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Laplace Experiment

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Mathe

Mit dem Wort "Zufall" gibt der Mensch nur seiner Unwissenheit Ausdruck.

(Pierre-Simon Laplace)

Kopf oder Zahl? Mit Sicherheit kennst Du folgende Situation: Es muss eine Entscheidung getroffen werden, aber niemand weiß es so richtig oder möchte Entscheidungsträger sein. Daher wird eine Münze geworfen. Entweder, oder. Kopf ist Alternative A und Zahl ist Alternative B. Der Zufall entscheidet.

Die hier beschriebene Situation ist nur ein Beispiel für ein Laplace-Experiment. Worum genau es sich dabei handelt, erfährst Du im Folgenden.

Laplace-Experiment – Grundlagenwissen

Es gibt ganz unterschiedliche Fälle von Wahrscheinlichkeit im Bereich der Stochastik. Die Wahrscheinlichkeit ist im Grunde das Maß für das Eintreffen oder Nicht-Eintreffen eines Ereignisses/Elementarereignisses bei einem Zufallsexperiment.

Elementarereignis: Teilmenge (Ereignismenge/Ereignisraum) P(Ω) mit exakt einem Element der Ergebnismenge Ω (Ergebnisraum) eines Wahrscheinlichkeitsraumes

Somit kannst Du davon ausgehen, dass beim oben genanntem Beispiel der Zufall entscheidet, welche Seite der Münze nach dem Wurf oben liegen wird. Es handelt sich demnach um ein Zufallsexperiment.

Zufallsexperiment

Du erkennst Zufallsexperimente daran, dass sie unter denselben Bedingungen beliebig oft wiederholbar sind und dabei mindestens zwei Ergebnisse möglich sind.

Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit mindestens zwei möglichen Ausgängen, der unter bestimmten Bedingungen stattfindet und genau ein zufälliges Ergebnis von mehreren möglichen Ergebnissen hat.

Ein Zufallsexperiment wird auch oft als Zufallsversuch oder Zufallsvorgang bezeichnet.

Ein Laplace-Experiment ist dabei eine besondere Art des Zufallsexperiments, mit speziellen Bedingungen, wie Du im Folgenden sehen wirst.

Es gibt zwei Formen von Zufallsexperimenten:

  • das einstufige Zufallsexperiment (Versuch wird nur einmal durchgeführt)
  • das mehrstufige Zufallsexperiment (Versuch wird mehrfach durchgeführt)

Doch worin unterscheidet sich ein Laplace-Experiment von anderen Zufallsversuchen?

Unterschied Laplace-Experiment und Nicht-Laplace-Experiment

In der folgenden Tabelle wird der Unterschied eines Laplace-Experiments zu anderen Zufallsexperimenten bzw. Nicht-Laplace-Experimenten anhand zweier verschiedener Zufallsversuche mit den charakteristischen Merkmalen aufgezeigt.

Laplace-Experimentandere Zufallsexperimente / Nicht Laplace-Experimente
Elementarereignisse weisen alle die gleiche Wahrscheinlichkeit auf.Elementarereignisse weisen nicht alle die gleiche Wahrscheinlichkeit auf.
Werfen einer Münze:Die Münze hat zwei gleich große Seiten (Kopf oder Zahl). Die Chancen eine bestimmte Seite oben zu sehen liegt bei 50 %.Werfen einer Reißzwecke:Die Reißzwecke hat eine unregelmäßige Form. Daher ist auch die Wahrscheinlichkeit, auf den unterschiedlichen Seiten zu landen, nicht gleich.

Es kommt vor, dass sich die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen ändern. Dies hängt von anderen, bereits eingetretenen Ereignissen ab und wird mit dem Begriff "bedingte Wahrscheinlichkeit" beschrieben.

Jetzt hast Du schon einmal eine grobe Vorstellung von der Besonderheit von Laplace-Experimenten erhalten. In den folgenden Kapiteln geht es darum, wie diese Experimente zu ihrem Namen kamen, woran Du sie erkennen kannst und wie Du anhand der Laplace-Formel die Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnen kannst.

Laplace-Experiment

Bei einem Laplace-Experiment handelt es sich um eine besondere Form des Zufallsexperiments. Doch was bedeutet das genau?

Laplace-Experiment – Definition

Als Laplace-Experiment versteht man eine besondere Art von Zufallsexperiment, bei dem alle elementaren Ereignisse gleich wahrscheinlich sind.

Laplace-Operator

Namensgeber des Laplace-Experiments ist Pierre-Simon Laplace. Er war ein französischer Mathematiker, der neben dem Laplace-Experiment unter anderem den Laplace-Operator entwickelte.

Der Laplace-Operator ist ein mathematischer Operator, ähnlich wie die Operatoren +, -, ·, ÷. Jedoch hat er mit dem Laplace-Experiment nichts zu tun. In der Mathematik wird er im Bereich der Analysis verwendet und gibt dort die Summe bestimmter Ableitungen von Funktionen an.

Laplace-Experiment – Merkmale

Manchmal benötigt man Vorkenntnisse, um ein Laplace-Experiment als solches erkennen zu können. Hier findest Du die Voraussetzungen für ein Laplace-Experiment:

  • Der Ausgang des Experiments darf nur vom Zufall bestimmt sein.
  • Alle Elementarereignisse müssen mit derselben Wahrscheinlichkeit eintreten.

Laplace-Experiment berechnen – Formel

Die Laplace-Wahrscheinlichkeit ist die Basis für Laplace-Experimente. Sie wird mit der Laplace-Formel berechnet, bei der die Anzahl des gewünschten Ereignisses (E) durch die Anzahl aller möglichen Ereignisse (Menge Ω) geteilt wird.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses P(E) berechnest Du mit dieser Formel:

P(E) = Anzahl der gewünschten EreignisseAnzahl der möglichen Ereignisse = E𝛺

Das folgende Beispiel zeigt Dir, wie unterschiedliche Fragen zur Wahrscheinlichkeit von Ergebnissen mithilfe der Laplace-Wahrscheinlichkeit beantwortet werden.

Es ist sehr hilfreich, wenn Du Dich mit den wichtigsten Regeln der Bruchrechnung, Dezimalzahlen, Prozentrechnen und Runden von Nachkommastellen auskennst.

Aufgabe 1

Stelle Dir vor, Du wirfst einen sechsseitigen Würfel (nicht gezinkt bzw. manipuliert).

  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 6 zu würfeln?
  2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine 3 oder eine 5 zu würfeln?
  3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Zahl zu würfeln?

Lösung

a.

Der Würfel hat 6 Seiten. Demnach können 1, 2, 3, 4, 5 und 6 als Ereignis gewürfelt werden. Somit beträgt die Anzahl der möglichen Ereignisse 6. Das gewünschte Ereignis ist die Zahl 6.

P(E) = Anzahl der gewünschten EreignisseAnzahl der möglichen EreignisseP({6}) = 16P({6}) =0,1666

Damit liegt die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf die 6 zu werfen, gerundet bei 0,167.

b.

Die Ausgangssituation verändert sich nur dahin gehend, dass jetzt 2 Ereignisse gewünscht sind von 6 möglichen Ereignissen.

P(E) = Anzahl der gewünschten EreignisseAnzahl der möglichen EreignisseP({3,5}) = 26P({3,5}) =0,333

Demnach liegt die Wahrscheinlichkeit, eine 3 oder eine 5 zu würfeln, bei 0,333.

c.

Auf einem normalen 6-seitigen Würfel gibt es drei gerade (2, 4, 6) und drei ungerade Zahlen (1, 3, 5). Also gibt es 3 gewünschte Ereignisse und 6 mögliche Ereignisse.

P(E) = Anzahl der gewünschten EreignisseAnzahl der möglichen EreignisseP({1,3,5}) = 36P({1,3,5}) =12

Die Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Zahl zu würfeln, liegt bei 50 %.

Beachte, dass Du die Wahrscheinlichkeit als Bruch, als Dezimalzahl oder auch in Prozent angeben kannst.

Um Dezimalbrüche in Prozentzahlen umzuwandeln, multipliziere das Ergebnis mit 100 bzw. verschiebe das Komma um zwei Stellen nach rechts.

Laplace-Experiment – Aufgaben

Die folgenden Aufgaben helfen Dir dabei, das bisher Gelernte zu üben:

Aufgabe 2

Glücksrad: Du bist auf der Kirmes. Vor Dir steht ein Glücksrad mit 8 gleich großen Segmenten, beschriftet mit Zahlen von 1 bis 8.

  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeiger nach dem Drehen auf der 7 steht?
  2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeiger auf einer geraden Zahl stehen bleibt?
  3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeiger auf der 1, oder der 5 stehen bleibt?

Lösung

a.

P(E) = Anzahl der gewünschten EreignisseAnzahl der möglichen EreignisseP({7}) = 18P({7}) =0,125 = 12,5 %

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeiger nach dem Drehen auf der 7 steht, liegt bei 12,5 %.

b.

P(E) = Anzahl der gewünschten EreignisseAnzahl der möglichen EreignisseP({2,4,6,8}) = 48 = 24 = 12P({2,4,6,8}) =12 = 0,5 = 50 %

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeiger auf einer geraden Zahl stehen bleibt, liegt bei 50 %.

c.

P(E) = Anzahl der gewünschten EreignisseAnzahl der möglichen EreignisseP({1,5}) = 28 = 14P({1,5}) =14 = 0,25 = 25 %

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeiger auf der 1 oder auf der 5 stehen bleibt, liegt bei 25 %.

Laplace-Experiment – Das Wichtigste

  • Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.
  • Die Formel zur Berechnung der Laplace-Wahrscheinlichkeit lautet:P(E) = Anzahl der gewünschten EreignisseAnzahl der möglichen Ereignisse = E𝛺
  • Voraussetzungen für ein Laplace-Experiment:
    • Das Ergebnis darf nur vom Zufall bestimmt sein.
    • Alle Ergebnisse müssen gleich wahrscheinlich sein.

Laplace Experiment

Du erkennst ein Laplace-Experiment daran, dass der Ausgang nur durch Zufall bestimmt ist und das alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.

Ein Laplace-Experiment Beispiel wäre das Ziehen einer Karte aus einem verdeckten Kartenstapel.

Das Drehen eines Glücksrades mit gleichen Segmenten ist ein Laplace-Experiment. Sind die Segmente unterschiedlich, ist es kein Laplace-Experiment.

Es handelt sich um ein Laplace-Experiment, wenn der Ausgang des Experiments nur vom Zufall bestimmt ist und alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich auftreten können.

Finales Laplace Experiment Quiz

Frage

Was ist ein Laplace-Experiment?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse des Ergebnisraums gleich wahrscheinlich sind

Frage anzeigen

Frage

Was gilt bei Laplace-Experimenten?

Antwort anzeigen

Antwort

da alle Ereignisse gleich wahrscheinlich sind, gilt: 

Ω = {ω1; ω2; …; ωm} mit P(ω1) = P(ω2) = … = P(ωm)

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Laplace-Wahrscheinlichkeit?

Antwort anzeigen

Antwort

Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis ωk des Ergebnisraums


P(ωk) = 1 / Ω = 1 / Anzahl aller möglichen Ergebnisse = 1 / m


Frage anzeigen

Frage

Was ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis A in einem Laplace-Experiment?

Antwort anzeigen

Antwort

P(A) = A / Ω = Anzahl aller günstigen Ereignisse / Anzahl aller möglichen Ereignisse

Frage anzeigen

Frage

Ein Glücksrad mit vier gleich großen Sektoren wird gedreht. 


Gebe die Wahrscheinlichkeitsverteilung für dieses Zufallsexperiment an.

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Ein zufällig ausgewählter Schüler wird befragt, ob er an einem Werktag oder an einem Wochenende geboren ist.


Stelle den Ergebnisraum so auf, dass es sich um ein Laplace-Experiment handelt.

Antwort anzeigen

Antwort

Ω = {Montag; Dienstag; Mittwoch; Donnerstag; Freitag; Samstag; Sonntag}


Wählt man Ω = {Werktag; Wochenende} als Ergebnisraum, so sind die Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich. Es handelt sich nicht um ein Laplace-Experiment.

Frage anzeigen

Frage

Eine Münze wird zweimal geworfen. Es wird jeweils notiert, ob „Kopf“ (K) oder „Zahl“ (Z) oben liegt.


Gebe die Wahrscheinlichkeitsverteilung für dieses Zufallsexperiment an.

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Eine Münze wird zweimal geworfen. Es wird jeweils notiert, ob „Kopf“ oder „Zahl“ oben liegt.


Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei den beiden Würfen unterschiedliche Seiten oben liegen.

Antwort anzeigen

Antwort

Für das Ereignis U: „unterschiedliche Seiten“ gilt: günstige Ergebnisse: U = {KZ; ZK} 


Anzahl aller günstigen Ergebnisse: | U | = 2 

Anzahl aller möglichen Ergebnisse: | Ω | = 4


P(unterschiedliche Seiten) = I U I /  | Ω | = Anzahl aller günstigen Ergebnisse / Anzahl aller möglichen Ergebnisse = 2 / 4 = 50%

Frage anzeigen

Frage

Eine Münze wird zweimal geworfen. Es wird jeweils notiert, ob „Kopf“ oder „Zahl“ oben liegt.


Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal „Kopf“ angezeigt wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Für das Ereignis M: „mindestens einmal Kopf“ gilt: günstige Ergebnisse: M = {KK; KZ; ZK} 


Anzahl aller günstigen Ergebnisse: | M | = 3 

Anzahl aller möglichen Ergebnisse: | Ω | = 4


P(mindestens einmal Kopf) = I M I / | Ω | = Anzahl aller günstigen Ergebnisse / Anzahl aller möglichen Ergebnisse = 3 / 4 = 0,75 = 75%

Frage anzeigen

Frage

Nenne Beispiele für Laplace-Experimente?

Antwort anzeigen

Antwort

Zum Beispiel Würfel oder Münzen

Frage anzeigen

Frage

Erläutere den Unterschied zwischen einem Laplace Experiment und anderen Zufallsexperimenten.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem Laplace Experiment ist das Eintreten jedes möglichen Ereignisses gleich wahrscheinlich. Im Gegensatz zu anderen Zufallsexperimenten, bei denen die Wahrscheinlichkeiten unterschiedlich ausfallen können.

Frage anzeigen

Frage

Begründe, warum es sich bei einem Pferderennen nicht um ein Laplace Experiment handelt.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Reiter und Pferde bringen unterschiedliche Fähigkeiten mit und sind nicht gleich. Daher sind die Voraussetzungen für ein Laplace Experiment nicht erfüllt.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, wobei es sich nicht um ein Laplace Experiment handelt:

Antwort anzeigen

Antwort

Wurf einer Reißzwecke

Frage anzeigen
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