Was ist der Median?
Der Median, auch Zentralwert genannt, ist der mittlere Wert einer der Größe nach sortierten Datenreihe. Er teilt die Daten in zwei gleich große Hälften: Mindestens 50 Prozent der Werte sind kleiner oder gleich, mindestens 50 Prozent größer oder gleich dem Median. Deshalb heißt er auch 0,5-Quantil.
Stell dir vor, alle Werte einer Messreihe stellen sich der Größe nach in einer Reihe auf. Der Median ist dann genau die Person in der Mitte: Gleich viele stehen links wie rechts von ihr. Diese Idee macht den Median zu einem der wichtigsten Lagemaße der Statistik, neben dem arithmetischen Mittel und dem Modus.
Formal schreibt man den Median oft als x̃ (x mit einer Tilde darüber). Er beschreibt die typische Mitte der Daten, ohne dass einzelne sehr große oder sehr kleine Werte das Ergebnis verzerren. Genau deshalb spielt der Median in der Praxis eine so große Rolle, etwa beim Mittelwert-Vergleich von Einkommen oder Mietpreisen. Über 40 Millionen Lernende nutzen StudySmarter, um Statistik-Grundbegriffe wie diesen sicher für die Klausur zu beherrschen.
Median lernen?
Wie berechnet man den Median?
Um den Median zu berechnen, sortierst du zuerst alle Werte der Größe nach. Bei ungerader Anzahl n ist der Median der Wert genau in der Mitte, an Position (n + 1) / 2. Bei gerader Anzahl bildest du das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte. Ohne Sortieren wird jede Rechnung falsch.
Die Berechnung folgt immer demselben Ablauf, egal wie viele Werte du hast. Der einzige Unterschied liegt darin, ob die Anzahl der Werte gerade oder ungerade ist.
Ungerade Anzahl an Werten
Bei einer ungeraden Anzahl gibt es genau einen mittleren Wert. Nach dem Sortieren liest du ihn an der Position (n + 1) / 2 ab. Bei fünf Werten ist das die Position (5 + 1) / 2 = 3, also der dritte Wert der sortierten Reihe.
Gerade Anzahl an Werten
Bei einer geraden Anzahl gibt es keinen einzelnen mittleren Wert, sondern zwei Werte in der Mitte. Du nimmst beide, den unteren und den oberen mittleren Wert, und bildest ihr arithmetisches Mittel. Bei sechs Werten sind das die Positionen 3 und 4.
Der häufigste Fehler ist, den Median aus der unsortierten Reihe abzulesen. Ordne die Werte immer erst der Größe nach. Erst danach zählt die Position in der Mitte.
Median-Rechner
Der Median-Rechner sortiert deine Werteliste automatisch und gibt Anzahl, Median und Mittelwert aus. Gib die Zahlen durch Komma oder Leerzeichen getrennt ein und vergleiche direkt, wie weit Median und arithmetisches Mittel auseinanderliegen. So erkennst du sofort, ob Ausreißer den Mittelwert verzerren.
Trage deine Werte ein und starte die Berechnung. Der Rechner zeigt dir die sortierte Reihe und markiert den Zentralwert.
Du kannst Kommazahlen wie 2,5 oder 3.75 eingeben, der Rechner versteht beide Schreibweisen. Nicht lesbare Eingaben werden ignoriert, damit das Ergebnis immer korrekt bleibt.
Median berechnen: Beispiele
Zwei durchgerechnete Beispiele zeigen beide Fälle: Bei fünf Werten (ungerade Anzahl) ist der Median der dritte Wert der sortierten Reihe. Bei sechs Werten (gerade Anzahl) mittelst du die beiden mittleren Zahlen. Rechne beide Beispiele einmal selbst nach, dann sitzt das Verfahren für die Klausur.
Beispiel 1: ungerade Anzahl
Zuerst sortieren: 1, 3, 5, 7, 9. Es sind n = 5 Werte, also ungerade. Der Median liegt an Position (5 + 1) / 2 = 3. Der dritte Wert ist die 5, also ist der Median x̃ = 5. Zur Kontrolle: Zwei Werte liegen links (1, 3), zwei rechts (7, 9).
Beispiel 2: gerade Anzahl
Sortiert ergibt das 2, 4, 6, 8, 10, 12. Es sind n = 6 Werte, also gerade. Die beiden mittleren stehen an Position 3 und 4, das sind 6 und 8. Der Median ist ihr arithmetisches Mittel: x̃ = (6 + 8) / 2 = 7. Der Median muss hier gar kein Wert der Reihe selbst sein.
Beide Beispiele zeigen den entscheidenden Punkt: Der Median hängt nur von der Position in der sortierten Reihe ab, nicht von der Höhe der einzelnen Werte. Diese Eigenschaft macht ihn zu einem sehr stabilen Maß, wie der nächste Abschnitt zeigt.
Warum ist der Median robust gegen Ausreißer?
Der Median ist robust gegen Ausreißer: Ein einzelner extrem großer oder kleiner Wert verschiebt ihn kaum, während er das arithmetische Mittel stark verzerrt. Sein Bruchpunkt liegt bei 50 Prozent, der des Mittelwerts bei 0 Prozent. Deshalb ist der Median bei schiefen Daten das aussagekräftigere Lagemaß.
Ein Beispiel macht den Unterschied greifbar. Nimm die fünf Werte 3, 4, 5, 6, 7. Der Median ist 5, das arithmetische Mittel ist ebenfalls 5. Jetzt ersetzt du die 7 durch einen Ausreißer, den Wert 47. Die neue Reihe 3, 4, 5, 6, 47 hat immer noch den Median 5, denn die mittlere Position bleibt gleich. Das arithmetische Mittel springt dagegen auf 13, weil die Summe stark steigt.
Diese Eigenschaft heißt Robustheit. Man beschreibt sie über den Bruchpunkt: Beim Median dürfen bis zu 50 Prozent der Daten beliebig verändert werden, ohne dass er unbrauchbar wird. Beim arithmetischen Mittel genügt dagegen ein einziger extremer Wert, sein Bruchpunkt liegt bei 0 Prozent. Ein typisches Beispiel sind Einkommen: Bei 1.800, 2.100, 2.400, 2.700 und 12.000 Euro liegt der Median bei 2.400 Euro, das arithmetische Mittel aber bei 4.200 Euro. Der Median beschreibt die typische Größe hier deutlich besser.
Median, arithmetisches Mittel und Modus im Vergleich
Median, arithmetisches Mittel und Modus sind die drei Lagemaße. Der Median ist der mittlere Wert, das arithmetische Mittel der Durchschnitt aller Werte und der Modus der häufigste Wert. Bei symmetrischen Verteilungen liegen alle drei nahe beieinander, bei schiefen Verteilungen fallen sie deutlich auseinander.
Jedes der drei Lagemaße hat seine Stärken. Welches am besten passt, hängt vom Skalenniveau der Daten und davon ab, ob Ausreißer vorliegen. Die Tabelle fasst die Unterschiede zusammen.
| Lagemaß | Was es misst | Robust gegen Ausreißer | Ab welchem Skalenniveau |
|---|---|---|---|
| Median (Zentralwert) | mittlerer Wert der sortierten Reihe | ja | ordinal |
| Arithmetisches Mittel | Durchschnitt aller Werte | nein | metrisch |
| Modus (Modalwert) | häufigster Wert | ja | nominal |
Der Median lässt sich bereits ab ordinalem Skalenniveau sinnvoll bestimmen, also sobald sich Daten in eine Rangfolge bringen lassen. Das arithmetische Mittel setzt dagegen metrische Daten voraus, mit denen man rechnen kann. Bei einer rechtsschiefen Verteilung wie Einkommen gilt: Modus < Median < arithmetisches Mittel.
Median, Quartile und Boxplot
Der Median ist zugleich das zweite Quartil Q₂. Zusammen mit dem unteren Quartil Q₁ und dem oberen Quartil Q₃ bildet er das Gerüst eines Boxplots. Der Interquartilsabstand Q₃ minus Q₁ beschreibt, wie stark die mittleren 50 Prozent der Daten streuen.
Quartile teilen eine sortierte Datenreihe in vier gleich große Teile. Das erste Quartil Q₁ ist der Median der unteren Hälfte, das dritte Quartil Q₃ der Median der oberen Hälfte. Der Median selbst ist Q₂ und liegt genau in der Mitte. Diese drei Werte sind die Grundlage für den Boxplot, der die Verteilung als Kasten mit Whiskern darstellt.
Neben den Quartilen gibt es weitere Streumaße, die zeigen, wie weit die Werte auseinanderliegen. Dazu gehören die Spannweite als Abstand zwischen größtem und kleinstem Wert, der Interquartilsabstand sowie die Varianz und die daraus abgeleitete Standardabweichung. Während der Median die Lage beschreibt, messen diese Kennzahlen die Streuung. Passende Quartile findest du im Artikel zum Quartil.
Welche Fehler passieren beim Median am häufigsten?
Die häufigsten Fehler beim Median: die Werte nicht sortieren, bei gerader Anzahl nur einen statt beider mittleren Werte nehmen und Median mit Mittelwert verwechseln. Wer immer zuerst sortiert, die Anzahl prüft und bei gerader Anzahl mittelt, umgeht alle drei Stolperfallen zuverlässig.
Diese drei Fehler tauchen in Klausuren immer wieder auf. Wenn du sie kennst, vermeidest du typische Punktabzüge.
Der Median wird oft direkt aus der unsortierten Reihe abgelesen. Ohne Sortieren steht in der Mitte irgendein Wert, aber nicht der Zentralwert. Sortieren ist immer der erste Schritt.
Bei gerader Anzahl gibt es zwei mittlere Werte. Wer nur einen davon nimmt, erhält ein falsches Ergebnis. Richtig ist das arithmetische Mittel der beiden, zum Beispiel (6 + 8) / 2 = 7.
Median und arithmetisches Mittel sind nicht dasselbe. Der Median ist der mittlere Wert, der Mittelwert der Durchschnitt. Bei Ausreißern liegen beide weit auseinander.
Übungsaufgaben zum Median
Fünf Übungsaufgaben decken beide Rechenfälle, den Vergleich mit dem Mittelwert und die Robustheit gegen Ausreißer ab. Rechne jede Aufgabe zuerst selbst, klappe dann die Lösung auf und vergleiche deinen Weg mit der Musterlösung Schritt für Schritt.
Sortiert: 1, 1, 3, 4, 5. Es sind fünf Werte, Position (5 + 1) / 2 = 3. Der dritte Wert ist 3, also ist der Median 3.
Sortiert: 2, 4, 8, 10. Vier Werte, also gerade. Die beiden mittleren sind 4 und 8, der Median ist (4 + 8) / 2 = 6.
Die Reihe ist schon sortiert, sieben Werte. Position (7 + 1) / 2 = 4, der vierte Wert ist 4, also Median 4. Das arithmetische Mittel ist 35 / 7 = 5. Median und Mittelwert unterscheiden sich hier leicht.
Vorher: Median 5, Mittelwert 5. Nachher (3, 4, 5, 6, 47): Median bleibt 5, das Mittel steigt auf 13. Der Ausreißer verschiebt nur den Mittelwert.
Einkommen sind rechtsschief: Wenige sehr hohe Werte ziehen das arithmetische Mittel nach oben. Der Median ist robust gegen diese Ausreißer und beschreibt die typische Einkommenshöhe besser.
Karteikarten zum Median
Sechs Karteikarten fassen die wichtigsten Punkte zum Median zusammen, von der Definition über die Berechnung bei gerader und ungerader Anzahl bis zur Robustheit. Klicke auf eine Karte, um die Antwort zu sehen, und navigiere mit den Pfeilen durch das Set.
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Median, das Wichtigste
Der Median ist der mittlere Wert einer sortierten Datenreihe. Bei ungerader Anzahl liest du ihn direkt in der Mitte ab, bei gerader Anzahl mittelst du die beiden mittleren Werte. Sein größter Vorteil gegenüber dem Mittelwert ist die Robustheit gegen Ausreißer.
- Definition: mittlerer Wert der sortierten Reihe, Zentralwert, 0,5-Quantil.
- Erster Schritt immer: alle Werte der Größe nach sortieren.
- Ungerade Anzahl: Wert an Position (n + 1) / 2.
- Gerade Anzahl: arithmetisches Mittel der beiden mittleren Werte.
- Robust gegen Ausreißer, anders als das arithmetische Mittel.
- Der Median ist das zweite Quartil Q₂ und Kern des Boxplots.
Häufige Fragen zum Median
Sortiere zuerst alle Werte der Größe nach. Bei ungerader Anzahl ist der Median der Wert genau in der Mitte, also an Position (n + 1) / 2. Bei gerader Anzahl bildest du das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.
Der Median ist der mittlere Wert einer sortierten Reihe, das arithmetische Mittel ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Der Median ist robust gegen Ausreißer, das arithmetische Mittel wird von einzelnen Extremwerten stark verzerrt.
Immer dann, wenn Ausreißer oder schiefe Verteilungen vorliegen, zum Beispiel bei Einkommen oder Immobilienpreisen. Dort liegt der Mittelwert über dem Median und ist wenig aussagekräftig, während der Median die typische Größe besser beschreibt.
Bei gerader Anzahl gibt es keinen einzelnen mittleren Wert. Man nimmt die beiden mittleren Werte der sortierten Reihe und bildet ihr arithmetisches Mittel. Bei den sechs Werten 2, 4, 6, 8, 10, 12 ist der Median zum Beispiel (6 + 8) / 2 = 7.
Ja. Ein einzelner extrem großer oder kleiner Wert verschiebt den Median kaum, weil nur die Position in der Mitte zählt, nicht die Höhe der Werte. Der Bruchpunkt des Medians liegt bei 50 Prozent, der des Mittelwerts bei 0 Prozent.
Das sind die drei Lagemaße der Statistik. Der Modus ist der häufigste Wert, der Median der mittlere Wert der sortierten Reihe und das arithmetische Mittel der Durchschnitt aller Werte. Bei symmetrischen Verteilungen liegen alle drei nah beieinander.
Quellen
Die fachlichen Inhalte orientieren sich an etablierter Fachliteratur und universitären Lehrmaterialien:
- Median (Definition, Berechnung bei gerader und ungerader Anzahl, Robustheit, 0,5-Quantil). Wikipedia. de.wikipedia.org
- Universität Flensburg, Zentrum für Methodenlehre: Tutorium Statistik I: Lagemaße (Modus, Median, arithmetisches Mittel). uni-flensburg.de (PDF)
- Median einer Verteilung (formale Definition über P(X ≤ m), 0,5-Quantil, Lage bei schiefen Verteilungen). Spektrum, Lexikon der Mathematik. spektrum.de