verhältnisskala | Du kannst die Abstände zwischen den Variablenausprägungen interpretieren. Es ist ein natürlicher Nullpunkt vorhanden. Dabei sind Addition und Subtraktion möglich, sowie Multiplikation und Division. | Längen etwa in Zentimetern haben einen natürlichen Nullpunkt. Hat etwas keine Länge, ist die Länge 0. Dies hängt von keiner Definition ab. |
Wenn Du mehr zu dem Thema erfahren möchtest, dann kannst Du Dir die Erklärung Skalenniveau anschauen.
Deskriptive Statistik Formelsammlung
In der folgenden Formelsammlung sind einige wichtige Formeln aufgelistet, die Du bei der Anwendung von den Methoden gebrauchen kannst.
Wert | Formel | Anmerkung |
| \[\mu=\frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl aller Werte}}\] | |
| ungerade Anzahl Messwerte | \[x_{\text{med}}=x_{\frac{n+1}{2}}\] | Kann nur bei ordinalen und kardinalen Skalenniveaus angewendet werden. \(n\) : Anzahl und Ausprägungen \(x\) : Ergebnis |
| \[x_{\text{med}}=\frac{1}{2} \cdot (x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1})\] |
| \[\sigma^2=\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\cdot p_i\] | \(p_i\) : Wahrscheinlichkeit, dass \(x_i\) eintritt |
Standardabweichung | \[\sigma=\sqrt{\text{Vari}\text{anz}}=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\cdot p_i} \] | |
| \[R=x_{\text{max}}-x_{\text{min}}\] | \(x_{\text{max}}\) : Größter Wert \(x_{\text{min}}\) : kleinster Wert |
Variationskoeffizient | \[V=\frac{\sigma}{\mu}\] | |
Deskriptive Statistik R Statistik Programm
Inzwischen gibt es auch einige Datenanalyseprogramme für den Computer. Dazu gehören unter anderem SPSS und das Statistikprogramm R. Diese helfen Dir besonders bei großen Datenmengen bei der deskriptiven Auswertung Deines Datensatzes.
Neben den genannten Methoden gibt es noch viele weitere wie die Zusammenhangsmaße, zu denen auch die Korrelationen gehören.
Deskriptive Statistik interpretieren
Jetzt kennst Du zwar einzelne Kennzahlen, doch wie kannst Du diese interpretieren?
- Sind Mittelwert und Median ähnlich, so sind die Daten symmetrisch.
- Eine hohe Varianz bedeutet, dass die Streubreite groß ist.
- Analog bedeutet eine hohe Standardabweichung auch, dass die Streubreite der Daten groß ist.
- Wenn etwa 68 % der Werte innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert, 95 % der Werte innerhalb zwei Standardabweichungen und 99,7 % der Werte innerhalb drei Standardabweichungen liegen, ist eine Voraussetzung für die Normalverteilung erfüllt.
- Ein hoher Varianzkoeffizient bedeutet eine hohe Streubreite im Verhältnis zum Mittelwert.
Deskriptive Statistik – Beispiele
In diesem Abschnitt findest Du zwei Beispiele zur Anwendung zweier Methoden.
Deskriptive Statistik Mittelwert
Ein Dir wahrscheinlich bekanntes Anwendungsbeispiel für die Berechnung des Mittelwerts ist der Durchschnitt bei einem Notenspiegel.
Aufgabe 1
In einer Klausur wurden folgende Noten erlangt:
Berechne den Mittelwert.
Lösung 1. Schritt:Rechne als Erstes die Summe aller Noten aus:\[3\cdot 1 + 5 \cdot 2 + 7 \cdot 3 + 1\cdot 4 + 3 \cdot 5 + 2 \cdot 6= 65\]
2. Schritt:Berechne jetzt die Anzahl der Noten:\[3+5+7+1+3+2=21\]
3. Schritt:Setzte dann die beiden Werte in die Formel für den Mittelwert ein:\begin{align}\mu&=\frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl aller Werte}}\\[0.2 cm]\mu&=\frac{65}{21}\\[0.2 cm]\mu&=3,1\end{align}
Somit erhältst Du für den Notendurchschnitt (Mittelwert) die Note \(3,1\).
Wie Du siehst, verwendest Du sogar im Alltag Methoden der deskriptiven Statistik.
Varianz Deskriptive Statistik
Als Beispiel für die Berechnung der Varianz eignet sich der Würfelwurf.
Aufgabe 2
Ein Würfel wird zehnmal geworfen, dabei kommen folgende Ergebnisse raus:
Augenzahl | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Anzahl | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 3 |
Berechne die Varianz.
Lösung
Um die Formel der Varianz anwenden zu können, benötigst Du die Wahrscheinlichkeiten für jede Augenzahl. Da es sich hier um einen sechsseitigen Würfel handelt und Du, wenn nicht anders angegeben, von einem nicht gezinkten Würfel ausgehen kannst, ist die Wahrscheinlichkeit für alle sechs Augenzahlen \(\frac{1}{6}\).
1. Schritt:
Berechne als Erstes den Mittelwert:
\[\mu=\frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 5 + 3 \cdot 6}{10}= 3,8\]
2. Schritt:
Setze jetzt die Werte in die Formel für die Varianz ein:
\begin{align}\sigma^2&=\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\cdot p_i\\[0.2 cm]\sigma^2&=(1-3,8)^2\cdot \frac{1}{6} + (2-3,8)^2\cdot \frac{1}{6} + (3-3,8)^2\cdot \frac{1}{6} +(4-3,8)^2\cdot \frac{1}{6} + (5-3,8)^2\cdot \frac{1}{6} + (6-3,8)^2\cdot \frac{1}{6}\\\sigma^2&= 3,16\end{align}
Die Varianz beträgt also \(3,16\).
Deskriptive Statistik – Das Wichtigste
- Die deskriptive oder auch beschreibende Statistik befasst sich damit, empirische Daten (etwa aus Experimenten) durch Kennzahlen, Diagramme und Grafiken darzustellen.
- Die Grundgesamtheit ist die Menge aller Objekte, über die eine Aussage getroffen wird.
- Die Kennzahl der Lagemaße, beschreibt, wie der Name andeutet, die Lage des Zentrums in einer Verteilung.
- Der Mittelwert ist der Durchschnittswert der Verteilung.
- Der Modus ist der häufigste Wert der Verteilung.
- Der Median liegt in einer nach Größe geordneten Datenreihe genau in der Mitte und teilt somit den Datensatz in zwei Hälften.
- Die Kennzahl der Streuungsmaße informiert über die Streuung der Werte um das Zentrum der Verteilung.
- Die Varianz ist die quadrierte durchschnittliche Abweichung der Werte vom Erwartungswert.
- Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz und gibt die durchschnittliche Abweichung der Werte vom Mittelwert an.
- Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert der Verteilung.
- Der Variationskoeffizient ist die Standardabweichung geteilt durch den Mittelwert, was eine prozentuale Streuung um den Mittelwert ergibt.
- Diagramme dienen der Veranschaulichung und Visualisierung von Daten. Am häufigsten werden Streu-, Säulen- und Kreisdiagramme und Boxplot verwendet.
- Das Skalen- oder Messniveau einer Variablen ist entscheidend dafür, welche statistische Auswertungsmethoden bei dieser Variablen sinnvoll wäre. Unterschieden wird zwischen Nominalskala, Ordinalskala und metrischer Skala.
- Du interpretierst in der deskriptiven Statistik einen Versuch mit folgenden Punkten:
- Sind Mittelwert und Median ähnlich, so sind die Daten symmetrisch.
- Eine hohe Varianz bedeutet, dass die Streubreite groß ist.
- Analog bedeutet eine hohe Standardabweichung auch, dass die Streubreite der Daten groß ist.
- Wenn etwa 68 % der Werte innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert, 95 % der Werte innerhalb zwei Standardabweichungen und 99,7 % der Werte innerhalb drei Standardabweichungen liegen, ist eine Voraussetzung für die Normalverteilung erfüllt.
- Ein hoher Varianzkoeffizient bedeutet eine hohe Streubreite im Verhältnis zum Mittelwert.
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