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Hast Du Lust auf ein kleines Zufallsexperiment? Schnapp Dir doch direkt einen sechsseitigen Würfel, wenn Du einen Würfel Zuhause hast, würfle damit und sieh Dir die Augenzahl an. Zeigt die Seite „drei“ Augen?
Abbildung 1: Sechs Seiten eines Würfels
Welche der sechs Seiten nach dem Wurf oben liegt, ist rein zufällig. Es handelt sich hierbei um einen Zufallsversuch in der Stochastik, bei dem mehrere zufallsbedingte Ausgänge möglich sind.
Interesse an zufälligen Experimenten in der Stochastik? Dann sieh Dir gerne den Artikel zum Zufallsexperiment an.
Das Würfeln eines sechsseitigen nicht manipulierten Würfel ist nicht nur ein Zufallsexperiment, es ist auch ein Laplace-Experiment.
Sieh Dir Deinen Würfel noch einmal genauer an. Alle sechs Seiten sind gleich groß und Du findest auf jeder Seite eine bestimmte Zahl von 1 bis 6. Diese möglichen (elementaren) Ausgänge (sogenannte Elementarereignisse 
) kannst Du in der Ergebnismenge Ω zusammenfassen.
Abbildung 2: Ergebnismenge Ω Würfel
Wie wahrscheinlich wäre es in diesem Experiment eine dieser Augenzahlen zu würfeln? Jede der sechs Seiten ist gleich groß, weshalb keine Augenzahl mit höherer Wahrscheinlichkeit gewürfelt wird als eine andere Augenzahl. Alle Zahlen besitzen die gleiche Wahrscheinlichkeit 
, dass sie nach dem Wurf oben liegen.
Abbildung 3: Wahrscheinlichkeiten Würfel
Genau diese Bedingung muss für ein Laplace-Experiment erfüllt sein.
Ein Zufallsexperiment, bei dem alle Elementarereignisse 
einer endlichen Ergebnismenge Ω mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten, wird als Laplace-Experiment bezeichnet. Es gilt:
Möchtest Du herauszufinden, ob es sich bei einem Zufallsexperiment um ein Laplace-Experiment handelt, so überprüfe, ob Dein Zufallsexperiment folgende zusätzlichen Merkmale erfüllt:
treten mit gleicher Wahrscheinlichkeit 
zufällig ein.Alle sechs Seiten eines sechsseitigen, nicht gezinkten Würfels besitzen dieselbe Wahrscheinlichkeit
nach einem Würfelwurf oben zu liegen.
Abbildung 4: Wahrscheinlichkeiten Würfel
Trägst Du diese Wahrscheinlichkeiten für jede Augenzahl in ein Säulendiagramm ein, so kannst Du in Abbildung 5 sehen, dass alle Säulen gleich hoch sind.
Abbildung 5: Säulendiagramm zum Laplace-Experiment
Wie solche Diagramme in anderen Zufallsexperimenten aussehen, erfährst Du im Artikel Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Beim Wurf eines sechsseitigen nicht manipulierten Würfel (Laplace-Würfel) möchtest Du herausfinden, wie wahrscheinlich es ist eine Drei oder Fünf zu würfeln? Oder die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Münzwurf „Kopf“ oder „Zahl“ oben liegt?
Das kannst Du mithilfe einer Formel zum Laplace-Experiment berechnen.
Mit der sogenannten Laplace-Wahrscheinlichkeit kannst Du berechnen, wie wahrscheinlich ein Ereignis E bei einem Laplace-Experiment ist.
Die Wahrscheinlichkeit 
, dass ein Ereignis E bei einem Laplace-Experiment eintritt, berechnet sich durch:
Die Mächtigkeit 
beschreibt die Menge der Ausgänge, die bei dem Zufallsexperiment möglich sind. Zählst Du alle Elementarereignisse 
in der Ergebnismenge Ω zusammen, so erhältst Du die Gesamtzahl 
.
Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit 
fehlt dabei noch die Anzahl 
der günstigen Fälle. Die Anzahl 
gibt dabei die Menge der Fälle an, bei denen das Ereignis E eintritt. Es entspricht also der Anzahl an Elementen, die sich in der Teilmenge E befinden.
Für das Ereignis E „Ziehen eines grünen Luftballons“ gilt die folgende Teilmenge:
Wie groß sind hierbei die Mächtigkeiten 
und 
?
Um die Mächtigkeiten zu bestimmen, werden die Elemente in den jeweiligen Mengen abgezählt. In der Ergebnismenge Ω befinden sich insgesamt 6 Elemente, weshalb gilt: 
.
In der Teilmenge des Ereignis E (oder auch in der Ergebnismenge Ω) gibt es zwei Elemente, die die Farbe grün besitzen, nämlich grün1 und grün2. Dies entspricht der Anzahl der günstigen Fälle in der Formel, also: 
.
Zeit für ein paar Beispiele zur Laplace-Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Experiment.
Hast Du noch Deinen sechsseitigen Würfel neben Dir liegen? Probier die folgenden Zufallsexperimente gleich mit aus!
Zufallsexperimente und auch Laplace-Experimente können sowohl einstufig als auch mehrstufig sein. Bei einstufigen Laplace-Experimenten wird der Versuch einmalig durchgeführt und das Ergebnis liefert genau ein Element.
Beispiel 1
Bei einem Laplace-Experiment mit einem sechsseitigen, nicht manipulierten Würfel wird die folgende Ergebnismenge Ω festgelegt. Zu ermitteln ist die Wahrscheinlichkeit 
, bei der das Ereignis E eintritt.
Ereignis E: „Würfeln einer Drei oder Fünf“
Abbildung 6: Ergebnismenge Ω Würfel
Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit 
kannst Du zunächst die Teilmenge des Ereignisses E aufstellen. Für diese gilt:
Abbildung 7: Teilmenge Ereignis E
Die Anzahl 
der günstigen Fälle des Laplace-Experiments (also der Anzahl in der Menge E) beträgt 
.
Du kannst den Schritt zum Aufstellen der Teilmenge E auch überspringen und die Anzahl 
direkt aus der Ergebnismenge Ω entnehmen.
Insgesamt enthält die Ergebnismenge Ω sechs unterschiedliche Würfelseiten, die alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten. Für die Gesamtzahl 
erhältst Du also einen Wert von 
.
Setzt Du nun beide Zahlen in die Formel für die Laplace-Wahrscheinlichkeit ein, dann hast Du die Wahrscheinlichkeit 
ermittelt, bei der das „Würfeln einer Drei oder Fünf“ eintritt.
In diesem Zufallsexperiment würfelst Du mit einer Wahrscheinlichkeit von 
eine der beiden Augenzahlen.
Was passiert, wenn Du mit Deinem Würfel zweimal würfelst und jeweils die Augenzahl notierst? Dann hast Du ein mehrstufiges Zufallsexperiment, bei dem Du ebenfalls Wahrscheinlichkeiten berechnen kannst.
Ein Experiment, das sich aus mehreren Einzelversuchen zusammensetzt, wird als mehrstufig bezeichnet. Schnapp Dir gerne direkt Deinen Würfel und mache mit!
Beispiel 2
Ein nicht gezinkter bzw. nicht manipulierter sechsseitiger Würfel (sogenannter Laplace-Würfel) wird für ein Laplace-Experiment genutzt. Der Würfel wird ein erstes Mal geworfen, die oben liegende Augenzahl notiert und ein weiteres Mal geworfen und ebenfalls die Augenzahl notiert.
Berechne die Wahrscheinlichkeit 
, dass bei zweimaligem Würfeln zunächst eine Vier gewürfelt wird und dann eine beliebige andere Augenzahl.
Tipp: Bei zwei Würfen enthält die Ergebnismenge Ω hier mehr Elementarereignisse als bei einem Wurf. Außerdem sind die beiden Würfe stochastisch unabhängig voneinander.
Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten kannst Du die einzelnen Stufen des Experiments in einem Baumdiagramm übersichtlich darstellen und die Ergebnismenge Ω ermitteln. Für das zweimalige Würfeln könnte das Diagramm beispielsweise wie folgt aussehen:
Abbildung 8: Baumdiagramm zweimaliges Würfeln
Alles rund um das Thema Darstellung von Zufallsexperimenten findest Du im Artikel Baumdiagramm.
Die Ergebnisse entlang der einzelnen Pfade im Baumdiagramm werden in der Ergebnismenge Ω zusammengefasst. Insgesamt gibt es 36 Möglichkeiten, die alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten. Es gilt daher: 
.
Abbildung 9: Ergebnismenge Ω zweimaliges Würfeln
Du kannst die Anzahl 
der günstigen Fälle direkt aus der Ergebnismenge Ω ablesen, indem Du alle Fälle zusammenzählst, bei denen zunächst eine Vier gewürfelt wird und dann eine beliebige andere Zahl. Diese Möglichkeiten sind in der folgenden Teilmenge noch einmal aufgelistet.
Abbildung 10: Teilmenge Ereignis
Es entspricht einer Anzahl 
von 
. Eingesetzt in die Formel zur Berechnung der Laplace-Wahrscheinlichkeit ergibt sich:
Das Ereignis E tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 
ein.
Kannst oder möchtest Du die Ergebnismenge Ω nicht komplett auflisten oder ist Anzahl der Elemente zu groß, so hast Du die Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeit auch über Teilereignisse zu berechnen, indem Du den Multiplikationssatz verwendest.
Im Artikel Multiplikationssatz / Produktsatz und Unabhängigkeit von Ereignissen kannst Du alles rund um dieses Thema noch einmal nachlesen.
Möglich wäre auch eine dritte Lösung mithilfe der Kombinatorik. Dabei muss die Anzahl 
und die Mächtigkeit 
nicht über Abzählen bestimmt werden, sondern sie lassen sich durch Formeln berechnen. Mehr dazu findest Du im Artikel Kombinatorik.
Welche Zufallsexperimente gibt es noch, die keine Laplace-Experimente sind?
Laplace-Experimente sind Zufallsversuche, bei denen alle Ausgänge mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten. Ist dies nicht der Fall, so kann es sich zwar um ein Zufallsexperiment handeln, nicht jedoch um ein Laplace-Experiment.
Beispiel 1
Bei einem kleinen Fest wird eine Zielscheibe aufgebaut, wie in der Abbildung 11 zu sehen ist. Warum ist das Schießen auf die Zielscheibe mit einem Pfeil kein Laplace-Experiment?
Abbildung 11: Zielscheibe
Auf der Zielscheibe befinden sich fünf Bereiche, die jedoch alle unterschiedlich groß sind. Die Wahrscheinlichkeit den Bereich 4 zu treffen ist also größer, als etwa den Bereich 1 zu treffen. Das Experiment erfüllt die Voraussetzungen eines Laplace-Experiments nicht.
Beispiel 2
Stell Dir vor, Du darfst auf dem Fest noch an einem Glücksrad drehen mit verschiedenen Sektoren, wie in Abbildung 12. Wie Du sehen kannst, ist die gelbe Fläche am größten. Die Wahrscheinlichkeit 
den gelben Sektor zu treffen ist 
. Sie ist demnach höher als die Wahrscheinlichkeit 
für beispielsweise die rote Fläche.
Abbildung 12: Glücksrad
Die Wahrscheinlichkeiten unterscheiden sich also bei den ungleichen Kreissektoren, weshalb auch dieses Experiment kein Laplace-Experiment ist.
Weitere Beispiele sind etwa das Werfen einer Reißzwecke oder das Werfen einer manipulierten Münze.
In den nachfolgenden Übungsaufgaben kannst Du noch weitere Laplace-Experimente prüfen und berechnen.
Aufgabe 1
Ein Laplace-Experiment wird zweimal durchgeführt und liefert vier mögliche Ergebnisse, die in der Tabelle aufgelistet sind.
Ergänze die fehlenden Werte in der Tabelle und berechne zudem die Wahrscheinlichkeit 
mindestens ein mal „rot“ im Zufallsexperiment zu erhalten.
 | BR | BB | RB | RR |
 |  |  |
mit B = blau und R = rot
Lösung
Da es sich um ein Laplace-Experiment handelt, treten alle Elementarereignisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein. Die Tabelle kann demnach wie folgt ergänzt werden:
 | BR | BB | RB | RR |
 |  |  |  |  |
Für die Wahrscheinlichkeit 
musst Du noch die Anzahl 
der günstigen Fälle und die Mächtigkeit 
bestimmen. Da es insgesamt vier mögliche Ergebnisse gibt, gilt: 
. Aus der Tabelle kannst Du entnehmen, dass in drei Fällen mindestens eine Farbe „rot“ ist, nämlich 
, 
und 
. Es sind somit 
Fälle.
Nach dem Einsetzen und Ausrechnen ergibt sich bei dem Zufallsexperiment eine Wahrscheinlichkeit von 
, dass mindestens eine „rot“ gezogen wird.
Aufgabe 2
Für ein Zufallsexperiment werden 7 Karten eines Spielkarten-Sets verdeckt bereitgelegt, wobei die Karten folgende Motive enthalten.
Abbildung 13: Spielkarten Experiment
Ermittle, ob das Ziehen einer beliebigen Spielkarte ein Laplace-Experiment darstellt. Berechne zudem die Wahrscheinlichkeit 
, dass eine blaue Spielkarte gezogen wird.
Lösung
Zunächst zur Frage, ob es sich im vorliegenden Zufallsexperiment um ein Laplace-Experiment handelt.
Zur Erinnerung: Bei einem Laplace-Experiment treten alle Elementarereignisse 
der Ergebnismenge Ω mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein.
Kurz gesagt: Ja, es ist ein Laplace-Experiment, wenn die Ergebnismenge Ω entsprechend gewählt wird! Aber warum?
Insgesamt gibt es in diesem Experiment 7 gleich große Spielkarten, wobei natürlich jede von diesen Karten gezogen werden kann (unabhängig von der Farbe!). Es gibt also 7 mögliche Ergebnisse in diesem Experiment. In der Ergebnismenge Ω müssen demnach alle Spielkarten einzeln aufgelistet sein:
Für die Anzahl 
der gesamten endlichen Ergebnisse ergibt sich: 
. Jedes dieser sieben Elementarereignisse trifft mit gleich großer Wahrscheinlichkeit ein.
Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit 
musst Du noch die Anzahl 
bestimmen, bei denen das Ereignis E eintritt. Das Ereignis E ist hier das „Ziehen einer blauen Spielkarte“. In wie vielen Fällen wird eine blaue Karte gezogen?
Da es in den sieben Spielkarten zwei blaue Karten gibt, gilt für die Anzahl 
. Eingesetzt in die Formel zur Laplace-Wahrscheinlichkeit erhältst Du:
Im Zufallsexperiment wird eine blaue Karte mit einer Wahrscheinlichkeit von 
gezogen.
In den Karteikarten zum Laplace-Experiment warten noch weitere Anwendungs- und Übungsaufgaben auf Dich!
gleich wahrscheinlich eintreten. Es gilt:
an Elementarereignissen.
ein und wird berechnet durch:
Laplace-Experimente sind Zufallsexperimente, bei denen alle (elementaren) Ausgänge zufallsbedingt mit gleich großer Wahrscheinlichkeit eintreten. Die Anzahl der Ausgänge muss dabei endlich sein.
Ein Beispiel für ein Laplace-Experiment ist das Werfen eines sechseitigen, ungezinkten Würfels, da jede Würfelseite mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewürfelt wird.
Bei Laplace-Experimenten müssen alle (elementaren) Ausgänge mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten und die Anzahl der Ausgänge endlich sein. Das ist beispielsweise beim Werfen einer nicht manipulierten Münze der Fall, mit „Kopf“ und „Zahl“.
Das Ziehen einer Kugel aus einer Urne, die unterschiedlich große Kugeln enthält, ist kein Laplace-Experiment. Eine große Kugel wird mit höherer Wahrscheinlichkeit gezogen, als eine kleine Kugel.
Es handelt sich bei einem Zufallsexperiment um ein Laplace-Experiment, wenn alle (elementaren) Ausgänge des Experiments mit gleich großer Wahrscheinlichkeit eintreten. Die Anzahl der Ausgänge muss dabei endlich sein.
Frage
Folgender Dialog entstand zwischen zwei Klassenkameraden.
Beurteile die Aussagen nach ihrer Korrektheit.
Antwort
Die zweite Aussage ist korrekt!
Ein Zufallsexperiment kann als Laplace-Experiment bezeichnet werden, wenn alle elementaren Ereignisse einer endlichen Ergebnismenge mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten.
Frage
Nachfolgend sind verschiedene Eigenschaften eines beliebigen Zufallsexperiments aufgelistet. Entscheide, welche Eigenschaften auf ein Laplace-Experiment zutreffen.
Antwort
Die Ergebnismenge ist unendlich.
Frage
Gib an, weshalb es sich beim Wurf eines sechsseitigen, nicht manipulierten Würfel um ein Laplace-Experiment handelt. Wie wird so ein Würfel noch bezeichnet?
Antwort
Ein nicht manipulierter Würfel besitzt auf jeder seiner sechs Seiten verschiedene Zahlen (z. B. von 1 bis 6). Jede dieser Zahlen kann mit derselben Wahrscheinlichkeit geworfen werden. In diesem Fall wäre dies für jedes Elementarereignis eine Wahrscheinlichkeit
von
.
Da es sich beim Würfelwurf um ein Laplace-Experiment handelt, wird der Würfel auch als Laplace-Würfel bezeichnet.
Frage
Im Schulbuch wurden wichtige Informationen durch ausgelaufene Tinte verdeckt. Lies den folgenden Abschnitt durch und ergänze passende Begriffe.
Antwort
Eine Laplace-Münze hat zwei gleich große Seiten (Kopf oder Zahl). Bei einem Wurf der Münze hat jede Seite eine Wahrscheinlichkeit von oben zu liegen.
Die Elementarereignisse treten somit mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein, was einem Laplace-Experiment entspricht.
Frage
Entscheide, mit welcher Formel die Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Laplace-Experiments berechnet werden kann.
Antwort
Frage
Für ein Zufallsexperiment wird eine nicht manipulierte Münze verwendet, eine sogenannte Laplace-Münze, die sowohl „Kopf“ als auch „Zahl“ besitzt. Verdeutliche das Zufallsexperiment in einem Säulendiagramm, bei dem die Wahrscheinlichkeit und die entsprechenden Elementarereignisse
aufgetragen sind.
Antwort
Da es sich beim Münzwurf um zwei Elementarereignisse handelt, die mit einer Wahrscheinlichkeit von
auftreten, kann das Säulendiagramm wie folgt gezeichnet werden:
K entspricht dem Elementarereignis „Kopf“ und Z dem Elementarereignis „Zahl“.
Frage
Eine Glasschale ist mit verschiedenen Bonbons gefüllt. Davon sind drei rot, zwei grün und zwei gelb. Für ein Zufallsexperiment wird blind ein Bonbon gezogen.
Antwort
Um die Voraussetzungen für ein Laplace-Experiment zu erfüllen, muss jedes Elementarereignis gleich wahrscheinlich eintreten. Dies ist der Fall, wenn jedes Bonbon als Elementarereignis betrachtet wird und somit gilt:
Frage
Im Jahrmarkt wird ein Stand mit zwei Glücksrädern A und B aufgebaut. Prüfe, ob es sich bei den Glücksrädern um Laplace-Experimente handelt und begründe.
Antwort
Bei Glücksrad A handelt es sich nicht um ein Laplace-Experiment, da das Rad unterschiedlich große Sektoren (Elementarereignisse) aufweist. Es ist hier beispielsweise wahrscheinlicher, dass der Zeiger auf gelb fällt statt auf rot. Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Sektoren sind nicht gleich wahrscheinlich.
Glücksrad B weist hingegen sechs gleich große Sektoren auf, weshalb der Zeiger bei jedem Sektor mit gleich großer Wahrscheinlichkeit stehen bleibt (vorausgesetzt physikalische Eigenschaften werden außer Acht gelassen). Die Elementarereignisse (Sektoren) treten mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein; das Experiment ist ein Laplace-Experiment.
Frage
Das nachfolgende Säulendiagramm zeigt schematisch die Wahrscheinlichkeiten zu den entsprechenden Elementarereignissen
eines Zufallsexperiments.
Erläutere, ob es sich im vorliegenden Zufallsexperiment um ein Laplace-Experiment handelt.
Antwort
Das schematische Säulendiagramm zeigt für die fünf Elementarereignisse unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten an, da die einzelnen Säulen nicht gleich hoch sind. Ein Laplace-Experiment liegt nur vor, wenn alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich eintreten.
Frage
Die Ergebnismenge Ω eines Zufallsexperiments ist gegeben mit .
Skizziere und beschreibe ein mögliches Laplace-Experiment.
Antwort
Ein Laplace-Experiment mit der gegebenen Ergebnismenge hat sechs verschiedene Elementarereignisse, die alle mit derselben Wahrscheinlichkeit eintreten. Es gilt: .
Möglichkeit 1:
Ein Glücksrad mit sechs gleich großen Sektoren würde einem Laplace-Experiment entsprechen.
Möglichkeit 2:
Ein sechsseitiger, farbiger und ungezinkter Würfel würde ebenfalls einem Laplace-Experiment entsprechen.
Die verdeckten Flächen beinhalten noch die Farben lila, gelb und grau.
Frage
Mit verschiedenartigen Würfeln soll ein Laplace-Experiment zweimal durchgeführt werden. Als Ergebnis des Experiments ergibt sich eine Laplace-Wahrscheinlichkeit von für das Ereignis E, bei dem in beiden Würfen die Zahl 1 gewürfelt wird.
Ermittle, um welche Art Würfel es sich handelt: sechsseitig, vierseitig oder achtseitig.
Antwort
vierseitig
Frage
Der Wetterbericht liefert die Voraussage, dass in der kommenden Woche ein sonniger Tag dabei sein wird. Welcher Tag es genau sein wird, kann rein zufällig sein.
Gib die Ergebnismenge Ω und berechne die Wahrscheinlichkeit , dass der sonnige Tag auf einen Werktag fällt.
Antwort
Frage
Eine Stiftfabrik produziert Schachteln mit 80 darin enthaltenen Bleistiften. Pro Schachtel werden einige der Bleistifte als Mangelware eingestuft und später aussortiert.
Im Rahmen der Qualitätsprüfung wird ein zufällig ausgewählter Bleistift überprüft. Die Wahrscheinlichkeit, direkt einen mangelhaften Bleistift zu ziehen, wird mit angenommen. Ermittle zudem die Stückzahl der mangelhaften Bleistifte pro Schachtel.
Antwort
5 Bleistifte
Frage
In der Klasse wird ein Laplace-Experiment mit drei unterschiedlich farbigen Elementen durchgeführt. Das erste Element wird zufällig gezogen, die Farbe notiert und wieder zurückgelegt. Anschließend wird ein weiteres Element gezogen und ebenfalls notiert. Überprüfe folgende Aussage eines Klassenkameraden:
Antwort
Die Antwort ist falsch! Die Wahrscheinlichkeit beträgt
.
Frage
Zu Beginn des neuen Schuljahres werden die Mathe-Schulbücher zufällig an die 15 Schüler*innen einer Klasse verteilt. In vier Büchern fehlt eine Seite, was von außen nicht erkennbar ist. Die wahllose Verteilung kann als Laplace-Experiment angesehen werden.
Berechne die Wahrscheinlichkeit , dass die erste Schüler*in ein einwandfreies Exemplar erhält.
Antwort
Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.
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