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Irrtumswahrscheinlichkeit

Frage

Aus einem Kartenspiel von 32 Karten wird eine Karte gezogen. Der Einsatz wird sofort bezahlt und die Karte anschließend wieder in den Stapel gemischt.


Für das Ziehen unterschiedlicher Karten wird jeweils ein anderer Gewinn ausgeschüttet:

  • Für Herzkönig, -dame, -bube und -ass jeweils 1€.
  • Für eine Kreuzkarte 0,30€
  • Für eine Pikkarte 0,10€

a. Ist das Spiel fair, wenn der Einsatz pro Spiel 0,50€ beträgt?

b. Bei welchem Einsatz ist das Spiel fair?

c. Wie hoch sollte der Einsatz sein, damit der ausgeschüttete Gewinn 90% der Einnahmen beträgt?

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Antwort

a. Da der Einsatz pro Spiel 0,50 € ist und der zu erwartende Gewinn bei 0,23 € liegt ist es kein faires Spiel. In diesem Fall wäre der duchschnittliche Gewinn und der Einsatz gleich.

b. Das Spiel ist bei einem Einsatz von 0,23€ fair

c. 0,23 € sind 90% des Einsatzes, daher sollte der Einsatz 0,25€ betragen.

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Frage

Von einer Testgruppe ist bekannt, dass 6% der Personen eine Droge konsumiert haben. Ein Drogentest liefert bei 95% der Konsumenten korrekt ein positives Ergebnis. Jedoch werden auch 1% jener Personen, die keine Droge konsumiert haben, fälschlicherweise positiv getestet.


Zeichne einen Ereignisbaum, der alle richtigen bzw. falschen Testergebnisse

 darstellt! Welches der Testergebnisse ist am wahrscheinlichsten?

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Antwort

Baumdiagramm siehe Lösungsweg!
Ein richtiges, negatives Testergebnis, da P(kein Konsum und negatives Testergebnis) = 0.94*0.99 vgl. Baumdiagramm!

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Ereignisbaum/Baumdiagramm


Eine Münze wird zweimal geworfen und jeweils das Ergebnis (Kopf oder Zahl) notiert. Anna, Luisa und Svenja machen daraus ein Spiel. Anna bekommt einen Punkt, wenn keine Zahl kommt, Luisa bei einmal Zahl einen Punkt und Svenja einen Punkt, wenn zweimal Zahl fällt.


  1. Zeichne das zugehörige Baumdiagramm
  2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit zweimal hintereinander Kopf zu werfen?
  3. Begründe warum das Spiel nicht fair ist
  4. Wie kann das Spiel abgeändert werden, damit es fair wird?
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Antwort

a. Siehe Lösungsweg 

b. 25% 

c. Einmal Zahl ist wahrscheinlicher als keinmal oder zweimal Zahl 

d. Luisa kann nur einen halben Punkt für einmal Kopf bekommen oder die beiden anderen bekommen jeweils 2 Punkte.

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Ereignisbaum/Baumdiagramm


In einer Urne befinden sich 7 blaue, 6 rote und 5 grüne Kugeln. Es werden 2 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Wahrscheinlichkeiten sollen auf eine Nachkommastelle gerundet und in Prozent angegeben werden.

  1. Erstelle ein Baumdiagramm, welches dieses Zufallsexperiment abbildet.
  2. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide gezogenen Kugeln von der gleichen Farbe sind.
  3. Wie oft müsste man ziehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95% mindestens eine grüne Kugel zu ziehen?
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Antwort

  1. Siehe Lösungsweg
  2. 34%
  3. Mindestens 4 Kugeln müssen gezogen werden
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Ereignisbaum/Baumdiagramm


In der Schulkantine soll eine anonyme Befragung zur Essensqualität durchgeführt werden. Ein findiger Mathelehrer schlägt folgendes Verfahren vor:

Aus einer Urne mit 5 roten, 4 blauen und einer grünen Kugel, wird eine Kugel gezogen.
Wird eine rote Kugel gezogen, so wird auf jeden Fall mit Nein geantwortet.
Wird eine blaue Kugel gezogen, so wird mit ja geantwortet.
Wird eine grüne Kugel gezogen so wird wahrheitsgemäß geantwortet.
Insgesamt werden 500 Schüler befragt. Die Auszählung der Stimmen ergab, dass 238 Leute mit ja geantwortet haben.


Versuche daraus abzuleiten, wie viel Prozent der Schüler tatsächlich mit dem Essen zufrieden sind.

Stelle das Problem zunächst in einem Baumdiagramm dar.

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Antwort

76%

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In einer Urne befinden sich 3 rote Kugel und eine unbekannte Anzahl an blauen Kugeln. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen aus der Urne gezogen. Wie viele blaue Kugeln befinden sich in der Urne, wenn die Wahrscheinlichkeit mindestens 1 blaue Kugel zu ziehen, 91% beträgt?

 

  1. Zeichne ein Baumdiagramm
  2. Berechne die Anzahl blauer Kugeln in der Urne
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Antwort

  1. Siehe Lösungsweg
  2. 7
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Ereignisbaum/Baumdiagramm


Eine Fußballmannschaft bestreitet in der Saisonvorbereitung zwei Spiele. Im ersten Spiel sind sie noch ausgeruht und daher beträgt, die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen 60% und zu 10% geht das Spiel Unentschieden aus. Im zweiten Spiel ist die Wahrscheinlichkeit das Spiel zu verlieren genauso hoch, wie die Wahrscheinlichkeit für einen Sieg und ein Unentschieden zusammen. Ein Unentschieden ist immer noch 10% wahrscheinlicher als ein Sieg.


  1. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Sieg(S), Unentschieden(U) und Niederlage (N) für beide Spiele
  2. Zeichne die berechneten Werte in ein Baumdiagramm
  3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit beide Spiele zu gewinnen?
  4. Berechne die Wahrscheinlichkeit mindestens 1 Spiel zu gewinnen.
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Antwort

a. P(S1)= 60%, P(U1)=105, P(N1)=30%, P(S2)=20%, P(U2)=30%, P(N2)=50%

b. Siehe Lösungsweg

c. 12%

d. 68%


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Ereignisbaum/Baumdiagramm


Luca hat sich eine Dartscheibe gekauft und trainiert zu Hause fleißig. Er versucht mit seinen drei Pfeilen möglichst oft das „Bullseye“ zu treffen. Mit seinem ersten Dart trifft er zu 25% genau in die Mitte, mit dem zweiten Pfeil beträgt die Wahrscheinlichkeit 1/3 und mit seinem letzten Pfeil trifft er sogar bei jedem zweiten Versuch das Bullseye.


  1. Zeichne das zugehörige Baumdiagramm
  2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer der Pfeile sein Ziel findet?
  3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er das Bullseye nicht trifft
  4. Ist die Annahme steigender Wahrscheinlichkeit sinnvoll?
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Antwort

  1. Siehe Lösungsweg
  2. 48,3%
  3. 25%
  4. Nein
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