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Vielleicht kennst Du so eine Situation. Du siehst in Deinen Kleiderschrank und findest nichts, außer Kleidungsstücken, die ihre besten Tage schon längst hinter sich haben. Also beschließt Du, in einem Geschäft oder online einzukaufen, um vielleicht auch einen neuen Style zu schaffen. Während Du bereits etliche Kleidungsstücke in den Warenkorb gelegt hast, kannst Du Dir auch vorstellen, manche Sachen doppelt zu kaufen. Es findet also eine Wiederholung desselben Stückes statt.
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Jetzt kostenlos anmeldenVielleicht kennst Du so eine Situation. Du siehst in Deinen Kleiderschrank und findest nichts, außer Kleidungsstücken, die ihre besten Tage schon längst hinter sich haben. Also beschließt Du, in einem Geschäft oder online einzukaufen, um vielleicht auch einen neuen Style zu schaffen. Während Du bereits etliche Kleidungsstücke in den Warenkorb gelegt hast, kannst Du Dir auch vorstellen, manche Sachen doppelt zu kaufen. Es findet also eine Wiederholung desselben Stückes statt.
Würdest Du zufällig die Kleidungsstücke wählen und beim Anprobieren entscheiden, ob Du sie nimmst, wärst Du schon in einem Fall aus der Kombinatorik. Schon befindest Du Dich nämlich mitten in der Frage, aus wie vielen möglichen Kombinationen Du wählen kannst. Für diesen Fall wirst Du die Kombination mit Wiederholung verwenden. Alles über die Anzahl der möglichen Kombinationen und wie Du die Formel sicher anwenden kannst, lernst Du hier.
Die Kombinatorik ermöglicht es, die Anzahl an Anordnungen von verschiedenen Objekten aus einer Menge zu bestimmen. So ist es möglich den Klassiker der Kugeln als Objekte und einer Urne zu verwenden, um alle Konzepte aus der Kombinatorik zu erklären.
Dabei kannst Du die Kombination, die Variation und die Permutation unterscheiden. Für jeden der einzelnen Fälle kann zusätzlich ausgewählt werden, ob sie mit oder ohne Wiederholung stattfinden sollen.
Um die drei genannten Fälle anzuordnen, kannst Du zwei Gesichtspunkte unterscheiden. Dabei kann es sich um eine Stichprobe handeln, oder es werden – wie bei einer Permutation – alle Objekte verteilt.
Für eine Permutation gilt, dass die Anzahl der gezogenen Objekte k gleich der Gesamtmenge aller Objekte ist:
Die Permutation ist Dir in folgendem Beispiel gegeben:
Du verwendest so einen Fall, wenn zum Beispiel alle Personen in einem voll ausgebuchten Flugzeug auf die Sitzplätze verteilt werden. Dieses Beispiel aus der Kombinatorik kannst Du auch auf eine Klasse von Schülerinnen und Schülern anwenden, die ebenso alle einen Sitzplatz auswählen können.
Für diese Fälle zählt dann zusätzlich, dass es keine Wiederholung gibt, also sollen nicht mehrere Schüler auf einem Platz sitzen können. Würde diese Anzahl an Kombinationen noch berücksichtigt werden, so würde dies die Permutation mit Wiederholung abdecken.
Die anderen beiden Fälle der Kombination und Variation werden für eine Stichprobe verwendet, wenn also gilt. Somit wird nur eine bestimmte Anzahl an Kugeln aus einer Urne gezogen und diese gehören zu einer möglichen Kombination dazu. Die Unterscheidung dabei ist wiederum, ob die Reihenfolge eine Rolle spielt. Für eine Kombination ist dies nicht wichtig, für eine Variation schon.
Das Beispiel eines Zahlenschlosses an Deinem Fahrrad ist ein klassisches Beispiel einer Variation. Hier ist die Reihenfolge sehr wohl entscheidend, ob sich das Schloss öffnen lässt oder nicht. Denn die Kombination 8 - 6 - 4 - 2 ist definitiv eine andere als 2 - 4 - 6 - 8, obwohl die Zahlen dieselben sind. Dabei ist zusätzlich die Variation mit Wiederholung gemeint, denn eine Zahl darf durchaus mehrfach verwendet werden, was die PIN 1 - 1 - 1 - 1 beweist.
Allerdings kannst Du Dich dabei fragen, ob die Nummer wirklich so sicher ist.
Kaufst Du allerdings in einem Geschäft Kleidungsstücke ein, ist Dir höchstwahrscheinlich die Reihenfolge, wie sie in die Tüte gelegt werden, egal. Deshalb handelt es sich hierbei um eine Kombination.
Wie bereits erwähnt, kannst Du für jeden der drei Fälle unterscheiden, ob eine Wiederholung stattfindet oder nicht. Vor allem bei nicht unterscheidbaren Objekten, wie 5 grünen Kugeln, ist sie oftmals uninteressant.
Eventuell hast Du im Zusammenhang mit der Kombinatorik die Fälle kennengelernt, bei denen Kugeln als Objekte aus einer Urne ausgewählt werden. Die Anzahl der möglichen Kombinationen beim Ziehen von k aus n Kugeln lässt sich dabei berechnen. Dafür sind zwei wesentliche Merkmale zu unterscheiden:
Nachfolgend wirst Du für die verschiedenen Fälle eine Formel und deren Funktionen in einer Aufgabenstellung erhalten.
Bedingung | Anwendungsbeispiel | Formel | |
Variation mit Wiederholung | Wähle k Elemente aus n mit Reihenfolge mit Zurücklegen | Eine PIN mit vier Zahlen | |
Variation ohne Wiederholung | Wähle k Elemente aus n mit Reihenfolge ohne Zurücklegen | Die ersten drei Plätze bei einem Rennen | |
Kombination mit Wiederholung | Wähle k Elemente aus n ohne Reihenfolge mit Zurücklegen | Losverkauf, wenn die gezogenen Lose ersetzt werden | |
Kombination ohne Wiederholung | Wähle k Elemente aus n ohne Reihenfolge ohne Zurücklegen | Glückspiel 6 aus 49 |
Die Tabelle soll nur einen kleinen Überblick darstellen. Detaillierteres findest Du bei den entsprechenden Erklärungen:
Die Kombination mit Wiederholung gehört zu dem Gebiet der Kombinatorik und gliedert sich dabei in die sechs möglichen Funktionen ein, die in einer Aufgabe ausgewählt werden können.
Für eine Kombination mit Wiederholung wird aus einer Menge an Objekten ausgewählt.
Bei einer Kombination mit Wiederholung werden k aus n Objekten aus der Menge gewählt, wobei die Reihenfolge nicht beachtet wird. Objekte können dabei mehrfach ausgewählt werden.
Um also eine Aufgabe lösen zu können, sollten die Angaben für die Gesamtmenge n angegeben werden und die Anzahl der Objekte, die betrachtet werden sollen. Dabei kann in der Kombinatorik für verschiedene Bedingungen herausgefunden werden, welcher Fall zu betrachten ist:
Für die Kombination mit Wiederholung gilt folgende Formel:
Die Alternativschreibweise hierfür ist die Berechnung über diese Formel:
Für das Beispiel kannst Du Dir noch einmal klar machen, was konkret passiert. Du ziehst aus einer Urne eine Kugel, notierst ihren Wert oder die Farbe und legst sie danach wieder zurück. Diesen Schritt führst Du k- mal durch. Dabei können Kugeln auch mehrfach gezogen werden.
Wie auch für die Kombination ohne Wiederholung wird auch für die Kombination mit Wiederholung in dieser Formel jede wichtige Information genannt.
Die n möglichen Kombinationen werden um erhöht, da für den Fall die Kombination mit und ohne Wiederholung keinen Unterschied ergibt. | |
Keine Berücksichtigung weiterer Kombinationen: Es wird eine Kugel entnommen, also befinden sich noch Kugeln in der Urne, die allerdings für diesen Fall unwichtig sind. | |
Ohne Reihenfolge: Die Formel für die Kombination mit Wiederholung wird für k! um die Objekte reduziert, die zu einer unterschiedlichen Reihenfolge führen würden. Dabei werden also die Kombination von Zahlen wie 3 - 6 und 6 - 3 als eine Kombination gewertet. |
Um die Kombination mit Wiederholung auszurechnen, kann aus zwei möglichen Methoden ausgewählt werden. Du kannst sie sowohl mit dem Taschenrechner, als auch händisch ausrechnen.
Für diese Berechnung solltest Du die Alternativformel benutzen, um die Berechnung manuell durchzuführen. Danach ist es wichtig, die Werte für k und n einzufügen und die Fakultät zu berechnen.
Für das Beispiel aus der Kombinatorik mit der Kombination mit Wiederholung verwendest Du für k und n folgende Werte:
,
Zur Erinnerung: Die alternative Formel für die Kombination mit Wiederholung kannst Du zur Berechnung benutzen.
Nun ist es Deine Aufgabe, die Werte für k und n einzufügen und die Klammern zu berechnen:
Nun kannst Du die Berechnung durchführen. Dabei ist die Fakultät das Produkt aus den natürlichen Zahlen, die kleiner gleich der genannten Zahl ist, bis 1. In diesem Fall kannst Du auch Werte aus dem Zähler bzw. Nenner streichen.
Es gibt also insgesamt eine Anzahl von 10 möglichen Funktionen für die Kombination mit Wiederholung.
Den Binomialkoeffizienten berechnest Du an deinem Taschenrechner mit der nCr-Taste. Diese Funktion ist eine Tastenkombination der Taste im linken oberen Eck deines Taschenrechners mit .
Ist also eine Formel für die Kombination mit Wiederholung in dieser Form gegeben, so nutzt Du diese Tastenkombination für eben diese Formel:
Als Beispiel sollen Dir für n die Zahl 10 und für k die 5 gegeben sein.
Entweder berechnest Du die Zahl bereits im oberen Bereich oder Du gibst es einfach in eine Klammer ein:
Alternativ kannst Du auch die Alternativformel eintippen. Dafür benötigst Du für die Fakultät folgende Tastenkombination:.
Aus der Einleitung hast Du bereits erfahren, dass Dich das Shoppingfieber ergriffen hat und Du verschiedene Kleidungsstücke kaufen möchtest. Das wirst Du in diesem Beispiel erlernen.
Aufgabe 1
Du möchtest insgesamt 6 Kleidungsstücke kaufen, wobei Du in deiner Umkleide 15 Stück hast. Gehe davon aus, Du würdest zufällig auswählen, welche Sachen es sein sollen. Dabei dürfen die selben Kleidungsstücke mehrfach vorkommen. Was gilt hierbei für die Kombination mit Wiederholung?
Lösung
In dieser Aufgabe gilt, dass n die Zahl 15 und k die Zahl 6 ist. Da Kleidungsstücke mehrfach ausgewählt werden können, die Reihenfolge allerdings egal ist, wie Du sie auswählst, handelt es sich um eine Kombination mit Wiederholung.
Nun kannst Du Dein Wissen praktisch auf die Probe stellen. Viel Spaß!
Aufgabe 2
Du bist auf einem Volksfest oder Jahrmarkt Deiner Wahl. Nach den leckeren Hähnchen vom Stand oder aus dem Zelt wolltest Du nun ein paar Lose kaufen. Es können sechs unterschiedliche Kategorien ausgewählt werden. Von grün, blau und gelb bis hin zu rot, violett und pink. Ein Los kostet 1 Euro. Du möchtest vier Euro verwenden. Aus wie vielen möglichen Kombinationen an Losen kannst Du wählen?
Lösung
Wenn ein Los 1 Euro kostet, kannst Du mit Deinem Geld insgesamt vier Stück kaufen, bzw. ziehen. Unabhängig von den Gewinnen bzw. Nieten kannst Du aus sechs möglichen Losen ziehen.
Hier zählt die Kombination mit Wiederholung, Da Dir die Reihenfolge der Gewinne egal ist, allerdings ist entscheidend, dass Du eine Kategorie auch mehrfach wählen kannst.
Aufgabe 3
In einer Urne befinden sich 8 unterschiedlich gefärbte Kugeln. Du ziehst drei dieser Kugeln mit Zurücklegen, aber ohne Beachtung der Reihenfolge. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Lösung
Du ziehst also drei Kugeln aus einer Urne mit acht Stück. Die Angabe verrät Dir, dass die Kombination mit Wiederholung gefordert ist. Auch wenn die Objekte zwar wegen ihrer unterschiedlichen Farben unterscheidbar sind, ist explizit gefordert, dass die Reihenfolge nicht beachtet werden soll.
Aufgabe 4
5 Kinder spielen zusammen verstecken. Dabei sucht sich jeder einen Platz auf dem Pausenhof, wobei sich 15 als äußerst geeignet herausstellen. Paula und Peter hätten nichts dagegen, sich in einem Versteck aufzuhalten, was auch auf die anderen Kinder zutrifft. Es ist nur entscheidend, dass die Freunde gefunden werden, nicht aber wann das geschieht. Wie viele mögliche Verteilungen gibt es?
Lösung
a. In dieser Aufgabe ist nach der Kombination mit Wiederholung gefragt. Das kannst Du dabei erkennen:
b. Wichtig ist an dieser Stelle noch folgendes. Es handelt sich um fünf Kinder. Da allerdings einer auf die Suche geht, werden 4 Kinder auf die Verstecke verteilt.
Die Kombination mit Wiederholung beschreibt ein Zufallsexperiment aus der Kombinatorik bei dem die Reihenfolge keine Rolle spielt. Dabei unterscheidet sie sich von der Variation bei der die Reihenfolge wichtig ist. Für die Kombination mit Wiederholung gilt außerdem, dass Objekte zurückgelegt werden können.
Ohne Beachtung der Reihenfolge bedeutet für die Kombination, dass die Reihenfolge nicht entscheidend ist, wenn zum Beispiel Kugeln aus einer Urne gezogen werden. So können diese auch nicht unterscheidbar sein, sodass ohnehin keine Reihenfolge feststellbar ist. Oder bei einem Kauf von Lebensmitteln, ist es unwichtig, in welcher Reihenfolge diese in eine Tüte gelegt werden, bzw. entnommen werden.
Karteikarten in Kombination mit Wiederholung8
Lerne jetztWas gilt für die Kombination mit Wiederholung?
Die Reihenfolge spielt keine Rolle
Du kaufst ein paar Lebensmittel im Discounter. In deinem Korb befinden sich unter anderem drei Äpfel. Welches Zufallsexperiment gilt?
Kombination mit Wiederholung
Du wählst Kugeln aus einer Urne ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge, allerdings weniger als sich in der Urne befinden. Welches Zufallsexperiment aus der Kombinatorik trifft zu?
Variation ohne Wiederholung
Welches Zufallsexperiment gilt für die Platzierungen eines Laufes?
Variation ohne Wiederholung
Fall A: Ein 100m Lauf mit Platzierung.
Fall B: Eine PIN-Nummer.
Worin unterscheiden sich die beiden Fälle?
Mit oder ohne Wiederholung
In einem Topf befinden sich 7 unterschiedlich gefärbte Lose. Du möchtest dabei 3 Stück wählen. Berechne die Kombination mit Wiederholung.
Es gibt 84 mögliche Kombinationen.
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