Pfadmultiplikationsregel

Wenn der Schäfer anfängt, seine Schafe zu scheren, erwischt er mit der Wahrscheinlichkeit $p=\frac{1}{2}$ ein schwarzes Schaf.

Für den Fall, dass der Schäfer zwei schwarze Schafe nacheinander schert und sie dann auf eine andere Weide lässt, ergibt sich für das 1. Schaf die Wahrscheinlichkeit $P\left(S\right)=\frac{1}{2}$. Nun ist ein schwarzes Schaf weniger in der Herde, es sind also nur noch 24 von insgesamt 49 Schafen schwarz. Also liegt die Wahrscheinlichkeit für ein weiteres schwarzes Schaf nun bei $P\left(S\right)=\frac{24}{49}$.

Die Wahrscheinlichkeit für 2 schwarze Schafe hintereinander berechnet sich also wie folgt:

$P(S\cap S)=\frac{1}{2}·\frac{24}{49}=\frac{12}{49}$

Aufgabe 1

Der Schäfer schert zuerst ein schwarzes, dann ein weißes und dann wieder ein schwarzes Schaf und lässt sie danach zurück zur Herde laufen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis.

Lösung

Zur Veranschaulichung der Lösung kannst du dir ein Baumdiagramm skizzieren. Der Pfad, den du für die Lösung gehen musst, ist in türkis markiert. Das Baumdiagramm ist aber nur optional und meist viel zu zeitaufwendig. Er empfiehlt sich daher nur am Anfang, wenn du dir noch unsicher bist.

Abbildung 4; Baumdiagramm 1. Pfadregel Aufgabe 1

Mithilfe der Produktregel multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten des Pfades einfach miteinander.

$\mathrm{P}\left(\mathrm{S}\right)·\mathrm{P}\left(\mathrm{W}\right)·\mathrm{P}\left(\mathrm{S}\right)=\mathrm{P}(\mathrm{S}\cap \mathrm{W}\cap \mathrm{S})=\frac{1}{2}·\frac{1}{2}·\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schäfer ein schwarzes, ein weißes und ein schwarzes Schaf in genau der Reihenfolge schert, liegt also bei $\mathrm{P}=\frac{1}{8}$.

Aufgabe 2

Berechne den Fall aus Aufgabe 1, wenn der Schäfer die geschorenen Schafe auf eine andere Weide laufen lässt.

Lösung

Hier musst du aufpassen, dass du nicht durcheinander kommst. Bei solch verschachtelten Aufgaben kann ein Baumdiagramm durchaus sinnvoll sein. Wichtig ist, dass du dir die Pfade anschaust und genau aufpasst, wie viele Schafe von jeder Farbe und von der gesamten Herde schon fehlen.

Abbildung 5: Baumdiagramm 1. Pfadregel Aufgabe 2

Sobald du dir einen Überblick verschafft hast, kannst du dann die Wahrscheinlichkeit mithilfe der 1. Pfadregel ausrechnen.

$\mathrm{P}(\mathrm{S}\cap \mathrm{W}\cap \mathrm{S})=\frac{1}{2}·\frac{25}{49}·\frac{1}{2}=\frac{25}{196}$

Aufgabe 3

Der Schäfer behauptet, es sei wahrscheinlicher, dass er erst ein weißes, dann ein schwarzes und dann wieder ein weißes Schaf in Folge schert, anstatt 3 weiße in Folge, wenn er die Schafe danach auf eine andere Weide lässt. Hat er Recht?

Lösung

Die Herangehensweise ist dieselbe wie bei Aufgabe 2 über die 1. Pfadregel.

Vielleicht bist du ja schon sicher genug, um den Baum wegzulassen?

$\begin{array}{rcl}P(W\cap W\cap W)& =& \frac{1}{2}·\frac{24}{49}·\frac{23}{48}=\frac{23}{196}\\ & & \\ P(W\cap S\cap W)& =& \frac{1}{2}·\frac{25}{49}·\frac{1}{2}=\frac{25}{196}\end{array}$

Antwort: Der Schäfer hat Recht.