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Irrtumswahrscheinlichkeit Statistik
In der Statistik kannst Du Hypothesen (Behauptungen) aufstellen. Diese Hypothesen kannst Du entweder annehmen oder ablehnen. Je nachdem, wie Du Dich entscheidest, kannst Du dabei richtig oder falsch liegen.
Wie Du eine Hypothese aufstellst, erfährst Du im Hypothesentest.
Irrtumswahrscheinlichkeit Definition
Die Irrtumswahrscheinlichkeit ist definiert als die Wahrscheinlichkeit, mit der die Nullhypothese \(H_0\) fälschlicherweise angenommen oder abgelehnt wird.
Das ist der Fall, wenn eine Hypothese richtig ist, sie aber als falsch angenommen wird und umgekehrt.
| \(H_0\) ist richtig | \(H_0\) ist falsch | |
| Annahme: \(H_0\) ist richtig | \(H_0\) wird angenommen \(\rightarrow\) richtige Entscheidung | \(H_0\) wird angenommen \(\rightarrow\) falsche Entscheidung |
| Annahme: \(H_0\) ist falsch | \(H_0\) wird abgelehnt \(\rightarrow\) falsche Entscheidung | \(H_0\) wird abgelehnt \(\rightarrow\) richtige Entscheidung |
Irrtumswahrscheinlichkeit Formel
Für die Berechnung der Irrtumswahrscheinlichkeit gibt es zwei Formeln.
- linksseitiger Hypothesentest: \( P(k\leq k)=1-P(k\geq (k+1)) \)
- rechtsseitiger Hypothesentest: \( P(k\geq k)=1-P(k\leq(k-1)) \)
\(k\) stellt dabei die vorher festgelegte Entscheidungsregel dar, also bis zu welchem Wert die Nullhypothese \(H_0\) angenommen bzw. abgelehnt wird.
Im Prinzip prüfst Du beim linksseitigen Hypothesentest, ob eine Stichprobe unter \(k\) ist und beim rechtsseitigen, ob die Stichprobe über \(k\) ist.
Beispiele dazu findest Du in der Erklärung "Einseitiger Hypothesentest".
Irrtumswahrscheinlichkeit Signifikanzniveau
Das Signifikanzniveau \(\alpha\) legt fest, bis zu welchem Wert \(k\) (Entscheidungsregel) die Nullhypothese angenommen bzw. abgelehnt werden soll.
Das Signifikanzniveau wird vorgegeben und weist oft Werte wie \(1\,\%\), \(5\,\%\) oder \(10\,\%\) auf. Je nachdem, wie gravierend die Folgen einer falschen Entscheidung sind, wird ein kleines oder größeres Signifikanzniveau gewählt.
Möchte eine Firma fehlproduzierte Teile aussortieren, sind die Folgen nicht gravierend, falls ein fehlerhaftes Teil an den Kunden geliefert wird. Es kann einfach retourniert werden. Hier kann also ein großes Signifikanzniveau gewählt werden, um nicht unnötig viele intakte Teile wegzuwerfen.
Anders sieht es aber zum Beispiel bei medizinischen Tests aus. Hier ist eine hohe Genauigkeit gefragt. Das Signifikanzniveau wird hier dementsprechend möglichst klein gewählt (beispielsweise \(0{,}01\,\%\)), um falsche Hypothesen auf keinen Fall anzunehmen.
Irrtumswahrscheinlichkeit – Alpha und Beta
Die Irrtumswahrscheinlichkeit wird unterteilt in zwei Fälle:
- Fehler 1. Art \((\alpha)\): \(H_0\) wird zu Unrecht abgelehnt
- Fehler 2. Art \((\beta)\): \(H_0\) wird zu Unrecht angenommen
Irrtumswahrscheinlichkeit berechnen – zweiseitiger Signifikanztest
Um die Irrtumswahrscheinlichkeit eines zweiseitigen Signifikanztests zu bestimmen, berechnest Du die Wahrscheinlichkeit \(P(\alpha) = 1-P(k_l\leq X\leq k_r)\), wobei \(k_l;k_r\) die linke und rechte Grenze des Annahmebereichs darstellen. \(P(\alpha)\) entspricht der Wahrscheinlichkeit, sich gegen die Nullhypothese zu entscheiden bei einem, Annahmebereich von \(\{k_l; k_l+1; \dots ; k_r-1; k_r\}\).
Genaueres kannst Du im Artikel "Zweiseitiger Hypothesentest" nachlesen.
Irrtumswahrscheinlichkeit - Das Wichtigste
- Die Irrtumswahrscheinlichkeit ist definiert als die Wahrscheinlichkeit, mit der die Nullhypothese
fälschlicherweise angenommen oder abgelehnt wird.
- Für die Berechnung der Irrtumswahrscheinlichkeit gibt es zwei Formeln.
- linksseitiger Hypothesentest: \( P(k\leq k)=1-P(k\geq (k+1)) \)
- rechtsseitiger Hypothesentest: \( P(k\geq k)=1-P(k\leq(k-1)) \)
- Das Signifikanzniveau \(\alpha\) legt fest, bis zu welchem Wert \(k\) (Entscheidungsregel) die Nullhypothese angenommen bzw. abgelehnt werden soll.
- Die Irrtumswahrscheinlichkeit wird unterteilt in zwei Fälle:
- Fehler 1. Art \((\alpha)\): \(H_0\) wird zu Unrecht abgelehnt
- Fehler 2. Art \((\beta)\): \(H_0\) wird zu Unrecht angenommen
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Irrtumswahrscheinlichkeit
Was bedeutet das Signifikanzniveau?
Das Signifikanzniveau α gibt an, bis zu welchem Wert Du eine Nullhypothese annimmst, bzw. ablehnst.
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