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Median

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Mathe

Bei großen und/oder unübersichtlichen Datenreihen ist es nützlich, einige wenige Werte zu haben, die die Datenreihe möglichst passend beschreiben. In der beschreibenden Statistik (deskriptive Statistik) werden Daten zum Beispiel mithilfe von Lagemaßen (auch Lageparameter genannt) und Streumaßen (Streuparameter) zusammengefasst.

In diesem Artikel geht es um den Median. Der Median ist ein Lagemaß und hilft dir, die Mitte einer Datenreihe zu beschreiben.

Median und Mittelwert Deskriptive Statistik StudySmarter

Median – Definition

Der Median einer Datenreihe bezeichnet den Wert, der in der Mitte einer nach der Größe geordneten Datenreihe liegt.

Der Median ist der Wert, der in einem geordneten Datensatz genau in der Mitte liegt. Geordnet bedeutet, dass die Werte der Größe nach aufgeschrieben sind.

Manchmal wird der Median auch als Zentralwert bezeichnet. Als Symbol wird oft , oder verwendet.

Der Median halbiert einen Datensatz in zwei gleich große Blöcke. Das bedeutet, dass mindestens die Hälfte der Werte kleiner gleich und mindestens die Hälfte größer gleich dem Median sind. Man nennt diese Eigenschaft des Medians auch Halbierungseigenschaft.

Der Median wird auch in Boxplots benötigt. Dabei wird er zusammen mit den anderen Quartilen und der Spannweite in einem Diagramm – dem Boxplot – abgebildet. Wenn du mehr dazu erfahren möchtest, dann kannst du im Artikel Boxplot weiter lesen.

Median berechnen

Beachte: bei der Bestimmung des Medians muss darauf geachtet werden, ob die Datenreihe eine gerade oder eine ungerade Anzahl an Testwerten hat. Schau dir dazu auf jeden Fall die unten stehenden Beispiele an!

Aufgabe 1

Es sind die Urlaubstage gegeben, die die Schüler*innen in den Sommerferien im Ausland verbracht haben.

Bestimme den Median.

Lösung

Um den Median zu bestimmen, müssen die Daten nach der Größe sortiert werden. Der Median liegt dann genau in der Mitte der Datenreihe.

Da wir in diesem geordneten Datensatz insgesamt 15 Werte haben, also eine ungerade Anzahl, liegt der Median genau auf dem 8. Wert. Du kannst denn Median dann direkt aus der Tabelle ablesen: er ist 12.

Wir können also sagen, dass eine Hälfte der Klasse höchstens 12 Tage im Ausland war, die andere Hälfte war mindestens 12 Tage im Ausland.

Im nächsten Beispiel wird dir erklärt, wie du den Median bei einer geraden Anzahl von Daten bestimmen kannst.

Aufgabe 2

Die im Sportunterricht erreichten Weiten beim Weitsprung sind in der folgenden Tabelle notiert:

Bestimme den Median.

Lösung

Da wir in dieser geordneten Datenreihe insgesamt 12 Werte haben, also eine gerade Anzahl, liegt der Median zwischen dem 6. und 7. Wert, also zwischen 3,50 m und 3,60 m. Von diesen beiden Werten musst du den Mittelwert berechnen:

Die Hälfte der Schüler*innen ist also weniger, die andere Hälfte mehr als 3,55 m gesprungen.

Den Median mit Excel berechnen

Du kannst den Median auch mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms, wie zum Beispiel Excel bestimmen. In Excel gibt es dazu den Befehl MEDIAN. Wenn du den Median von Daten bestimmen möchtest, musst du in eine Zelle eingeben. In der Klammer werden dann die entsprechenden Daten eingetragen.

In diesem Beispiel kannst du dir ansehen, wie das abläuft.

Aufgabe 3

Mario hat vor kurzem ein italienisches Restaurant eröffnet. Er möchte wissen, wie zufrieden die Kunden mit seinem Restaurant sind. Er lässt einige Besucher sein Restaurant mit 1 bis 5 Sterne bewerten, nachdem sie dort gegessen haben.

Der Restaurantbesitzer ist zufrieden mit seiner Arbeit, wenn mehr als die Hälfte der Kunden mindestens 4 Sterne abgibt.

Er hat die Ergebnisse bereits in einer Excel-Liste zusammengefasst:

Median berechnen Excel StudySmarter

Lösung

Normalerweise müsstest du diese Daten nach der Größe sortieren, um den Median bestimmen zu können. Excel kann aber auch den Median eines nicht sortierten Datensatzes bestimmen.

Um den Median zu bestimmen, gibst du jetzt wie im Bild zu sehen ein. Das A2:A12 bedeutet, dass alle Werte von der Zelle A2 bis zur Zelle A12 erfasst werden.

Median berechnen Excel StudySmarter

Wenn du jetzt auf Enter drückst, zeigt Excel dir den Median an:

Median berechnen Excel StudySmarter

Leider hat Mario sein Ziel noch nicht ganz erreicht und muss noch Dinge an seinem Restaurantbetrieb verbessern, damit die Kunden zufriedener sind.

Median und Mittelwert Warum StudySmarter

Warum braucht man verschiedene Lagemaße?

Neben dem Median gibt es auch noch weitere Lagemaße, wie beispielsweise den Mittelwert oder den Modalwert. Der Mittelwert wird auch arithmetisches Mittel genannt und ist der im Alltag gebräuchlichste Mittelwert.

Der Mittelwert wird berechnet, indem die Summe aller Daten durch die Anzahl der Daten geteilt wird:

Median arithmetisches Mittel StudySmarter.

Der Mittelwert wird auch arithmetisches Mittel genannt.

Wenn du mehr über das arithmetische Mittel erfahren möchtest, dann kannst du im Artikel Mittelwert weiterlesen.

Vielleicht fragst du dich jetzt, warum es verschiedene Lagemaße gibt und nicht einer ausreicht. Das liegt daran, dass unterschiedliche Lagemaße unterschiedliche Eigenschaften, Vorteile und Nachteile haben.

Der Mittelwert zum Beispiel reagiert stark auf Ausreißer, also auf Werte, die wesentlich kleiner oder größer sind als die anderen. Was das bedeutet, schauen wir uns am nächsten Beispiel an.

Aufgabe 4

Fünf Kollegen vergleichen ihren monatlichen Lohn:

Namemonatlicher Lohn
Tim1.500 €
Lena2.000 €
Ali1.700 €
Sarah70.000 €
Marco1.900 €

Bestimme Median und Mittelwert und vergleiche beide Werte.

Lösung

Du kannst direkt sehen:

  • Bis auf Sarah verdienen alle zwischen 1500 € und 2000 € im Monat.
  • Der Median (Vorsicht, die Datenreihe muss zuerst geordnet werden!) liegt bei 1900 €.
1.500 €1.700 €1.900 €2.000 €70.000 €

Die Berechnung des Mittelwerts liefert:

Durchschnittlich verdienen die Kollegen also 15.420 € pro Monat.

Diese Aussage macht jedoch wenig Sinn:

  • Für vier der fünf Kollegen ist dieser Wert deutlich zu hoch.
  • Für Sarah hingegen ist dieser Wert viel zu niedrig.

Statistisch gesehen liefert die Berechnung des Mittelwerts also keine sinnvolle Aussage. Der Median ist hier besser geeignet, um die Daten zu beschreiben.

Wie du im Beispiel gesehen hast, reagiert das arithmetische Mittel sehr stark auf Ausreißer. Man sagt auch, dass das arithmetische Mittel nicht robust gegenüber Ausreißern ist. Der Median hingegen ist robust gegenüber Ausreißern, da sich sein Wert nicht durch einen besonders großen oder kleinen Wert ändert.

Wenn du statistische Maße wie zum Beispiel Mittelwert und Median verwendest oder interpretierst, musst du aufpassen, dass die Maße die gegebenen Daten gut beschreiben. Manchmal ist es auch sinnvoll, sich mehrere Lagemaße anzuschauen und sie zu vergleichen. Das Ziel der deskriptiven Statistik ist es schließlich eine Datenreihe möglichst gut und übersichtlich zu beschreiben.

Median - Das Wichtigste

  • Der Median ist der Wert, der in einer geordneten Datenreihe genau in der Mitte liegt.
    • Bestimmen des Medians aus einer geordneten Datenreihe:
      • ungerade Anzahl: Der Median ist der mittlere Wert.
      • gerade Anzahl: Der Median ist das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.
    • Der Median ist eher robust gegenüber Ausreißern.
  • Der Mittelwert wird berechnet, indem die Summe aller Daten durch die Anzahl der Daten geteilt wird: .
    • Der Mittelwert ist wenig robust gegenüber Ausreißern.

Median

Der Mittelwert wird berechnet, indem die Summe aller Daten durch die Anzahl der Daten geteilt wird. Der Median einer Datenmenge bezeichnet den Wert, der in der Mitte einer nach der Größe geordneten Datenmenge liegt. Hat die Datenmenge eine ungerade Anzahl, ist der Median der mittlere Wert. Hat die Datenmenge eine gerade Anzahl, entspricht der Median dem arithmetischen Mittel der beiden mittleren Werte.

Der Unterschied zwischen Median und Durchschnitt ist, dass sie auf verschiedene Art und Weise bestimmt werden. Der Median einer Datenmenge bezeichnet den Wert, der in der Mitte einer nach der Größe geordneten Datenmenge liegt. Der Mittelwert hingegen wird berechnet, indem die Summe aller Daten durch die Anzahl der Daten geteilt wird.

Der Median sagt aus, dass mindestens die Hälfte der Werte kleiner gleich und mindestens die Hälfte größer gleich dem Median ist. Man nennt diese Eigenschaft des Medians auch Halbierungseigenschaft.


Ob der Median oder das arithmetische Mittel aussagekräftiger ist, hängt von verschiedenen Einflussfaktoren wie beispielsweise dem Sachzusammenhang, der Verteilungsform oder von möglichen Ausreißern ab.

Finales Median Quiz

Frage

Definiere den Begriff Median.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Median ist der Wert, der in einem geordneten Datensatz genau in der Mitte liegt. Geordnet bedeutet, dass die Werte der Größe nach aufgeschrieben sind.


Manchmal wird der Median auch als Zentralwert bezeichnet.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie der Median bestimmt wird, wenn die Anzahl der Daten ungerade ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem Datensatz mit ungerader Anzahl entspricht der Median dem Wert, der im geordneten Datensatz genau in der Mitte liegt.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie der Median bestimmt wird, wenn die Anzahl der Daten gerade ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem Datensatz mit gerader Anzahl entspricht der Median dem arithmetischen Mittel der beiden mittleren Werte.

Frage anzeigen

Frage

Was versteht man unter der Halbierungseigenschaft des Medians?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Median halbiert einen Datensatz in zwei gleich große Blöcke. Das bedeutet, dass mindestens die Hälfte der Werte kleiner gleich und mindestens die Hälfte größer gleich dem Median sind.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was es bedeutet, dass der Median robust gegenüber Ausreißern ist. 

Antwort anzeigen

Antwort

Der Median ist robust gegenüber Ausreißern, da sich sein Wert nicht durch einzelne besonders große oder kleine Werte ändert.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wofür der Median verwendet wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Median wird wie die anderen Lagemaße (Mittelwert, Modus) dafür verwendet, die Mitte beziehungsweise zentrale Tendenz einer Datenmenge zu beschreiben

Frage anzeigen
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