Irrtumswahrscheinlichkeit
Hast du gerade das Thema Irrtumswahrscheinlichkeit in Mathe, aber weißt nicht genau worum es geht? Dann bist du hier genau richtig: In diesem Artikel wollen wir dir erklären, wie du die Irrtumswahrscheinlichkeit berechnen kannst. :) Die Irrtumswahrscheinlichkeit ist dem Thema Stochastik und dem Fach Mathe zugeordnet.
Was ist eine Irrtumswahrscheinlichkeit?
Die Irrtumswahrscheinlichkeit ist ein Begriff aus der Statistik. Sie steht für die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art bei einem Test oder die Falschklassifikationsrate bei der Beurteilung eines Klassifikators.
Die maximal zulässige Irrtumswahrscheinlichkeit für einen statistischen Test wird auch als Signifikanzniveau bezeichnet. Im Fall, dass die Nullhypothese auf diesem Niveau verworfen wird, entspricht sie der maximalen Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art, dass die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl sie richtig ist. Je kleiner diese Irrtumswahrscheinlichkeit ist, umso größer ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, dass die Nullhypothese nicht abgelehnt wird, obwohl sie falsch ist.
Die Irrtumswahrscheinlichkeit entspricht nicht dem bei der Durchführung eines Tests berechneten p-Wert. Sie besagt auch nicht, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Hypothese richtig ist.
Kurz gesagt:
- Wahrscheinlichkeit für Fehler 1.Art bei einem Test
- Maximal zulässige Irrtumswahrscheinlichkeit wird Signifikanzniveau genannt
- Je kleiner, umso höher ist Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art
Wie berechne ich die Irrtumswahrscheinlichkeit?
Wenn folgende Größen gegeben sind:
- X = binomialverteilte Zufallsvariable
- p 0 = Hypothese H 0
- n = Stichprobenlänge
- k = Entscheidungsregel
Dann können folgende Dinge gesucht sein:
(alpha) = Irrtumswahrscheinlichkeit
(alpha) = Irrtumswahrscheinlichkeit- Fall 1: H 0: p ≥ p 0 (Linksseitiger Hypothesentest).
Dann gilt:
- Fall 2: H 0: p ≤ p 0 (Rechtsseitiger Hypothesentest).
Dann gilt:
Tipp! Zur Berechnung von P(X ≤ k) benötigst du meist den Taschenrechner oder eine statistische Tabelle.
Beispiel Aufgabe 1- Irrtumswahrscheinlichkeit
Nun wenden wir die ganze Theorie anhand eines Beispiels an.
Die Aufgabe lautet:
Bevor ein Großkunde eine sehr große Menge an Schokoladentafeln abnimmt, wird die Hypothese - H 0: Weniger als 10% der Schokoladentafeln sind beschädigt - getestet. Dazu ist folgende Entscheidungsregel festgelegt worden:
Es werden 10 Tafeln gesichtet. Wenn darunter 2 oder mehr Tafeln als fehlerhaft bemerkt werden, wird die H 0- Hypothese abgelehnt und der Kauf wird nicht stattfinden.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art.
- Schreibe die Gegebenen Sachen auf.
- H 0: p ≤ 0,1 (Also: Rechtsseitiger Hypothesentest mit p 0 = 0,1)
- n = 10 (Stichprobenlänge)
- k = 2 (Entscheidungsregel: Ab k = 2 wird H 0 abgelehnt)
- Schreibe die Gesuchten Sachen auf.
(Irrtumswahrscheinlichkeit, Wahrsch. für Fehler 1.Art)- Es gilt: =
( 0 oder 1 Tafel sind fehlerhaft)
(Irrtumswahrscheinlichkeit, Wahrsch. für Fehler 1.Art)
( 0 oder 1 Tafel sind fehlerhaft)
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 26% wird mit der Entscheidungsregel also ein Fehler erster Art begangen. Die Entscheidungsregel ist nicht besonders gut geeignet.
Beispiel Aufgabe 2 - Irrtumswahrscheinlichkeit
Der Parteivorstand der Partei Für Mehr Politik (kurz FMP) verkündet folgende Entscheidungsregel: "Wir befragen 1000 zufällig ausgewählte Personen, ob sie uns nächsten Sonntag wählen."
Wenn davon 160 oder mehr Personen bekunden, dass sie uns wählen werden, dann verwerfe ich meine Hypothese, dass wir maximal 15% der Stimmen bekommen werden.
1. Angenommen 160 oder mehr befragte Personen teilen mit, dass sie die Partei Für Mehr Politik wählen. Welche der beiden Überzeugungen wird die Hypothese des Vorstandes ersetzen?
- A: Wir werden weniger als 15% der Stimmen bekommen.
- B: Wir werden mehr als 15% der Stimmen bekommen.
2. Berechne das Signifikanzniveau, zu welchem der Parteivorstand seine Entscheidungsregel testet.
Lösung:
1. Da 160 oder mehr der befragten Personen angeben die Partei FMP zu wählen, wird ein noch größerer Wahlanteil erwartet. Die Überzeugung lautet dann also:
- B: Wir werden mehr als 15% der Stimmen bekommen.
2.
- Gegeben ist:
(Also: Rechtsseitiger Hypothesentest mit p= 15%.)
(Stichprobenlänge)
Entscheidungsregel: Ab k = 160 wird abgelehnt.
(Also: Rechtsseitiger 
(Stichprobenlänge)
Entscheidungsregel: Ab k = 160 wird abgelehnt.
- Gesucht ist:
- (Irrtumswahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art.)
(Irrtumswahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art.)Es gilt somit:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von knapp 20% wird mit dieser Entscheidungsregel also ein Fehler 1.Art begangen.
Irrtumswahrscheinlichkeit - Alles Wichtige auf einen Blick
Mit der Irrtumswahrscheinlichkeit berechnest du, wie der Name schon sagt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Irrtum eintritt. Dazu musst du ganz genau die Aufgabe durchlesen.
Dann berechnest du die Irrtumswahrscheinlichkeit in folgenden Schritten:
- Schreibe Gegebene und Gesuchte Größen auf. Bestimme dabei schon die Entscheidungsregel.
- Die Irrtumswahrscheinlichkeit in der Formel aufschreiben. Sei es Fehler 1. Oder 2. Art, du musst entscheiden oder aus der Aufgabe entnehmen, von welchem Fehler die Rede ist.
- Wahrscheinlichkeit ausrechnen. Ergebnis interpretieren und Antwort formulieren.
Gut gemacht! Nachdem du alles fleißig durchgelesen hast, solltest du nun alles über die Irrtumswahrscheinlichkeiten wissen und wie du sie berechnen kannst. :) Weiter so!
