Einseitiger Hypothesentest

Es wird die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn beim Los-Ziehen untersucht. Die Nullhypothese lautet:

$$H_0:\text{Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn ist }p_0=0{,}5$$

Bei einem einseitigen Hypothesentest ist jetzt zum Beispiel nur von Interesse, ob die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn geringer ist. Dann lautet die Alternativhypothese:

$$H_1:\text{Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn ist }p_1<0{,}5$$

Mit dieser Alternativhypothese handelt es sich um einen linksseitigen Hypothesentest.

Bei einem rechtsseitigen Hypothesentest würde eine größere Gewinnwahrscheinlichkeit vermutet werden und die Alternativhypothese wäre:

$$H_1:\text{Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn ist }p_1>0{,}5$$

Die Nullhypothese lautet wieder

$$H_0:\text{Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn ist }p_0=0{,}5$$

Bei einem zweiseitigen Hypothesentest wird untersucht, ob es eine Abweichung von dieser Wahrscheinlichkeit gibt, egal in welche Richtung. Die Alternativhypothese lautet:

$$H_1:\text{Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn ist }p_1\neq 0{,}5$$

Tristan hat schon häufig Lose an einer Losbude gekauft. Die Losbude verspricht eine Gewinnwahrscheinlichkeit von \(\text{0,3}\). Tristan hat aber das Gefühl, viel seltener zu gewinnen. Deswegen kauft er 100 Lose und möchte einen Hypothesentest durchführen. Unter den 100 Losen sind 20 Gewinne.

Die Hypothesen lauten:

\begin{array}{c}H_O:\text{Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist }p=0{,}3 \\ H_1:\text{Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist }p_1<0{,}3\end{array}

Tristan legt als Signifikanzniveau \(\alpha=\text{0,05}\) fest.

Wie sieht nun der Ablehnungsbereich der Nullhypothese aus?

Er beginnt bei \(0\). Um das "rechte Ende" des Ablehnungsbereichs zu bestimmen, suchst Du den kritischen Wert \(k\), dessen kumulierte Wahrscheinlichkeit gerade eben noch kleiner als \(\text{0,05}\) ist.

Für \(n=100\) und \(p=\text{0,03}\) ist

\begin{align}P(X\leq 22)=\text{0,0479} \\ P(X\leq 23)=\text{0,0755}\end{align}

\(k=22\) ist der letzte Wert, für den die kumulierte Wahrscheinlichkeit noch unter dem Signifikanzniveau liegt.

Deswegen ist der Ablehnungsbereich der Nullhypothese

$$\overline{A}=\{0,\dots,22\}$$

Der Annahmebereich der Nullhypothese ist dann

$$A=\{23,\dots,100\}$$

Auf Grundlage der Stichprobe mit 100 Losen und 20 Gewinnen sollte Tristan die Nullhypothese ablehnen. Tristan geht nun davon aus, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit kleiner als \(\text{0,03}\) ist.

Betrachte noch einmal das Einstiegsbeispiel:

Ein Supermarkt bestellt Äpfel bei einem Obsthändler. Laut Vertrag dürfen maximal 1 Prozent der Äpfel bei der Lieferung eine Druckstelle haben. Der Inhaber des Supermarkts vermutet, dass ich letzter Zeit mehr Äpfel Druckstellen haben und möchte dies mit einer Stichprobe überprüfen. Dazu kontrolliert er zufällig hundert Äpfel und führt einen Hypothesentest durch. Von den 100 Äpfel haben 14 eine Druckstelle. Die Hypothesen lauten:

\begin{align}H_0: \text{Die Wahrscheinlichkeit für einen Apfel mit Druckstelle ist }p=0{,}01 \\ H_1: \text{Die Wahrscheinlichkeit für einen Apfel mit Druckstelle ist }p>0{,}01 \end{align}

Der Inhaber des Supermarkts legt \(\alpha=0,1\) als Signifikanzniveau fest.

Gesucht ist nun der kritische Wert \(k\), sodass gerade eben \(P(X\geq k)\leq \text{0,1} \) gilt.

Umformen liefert

\begin{array}{lrcl}\, &P(X \leq k-1) & \geq & 1-\text{0,1} \\ \Leftrightarrow & P(X \leq k-1) & \geq &\text{0,9}\end{array}

In der Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung mit \(n=100\) und \(p=0{,}1\) stehen die folgenden Werte:

\begin{align}P(X \leq 13)=\text{0,8761} \\ P(X \leq 14)=\text{0,9274}\end{align}

\(k-1=14\) ist also der erste Wert, sodass die kumulierte Wahrscheinlichkeit größer als \(\text{0,9}\) ist.

Gesucht ist aber nicht \(k-1\) sondern \(k\):

\begin{align} k-1=14 \\ \Rightarrow k=15\end{align}

Der gesuchte kritische Wert ist \(k=15\). Deshalb ist der Ablehnungsbereich der Nullhypothese

$$\overline{A}=\{15,\dots,100\}$$

Der Annahmebereich der Nullhypothese ist dann$$A=\{0,\dots,14\}$$Aufgrund des Stichprobenergebnisses von 14 Äpfeln mit einer Druckstelle sollte der Inhaber des Supermarkts die Nullhypothese annehmen und davon ausgehen, dass wirklich insgesamt maximal 1 Prozent der Äpfel eine Druckstelle aufweisen.

Aufgabe 1

Ling liest in einer Zeitschrift, dass in Deutschland 24 Prozent aller Erwachsenen rauchen. Sie kennt kaum jemanden, der raucht und vermutet deshalb, dass weniger Erwachsene rauchen.

Um ihre Behauptung zu überprüfen, möchte sie 200 Erwachsene befragen.

Stelle die Nullhypothese und die Alternativhypothese auf und entscheide, ob ein linksseitiger oder rechtsseitiger Hypothesentest durchgeführt wird.

Lösung

Die Hypothesen lauten:

\begin{align}H_0: \text{Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Erwachsener raucht, ist }p=0{,}24 \\ H_1: \text{Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Erwachsener raucht, ist }p<0{,}24\end{align}

Ling vermutet eine kleinere Wahrscheinlichkeit als in der Nullhypothese. Deswegen führt Ling einen linksseitigen Hypothesentest durch.

Aufgabe 2

Mina möchte gerne ein Haustier haben. Deswegen sagt sie zu ihren Eltern: "50 Prozent der Haushalte in Deutschland haben ein Haustier." Ihre Eltern glauben ihr das nicht und meinen, dass weniger Leute Haustiere haben.

Um ihre Eltern zu überzeugen, möchte Mina eine Stichprobe durchführen und befragt zufällig 100 Personen, ob sie ein Haustier haben. 43 Personen geben dabei an, dass sie ein Haustier haben.

Führe einen Hypothesentest mit Signifikanzniveau \(\alpha=0{,}05\) durch, um Minas Behauptung zu überprüfen. Um welche Art von Hypothesentest handelt es sich?

Lösung

Die Hypothesen lauten:

\begin{array}{c}H_0: \text{Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person ein Haustier hat, ist } p=0{,}5 \\ H_1: \text{Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person ein Haustier hat, ist } p_1<0{,}5\end{array}

Du bestimmst den Ablehnungsbereich der Nullhypothese. Dazu suchst Du den größten Wert \(k\), sodass die kumulierte Wahrscheinlichkeit \( (P(X\leq k) \) gerade eben noch kleiner ist als \( \alpha=0{,}05 \). Für \(n=100\) und \( p=0{,}5 \) ist

\begin{align}P(X \leq 41) =0{,}0443 \\ P/X \leq 42) =0{,}0666\end{align}

Der gesuchte kritische Wert ist \(k=41\). Der Ablehnungsbereich \(\overline{A}\) der Nullhypothese ist$$\overline{A}=\{0,\dots,41\}$$

Der Annahmebereich \(A\) der Nullhypothese lautet dann

$$A=\{42,\dots,100\}$$Minas Nullhypothese kann angenommen werden.

Es wurde ein linksseitiger Hypothesentest durchgeführt.

Aufgabe 3

Die Schülerinnen und Schüler einer Klasse behaupten, dass insgesamt nur fünf Prozent aller Jugendlichen Mathe mögen. Ihre Mathelehrerin hält dagegen und meint, dass es mehr sind. Deswegen führt die Klasse einen Hypothesentest durch und befragt 100 zufällige Schülerinnen und Schüler, ob sie Mathe mögen. 10 geben dabei an, dass sie Mathe mögen. Die Hypothesen lauten:

\begin{array}{c}H_0: \text{Die Wahrscheinlichkeit, dass ein*e Schüler*in Mathe mag, ist } p=0{,}05 \\H_1: \text{Die Wahrscheinlichkeit, dass ein*e Schüler*in Mathe mag, ist } p>0{,}05\end{array}

Führe einen rechtsseitigen Hypothesentest mit \(\alpha =0{,}1 \) durch.

Lösung

Du bestimmst den Ablehnungsbereich \(\overline{A}=\{k,\dots,100\}\) der Nullhypothese. Dazu benötigst Du den Wert \(k\) mit

$$P(X\geq k)\leq 0{,}1$$

Umformen ergibt

\begin{align}P(X \leq k-1) & \geq 1- 0{,}1 \\ P(X \leq k-1) & \geq 0{,}9\end{align}

Für \(n=100\) und \(p=0{,}05\) ist

\begin{align}P(X \leq 7)=0{,}872 \\ P(X \leq 8)=0{,}9369\end{align}

Es ist \(k-1=8\). Daraus folgt

$$k=9$$

Der Ablehnungsbereich \(\overline{A}\) der Nullhypothese ist

$$\overline{A}=\{9,\dots,100\}$$

Der Annahmebereich \(A\) ist

$$A=\{0,\dots,8\}$$

Aufgrund des Stichprobenergebnisses wird die Nullhypothese abgelehnt und davon ausgegangen, dass mehr als fünf Prozent der Schülerinnen und Schüler Mathe mögen.