Ein Supermarkt bestellt Äpfel bei einem Obsthändler. Laut Vertrag dürfen maximal ein Prozent der Äpfel bei der Lieferung eine Druckstelle haben. Der Inhaber des Supermarkts vermutet, dass in letzter Zeit mehr Äpfel Druckstellen haben und möchte dies mit einer Stichprobe überprüfen.
Nun überlegt er, bei welchen Stichprobenergebnissen er die Ware beim Obsthändler reklamieren sollte.
Der Inhaber des Supermarkts führt einen Hypothesentest durch. Da ihn nur interessiert, ob mehr Äpfel als vereinbart Druckstellen aufweisen, handelt es sich um einen einseitigen Hypothesentest, genauer gesagt um einen rechtsseitigen Hypothesentest.
Einseitiger Hypothesentest – Hypothesentest allgemein
Einen Hypothesentest kannst Du verwenden, um auf der Grundlage von Stichprobenergebnissen zu entscheiden, ob Du eine Hypothese annimmst oder ablehnst.
Jeder Hypothesentest hat eine Nullhypothese und eine Alternativhypothese. Dabei beschreibt die Nullhypothese den Ausgangszustand und die Alternativhypothese die neue Vermutung.
Unter "Hypothesentest" und "Nullhypothese" findest Du eine ausführliche Erklärung zum Hypothesentest allgemein bzw. zum Aufstellen der Nullhypothese.
Ein Hypothesentest wird manchmal auch Signifikanztest genannt, sowie die Alternativhypothese manchmal auch als Gegenhypothese bezeichnet wird.
Einseitiger Hypothesentest – Unterschied zweiseitiger Hypothesentest
Beim Testen von Hypothesen wird zwischen einseitigen und zweiseitigen Hypothesentest unterschieden. Doch was genau ist überhaupt der Unterschied?
Bei einem einseitigen Hypothesentest wird in der Alternativhypothese eine Abweichung von der Nullhypothese in nur eine Richtung vermutet. In der Nullhypothese wird eine Wahrscheinlichkeit genannt. Die Alternativhypothese geht entweder davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit größer ist (rechtsseitiger Hypothesentest) oder dass die Wahrscheinlichkeit kleiner ist (linksseitiger Hypothesentest). Es handelt sich um eine gerichtete Hypothese.
Es wird die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn beim Los-Ziehen untersucht. Die Nullhypothese lautet:
$$H_0:\text{Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn ist }p_0=0{,}5$$
Bei einem einseitigen Hypothesentest ist jetzt zum Beispiel nur von Interesse, ob die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn geringer ist. Dann lautet die Alternativhypothese:
$$H_1:\text{Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn ist }p_1<0{,}5$$
Mit dieser Alternativhypothese handelt es sich um einen linksseitigen Hypothesentest.
Bei einem rechtsseitigen Hypothesentest würde eine größere Gewinnwahrscheinlichkeit vermutet werden und die Alternativhypothese wäre:
$$H_1:\text{Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn ist }p_1>0{,}5$$
Ein zweiseitiger Hypothesentest untersucht im Unterschied dazu eine Abweichung in beide Richtungen. Hier wird die Wahrscheinlichkeit der Nullhypothese in der Alternativhypothese verneint. Es handelt sich um eine ungerichtete Hypothese.
Die Nullhypothese lautet wieder
$$H_0:\text{Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn ist }p_0=0{,}5$$
Bei einem zweiseitigen Hypothesentest wird untersucht, ob es eine Abweichung von dieser Wahrscheinlichkeit gibt, egal in welche Richtung. Die Alternativhypothese lautet:
$$H_1:\text{Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn ist }p_1\neq 0{,}5$$
Bei einem einseitigen Hypothesentest ist also im Unterschied zum zweiseitigen Hypothesentest nur die Abweichung in eine Richtung von Bedeutung.
Der Ablehnungsbereich bei einem zweiseitigen Hypothesentest ist zweigeteilt. Bei einem einseitigen Hypothesentest hingegen besteht er nur aus einem Teil.
Einseitiger Hypothesentest – einfach erklärt
Wie wird ein einseitiger Hypothesentest nun durchgeführt?
Zuerst stellst Du die Nullhypothese und die Alternativhypothese (Gegenhypothese) auf. Bei einem linksseitigen Hypothesentest wird in der Alternativhypothese eine kleinere Wahrscheinlichkeit vermutet, bei einem rechtsseitigen Hypothesentest eine größere Wahrscheinlichkeit.
Dann wird das Signifikanzniveau festgelegt, um den Annahme- sowie den Ablehnungsbereich der Nullhypothese zu bestimmen.
Einseitiger Hypothesentest Signifikanzniveau
Was ist das Signifikanzniveau bei einem einseitigen Hypothesentest überhaupt?
Das Signifikanzniveau gibt die maximale Wahrscheinlichkeit \(\alpha\) dafür an, die Nullhypothese abzulehnen, obwohl sie wahr ist.
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Wertes aus dem Ablehnungsbereich darf nicht größer sein als das Signifikanzniveau. Typische Werte für das Signifikanzniveau sind zum Beispiel \(\alpha=0{,}05\) oder \(\alpha=0{,}1\).
Bei einem einseitigen Hypothesentest liegt der Ablehnungsbereich nur auf einer Seite des Erwartungswertes.
Nachdem das Signifikanzniveau festgelegt wurde, kannst Du den Annahme- sowie den Ablehnungsbereich bestimmen.
Linksseitiger Hypothesentest
Bei einem linksseitigen Hypothesentest liegt der Ablehnungsbereich der Nullhypothese links vom Erwartungswert.
Die Anzahl an "Treffern" bei einer Stichprobe ist binomialverteilt. Um den Ablehnungsbereich bei einem linksseitigen Hypothesentest zu bestimmen, kannst Du die kumulierte Binomialverteilung verwenden.
Der Ablehnungsbereich \(\overline{A}\) der Nullhypothese bei einem linksseitigen Hypothesentest ist
$$\overline{A}=\{0,\dots,k\}$$
Dabei ist \(k\) der größte Wert für den gilt
$$P(X\leq k)\leq \alpha$$
Was genau bedeutet das nun für den Ablehnungsbereich eines linksseitigen Hypothesentests?
Um den Wert \(k\) zu bestimmen, kannst Du gut die Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung verwenden. Diese findest Du in Deiner Formelsammlung.
Dort suchst Du für die Stichprobengröße \(n\) und die Wahrscheinlichkeit \(p\) aus der Nullhypothese den Wert \(k\), dessen kumulierte Wahrscheinlichkeit gerade eben noch kleiner ist als das Signifikanzniveau.
Tristan hat schon häufig Lose an einer Losbude gekauft. Die Losbude verspricht eine Gewinnwahrscheinlichkeit von \(\text{0,3}\). Tristan hat aber das Gefühl, viel seltener zu gewinnen. Deswegen kauft er 100 Lose und möchte einen Hypothesentest durchführen. Unter den 100 Losen sind 20 Gewinne.
Die Hypothesen lauten:
\begin{array}{c}H_O:\text{Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist }p=0{,}3 \\ H_1:\text{Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist }p_1<0{,}3\end{array}
Tristan legt als Signifikanzniveau \(\alpha=\text{0,05}\) fest.
Wie sieht nun der Ablehnungsbereich der Nullhypothese aus?
Er beginnt bei \(0\). Um das "rechte Ende" des Ablehnungsbereichs zu bestimmen, suchst Du den kritischen Wert \(k\), dessen kumulierte Wahrscheinlichkeit gerade eben noch kleiner als \(\text{0,05}\) ist.
Für \(n=100\) und \(p=\text{0,03}\) ist
\begin{align}P(X\leq 22)=\text{0,0479} \\ P(X\leq 23)=\text{0,0755}\end{align}
\(k=22\) ist der letzte Wert, für den die kumulierte Wahrscheinlichkeit noch unter dem Signifikanzniveau liegt.
Deswegen ist der Ablehnungsbereich der Nullhypothese
$$\overline{A}=\{0,\dots,22\}$$
Der Annahmebereich der Nullhypothese ist dann
$$A=\{23,\dots,100\}$$
Auf Grundlage der Stichprobe mit 100 Losen und 20 Gewinnen sollte Tristan die Nullhypothese ablehnen. Tristan geht nun davon aus, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit kleiner als \(\text{0,03}\) ist.
Manchmal wird der kritische Wert auch mit \(k_l\) bezeichnet, da es sich um den kritischen Wert auf der linken Seite vom Erwartungswert handelt.
Rechtsseitiger Hypothesentest
Bei einem rechtsseitigen Hypothesentest liegt der Ablehnungsbereich der Nullhypothese rechts vom Erwartungswert.
Der Ablehnungsbereich \(\overline{A}\) der Nullhypothese bei einem rechtsseitigen Hypothesentest mit Stichprobenumfang \(n\) ist
$$\overline{A}=\{k,\dots,n\}$$
Dabei ist \(k\) der kleinste Wert für den gilt
$$P(X\geq k)\leq \alpha$$
Im Gegensatz zum linksseitigen Hypothesentest ist hier die Zufallsgröße \(X\) größer oder gleich \(k\). Denn die Werte im Ablehnungsbereich der Nullhypothese sind größer als der kritische Wert \(k\).
Wenn Du auch hier den kritischen Wert aus der Tabelle für kumulierte Binomialverteilungen ablesen möchtest, formst Du zuerst um. \(P(X\geq k)\) kannst Du nicht in der Tabelle ablesen.
\begin{array}{crcll} \, & P(X\geq k) & \leq & \alpha \\\Leftrightarrow & 1-P(X<k) &\leq & \alpha \\ \Leftrightarrow & 1-P(X \leq k-1) & \leq & \alpha & |-1\\ \Leftrightarrow & -P(X \leq k-1) & \leq & \alpha -1& |·(-1) \\ \Leftrightarrow & P(X \leq k-1) & \geq & 1-\alpha \end{array}
\(P(X \leq k-1)\) kannst Du aus der Tabelle für kumulierte Binomialverteilungen ablesen. Gesucht ist also der Wert \(k-1\) der gerade eben größer als \(1-\alpha\) ist.
Wenn Dein Taschenrechner Werte der kumulierten Binomialverteilung direkt berechnen kann, brauchst Du nicht umformen, sondern kannst mithilfe des Taschenrechners \(k\) durch Ausprobieren bestimmen, sodass \(P(X\geq k)\leq \alpha\) gilt.
Betrachte noch einmal das Einstiegsbeispiel:
Ein Supermarkt bestellt Äpfel bei einem Obsthändler. Laut Vertrag dürfen maximal 1 Prozent der Äpfel bei der Lieferung eine Druckstelle haben. Der Inhaber des Supermarkts vermutet, dass ich letzter Zeit mehr Äpfel Druckstellen haben und möchte dies mit einer Stichprobe überprüfen. Dazu kontrolliert er zufällig hundert Äpfel und führt einen Hypothesentest durch. Von den 100 Äpfel haben 14 eine Druckstelle. Die Hypothesen lauten:
\begin{align}H_0: \text{Die Wahrscheinlichkeit für einen Apfel mit Druckstelle ist }p=0{,}01 \\ H_1: \text{Die Wahrscheinlichkeit für einen Apfel mit Druckstelle ist }p>0{,}01 \end{align}
Der Inhaber des Supermarkts legt \(\alpha=0,1\) als Signifikanzniveau fest.
Gesucht ist nun der kritische Wert \(k\), sodass gerade eben \(P(X\geq k)\leq \text{0,1} \) gilt.
Umformen liefert
\begin{array}{lrcl}\, &P(X \leq k-1) & \geq & 1-\text{0,1} \\ \Leftrightarrow & P(X \leq k-1) & \geq &\text{0,9}\end{array}
In der Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung mit \(n=100\) und \(p=0{,}1\) stehen die folgenden Werte:
\begin{align}P(X \leq 13)=\text{0,8761} \\ P(X \leq 14)=\text{0,9274}\end{align}
\(k-1=14\) ist also der erste Wert, sodass die kumulierte Wahrscheinlichkeit größer als \(\text{0,9}\) ist.
Gesucht ist aber nicht \(k-1\) sondern \(k\):
\begin{align} k-1=14 \\ \Rightarrow k=15\end{align}
Der gesuchte kritische Wert ist \(k=15\). Deshalb ist der Ablehnungsbereich der Nullhypothese
$$\overline{A}=\{15,\dots,100\}$$
Der Annahmebereich der Nullhypothese ist dann$$A=\{0,\dots,14\}$$Aufgrund des Stichprobenergebnisses von 14 Äpfeln mit einer Druckstelle sollte der Inhaber des Supermarkts die Nullhypothese annehmen und davon ausgehen, dass wirklich insgesamt maximal 1 Prozent der Äpfel eine Druckstelle aufweisen.
Einseitiger Hypothesentest – Sigma-Regeln
Ist die Standardabweichung \(\sigma\) der Binomialverteilung größer als 3, kann die Binomialverteilung mit der Normalverteilung genährt werden und die Sigma-Regeln gelten.
Die Sigma-Regeln besagen, dass bei einer Normalverteilung \(68{,}3 %\) aller Werte in der Sigma-Umgebung um den Erwartungswert \( \mu \) liegen. Die Wahrscheinlichkeit für einen Wert aus dem Intervall \(I=[\mu - \sigma,\mu + \sigma]\) ist also stets \(0{,}683\).
Dies kannst Du verwenden, um den Ablehnungsbereich einer Nullhypothese zu bestimmen.
Bei einem einseitigen Hypothesentest kannst Du die Standardabweichung \(\sigma\) mit speziellen Werten \(z_\alpha \) multiplizieren, um den kritischen Wert \( k \) zu bestimmen.
$$k=\mu \pm z_\alpha · \sigma $$
Die speziellen Werte \(z_\alpha \) hängen vom Signifikanzniveau \(\alpha \) ab.
| \(\alpha\) | \(0{,}01\) | \(0{,}05\) | \(0{,}1\) |
| \(z_\alpha\) | \(2{,}33\) | \(1{,}64\) | \(1{,}28\) |
In der Erklärung "Sigma Regeln" kannst Du mehr über die Sigma-Regeln und ihre Anwendung beim Hypothesentest erfahren.
Einseitiger Hypothesentest – Fehler 1. und 2. Art
Wie bei jedem Hypothesentest können auch bei einem einseitigen Hypothesentest Fehler beim Annehmen oder Ablehnen der Nullhypothese gemacht werden. Dies sind keine "mathematischen" Fehler, es handelt sich also nicht um Rechenfehler.
Ein Fehler 1. Art entsteht, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl sie wahr ist.
Wird die Nullhypothese angenommen, obwohl sie falsch ist, handelt es sich um einen Fehler 2. Art.
In der Erklärung "Fehler Hypothesentest" findest Du eine ausführliche Erklärung zum Fehler 1. und 2. Art sowie Beispiele.
Einseitiger Hypothesentest – Aufgaben mit Lösungen und Beispiele
Die folgenden Aufgaben kannst Du zum Üben verwenden. Du kannst Dir die Lösungen aber auch als Beispiel ansehen.
Aufgabe 1
Ling liest in einer Zeitschrift, dass in Deutschland 24 Prozent aller Erwachsenen rauchen. Sie kennt kaum jemanden, der raucht und vermutet deshalb, dass weniger Erwachsene rauchen.
Um ihre Behauptung zu überprüfen, möchte sie 200 Erwachsene befragen.
Stelle die Nullhypothese und die Alternativhypothese auf und entscheide, ob ein linksseitiger oder rechtsseitiger Hypothesentest durchgeführt wird.
Lösung
Die Hypothesen lauten:
\begin{align}H_0: \text{Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Erwachsener raucht, ist }p=0{,}24 \\ H_1: \text{Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Erwachsener raucht, ist }p<0{,}24\end{align}
Ling vermutet eine kleinere Wahrscheinlichkeit als in der Nullhypothese. Deswegen führt Ling einen linksseitigen Hypothesentest durch.
Aufgabe 2
Mina möchte gerne ein Haustier haben. Deswegen sagt sie zu ihren Eltern: "50 Prozent der Haushalte in Deutschland haben ein Haustier." Ihre Eltern glauben ihr das nicht und meinen, dass weniger Leute Haustiere haben.
Um ihre Eltern zu überzeugen, möchte Mina eine Stichprobe durchführen und befragt zufällig 100 Personen, ob sie ein Haustier haben. 43 Personen geben dabei an, dass sie ein Haustier haben.
Führe einen Hypothesentest mit Signifikanzniveau \(\alpha=0{,}05\) durch, um Minas Behauptung zu überprüfen. Um welche Art von Hypothesentest handelt es sich?
Lösung
Die Hypothesen lauten:
\begin{array}{c}H_0: \text{Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person ein Haustier hat, ist } p=0{,}5 \\ H_1: \text{Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person ein Haustier hat, ist } p_1<0{,}5\end{array}
Du bestimmst den Ablehnungsbereich der Nullhypothese. Dazu suchst Du den größten Wert \(k\), sodass die kumulierte Wahrscheinlichkeit \( (P(X\leq k) \) gerade eben noch kleiner ist als \( \alpha=0{,}05 \). Für \(n=100\) und \( p=0{,}5 \) ist
\begin{align}P(X \leq 41) =0{,}0443 \\ P/X \leq 42) =0{,}0666\end{align}
Der gesuchte kritische Wert ist \(k=41\). Der Ablehnungsbereich \(\overline{A}\) der Nullhypothese ist$$\overline{A}=\{0,\dots,41\}$$
Der Annahmebereich \(A\) der Nullhypothese lautet dann
$$A=\{42,\dots,100\}$$Minas Nullhypothese kann angenommen werden.
Es wurde ein linksseitiger Hypothesentest durchgeführt.
Aufgabe 3
Die Schülerinnen und Schüler einer Klasse behaupten, dass insgesamt nur fünf Prozent aller Jugendlichen Mathe mögen. Ihre Mathelehrerin hält dagegen und meint, dass es mehr sind. Deswegen führt die Klasse einen Hypothesentest durch und befragt 100 zufällige Schülerinnen und Schüler, ob sie Mathe mögen. 10 geben dabei an, dass sie Mathe mögen. Die Hypothesen lauten:
\begin{array}{c}H_0: \text{Die Wahrscheinlichkeit, dass ein*e Schüler*in Mathe mag, ist } p=0{,}05 \\H_1: \text{Die Wahrscheinlichkeit, dass ein*e Schüler*in Mathe mag, ist } p>0{,}05\end{array}
Führe einen rechtsseitigen Hypothesentest mit \(\alpha =0{,}1 \) durch.
Lösung
Du bestimmst den Ablehnungsbereich \(\overline{A}=\{k,\dots,100\}\) der Nullhypothese. Dazu benötigst Du den Wert \(k\) mit
$$P(X\geq k)\leq 0{,}1$$
Umformen ergibt
\begin{align}P(X \leq k-1) & \geq 1- 0{,}1 \\ P(X \leq k-1) & \geq 0{,}9\end{align}
Für \(n=100\) und \(p=0{,}05\) ist
\begin{align}P(X \leq 7)=0{,}872 \\ P(X \leq 8)=0{,}9369\end{align}
Es ist \(k-1=8\). Daraus folgt
$$k=9$$
Der Ablehnungsbereich \(\overline{A}\) der Nullhypothese ist
$$\overline{A}=\{9,\dots,100\}$$
Der Annahmebereich \(A\) ist
$$A=\{0,\dots,8\}$$
Aufgrund des Stichprobenergebnisses wird die Nullhypothese abgelehnt und davon ausgegangen, dass mehr als fünf Prozent der Schülerinnen und Schüler Mathe mögen.
Einseitiger Hypothesentest – Das Wichtigste
- Ein einseitiger Hypothesentest wird angewendet, wenn die Alternativhypothese gerichtet ist.
- Eine gerichtete Hypothese gibt eine Richtung der Abweichung der Wahrscheinlichkeit an. Die neue Wahrscheinlichkeit ist entweder größer oder kleiner als in der Nullhypothese angegeben.
- Ein linksseitiger Hypothesentest wird bei einer vermuteten kleineren Wahrscheinlichkeit \(p_1\) angewendet.
- Gesucht ist \(k\), sodass \(P(X \leq k)\) kleiner als das Signifikanzniveau \(\alpha\) ist.
- Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese ist \(\overline{A}=\{0,\dots, n \}\)
- Ein rechtsseitiger Hypothesentest wird bei einer vermuteten größeren Wahrscheinlichkeit \(p_1\) angewendet.
- Gesucht ist \(k\), sodass \(P(X \geq k)\) gerade eben noch kleiner als das Signifikanzniveau \(\alpha\) ist.
- Für das Ablesen aus der Tabelle formst Du um zu \(P(X \leq k-1) \geq 1-\alpha \).
- Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese ist \(\overline{A}=\{k,\dots,n\}\).
Nachweise
- Hartmann; Lois (2015). Hypothesentest. In: Hypothesen Testen. essentials. Springer Gabler.
- Baum et al. (2009). Lambacher Schweizer 11/12, Mathematik für Gymnasien, Gesamtband Oberstufe Niedersachsen. Ernst Klett Verlag.
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