Median

Q: Wie berechnet man den Median und den Mittelwert?

Der Mittelwert wird berechnet, indem die Summe aller Daten durch die Anzahl der Daten geteilt wird. Der Median einer Datenmenge bezeichnet den Wert, der in der Mitte einer nach der Größe geordneten Datenmenge liegt. Hat die Datenmenge eine ungerade Anzahl, ist der Median der mittlere Wert. Hat die Datenmenge eine gerade Anzahl, entspricht der Median dem arithmetischen Mittel der beiden mittleren Werte.

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Bei großen und/oder unübersichtlichen Datenreihen ist es nützlich, einige wenige Werte zu haben, die die Datenreihe möglichst passend beschreiben. In der beschreibenden Statistik (deskriptive Statistik) werden Daten zum Beispiel mithilfe von Lagemaßen (auch Lageparameter genannt) und Streumaßen (Streuparameter) zusammengefasst.

In diesem Artikel geht es um den Median. Der Median ist ein Lagemaß und hilft Dir, die Mitte einer Datenreihe zu beschreiben.

Median – Definition

Der Median einer Datenreihe bezeichnet den Wert, der in der Mitte einer nach der Größe geordneten Datenreihe liegt.

Der Median ist der Wert, der in einem geordneten Datensatz genau in der Mitte liegt. Geordnet bedeutet, dass die Werte der Größe nach aufgeschrieben sind.

Manchmal wird der Median auch als Zentralwert bezeichnet. Als Symbol wird oft \(\tilde x\), \(x_{0,5}\) oder \(x_{med}\) verwendet.

Median Darstellung StudySmarter Abb. 1 - Dartstellung des Medians (blau) einer Datenreihe.

Der Median halbiert einen Datensatz in zwei gleich große Blöcke. Das bedeutet, dass mindestens die Hälfte der Werte kleiner gleich und mindestens die Hälfte größer gleich dem Median sind. Man nennt diese Eigenschaft des Medians auch Halbierungseigenschaft.

Der Median wird auch in Boxplots benötigt. Dabei wird er zusammen mit den anderen Quartilen und der Spannweite in einem Diagramm – dem Boxplot – abgebildet. Wenn Du mehr dazu erfahren möchtest, dann kannst Du im Artikel Boxplot weiter lesen.

Median berechnen & Median bestimmen

Der Median entspricht dem mittleren Wert einer der Größe nach geordneten Datenreihe. Der Median lässt sich bei Datenmengen mit ungerader Anzahl an Elementen einfach ablesen. Ist die Anzahl der Datenpunkte jedoch gerade, so berechnet man den Median als den Durchschnitt der beiden mittig platzierten Elemente (\(x_{m1},\,x_{m2}\) einer der Größe nach geordneten Datenreihe.

\[\tilde x=\frac{x_{m1} + x_{m2}}{2}\]

Vorgehen beim Bestimmen des Median:

Ordne die Datenreihe der Größe nach
Ist die Anzahl der Elemente ungerade, entspricht der Median dem in der Mitte stehen Wert
Ist die Anzahl der Elemente gerade, entspricht der Median dem Durchschnitt der beiden in der Mitte stehenden Werte \(\tilde x=\frac{x_{m1} + x_{m2}}{2}\)

Median ungeraden Anzahl

Es sind die Urlaubstage gegeben, die die Schüler*innen in den Sommerferien im Ausland verbracht haben.

Tabelle mit Messwerten StudySmarter

Bestimme den Median.

Lösung

Um den Median zu bestimmen, müssen die Daten nach der Größe sortiert werden. Der Median liegt dann genau in der Mitte der Datenreihe.

Da wir in diesem geordneten Datensatz insgesamt 15 Werte haben, also eine ungerade Anzahl, liegt der Median genau auf dem 8. Wert. Du kannst denn Median dann direkt aus der Tabelle ablesen: er ist 12.

Zahlenreihe von Messwerten StudySmarter

Wir können also sagen, dass eine Hälfte der Klasse höchstens 12 Tage im Ausland war, die andere Hälfte war mindestens 12 Tage im Ausland.

Im nächsten Beispiel wird Dir erklärt, wie Du den Median bei einer geraden Anzahl von Daten bestimmen kannst.

Median bei geraden Zahlen

Die im Sportunterricht erreichten Weiten beim Weitsprung sind in der folgenden Tabelle notiert:

Tabelle mit Messwerten StudySmarter

Bestimme den Median.

Lösung

Da wir in dieser geordneten Datenreihe insgesamt 12 Werte haben, also eine Gerade Anzahl, liegt der Median zwischen dem 6. und 7. Wert, also zwischen 3,50 m und 3,60 m. Von diesen beiden Werten musst Du den Mittelwert berechnen:

\[x_{0,5}=\frac{3{,}50\, m+3{,}60\, m}{2}=3{,}55\, m\]

Zahlenreihe mit Messweten StudySmarter

Die Hälfte der Schüler*innen ist also weniger, die andere Hälfte mehr als 3,55 m gesprungen.

Den Median mit Excel berechnen

Du kannst den Median auch mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms, wie Excel bestimmen. In Excel gibt es dazu den Befehl MEDIAN. Wenn Du den Median von Daten bestimmen möchtest, musst Du =MEDIAN(...) in eine Zelle eingeben. In der Klammer werden dann die entsprechenden Daten eingetragen.

In diesem Beispiel kannst Du Dir ansehen, wie das abläuft.

Mario hat vor kurzem ein italienisches Restaurant eröffnet. Er möchte wissen, wie zufrieden die Kunden mit seinem Restaurant sind. Er lässt einige Besucher sein Restaurant mit 1 bis 5 Sterne bewerten, nachdem sie dort gegessen haben.

Der Restaurantbesitzer ist zufrieden mit seiner Arbeit, wenn mehr als die Hälfte der Kunden mindestens 4 Sterne abgibt.

Er hat die Ergebnisse bereits in einer Excel-Liste zusammengefasst:

Median berechnen Excel StudySmarter

Lösung

Normalerweise müsstest Du diese Daten nach der Größe sortieren, um den Median bestimmen zu können. Excel kann aber auch den Median eines nicht sortierten Datensatzes bestimmen.

Um den Median zu bestimmen, gibst Du jetzt wie im Bild zu sehen =MEDIAN(A2:A12) ein. Das A2:A12 bedeutet, dass alle Werte von der Zelle A2 bis zur Zelle A12 erfasst werden.

Median berechnen Excel StudySmarter

Wenn Du jetzt auf Enter drückst, zeigt Excel Dir den Median an:

Median berechnen Excel StudySmarter

Leider hat Mario sein Ziel noch nicht ganz erreicht und muss noch Dinge an seinem Restaurantbetrieb verbessern, damit die Kunden zufriedener sind.

Median Bedeutung

Der Median sagt aus, welche Werte in der Mitte einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zu erwarten sind. Die Wahl des richtigen Lagemaßes hängt von der Situation und der Frage, die beantwortet werden soll.

Sinn ergibt der Median vor allem,

Wenn die Datenverteilung stark schief ist und es Ausreißer gibt.
Wenn die Daten nicht normalverteilt sind.
Wenn es sich um Ordinalskalen oder Rangdaten handelt.

Weniger sinnvoll ist das Nutzen des Medians,

Wenn die Daten normalverteilt sind und keine Ausreißer vorhanden sind.
Wenn es sich um metrische Daten handelt und der Mittelwert eine sinnvollere Maßzahl darstellt.
Wenn eine hohe Genauigkeit erforderlich ist und das Arithmetische Mittel aufgrund von Rundungsfehlern bevorzugt wird.

Fünf Kollegen vergleichen ihren monatlichen Lohn:

Name	monatlicher Lohn
Tim	1.500 €
Lena	2.000 €
Ali	1.700 €
Sarah	70.000 €
Marco	1.900 €

Bestimme Median und Mittelwert und vergleiche beide Werte.

Lösung

Du kannst direkt sehen:

Bis auf Sarah verdienen alle zwischen 1500 € und 2000 € im Monat.
Der Median (Vorsicht, die Datenreihe muss zuerst geordnet werden!) liegt bei 1900 €.

1.500 €

1.700 €

1.900 €

2.000 €

70.000 €

Die Berechnung des Mittelwerts liefert:

\[\frac{1500 +1700 + 1900 + 2000 + 70000}{5}=\frac{77100}{5}=15420\]

Durchschnittlich verdienen die Kollegen also 15.420 € pro Monat.

In diesem Kontext macht die Aussage jedoch wenig Sinn:

Für vier der fünf Kollegen ist dieser Wert deutlich zu hoch.
Für Sarah hingegen ist dieser Wert viel zu niedrig.

Der Median ist hier besser geeignet, um die Daten zu beschreiben.

Median - Das Wichtigste

Der Median ist der Wert, der in einer geordneten Datenreihe genau in der Mitte liegt.
- Bestimmen des Medians aus einer geordneten Datenreihe:
  - ungerade Anzahl: Der Median ist der mittlere Wert.
  - Gerade Anzahl: Der Median ist das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.
- Der Median ist eher robust gegenüber Ausreißern.
Der Mittelwert wird berechnet, indem die Summe aller Daten durch die Anzahl der Daten geteilt wird: \[\bar x = \frac{\text{Summe der einzelnen Testwerte}}{\text{Anzahl der erhobenen Tests}}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}\].
- Der Mittelwert ist wenig robust gegenüber Ausreißern.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Median

Der Mittelwert wird berechnet, indem die Summe aller Daten durch die Anzahl der Daten geteilt wird. Der Median einer Datenmenge bezeichnet den Wert, der in der Mitte einer nach der Größe geordneten Datenmenge liegt. Hat die Datenmenge eine ungerade Anzahl, ist der Median der mittlere Wert. Hat die Datenmenge eine gerade Anzahl, entspricht der Median dem arithmetischen Mittel der beiden mittleren Werte.

Der Unterschied zwischen Median und Durchschnitt ist, dass sie auf verschiedene Art und Weise bestimmt werden. Der Median einer Datenmenge bezeichnet den Wert, der in der Mitte einer nach der Größe geordneten Datenmenge liegt. Der Mittelwert hingegen wird berechnet, indem die Summe aller Daten durch die Anzahl der Daten geteilt wird.

Der Median sagt aus, dass mindestens die Hälfte der Werte kleiner gleich und mindestens die Hälfte größer gleich dem Median ist. Man nennt diese Eigenschaft des Medians auch Halbierungseigenschaft.

Ob der Median oder das arithmetische Mittel aussagekräftiger ist, hängt von verschiedenen Einflussfaktoren wie beispielsweise dem Sachzusammenhang, der Verteilungsform oder von möglichen Ausreißern ab.

Finales Median Quiz

Median Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Definiere den Begriff Median.

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Antwort

Der Median ist der Wert, der in einem geordneten Datensatz genau in der Mitte liegt. Geordnet bedeutet, dass die Werte der Größe nach aufgeschrieben sind.

Manchmal wird der Median auch als Zentralwert bezeichnet.

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Frage

Beschreibe, wie der Median bestimmt wird, wenn die Anzahl der Daten ungerade ist.

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Antwort

Bei einem Datensatz mit ungerader Anzahl entspricht der Median dem Wert, der im geordneten Datensatz genau in der Mitte liegt.

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Frage

Beschreibe, wie der Median bestimmt wird, wenn die Anzahl der Daten gerade ist.

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Antwort

Bei einem Datensatz mit gerader Anzahl entspricht der Median dem arithmetischen Mittel der beiden mittleren Werte.

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Frage

Was versteht man unter der Halbierungseigenschaft des Medians?

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Antwort

Der Median halbiert einen Datensatz in zwei gleich große Blöcke. Das bedeutet, dass mindestens die Hälfte der Werte kleiner gleich und mindestens die Hälfte größer gleich dem Median sind.

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Frage

Erkläre, was es bedeutet, dass der Median robust gegenüber Ausreißern ist.

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Antwort

Der Median ist robust gegenüber Ausreißern, da sich sein Wert nicht durch einzelne besonders große oder kleine Werte ändert.

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Frage

Beschreibe, wofür der Median verwendet wird.

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Antwort

Der Median wird wie die anderen Lagemaße (Mittelwert, Modus) dafür verwendet, die Mitte beziehungsweise zentrale Tendenz einer Datenmenge zu beschreiben

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