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Bernoulli Kette

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Bernoulli Kette

Bei einem Bernoulli Experiment gibt es nur 2 Ausgänge. Wenn ein solches Experiment n-mal unabhängig voneinander wiederholt wird, dann spricht man von einer Bernoulli Kette mit der Länge n.

Formel einer Bernoulli Kette

B = Wahrscheinlichkeit für Bernoulli Kette mit Länge n

p = Trefferwahrscheinlichkeit

k = Treffer Anzahl

Mit der obigen Formel kannst du die Wahrscheinlichkeit einer Bernoulli Kette mit einer Länge n, Trefferwahrscheinlichkeit p und genau k Treffern berechnen. Abgekürzt: B (n;p;k).

Wichtige Wahrscheinlichkeiten für n und p kannst du im Tafelwerk anhand Tabellen ablesen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Bernoulli Kette ist die Binomialverteilung.

Wie erkenne ich eine Bernoulli Kette?

Anhand dieser drei Kriterien erkennst du eine Bernoulli Kette:

  1. Im Einzel-Experiment gibt es nur 2 mögliche Ergebnisse.
  2. Das Einzel-Experiment wird n-mal unabhängig voneinander wiederholt.
  3. Zur Anwendung der Binomialverteilung interessiert uns nur die Anzahl der Treffer (= k) und nicht wo die Treffer auftreten.

Sobald alle Kriterien erfüllt sind, liegt eine Bernoulli Kette vor. Als nächstes musst du festlegen, welches der beiden Ergebnisse der Treffer sein soll. Es sind grundsätzlich beide als Treffer möglich. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses ist dann die Trefferwahrscheinlichkeit p.

Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Bernoulli Kette

Wenn eine Bernoulli Kette vorliegt, steht X für die Anzahl der Treffer der Bernoulli Kette. Es gilt dann die Binomialverteilung:

n = Länge der Bernoulli Kette

p = Trefferwahrscheinlichkeit

k = Anzahl der Treffer

Achtung: bezeichnet die Binomialkoeffizienten “k aus n” oder n” über k”.

Im Taschenrechner kannst du mit der Tastenfolge n [nCr] k oder über die Formel berechnen.

Beispiel

B (100; 0,7; 65) ist die Wahrscheinlichkeit bei einer Bernoulli Kette mit einer Länge von 100, Trefferwahrscheinlichkeit 0,7 und genau 65 Treffern. Es gilt damit folgendes:

Dies kannst du berechnen mit dem Taschenrechner berechnen oder aus dem Tabellenwerk herauslesen.

Wie berechne ich eine Bernoulli Kette mit höchstens k Treffer?

Mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnest du die Wahrscheinlichkeit bei genau k Treffern. Doch wie berechnest du sie bei höchstens k Treffern? Genau, mit der Verteilungsfunktion. Sie lautet wie folgt:

Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten B (n;p;i) müssen von i = 0 bis i = k aufsummiert werden.

Bei einfachen Fällen kannst du dies noch mit dem Taschenrechner oder im Kopf berechnen. Meistens musst du den Wert der Verteilungsfunktion aber im Tafelwerk ablesen.

Beispiel Verteilungsfunktion

Für die Wahrscheinlichkeit bei einer Bernoulli Kette mit einer Länge von 100 und Trefferwahrscheinlichkeit 0,7 und höchstens 65 Treffer kannst du aus dem Tafelwerk in der Tabelle ablesen:

Ist das wirklich eine Bernoulli Kette?

In manchen Aufgaben kann abgefragt werden, ob die Annahme, dass eine Bernoulli Kette vorliegt, überhaupt stimmt. Hierzu kannst du folgende Ansatzpunkte in Betracht ziehen:

  • Sind die Teilexperimente wirklich voneinander unabhängig?
  • Ändert sich die Wahrscheinlichkeit für Treffer vielleicht während der Durchführung der Bernoulli Kette? (z.B. Abnutzungserscheinungen bei Materialien, Lerneffekte bei Versuchspersonen ect.)
  • Gibt es außer den 2 Ergebnissen möglicherweise noch Ausnahmefälle, wo unklar ist, b sie als Treffer oder Niete zu bewerten sind?

Bernoulli Kette - Alles Wichtige auf einen Blick

Im Folgenden haben wir dir alle Kernaussagen zur Bernoulli Kette zusammengefasst:

  1. Eine Bernoulli Kette hat eine n Länge, nur 2 Endergebnisse, und eine k Anzahl an Treffern.
  2. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine Binomialverteilung.

Gut gemacht! Nachdem du alles fleißig durchgelesen hast, solltest du nun alles über Bernoulli Ketten wissen und wie du sie berechnen kannst. :) Weiter so!

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