Stell Dir vor, Du spielst Fußball mit Deinen Freunden. Von 12 Schüssen triffst Du 3 Mal das Tor. Die absolute Häufigkeit Deiner Tortreffer beträgt 3.
Was genau die absolute Häufigkeit ist, was Du mit ihr berechnen kannst und wie sie von der relativen Häufigkeit unterschieden wird, erfährst Du in diesem Artikel.
Relative und absolute Häufigkeit
Man unterscheidet zwischen der absoluten und relativen Häufigkeit. Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein Ereignis oder ein Wert xi in einer Reihe von Werten eintritt. Die relative Häufigkeit hingegen gibt den Anteil der Ausprägungen von einem Wert xi an allen Werten an.
Die absolute Häufigkeit wird wie folgt notiert:
Dabei steht ni für die absolute Häufigkeit des Wertes xi.
Um die relative Häufigkeit zu berechnen, wird die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Ausprägungen n (Grundgesamtheit) geteilt.
Die relative Häufigkeit wird wie folgt notiert:
Nehmen wir noch einmal das Beispiel vom Fußballspielen mit Freunden. Von 10 Schüssen triffst Du 3 Mal das Tor. Dein Freund hingegen trifft von 20 Schüssen 7 Mal das Tor. Um nun herauszufinden wer treffsicherer war, kannst Du die relative Häufigkeit berechnen. Die relative Häufigkeit für Deine Schusssicherheit berechnest Du wie folgt:
Deine relative Häufigkeit liegt bei 0,3. Nun kannst Du zum Vergleich die relative Häufigkeit Deines Freundes berechnen:
Da die relative Häufigkeit Deines Freundes höher ist, ist seine Trefferquote besser.
Der Unterschied zwischen der absoluten und relativen Häufigkeit
Das Beispiel vom Fußballspielen zeigt, dass die relative Häufigkeit von der absoluten Häufigkeit abhängt. Durch die absolute Häufigkeit kannst Du nur die Häufigkeit eines Wertes darstellen. Durch die relative Häufigkeit kannst Du zusätzlich Vergleiche hinsichtlich einer Leistung ziehen.
Wie man die absolute Häufigkeit berechnet, erfährst Du im Folgenden.
Wenn Du mehr über die relative Häufigkeit erfahren möchtest, kannst Du Dir den zugehörigen Artikel anschauen.
Absolute Häufigkeit berechnen (Häufigkeitstabelle)
Um die absolute Häufigkeit zu ermitteln, schaust Du Dir an, wie oft ein Ereignis mit einer bestimmten Eigenschaft vorkommt. Zur Berechnung wird die oben genannte Formel verwendet.
Das Ganze kannst Du Dir an folgendem Beispiel anschauen:
Stell Dir vor, Du hast einen Würfel und würfelst insgesamt 20 Mal. Du würfelst dabei 6 Mal die 3, 4 Mal die 2, 2 Mal die 1, 5 Mal die 4 und 3 Mal die 6.
Du hast also die Grundgesamtheit .
Um die absolute Häufigkeit darzustellen, verwendest Du die absolute Häufigkeitsverteilung.
Die Tabelle für die Häufigkeitsverteilung erstellst Du wie folgt: In die erste Spalte trägst Du die Werte xi ein, welche im Ereignis vorkommen könnten (im obigen Beispiel sind das die Augen des Würfels). In die zweite Spalte trägst Du die absolute Häufigkeit (also die, wie oft die Zahl gewürfelt wurde) ein. Das heißt, die Zahl 2 (xi) wurde 4-mal gewürfelt (ni).
Graphische Darstellung der Häufigkeitsverteilung
Die Häufigkeitsverteilung lässt sich auch graphisch darstellen. Dabei werden die Häufigkeiten auf der Ordinate (der y-Achse) und die Merkmalsausprägungen auf der Abszisse (der x-Achse) eingetragen.
Abbildung 1: Häufigkeitsverteilung absolute Häufigkeit
Die Häufigkeitsverteilung wird wie folgt erstellt: Die x-Achse stellt die Werte xi dar (im obigen Beispiel sind das die Augen des Würfels). Die y-Achse stellt die absolute Häufigkeit dar. Dass die Augenzahl 3 6-mal gewürfelt wurde, lässt sich wie folgt ablesen: Du gehst auf der x-Achse zur Augenzahl 3. Dann schaust Du auf der y-Achse, bis zu welchem Wert der Graph reicht. In diesem Fall bis 6.
Arithmetisches Mittel und die absolute Häufigkeit
Das arithmetische Mittel gibt den Mittelwert einer Verteilung an und ist das am weitesten verbreitete Lagemaß. Umgangssprachlich würden wir auch sagen, es gibt "den Durchschnitt" an.
Wenn Du die absolute Häufigkeit gegeben hast, kannst Du das arithmetische Mittel wie folgt berechnen:
Bei der Berechnung des arithmetischen Mittels musst Du jedoch beachten, ob die absolute Häufigkeit oder die relative Häufigkeit gegeben ist.
Absolute Häufigkeiten ni multiplizierst Du mit dem dazugehörigen Wert xi . Anschließend summierst Du das Ergebnis mit allen anderen Ergebnissen (welche genauso berechnet werden). Zum Schluss multiplizierst Du das Ganze mit .
Dieser Rechenweg kann auch am Beispiel eines Würfelspiels veranschaulicht werden.
Bei dem obigen Würfelbeispiel hast Du die absolute Häufigkeit gegeben. Dadurch kannst Du das arithmetische Mittel ausrechnen.
Du hast die Anzahl der Versuche gegeben, sowie Deine absoluten Häufigkeiten .
Nun kannst Du Deine Werte in die Formel für den Mittelwert einsetzen:
Das arithmetische Mittel des Würfelbeispiels liegt also bei 3,3.
Kumulierte absolute Häufigkeit
Unter der kumulierten absoluten Häufigkeit versteht man die Summe aller Häufigkeiten zu einem bestimmten Punkt. Deshalb wird die kumulierte Häufigkeit auch als Summenhäufigkeit bezeichnet. Mit der kumulierten absoluten Häufigkeit kann dargestellt werden, dass ein Wert kleiner, gleich bzw. größer als ein bestimmter Wert ist.
Die kumulierte Häufigkeit kann ebenfalls anhand des Datensatzes des Würfelbeispiels erklärt werden.
| xi | ni | Ni |
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 4 | 2 + 4 = 6 |
| 3 | 6 | 6 + 6 = 12 |
| 4 | 5 | 12 + 5 = 17 |
| 5 | 0 | 17 + 0 = 17 |
| 6 | 3 | 17 + 3 = 20 |
Die Werte ni stellen die absolute Häufigkeit der Werte xi dar. In diesem Beispiel stehen sie dafür, wie oft eine Augenzahl gewürfelt wurde.
Diese absoluten Häufigkeiten addierst Du miteinander, um die kumulierte Häufigkeit Ni zu erhalten. Dabei musst Du immer darauf achten, dass am Ende die Anzahl der Versuche – also n – herauskommt.
Abbildung 2: Kumulierte absolute Häufigkeit
Die kumulierte absolute Häufigkeit wird wie folgt graphisch dargestellt: Die x-Achse gibt die Werte, in diesem Fall die Augenzahl der Würfel, wieder. Die y-Achse stellt die kumulierten (addierten) absoluten Häufigkeiten dar. Zunächst suchst Du den ersten Wert xi auf der x-Achse und schaust, wie die kumulierte Häufigkeit bei diesem Wert lautet. Wenn Du den Wert 2 auf der x-Achse betrachtest, siehst Du, dass die kumulierte Häufigkeit bei 6 liegt. Nun zeichnest Du eine Linie, die bei dem x-Wert 2 beginnt und sich auf der Höhe des Wertes 6 der y-Achse befindet. Dabei musst Du beachten, dass Du die Linie bis zum nächsten Wert xi ziehst (hier also bis 3).
Absolute und relative Häufigkeit Aufgaben
Anhand der folgenden Übungsaufgaben kannst Du Dein Wissen zur absoluten Häufigkeit prüfen.
Aufgabe 1: absolute Häufigkeit bestimmen
Bestimme die absolute Häufigkeit des folgenden Ereignisses:
Du bekommst eine Packung Gummibärchen geschenkt. In dieser Packung befinden sich insgesamt 30 Gummibärchen mit verschiedenen Farben. Es gibt die Farben gelb, rot, orange, grün und weiß.
Von den 30 Gummibärchen sind 5 gelb, 7 rot, 8 orange, 4 grün und 6 weiß.
Lösung
Die Grundgesamtheit ist .
| xi | gelb | rot | orange | grün | weiß |
| ni | 5 | 7 | 8 | 4 | 6 |
Abbildung 3: absolute Häufigkeit
Aufgabe 2: kumulierte absolute Häufigkeit
Bestimme die kumulierte absolute Häufigkeit des in Aufgabe 1 beschriebenen Ereignisses.
Lösung
| xi | ni | Ni |
| gelb | 5 | 5 |
| rot | 7 | 5 + 7 =12 |
| orange | 8 | 12 + 8 = 20 |
| grün | 4 | 20 + 4 = 24 |
| weiß | 6 | 24 + 6 = 30 |
Absolute Häufigkeit – Das Wichtigste auf einen Blick
- Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein Wert in der Reihe vorkommt.
- Die absolute Häufigkeit wird wie folgt notiert:
- Die relative Häufigkeit gibt den Anteil der Ausprägungen von einem Wert xi an allen Werten an.
- Die relative Häufigkeit lässt sich mit folgender Formel berechnen:
- Du kannst die absolute Häufigkeit durch die Häufigkeitsverteilung graphisch darstellen.
- Unter dem arithmetischen Mittel versteht man den Mittelwert einer Verteilung.
- Das arithmetische Mittel lässt sich bei angegebener absoluten Häufigkeit wie folgt berechnen:
- Unter der kumulierten absoluten Häufigkeit versteht man die Summe aller Häufigkeiten zu einem bestimmten Punkt.
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