Bernoulli Verteilung: Erwartungswert & Varianz | StudySmarter
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Bernoulli Verteilung

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Mathe

Du beschäftigst dich aktuell im Unterricht mit der Bernoulli Verteilung und bist dir nicht ganz sicher wie das ganze funktioniert? Dann bist du hier genau richtig. Wir legen direkt mal los!



Bernoulli: Das Experiment, die Verteilung und Definition


In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit allem was mit der Bernoulli Verteilung zu tun hat.


Das Bernoulli Experiment


Die Bernoulli Verteilung und Formel ist damals vom Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli erfunden worden. Die Bernoulli Verteilung wird manchmal auch Null-Eins Verteilung, Alternativ Verteilung oder Boole-Verteilung genannt.


Nun schauen wir uns aber mal genauer an was er denn dort genau entdeckt hat und wie uns das in der Mathematik weiterhilft.


anna.vocke@studysmarter.de

Hier würde ich gerne ein Flaticon einbringen, kann aktuell keine downloaden wegen dem payment issue.

10:49 27.11.2021

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Die Bernoulli Verteilung zählt zum Themenbereich der Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Stochastik. Hier unterscheidet man zwischen der diskreten und stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Bernoulli Verteilung zählt zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. 

Wenn du noch mehr dazu wissen möchtest, kannst du dir gerne nochmal unseren Artikel dazu durchlesen!


Um so eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zu erstellen brauchen wir aber natürlich vorher ein Zufallsexperiment, an dem wir die Wahrscheinlichkeit berechnen müssen. 

Hier kommt dann Bernoulli zum Vorschein mit einer besonderen Anforderung die du dir mal anschauen solltest:


Ein bestimmtes Kriterium muss bei einem Bernoulli Experiment immer erfüllt sein, damit es auch wirklich ein Bernoulli Experiment ist:


Ein Bernoulli Experiment hat immer nur zwei Ergebnismöglichkeiten z.B Treffer oder kein Treffer. Es gibt keine weiteren Möglichkeiten.

Die Bernoulli Verteilung ist ein Spezialfall der Binominalverteilung mit einer Versuchsanzahl von n = 1. Wird das Bernoulli Experiment n-fach wiederholt, so handelt es sich um ein n-faches Bernoulli Experiment. Man nennt das auch Bernoulli-Kette,


Wenn du dieses wichtige Kriterium schon verinnerlicht hast, dann hast du bereits den Kernpunkt eines Bernoulli Experimentes kennengelernt. Schauen wir uns das ganze doch mal anhand eines Beispiels für ein Bernoulli Experiment an:

In der Schule wird mit einem Eimer mit Losen durchgegangen. Jeder Schüler darf ein Los ziehen. Es gibt entweder ein Gewinn oder eine Niete.


Dies ist ein klassischer Fall für ein Bernoulli Experiment, denn wir haben nur zwei Ereignisse. Entweder ein Gewinn oder eine Niete. 

Sobald wir ein drittes Ereignis haben, wie z.B noch einen zusätzlichen Los für den Hauptgewinn den man ziehen kann, handelt es sich nicht mehr um ein Bernoulli Experiment.


Bernoulli VerteilungGewinn NieteStudySmarterAbbildung 1: Gewinn oder Niete


Die Bernoulli Verteilung:


Der Einfachhalt halber, gehen wir bei einer Bernoulli Verteilung jetzt von den zwei Ereignissen Treffer oder kein Treffer aus. Natürlich kann man es auch als Erfolg oder Misserfolg, Gewinn oder Niete etc. ausdrücken. Damit es aber einheitlich in dieser Zusammenfassung bleibt, unterscheiden wir zwischen Treffer und kein Treffer.


Unter einem Treffer verstehen wir zum Beispiel einen Gewinn. Als kein Treffer würde zum Beispiel eine Niete zählen. 


Die Menge wird durch die Träger  angegeben.


beschreibt die beiden Ereignismöglichkeiten Treffer (1) und kein Treffer (0)


Alle möglichen Ausgänge des Zufallsexperimentes werden durch die Ergebnismenge oder Ergebnisraum angegeben.


Die möglichen Ergebnisse werden durch die Variable angegeben. 


Die Mächtigkeit der Menge wird durch:  angegeben


Das große X steht immer für die Zufallsvariable Treffer.


Sie wird folgendermaßen definiert:


Es gilt also:


P (X=1) = p beschreibt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer

P (X=0) = 1-p beschreibt die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer


Außerdem werden bei Bernoulli folgende Variablen verwendet:


Die Variable p steht für die Wahrscheinlichkeit eines Treffers


Die Variable q steht für die Wahrscheinlichkeit, das es kein Treffer gibt. Sie wird auch als Gegenwahrscheinlichkeit benutzt ( q= 1-p)

Man zieht also der ganzen Wahrscheinlichkeit 100% oder 1 die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ab.

Der große Unterschied zum Laplace Experiment ist, dass bei einem Laplace Experiment die Wahrscheinlichkeit immer gleich ist. Bei Bernoulli kann die Wahrscheinlichkeit sich auch ändern.


Wir gehen die Bernoulli Verteilung nun nochmal anhand unseres Beispiels durch:


Wir wissen ja bereits, dass wir bei einer Tombola die Möglichkeiten haben einen Gewinn oder eine Niete zu ziehen.

Natürlich sind die Wahrscheinlichkeiten aber nicht gleich, denn die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn ist deutlich niedriger als die für eine Niete.


Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn liegt bei  und die für eine Niete bei .


Die Wahrscheinlichkeiten siehst du hier noch einmal verteilt für die Ereignisse keinen Treffer oder Treffer in einem Diagramm dargestellt.


Bernoulli VerteilungDiagrammStudySmarterAbbildung 2: Diagramm der Wahrscheinlichkeiten


Wahrscheinlichkeitsfunktion der Bernoulli Verteilung


Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist ebenfalls wichtig, wenn du dich mit der Bernoulli Verteilung intensiv beschäftigen möchtest. Schau dir doch mal an, wie sie sich zusammensetzt.


Die Wahrscheinlichkeitsfunktion gibt genau das wieder, was du oben schon bei der Definition der Bernoulli Verteilung kennengelernt hast.

Die Wahrscheinlichkeit in der ersten Zeile gibt die Formel für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit von x=0 also für keinen Treffer an.


Die Variable p steht ja für die Wahrscheinlichkeit des Treffers, also x=1.


In der untersten Zeile steht für sonstige Ergebnisse.


Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Bernoulli Verteilung sieht folgendermaßen aus und wird manchmal auch als Dichte bezeichnet:



Ein Beispiel hierfür ist eine Urne mit 5 Kugeln, wobei davon 2 grün und 3 rot sind. Wir betrachten das erfolgreiche Ziehen einer bestimmten Farbe als Erfolg und das Nichtziehen dieser Farbe als Misserfolg.


Bernoulli VerteilungUrne KugelnStudySmarterAbbildung 2: Urne mit Kugeln


Hier siehst du die Ergebnisse noch einmal in einem Diagramm dargestellt. Du hast einmal die beiden Wahrscheinlichkeiten für X=0 also kein Treffer und die für X=1 also für einen Treffer. Das ist unterteilt in die beiden Farben der Urnen aus den Kugeln.



Bernoulli VerteilungDiagramm ErgebnisseStudySmarterAbbildung 3: Diagramm der Ergebnisse



Betrachtest du nun die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen (Treffer) und keine rote Kugel (kein Treffer) zu ziehen, erhältst du folgende Tabelle und Wahrscheinlichkeitsfunktion:





Verteilungsfunktion der Bernoulli Verteilung 


Ein weiterer wichtiger Aspekt der Bernoulli Verteilung ist die Verteilungsfunktion F. Diese gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Ergebnis kleiner oder gleich x ist. 

Es gibt nur die Ergebnisse Treffer mit X=1 und kein Treffer mit X=0


Die Verteilungsfunktion wird folgendermaßen definiert:






Schaust du dir nun F (x) = 0 für x kleiner 0 an, wird der Fall betrachtet, dass das Ergebnis kleiner 0 sein muss. Dies tritt nie ein, da es nur X=0 und  X=1 gibt.


Schaust du dir F(x) = 1-p=0,5 für x größer gleich null und x kleiner 1, wird der Fall betrachtet, dass das Ergebnis mindestens 0 und geringer als 1 ist. Da es das Ergebnis X=0 mit der Wahrscheinlichkeit q gibt, gilt hier F(x)= q.


Schaust du dir nun als letztes F(x)= 1 für x größer gleich 1 an, wird der Fall betrachtet, dass das Ergebnis kleiner oder gleich einer Zahl ist, die größer 1 ist. Das bedeutet, dass das Ergebnis X=0 oder  X=1 möglich sind. Da dies immer der Fall ist, ist dafür die Wahrscheinlichkeit F(x)=1.


Du solltest nicht verwechseln, dass trotz derselben Schreibweise F(x) hier keine Stammfunktion von f bezeichnet wird.


Damit du es mal direkt angewendet siehst, schauen wir uns wieder das Beispiel mit den 5 Kugeln an:

3 der Kugeln sind rot und 2 Kugeln sind grün.


Für die roten Kugeln hast du folgende Verteilungsfunktion:


F(x)=  { 0,  x<0  25,0 ≤x<1  1,  x≥1}

 


Gleiches gilt, wenn du die Verteilungsfunktion der grünen Kugeln betrachtest:


F(x) = {0,  x<0 35,  0≤x<1 1,  x≥1}




Erwartungswert der Bernoulli Verteilung 


Nachdem wir nun schon die Bernoulli Verteilungsfunktion kennengelernt haben, tauchen wir noch ein bisschen tiefer in das Thema ein. Nun beschäftigen wir uns nämlich mit dem Erwartungswert.


Wie du wahrscheinlich schon gelernt hast, ist der Erwartungswert die Aussicht auf Erfolg. Falls du dich nicht mehr erinnerst, lies dir nochmal unseren Artikel zum Thema Erwartungswert durch.


Der Erwartungswert der Bernoulli Verteilung sieht folgendermaßen aus:




Wenn du genau hinsiehst, bemerkst du das eigentlich dass einfach nur E (X) = p gilt. Das heißt der Erwartungswert ist gleich deinem p.




Das sieht natürlich alles mal wieder viel komplizierter aus, als es eigentlich ist. Erinner dich nochmal genau daran, welches Parameter wofür steht, dann ist der Erwartungswert recht selbsterklärend.


Für unser Beispiel mit den 3 roten und den 2 grünen Kugeln ergibt sich somit jeweils folgender Erwartungswert, dafür nehmen wir uns einfach nur die Wahrscheinlichkeit p für einen Treffer:


Rot:        E(X)=


Grün:     E(X)=  




Varianz der Bernoulli Verteilung 


Auch die Varianz der Bernoulli Verteilung schaffst du jetzt noch, nachdem wir schon alles andere durchgegangen sind. Auch diese kannst du leicht lösen:


Die Definition für die Varianz einer Bernoulli Formel lautet so:




Wir haben wieder das Beispiel mit den 5 Kugeln – 3 davon sind rot und 2 grün, dann bekommst du für die Varianz folgende Lösung:



Rote Kugel :



Grüne Kugel:




Bernoulli Verteilung - Das Wichtigste

  • Ein Bernoulli Experiment hat nur 2 mögliche Ergebnisse und zwar Treffer oder kein Treffer.
  • Die Bernoulli Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung.
  • P(X=1) steht für die Wahrscheinlichkeit eines Treffers, P (X=0) für die keines Treffers.
  • Die Verteilungsfunktion F gibt die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis kleiner, gleich oder größer 0 an.
  • Als Erwartungswert gilt : E(X) = p
  • Als Varianz gilt : Var(X)= p·(1-p)


Häufig gestellte Fragen zum Thema Bernoulli Verteilung

Ein Bernoulli Experiment erkennst du daran, dass es immer nur zwei mögliche Ereignismöglichkeiten gibt die mit p und q gekennzeichnet sind. Die Variable p gibt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer an und die Variable q die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer.

Mit der Bernoulli Formel berechnest du die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten dafür das das Ereignis Treffer oder das Ergeignis kein Treffer auftritt.

Es handelt sich dann um eine Bernoulli Verteilung wenn es nur zwei Ergeignismöglichkeiten gibt die als Treffer oder kein Treffer mit den Variablen p und q gekennzeichnet sind.

Bei einem Laplace Experiment hat das Ereignis immer die gleiche Wahrscheinlichkeit. Bei Bernoulli hingegen kann die Wahrscheinlichkeit sich auch ändern.

Finales Bernoulli Verteilung Quiz

Frage

Zu welchem Themengebiet in der Mathematik gehört die Bernoulli Verteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Bernoulli Verteilung zählt zum Themengebiet der Stochastik.

Frage anzeigen

Frage

Von welchem Mathematiker wurde die Bernoulli Verteilung erfunden?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Bernoulli Verteilung wurde vom schweizer Mathematiker Daniel Bernoulli erfunden.

Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaften hat ein Bernoulli Experiment?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt nur zwei Ergebnismöglichkeiten z.B Erfolg oder Misserfolg

Frage anzeigen

Frage

Wie drücken wir mathematisch die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer nach Bernoulli aus?

Antwort anzeigen

Antwort

P (X=1) = .... beschreibt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer

Frage anzeigen

Frage

Wie drücken wir mathematisch die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer nach Bernoulli aus?


Antwort anzeigen

Antwort

P (X=0) = ... drückt die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer aus

Frage anzeigen

Frage

Mit welchem Buchstabe gibt man die Verteilungsfunktionen an?

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Antwort

Die Verteilungsfunktion gibt man mit dem Buchstaben F an.

Frage anzeigen

Frage

Was gibt die Verteilungsfunktion an?

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Antwort

Sie gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Ergebnis kleiner, gleich oder größer x ist.

Frage anzeigen

Frage

​Hat die Verteilungsfunktion F etwas mit der Stammfunktion F(x) zu tun?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, die beiden Funktionen haben keinen Zusammenhang miteinander.

Frage anzeigen

Frage

Wie hängen Bernoulliverteilung und Binomialverteilung miteinander zusammen?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Bernoulliverteilung ist ein Spezialfall einer Binomialverteilung

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die vereinfachte Form des Erwartungswertes für eine Bernoulli Verteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

Die vereinfachte Form lautet: E(X)=p

Frage anzeigen
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