In der Statistik können bei der Bewertung von Hypothesen Irrtümer passieren. Die Wahrscheinlichkeit für solch einen Fehler nennt sich Irrtumswahrscheinlichkeit. Dabei wird zwischen einem Fehler 1. Art und einem Fehler 2. Art unterschieden. In diesem Artikel findest Du eine Definition der Irrtumswahrscheinlichkeit sowie eine Erklärung zum Signifikanzniveau, sodass Du die Irrtumswahrscheinlichkeit berechnen kannst.
Irrtumswahrscheinlichkeit Statistik
In der Statistik kannst Du Hypothesen (Behauptungen) aufstellen. Diese Hypothesen kannst Du entweder annehmen oder ablehnen. Je nachdem, wie Du Dich entscheidest, kannst Du dabei richtig oder falsch liegen.
Irrtumswahrscheinlichkeit Definition
Die Irrtumswahrscheinlichkeit ist definiert als die Wahrscheinlichkeit, mit der die Nullhypothese \(H_0\) fälschlicherweise angenommen oder abgelehnt wird.
Das ist der Fall, wenn eine Hypothese richtig ist, sie aber als falsch angenommen wird und umgekehrt.
| \(H_0\) ist richtig | \(H_0\) ist falsch |
| Annahme: \(H_0\) ist richtig | \(H_0\) wird angenommen \(\rightarrow\) richtige Entscheidung | \(H_0\) wird angenommen \(\rightarrow\) falsche Entscheidung |
| Annahme: \(H_0\) ist falsch | \(H_0\) wird abgelehnt \(\rightarrow\) falsche Entscheidung | \(H_0\) wird abgelehnt \(\rightarrow\) richtige Entscheidung |
Irrtumswahrscheinlichkeit Formel
Für die Berechnung der Irrtumswahrscheinlichkeit gibt es zwei Formeln.
- linksseitiger Hypothesentest: \( P(k\leq k)=1-P(k\geq (k+1)) \)
- rechtsseitiger Hypothesentest: \( P(k\geq k)=1-P(k\leq(k-1)) \)
\(k\) stellt dabei die vorher festgelegte Entscheidungsregel dar, also bis zu welchem Wert die Nullhypothese \(H_0\) angenommen bzw. abgelehnt wird.
Im Prinzip prüfst Du beim linksseitigen Hypothesentest, ob eine Stichprobe unter \(k\) ist und beim rechtsseitigen, ob die Stichprobe über \(k\) ist.
Irrtumswahrscheinlichkeit Signifikanzniveau
Das Signifikanzniveau \(\alpha\) legt fest, bis zu welchem Wert \(k\) (Entscheidungsregel) die Nullhypothese angenommen bzw. abgelehnt werden soll.
Das Signifikanzniveau wird vorgegeben und weist oft Werte wie \(1\,\%\), \(5\,\%\) oder \(10\,\%\) auf. Je nachdem, wie gravierend die Folgen einer falschen Entscheidung sind, wird ein kleines oder größeres Signifikanzniveau gewählt.
Möchte eine Firma fehlproduzierte Teile aussortieren, sind die Folgen nicht gravierend, falls ein fehlerhaftes Teil an den Kunden geliefert wird. Es kann einfach retourniert werden. Hier kann also ein großes Signifikanzniveau gewählt werden, um nicht unnötig viele intakte Teile wegzuwerfen.
Anders sieht es aber zum Beispiel bei medizinischen Tests aus. Hier ist eine hohe Genauigkeit gefragt. Das Signifikanzniveau wird hier dementsprechend möglichst klein gewählt (beispielsweise \(0{,}01\,\%\)), um falsche Hypothesen auf keinen Fall anzunehmen.
Irrtumswahrscheinlichkeit – Alpha und Beta
Die Irrtumswahrscheinlichkeit wird unterteilt in zwei Fälle:
- Fehler 1. Art \((\alpha)\): \(H_0\) wird zu Unrecht abgelehnt
- Fehler 2. Art \((\beta)\): \(H_0\) wird zu Unrecht angenommen
Wie diese Fehler zustande kommen, kannst Du weiter oben in der Tabelle nachsehen oder auch in der Erklärung "
Fehler Hypothesentest".
Irrtumswahrscheinlichkeit berechnen – zweiseitiger Signifikanztest
Um die Irrtumswahrscheinlichkeit eines zweiseitigen Signifikanztests zu bestimmen, berechnest Du die Wahrscheinlichkeit \(P(\alpha) = 1-P(k_l\leq X\leq k_r)\), wobei \(k_l;k_r\) die linke und rechte Grenze des Annahmebereichs darstellen. \(P(\alpha)\) entspricht der Wahrscheinlichkeit, sich gegen die Nullhypothese zu entscheiden bei einem, Annahmebereich von \(\{k_l; k_l+1; \dots ; k_r-1; k_r\}\).
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