Hast Du Lust auf ein kleines Zufallsexperiment? Schnapp Dir doch direkt einen sechsseitigen Würfel, wenn Du einen Würfel Zuhause hast, würfle damit und sieh Dir die Augenzahl an. Zeigt die Seite „drei“ Augen?
Abbildung 1: Sechs Seiten eines Würfels
Welche der sechs Seiten nach dem Wurf oben liegt, ist rein zufällig. Es handelt sich hierbei um einen Zufallsversuch in der Stochastik, bei dem mehrere zufallsbedingte Ausgänge möglich sind.
Interesse an zufälligen Experimenten in der Stochastik? Dann sieh Dir gerne den Artikel zum Zufallsexperiment an.
Das Würfeln eines sechsseitigen nicht manipulierten Würfel ist nicht nur ein Zufallsexperiment, es ist auch ein Laplace-Experiment.
Laplace-Experiment – Definition & Merkmale
Sieh Dir Deinen Würfel noch einmal genauer an. Alle sechs Seiten sind gleich groß und Du findest auf jeder Seite eine bestimmte Zahl von 1 bis 6. Diese möglichen (elementaren) Ausgänge (sogenannte Elementarereignisse ) kannst Du in der Ergebnismenge Ω zusammenfassen.
Abbildung 2: Ergebnismenge Ω Würfel
Wie wahrscheinlich wäre es in diesem Experiment eine dieser Augenzahlen zu würfeln? Jede der sechs Seiten ist gleich groß, weshalb keine Augenzahl mit höherer Wahrscheinlichkeit gewürfelt wird als eine andere Augenzahl. Alle Zahlen besitzen die gleiche Wahrscheinlichkeit , dass sie nach dem Wurf oben liegen.
Abbildung 3: Wahrscheinlichkeiten Würfel
Genau diese Bedingung muss für ein Laplace-Experiment erfüllt sein.
Ein Zufallsexperiment, bei dem alle Elementarereignisse einer endlichen Ergebnismenge Ω mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten, wird als Laplace-Experiment bezeichnet. Es gilt:
Möchtest Du herauszufinden, ob es sich bei einem Zufallsexperiment um ein Laplace-Experiment handelt, so überprüfe, ob Dein Zufallsexperiment folgende zusätzlichen Merkmale erfüllt:
- Alle Elementarereignisse treten mit gleicher Wahrscheinlichkeit zufällig ein.
- Die Anzahl der Elementarereignisse in der Ergebnismenge Ω ist endlich.
Alle sechs Seiten eines sechsseitigen, nicht gezinkten Würfels besitzen dieselbe Wahrscheinlichkeitnach einem Würfelwurf oben zu liegen.
Abbildung 4: Wahrscheinlichkeiten Würfel
Trägst Du diese Wahrscheinlichkeiten für jede Augenzahl in ein Säulendiagramm ein, so kannst Du in Abbildung 5 sehen, dass alle Säulen gleich hoch sind.
Abbildung 5: Säulendiagramm zum Laplace-Experiment
Wie solche Diagramme in anderen Zufallsexperimenten aussehen, erfährst Du im Artikel Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Beim Wurf eines sechsseitigen nicht manipulierten Würfel (Laplace-Würfel) möchtest Du herausfinden, wie wahrscheinlich es ist eine Drei oder Fünf zu würfeln? Oder die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Münzwurf „Kopf“ oder „Zahl“ oben liegt?
Das kannst Du mithilfe einer Formel zum Laplace-Experiment berechnen.
Laplace-Experiment – Wahrscheinlichkeit Formel
Mit der sogenannten Laplace-Wahrscheinlichkeit kannst Du berechnen, wie wahrscheinlich ein Ereignis E bei einem Laplace-Experiment ist.
Die Wahrscheinlichkeit , dass ein Ereignis E bei einem Laplace-Experiment eintritt, berechnet sich durch:
Die Mächtigkeit beschreibt die Menge der Ausgänge, die bei dem Zufallsexperiment möglich sind. Zählst Du alle Elementarereignisse in der Ergebnismenge Ω zusammen, so erhältst Du die Gesamtzahl .
Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit fehlt dabei noch die Anzahl der günstigen Fälle. Die Anzahl gibt dabei die Menge der Fälle an, bei denen das Ereignis E eintritt. Es entspricht also der Anzahl an Elementen, die sich in der Teilmenge E befinden.
In einem Laplace-Experiment mit farbig sortierten (nicht aufgeblasenen) Luftballons wird eine Ergebnismenge Ω aufgestellt für das einmalige Ziehen eines Luftballons aus sechs Ballons.
Für das Ereignis E „Ziehen eines grünen Luftballons“ gilt die folgende Teilmenge:
Wie groß sind hierbei die Mächtigkeiten und ?
Um die Mächtigkeiten zu bestimmen, werden die Elemente in den jeweiligen Mengen abgezählt. In der Ergebnismenge Ω befinden sich insgesamt 6 Elemente, weshalb gilt: .
In der Teilmenge des Ereignis E (oder auch in der Ergebnismenge Ω) gibt es zwei Elemente, die die Farbe grün besitzen, nämlich grün1 und grün2. Dies entspricht der Anzahl der günstigen Fälle in der Formel, also: .
Zeit für ein paar Beispiele zur Laplace-Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Experiment.
Laplace-Experiment berechnen – Beispiele
Hast Du noch Deinen sechsseitigen Würfel neben Dir liegen? Probier die folgenden Zufallsexperimente gleich mit aus!
Laplace-Experiment – Einstufiges Zufallsexperiment
Zufallsexperimente und auch Laplace-Experimente können sowohl einstufig als auch mehrstufig sein. Bei einstufigen Laplace-Experimenten wird der Versuch einmalig durchgeführt und das Ergebnis liefert genau ein Element.
Laplace-Experiment – Beispiel 1
Bei einem Laplace-Experiment mit einem sechsseitigen, nicht manipulierten Würfel wird die folgende Ergebnismenge Ω festgelegt. Zu ermitteln ist die Wahrscheinlichkeit , bei der das Ereignis E eintritt.
Ereignis E: „Würfeln einer Drei oder Fünf“
Abbildung 6: Ergebnismenge Ω Würfel
Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit kannst Du zunächst die Teilmenge des Ereignisses E aufstellen. Für diese gilt:
Abbildung 7: Teilmenge Ereignis E
Die Anzahl der günstigen Fälle des Laplace-Experiments (also der Anzahl in der Menge E) beträgt .
Du kannst den Schritt zum Aufstellen der Teilmenge E auch überspringen und die Anzahl direkt aus der Ergebnismenge Ω entnehmen.
Insgesamt enthält die Ergebnismenge Ω sechs unterschiedliche Würfelseiten, die alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten. Für die Gesamtzahl erhältst Du also einen Wert von .
Setzt Du nun beide Zahlen in die Formel für die Laplace-Wahrscheinlichkeit ein, dann hast Du die Wahrscheinlichkeit ermittelt, bei der das „Würfeln einer Drei oder Fünf“ eintritt.
In diesem Zufallsexperiment würfelst Du mit einer Wahrscheinlichkeit von eine der beiden Augenzahlen.
Was passiert, wenn Du mit Deinem Würfel zweimal würfelst und jeweils die Augenzahl notierst? Dann hast Du ein mehrstufiges Zufallsexperiment, bei dem Du ebenfalls Wahrscheinlichkeiten berechnen kannst.
Laplace-Experiment – Mehrstufiges Zufallsexperiment mit Baumdiagramm
Ein Experiment, das sich aus mehreren Einzelversuchen zusammensetzt, wird als mehrstufig bezeichnet. Schnapp Dir gerne direkt Deinen Würfel und mache mit!
Laplace-Experiment – Beispiel 2
Ein nicht gezinkter bzw. nicht manipulierter sechsseitiger Würfel (sogenannter Laplace-Würfel) wird für ein Laplace-Experiment genutzt. Der Würfel wird ein erstes Mal geworfen, die oben liegende Augenzahl notiert und ein weiteres Mal geworfen und ebenfalls die Augenzahl notiert.
Berechne die Wahrscheinlichkeit , dass bei zweimaligem Würfeln zunächst eine Vier gewürfelt wird und dann eine beliebige andere Augenzahl.
Tipp: Bei zwei Würfen enthält die Ergebnismenge Ω hier mehr Elementarereignisse als bei einem Wurf. Außerdem sind die beiden Würfe stochastisch unabhängig voneinander.
Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten kannst Du die einzelnen Stufen des Experiments in einem Baumdiagramm übersichtlich darstellen und die Ergebnismenge Ω ermitteln. Für das zweimalige Würfeln könnte das Diagramm beispielsweise wie folgt aussehen:
Abbildung 8: Baumdiagramm zweimaliges Würfeln
Alles rund um das Thema Darstellung von Zufallsexperimenten findest Du im Artikel Baumdiagramm.
Die Ergebnisse entlang der einzelnen Pfade im Baumdiagramm werden in der Ergebnismenge Ω zusammengefasst. Insgesamt gibt es 36 Möglichkeiten, die alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten. Es gilt daher: .
Abbildung 9: Ergebnismenge Ω zweimaliges Würfeln
Du kannst die Anzahl der günstigen Fälle direkt aus der Ergebnismenge Ω ablesen, indem Du alle Fälle zusammenzählst, bei denen zunächst eine Vier gewürfelt wird und dann eine beliebige andere Zahl. Diese Möglichkeiten sind in der folgenden Teilmenge noch einmal aufgelistet.
Abbildung 10: Teilmenge Ereignis
Es entspricht einer Anzahl von . Eingesetzt in die Formel zur Berechnung der Laplace-Wahrscheinlichkeit ergibt sich:
Das Ereignis E tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von ein.
Kannst oder möchtest Du die Ergebnismenge Ω nicht komplett auflisten oder ist Anzahl der Elemente zu groß, so hast Du die Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeit auch über Teilereignisse zu berechnen, indem Du den Multiplikationssatz verwendest.
Im Artikel Multiplikationssatz / Produktsatz und Unabhängigkeit von Ereignissen kannst Du alles rund um dieses Thema noch einmal nachlesen.
Möglich wäre auch eine dritte Lösung mithilfe der Kombinatorik. Dabei muss die Anzahl und die Mächtigkeit nicht über Abzählen bestimmt werden, sondern sie lassen sich durch Formeln berechnen. Mehr dazu findest Du im Artikel Kombinatorik.
Welche Zufallsexperimente gibt es noch, die keine Laplace-Experimente sind?
Nicht-Laplace-Experiment – Beispiele
Laplace-Experimente sind Zufallsversuche, bei denen alle Ausgänge mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten. Ist dies nicht der Fall, so kann es sich zwar um ein Zufallsexperiment handeln, nicht jedoch um ein Laplace-Experiment.
Laplace-Experiment – Beispiel 3
Bei einem kleinen Fest wird eine Zielscheibe aufgebaut, wie in der Abbildung 11 zu sehen ist. Warum ist das Schießen auf die Zielscheibe mit einem Pfeil kein Laplace-Experiment?
Abbildung 11: Zielscheibe
Auf der Zielscheibe befinden sich fünf Bereiche, die jedoch alle unterschiedlich groß sind. Die Wahrscheinlichkeit den Bereich 4 zu treffen ist also größer, als etwa den Bereich 1 zu treffen. Das Experiment erfüllt die Voraussetzungen eines Laplace-Experiments nicht.
Laplace-Experiment – Beispiel 4
Stell Dir vor, Du darfst auf dem Fest noch an einem Glücksrad drehen mit verschiedenen Sektoren, wie in Abbildung 12. Wie Du sehen kannst, ist die gelbe Fläche am größten. Die Wahrscheinlichkeit den gelben Sektor zu treffen ist . Sie ist demnach höher als die Wahrscheinlichkeit für beispielsweise die rote Fläche.
Abbildung 12: Glücksrad
Die Wahrscheinlichkeiten unterscheiden sich also bei den ungleichen Kreissektoren, weshalb auch dieses Experiment kein Laplace-Experiment ist.
Weitere Beispiele sind etwa das Werfen einer Reißzwecke oder das Werfen einer manipulierten Münze.
In den nachfolgenden Übungsaufgaben kannst Du noch weitere Laplace-Experimente prüfen und berechnen.
Laplace-Experiment – Aufgaben
Laplace-Experiment – Aufgabe 1
Ein Laplace-Experiment wird zweimal durchgeführt und liefert vier mögliche Ergebnisse, die in der Tabelle aufgelistet sind.
Ergänze die fehlenden Werte in der Tabelle und berechne zudem die Wahrscheinlichkeit mindestens ein mal „rot“ im Zufallsexperiment zu erhalten.
mit B = blau und R = rot
Lösung
Da es sich um ein Laplace-Experiment handelt, treten alle Elementarereignisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein. Die Tabelle kann demnach wie folgt ergänzt werden:
Für die Wahrscheinlichkeit musst Du noch die Anzahl der günstigen Fälle und die Mächtigkeit bestimmen. Da es insgesamt vier mögliche Ergebnisse gibt, gilt: . Aus der Tabelle kannst Du entnehmen, dass in drei Fällen mindestens eine Farbe „rot“ ist, nämlich , und . Es sind somit Fälle.
Nach dem Einsetzen und Ausrechnen ergibt sich bei dem Zufallsexperiment eine Wahrscheinlichkeit von , dass mindestens eine „rot“ gezogen wird.
Laplace-Experiment – Aufgabe 2
Für ein Zufallsexperiment werden 7 Karten eines Spielkarten-Sets verdeckt bereitgelegt, wobei die Karten folgende Motive enthalten.
Abbildung 13: Spielkarten Experiment
Ermittle, ob das Ziehen einer beliebigen Spielkarte ein Laplace-Experiment darstellt. Berechne zudem die Wahrscheinlichkeit , dass eine blaue Spielkarte gezogen wird.
Lösung
Zunächst zur Frage, ob es sich im vorliegenden Zufallsexperiment um ein Laplace-Experiment handelt.
Zur Erinnerung: Bei einem Laplace-Experiment treten alle Elementarereignisse der Ergebnismenge Ω mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein.
Kurz gesagt: Ja, es ist ein Laplace-Experiment, wenn die Ergebnismenge Ω entsprechend gewählt wird! Aber warum?
Insgesamt gibt es in diesem Experiment 7 gleich große Spielkarten, wobei natürlich jede von diesen Karten gezogen werden kann (unabhängig von der Farbe!). Es gibt also 7 mögliche Ergebnisse in diesem Experiment. In der Ergebnismenge Ω müssen demnach alle Spielkarten einzeln aufgelistet sein:
Für die Anzahl der gesamten endlichen Ergebnisse ergibt sich: . Jedes dieser sieben Elementarereignisse trifft mit gleich großer Wahrscheinlichkeit ein.
Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit musst Du noch die Anzahl bestimmen, bei denen das Ereignis E eintritt. Das Ereignis E ist hier das „Ziehen einer blauen Spielkarte“. In wie vielen Fällen wird eine blaue Karte gezogen?
Da es in den sieben Spielkarten zwei blaue Karten gibt, gilt für die Anzahl . Eingesetzt in die Formel zur Laplace-Wahrscheinlichkeit erhältst Du:
Im Zufallsexperiment wird eine blaue Karte mit einer Wahrscheinlichkeit von gezogen.
In den Karteikarten zum Laplace-Experiment warten noch weitere Anwendungs- und Übungsaufgaben auf Dich!
Laplace-Experiment – Das Wichtigste
- Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle möglichen Ausgänge/ Elementarereignisse gleich wahrscheinlich eintreten. Es gilt:
- Die Ergebnismenge Ω enthält dabei eine endliche Anzahl an Elementarereignissen.
- Ein Ereignis E tritt bei einem Laplace-Experiment mit der Wahrscheinlichkeitein und wird berechnet durch:
-
Nachweise
- Papula (2016). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3. Springer Vieweg Verlag.
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