StudySmarter: Besser Lernen
4.5 • +22k Bewertungen
Mehr als 22 Millionen Downloads
Kostenlos
|
|
Binomialkoeffizient Kombinatorik

Was ist wahrscheinlicher, im Lotto 6 Richtige zu haben oder Gold bei Olympia zu gewinnen? 

Mockup Schule Mockup Schule

Entdecke über 50 Millionen kostenlose Lernmaterialien in unserer App.

Binomialkoeffizient Kombinatorik

Illustration

Lerne mit deinen Freunden und bleibe auf dem richtigen Kurs mit deinen persönlichen Lernstatistiken

Jetzt kostenlos anmelden

Nie wieder prokastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Jetzt kostenlos anmelden
Illustration

Was ist wahrscheinlicher, im Lotto 6 Richtige zu haben oder Gold bei Olympia zu gewinnen?

Um diese Frage zu beantworten, musst Du erst einmal berechnen, wie wahrscheinlich es ist, 6 Richtige aus den 49 Zahlen beim Lotto anzukreuzen. Dafür benötigst Du die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, 6 Zahlen aus 49 möglichen Zahlen zu wählen. An dieser Stelle kommt der Binomialkoeffizient ins Spiel, mit dem Du genau das berechnen kannst. Der grundlegenden Überlegung, auf welche Weise sich die Anzahl von Kombinationen bei Vorgängen der Kombinatorik berechnen lässt, liegt zusätzlich das allgemeine Zählprinzip zugrunde. Was das allgemeine Zählprinzip und der Binomialkoeffizient in der Kombinatorik ist und wie Du ihn berechnest, lernst Du in dieser Erklärung kennen.

Binomialkoeffizient Kombinatorik – Allgemeines Zählprinzip

In der Kombinatorik stellt sich die Frage, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, Dinge miteinander zu kombinieren. Dieser Überlegung liegt das allgemeine Zählprinzip, auch Produktregel der Kombinatorik genannt, zugrunde.

Das allgemeine Zählprinzip beschreibt die grundlegende Vorstellung, auf welche Weise sich die Anzahl von Kombinationen bei Vorgängen der Kombinatorik berechnen lässt.

Mit dem allgemeinen Zählprinzip kannst Du herausfinden, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus k unterschiedlichen Mengen M1, M2, ..., Mk eine Kombination mit jeweils einem Element aus jeder Menge zu erzeugen. Diese Kombinationen werden k-Tupel genannt und werden mit x1, x2, ..., xk notiert. Jeder der k Mengen sind nk Elemente zugeordnet.

Die Anzahl der k-Tupel berechnet sich, indem die Elemente n1-nk aller k Mengen miteinander multipliziert werden:

n1·n2· ... ·nk

Die Tupel-Anzahl lässt sich auch durch die Erstellung eines Baumdiagramms darstellen.

Kleiner Tipp: Ein k-Tupel kann auch mehrere gleiche Elemente enthalten und im Unterschied zu einer Menge ist die Reihenfolge der Elemente in dem k-Tupel entscheidend. Das Element, das an erster Stelle im Tupel steht, ist ein Element der Menge M1.

Zur Anwendung des allgemeinen Zählprinzips kannst Du Dir ein Beispiel ansehen:

In einem Kleidungsgeschäft gibt es die Möglichkeit, personalisierte T-Shirts zu bestellen. Dabei können Kunden sich unter mehreren Optionen bezüglich Form, Farbe und Aufdruck der T-Shirts für jeweils eines entscheiden.

Binomialkoeffizient Kombinatorik Allgemeines Zählprinzip StudySmarterAbbildung 1: Auswahlmöglichkeiten Form-Farbe-Aufdruck

Wie viele unterschiedliche Form-Farbe-Aufdruck-Kombinationen lassen sich auf diese Weise erstellen?

Zur Beantwortung der Frage kannst Du das allgemeine Zählprinzip anwenden. Die Menge M1„Form“ enthält 2 Elemente, also gilt:


nForm=n1=2

Dasselbe notierst Du für die anderen beiden Mengen und erhältst:

nFarbe=n2=3 und nAufruck=n3=4

Die Werte setzt Du in die Formel n1·n2· ... ·nkein:

2·3·4=24

Das ist Deine Anzahl der k-Tupel. Das Kleidungsgeschäft kann also 24 unterschiedliche T-Shirts mit diesem Konzept anbieten. Eines davon könnte so aussehen:

Binomialkoeffizient Kombinatorik Allgemeines Zählprinzip StudySmarterAbbildung 2: mögliches k-Tupel Langarm, grün, ok

Das dazugehörige 3-Tupel könnte dann lauten: Langarm, grün, ok.

Wenn Du Dein Wissen zu diesem Thema vertiefen möchtest, schau in der Erklärung "allgemeine Zählprinzipien" vorbei.

Als Nächstes lernst Du, welche Bedeutung nun der Binomialkoeffizient in der Kombinatorik hat.

Binomialkoeffizient Kombinatorik – Definition

Der Binomialkoeffizient ist eine mathematische Funktion, die in der Stochastik, besser gesagt in der Kombinatorik zur Lösung von Aufgaben verwendet wird.

Mit dem Binomialkoeffizienten kann berechnet werden, wie viele Möglichkeiten es gibt k Objekte, aus einer Menge n zu wählen.

Der Binomialkoeffizient wird wie folgt geschrieben:

nk

Gesprochen heißt das „n über k“ oder „k aus n“.

Dabei werden die Objekte k nicht zurückgelegt und die Reihenfolge, in der gewählt wird, wird nicht berücksichtigt.

Der Binomialkoeffizient spielt als Koeffizient in der Binomialverteilung eine Rolle, worauf auch sein Name zurückzuführen ist.

Im Falle des Beispiels aus der Einleitung ist gesucht, wie viele Möglichkeiten es gibt 6 richtige Zahlen aus 49 möglichen Zahlen anzukreuzen. Dies kann durch den Binomialkoeffizienten ausgedrückt werden:


496

In den folgenden Abschnitten lernst Du, wie die Formel für den Binomialkoeffizienten lautet und wie Du ihn berechnest.

Binomialkoeffizient Kombinatorik – Formel

Da der Binomialkoeffizient eine mathematische Funktion ist, steckt hinter dem Ausdruck nk mehr als nur eine Klammer und zwei Buchstaben, bzw. Zahlen übereinander.

Die Formel des Binomialkoeffizienten lautet:

nk=n!k!·n-k!

Der Binomialkoeffizient setzt sich also zusammen aus der Fakultät von n, geteilt durch die Fakultät von k, multipliziert mit der Fakultät von n-k.

Zur Erinnerung: n! gesprochen „n Fakultät“ ist die Abkürzung für das Produkt aller natürlichen Zahlen, angefangen bei n, bis zu 1: n!=n·...·2·1

Wenn Du die Menge n und die Objekte k gegeben hast, kannst Du also den Binomialkoeffizienten berechnen.

Binomialkoeffizient Kombinatorik – Regeln

Um mit dem Binomialkoeffizienten rechnen zu können, gibt es einige Regeln, die zu beachten sind. Sie können Dir helfen, die Berechnung zu verstehen. Die Rechenregeln gelten für k, n0.

n größer gleich k

Aus einer Menge n können nicht mehr Objekte k gewählt werden, als enthalten sind.

Die Menge n muss größer oder gleich der Anzahl an gewählten Objekten k sein:

nk

Es ist nicht möglich, 11 Muffins aus einer Menge von 10 Muffins zu wählen.

Binomialkoeffizient n über k

Da k, n0können keine negativen Ergebnisse herauskommen.

Der Binomialkoeffizient n über k ist immer größer als 1:

nk1

Zudem gilt immer:

0!=1

weshalb auch für k, n=0gilt:
00=0!0!·(0-0)!=11·1=1

Wenn keine Kugeln gegeben sind, aus denen keine Kugeln gezogen werden können, so ist das trotzdem ein Ereignis.

Binomialkoeffizient n über n

Es kann vorkommen, dass aus einer Menge n ebenfalls genau n Objekte gewählt werden sollen.

Für den Binomialkoeffizient n über n gilt:

nn=1

Da:

nn=n!n!·(n-n)!=n!n!·0!=n!n!·1=1

Wenn Du 10 Muffins aus einer Menge von genau 10 Muffins auswählst, gibt es dabei genau eine Möglichkeit, da die Reihenfolge egal ist.

Binomialkoeffizient n über 0

Manchmal sollen auch 0 Objekte aus der Menge n ausgewählt werden.

Für den Binomialkoeffizient n über 0 gilt:

n0=1

Da:

n0=n!0!·(n-0)!=n!0!·n!=n!1·n!=1

Wenn Du 0 Muffins aus einer Menge von genau 10 Muffins auswählst, ist das genau Dein einziges Ereignis.

Binomialkoeffizient Kombinatorik berechnen

Um nun den Binomialkoeffizienten zu berechnen, musst Du die Anzahl Deiner Objekte k und Deine Menge n gegeben haben. Dann kannst Du die gelernte Formel anwenden:


nk=n!k!·n-k!

Zur Veranschaulichung der Berechnung des Binomialkoeffizienten kannst Du Dir ein Beispiel ansehen:

Du willst aus 5 verschiedenen Kugeln 3 Kugeln auswählen und wissen, wie viele Kombinationsmöglichkeiten es gibt. Dafür berechnest Du den Binomialkoeffizienten mit der folgenden Formel:

nk=n!k!·n-k!

Du setzt folgende Werte in die Formel ein:

n=5, k=3

und rechnest so den Binomialkoeffizienten aus:

53=5!3!·5-3!=5·4·3·2·13·2·1·2!=1206·2·1=12012=10

Somit gibt es bei der Wahl von 3 aus 5 Kugeln genau 10 Kombinationsmöglichkeiten.

Mit dem Taschenrechner ist sogar noch eine Verkürzung der Rechnung möglich.

Binomialkoeffizient Kombinatorik – Herleitung

Die Formel des Binomialkoeffizienten hast Du in den bisherigen Abschnitten kennengelernt. Doch woher kommt diese Formel?

Um den Binomialkoeffizienten jetzt genauer anzusehen, veranschaulichst Du Dir die Auswahl der Objekte k aus der Menge n. Zunächst zählst Du alle Wahlmöglichkeiten, die sich aus der n-elementigen Ausgangsmenge zusammenstellen lassen. Insgesamt werden k Objekte gewählt, die z1, z2, ...,zk genannt werden. Es gibt n Möglichkeiten der Wahl des ersten Objekts z1. Nach jeder beliebigen Wahl dieses ersten Objekts z1 gibt es nur noch n-1 Wahlmöglichkeiten für das zweite Objekt z2, nach dessen Wahl nur noch n-2 für das dritte Objekt z3, bis hin zu(n-(k-1)) Wahlmöglichkeiten für das k-te und letzte Objekt zk.

Binomialkoeffizient Kombinatorik Herleitung StudySmarterAbbildung 3: Anzahl der Wahlmöglichkeiten

Die Anzahl aller so zusammengestellten Wahlmöglichkeiten ist also das Produkt

n·(n-1)·(n-2)·...·(n-(k-1))

von k Faktoren, das sich mithilfe der Fakultät auch als

n!(n-k)!

schreiben lässt.

Allerdings sind genau je k! der gezählten Wahlmöglichkeiten Teil derselben k-elementigen Teilmenge (Anzahl der Wahlmöglichkeiten in Teilmenge in Abbildung 4).

Binomialkoeffizient Kombinatorik Herleitung StudySmarterAbbildung 4: Anzahl der Wahlmöglichkeiten in Teilmenge

Nach der Division durch diese „Zähl-Vielfachheit“ ergibt sich die Formel für den Binomialkoeffizienten:

nk=n!k!·n-k!

Somit hast Du Dir den Binomialkoeffizienten hergeleitet.

Pascalsches Dreieck Binomialkoeffizient

Das Pascalsche Dreieck ist eine Form der grafischen Darstellung des Binomialkoeffizienten und kann Dir bei der Berechnung helfen.

Auch im Kontext der binomischen Formeln wird das Pascalsche Dreieck verwendet. Wenn Du Dein Wissen zu diesem Thema vertiefen möchtest, schaue in der Erklärung „Pascalsches Dreieck“ vorbei.

In dem Pascalschen Dreieck sind Zahlen in einem Schema gegliedert. Dabei sind die Zahlen in Dreiecksform angeordnet. Pro Zeile wird immer eine Zahl hinzugefügt. Die äußerste Reihe bildet in jeder Zeile die Zahl 1. Die Summe der beiden Zahl links und rechts bildet die nächste Zahl unterhalb (siehe Abbildung 5).

Binomialkoeffizient Kombinatorik Pascalsches Dreieck Binomialkoeffizient StudySmarterAbbildung 5: Schema Pascalsches Dreieck

Das Pascalsche Dreieck kannst Du beliebig lange erweitern.

Für den Binomialkoeffizienten wird das Pascalsche Dreieck nummeriert. Wenn die Variablen n und k als Koordinaten in einem Dreieck verstanden werden, so ergibt sich das Pascalsche Dreieck. Dabei kann die Variable n als Zeilenindex und k als Spaltenindex interpretiert werden, wobei die Zählung mit der Zahl 0 beginnt. Die Werte für n verlaufen also horizontal, während die Werte für k vertikal in dem Pascalschen Dreieck verlaufen (siehe Abbildung 6).

Binomialkoeffizient Kombinatorik Pascalsches Dreieck Binomialkoeffizient StudySmarterAbbildung 6: Pascalsches Dreieck – Binomialkoeffizient

Wenn Du nun n und k gegeben hast und den Binomialkoeffizienten nk berechnen willst, musst Du nur noch in die richtigen Zeilen und Spalten gehen.

Stell Dir vor, Du sollst den Binomialkoeffizient 42 mithilfe des Pascalschen Dreiecks ermitteln.

Du hast den Wert für n und k gegeben:

n=4 und k=2

Also kannst Du diese Werte jetzt in dem Zahlendreieck „ablaufen“. Das Ergebnis für diesen Binomialkoeffizienten liegt in der Zeile 4 und in der Spalte 2.

Binomialkoeffizient Kombinatorik Pascalsches Dreieck Binomialkoeffizient StudySmarterAbbildung 7: Pascalsches Dreieck– Binomialkoeffizient Beispiel

Das Ergebnis für den Binomialkoeffizienten ist also 42=6. Zur Überprüfung kannst Du die Werte noch einmal in die gelernte Formel einsetzen oder in den Taschenrechner eingeben:

42=4!2!·4-2!=4·3·2·12·1·2·1=244=6

Was sagt das Ergebnis 6 in Bezug auf das Pascal'sche Dreieck jedoch aus?

Die 6 verrät, dass es insgesamt 6 Wege gibt, die über die einzelnen Zahlen zu der Zahl 6 führen, wenn Du von der Spitze des Dreiecks aus startest. Das Gleiche gilt für alle Zahlen. Zur Zahl 4 gibt es 4 Wege, zur Zahl 5 gibt es 5 Wege, zur 10 gibt es 10 Wege und so weiter.

Binomialkoeffizient Wahrscheinlichkeit – Beispiel

Den Binomialkoeffizienten kannst Du neben der Berechnung der Anzahl an Möglichkeiten k Objekte aus einer Menge m zu wählen auch benutzen, um Wahrscheinlichkeiten für eine bestimmte Kombination zu berechnen.

Stell Dir vor, Du hast in eine Schale 5 Autos in verschiedenen Farben gegeben. Du sollst mit geschlossenen Augen 2 Autos ziehen. Wie wahrscheinlich ist es, genau das lila und das blaue Auto zu ziehen?

Binomialkoeffizient Kombinatorik Wahrscheinlichkeit StudySmarterAbbildung 8: Menge n an Autos

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen genau das lila und das blaue Auto zu ziehen, berechnest Du erst mal die Anzahl der Möglichkeiten, die es gibt zwei Autos aus fünf zu ziehen. Dafür berechnest Du den Binomialkoeffizienten 52 mit der Formel:

52=5!2!·(5-2)!=1202·6=12012=10

Nun kannst Du Dir überlegen, wie viele Möglichkeiten es gibt, ein lila und ein blaues Auto zu ziehen. Es gibt insgesamt 10 Möglichkeiten, die Autos zu kombinieren. Dementsprechend gibt es genau eine Möglichkeit, das lila und das blaue Auto zu wählen. Deine Wahrscheinlichkeit P, genau das lila und das blaue Auto zu ziehen ist somit:

P=110=0,1=10 %

Somit konntest Du Dir mithilfe des Binomialkoeffizienten die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis ausrechnen.

Binomialkoeffizient Kombinatorik berechnen

Um die Berechnung des Binomialkoeffizienten zu vertiefen, kannst Du noch einmal an das Beispiel aus der Einleitung zurückdenken. Da wurde die Frage gestellt: „Was ist wahrscheinlicher, im Lotto zu 6 Richtige zu haben oder Gold bei Olympia zu gewinnen?“

Beim klassischen Lotto musst Du 6 aus 49 Zahlen ankreuzen. Doch wie viele Möglichkeiten der Zahlenkombinationen gibt es eigentlich? Um das herauszufinden, berechnest Du den Binomialkoeffizienten mit den entsprechenden Angaben:

Beim Lotto ist die Gesamtmenge der Zahlen 49 und die Anzahl der angekreuzten Zahlen 6.

Somit gilt:

n=49, k=6

Du benötigst also den Binomialkoeffizienten „6 aus 49“:496.

Diesen berechnest Du wieder mit der entsprechenden Formel:

nk=n!k!·n-k!

Nun setzt Du die Werte ein:

496=49!6!·49-6!=49!6!·43!=13 983 816

Somit gibt es 13 983 816 Möglichkeiten.

Wie der Name schon sagt, musst Du bei 6 Richtigen alle 6 angekreuzten Zahlen korrekt erraten. Du hast also nur eine Möglichkeit, alles richtig zu haben. Anders gesagt musst Du genau die eine richtige Möglichkeit treffen von 13 938 816 Möglichkeiten, die Deiner Lösung entspricht.

Die Wahrscheinlichkeit P, 6 Richtige aus 49 zu haben, liegt also bei 1 zu 13 938 816. Diese Wahrscheinlichkeit P kannst Du berechnen:

P=113 983 816=7,2·10-8=0,000000072=0,0000072%

Die Wahrscheinlichkeit, 6 Richtige aus 49 zu haben, liegt also bei 0,0000072 %.

Die Chance, bei den Olympischen Spielen eine Goldmedaille zu gewinnen, liegt Statisten zufolge bei ungefähr 1662 000. Um zur Frage aus der Einleitung zurückzukommen: „Was ist wahrscheinlicher, im Lotto zu 6 Richtige zu haben oder Gold bei Olympia zu gewinnen?“. Jetzt weißt Du: Es ist wahrscheinlicher eine olympische Goldmedaille zu gewinnen, als im Lotto bei 6 Richtige aus 49 zu erraten.

Kombinatorik Binomialkoeffizient – Aufgaben

Zur Übung der Anwendung des Binomialkoeffizienten hast Du im Folgenden ein paar Aufgaben, die Du rechnen kannst.

Aufgabe 1

Du hast in einer Schale 10 Kugeln. Du möchtest nun wissen, wenn Du 4 Kugeln ziehst, wie viele Kombinationsmöglichkeiten es gibt.

Lösung

Um Deine möglichen Kombinationsmöglichkeiten zu erhalten, rechnest Du den Binomialkoeffizienten 104 aus, mit folgender Formel:

104=10!4!·10-4!=10·9·8·7·6·5·4·3·2·14·3·2·1·6!=362880024·6·5·4·3·2·1=362880024·720=210

Insgesamt hast Du somit 210 mögliche Kombinationsmöglichkeiten Deine 4 Kugeln aus den 10 Kugeln zu ziehen.

Aufgabe 2

Gefragt ist, den Binomialkoeffizient 32 mithilfe des Pascal'schen Dreiecks zu ermitteln.

Lösung

Du hast den Wert für n und k gegeben:

n=4 und k=2

Also kannst Du diese Werte jetzt in dem Zahlendreieck „ablaufen“. Das Ergebnis für diesen Binomialkoeffizienten liegt in der Zeile 3 und in der Spalte 2.

Das Ergebnis für den Binomialkoeffizienten ist also 32=3. Zur Überprüfung kannst Du die Werte noch einmal in die gelernte Formel einsetzen oder in den Taschenrechner eingeben:

32=3!2!·3-2!=3·2·12·1·1=62=3

Aufgabe 3

Du hast in Deiner Vorratskiste 40 Bonbons. Du möchtest nun, wie viele Möglichkeiten es gibt, insgesamt 7 Bonbons zu naschen.

Lösung

Um Deine Möglichkeiten zu erhalten, rechnest Du den Binomialkoeffizienten 407 aus, mit folgender Formel:

407=40!7!·10-7!=40!7!·33!=18 643 560

Insgesamt hast Du somit 18 643 560 mögliche Kombinationsmöglichkeiten Deine 7 Bonbons zu wählen. Ob Du sie mal alle ausprobieren wirst?

Binomialkoeffizient Kombinatorik – Das Wichtigste

  • Das allgemeine Zählprinzip beschreibt die grundlegende Überlegung, auf welche Weise sich die Anzahl von Kombinationen bei Vorgängen der Kombinatorik berechnen lässt.
  • Mit dem Binomialkoeffizienten kann berechnet werden, wie viele Möglichkeiten es gibt k Objekte, aus einer Menge n zu wählen. Der Binomialkoeffizient wird wie folgt geschrieben:nk
  • Die Formel des Binomialkoeffizienten lautet: nk=n!k!·n-k!
  • Beim Rechnen mit dem Binomialkoeffizienten gelten einige Rechenregeln für k, n0 :
    1. nk
    2. nk1
    3. nn=1
    4. n0=1
  • Im pascalschem Dreieck die Variable n als Zeilenindex und k als Spaltenindex interpretiert werden, wobei die Zählung mit der Zahl 0 beginnt. Die Werte für n verlaufen also horizontal, während die Werte für k vertikal in dem Pascalschen Dreieck verlaufen. So kann der Binomialkoeffizient aus dem pascalschen Dreieck herausgelesen werden.

Nachweise

  1. Keller (2021). Fakultät, Binomialkoeffizient und endliche Summen. In: Aufgaben und Lösungen zur Mathematik für den Studienstart. Springer Spektrum.
  2. Kohn; Öztürk (2015). Kombinatorik. In: Mathematik für Ökonomen. Springer Gabler.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Binomialkoeffizient Kombinatorik

Den Binomialkoeffizienten benutzt Du, wenn Du berechnen willst, wie viele Möglichkeiten es gibt k Objekte, aus einer Menge n zu wählen. Die Fakultät n!  wird vor allem in der Kombinatorik verwendet,  um die Anzahl der Möglichkeiten anzugeben, eine Menge mit n Elementen zu ordnen. Die Fakultät n! ist in der Formel für den Binomialkoffizienten enthalten.

Der Binomialkoeffizienten sagt Dir, wie viele Möglichkeiten es gibt k Objekte, aus einer Menge n zu wählen.

Der Binomialkoeffizient ist ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge.

n  steht für die Anzahl aller Elemente, also für die Grundmenge. k gibt die Anzahl an Ziehungen an. 

Mehr zum Thema Binomialkoeffizient Kombinatorik

Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!

Die erste Lern-App, die wirklich alles bietet, was du brauchst, um deine Prüfungen an einem Ort zu meistern.

  • Karteikarten & Quizze
  • KI-Lernassistent
  • Lernplaner
  • Probeklausuren
  • Intelligente Notizen
Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App! Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.

Fang an mit StudySmarter zu lernen, die einzige Lernapp, die du brauchst.

Jetzt kostenlos anmelden
Illustration

Entdecke Lernmaterial in der StudySmarter-App