Die Simulation von Zufallsexperimenten brauchst Du genau dann, wenn es Dir nicht möglich ist, ein reales Zufallsexperiment hinreichend oft durchzuführen, um ein repräsentatives Ergebnis zu Deiner Fragestellung zu finden. Damit das Ergebnis der Simulation auch zum realen Zufallsexperiment passt, muss eine gewisse Strukturgleichheit gegeben sein. Wie Du so ein passendes Simulationsmodell erstellst und dann berechnest, erfährst Du in dieser Erklärung mit Definitionen und Beispielen.
Simulation von Zufallsexperimenten Definition
Doch was genau ist eine Simulation von Zufallsexperimenten?
In der Stochastik verstehst Du unter Simulation die Nachbildung eines Zufallsversuches mit einem geeigneten Zufallsgerät, wie ein Würfel, eine Münze oder auch eine Tabelle. Im Allgemeinen ist der Ausgangspunkt einer Simulation ein reales Zufallsexperiment, das aus verschiedenen Gründen nicht hinreichend oft wiederholt werden kann.
Für diese Simulation wird ein sogenanntes Modell erstellt. Dieses Modell beschreibt, auf welche Art und Weise eine Simulation mit den Zufallsgeräten das reale Zufallsexperiment darstellen kann.
Strukturgleichheit von Zufallsexperimenten
Wie Du von einem realen Zufallsexperiment zu einem passenden Modell für die Simulation gelangst, ist nicht genau festgelegt. Zwar gibt es ein Schema, wie der grobe Ablauf aussieht, doch der Prozess der Modellbildung ist in jedem Fall anders.
Bei jeder Modellbildung gilt es jedoch immer drei grundlegende Prinzipien einzuhalten:
- Die Richtigkeit besagt, dass jedes Modell, auch wenn es sich mathematisch nicht bewiesen lässt, mithilfe von Experimenten auf Übereinstimmungen oder Widersprüche zum realen Zufallsexperiment überprüft werden muss. Nur ein Modell, das keine Widersprüche aufweist, kann als richtig anerkannt werden.
- Bei der Zulässigkeit wird untersucht, ob das Modell logisch zulässig ist und in seiner Formulierung selbst keine Widersprüche aufweist.
- Die Zweckmäßigkeit beschreibt, ob das Modell keine überflüssigen Bestandteile enthält, die die Darstellung des realen Zufallsexperiments verkomplizieren könnten. Ein Modell sollte immer so simpel wie möglich sein, ohne dabei das Ziel der Simulation zu verfehlen.
Damit Du möglichst schnell an ein mögliches passendes Modell kommst, solltest Du folgende Punkte bearbeiten:
Analyse des realen Problems
Damit Du später ein Modell entwickeln kannst, das auch strukturgleich zum realen Zufallsexperiment ist, solltest Du Dir ganz genau im Klaren sein, worin überhaupt das reale Problem besteht. Stelle Dir dabei folgende Fragen:
- Welche Punkte sind unwesentlich und welche Ziele sollen erreicht werden?
- Durch welche Gesetzmäßigkeiten wird das Problem bestimmt? Arbeite dafür heraus, wie Du das Problem mathematisch zusammenfassen kannst und welche anderen Wissenschaften einspielen.
- Existieren bereits mathematische Modelle für ein ähnliches Problem? Wenn ja, überprüfe, ob es sich auf Dein aktuelles Problem übertragen lässt.
- Welche Daten werden für das Modell benötigt und welche sind überflüssig?
- Mithilfe welcher Variablen kann das Problem beschreiben werden und wie können sie bestimmt werden?
Interpretation des Simulationsergebnisses
Hast Du Dir ein passendes Modell überlegt und bereits einen Simulationsversuch durchgeführt, gilt es, die Ergebnisse auf ihre Richtigkeit zu kontrollieren. Dabei solltest Du Dir folgende Fragen stellen:
- Lassen sich die mathematischen Ergebnisse real deuten und sind sie realistisch? Untersuche hier, ob Deine Ergebnisse für Dein reales Problem überhaupt Sinn ergeben.
- Stimmen Deine Ergebnisse der Simulation mit Beobachtungen oder bereits vorhandenen Statistiken über ein?
Erst, wenn Du diese Fragen mit Ja beantworten kannst, kannst Du davon ausgehen, dass Du ein strukturgleiches Modell erstellt hast. Doch selbst dann besteht keine Garantie.
Simulation von Zufallsexperimenten Berechnen
Bei der Simulation von Zufallsexperimenten solltest Du idealerweise später auch Ergebnisse für verschiedene Fragestellungen berechnen können. In diesem Abschnitt findest Du die dazu nötigen Formeln und einige Beispiele.
Simulation von Zufallsexperimenten Formeln
Je nachdem, welche Werte Du für die Auswertung Deiner Simulation später brauchen wirst, benötigst Du verschiedene Formeln. In dieser Tabelle findest Du einige der wichtigsten Formeln der Stochastik.
| Wert | Formel | Anmerkung |
| Mittelwert | \[\mu=\frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl aller Werte}}\] | |
| Median | ungerade Anzahl Messwerte | \[x_{\text{med}}=x_{\frac{n+1}{2}}\] | Kann nur bei ordinalen und kardinalen Skalenniveaus angewendet werden.\(n\) : Anzahl and Ausprägungen\(x_{med}\) : Median\(x\) : Ergebnis |
| gerade Anzahl Messwerte | \[x_{\text{med}}=\frac{1}{2} \cdot (x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1})\] |
| Varianz | \[\sigma^2=\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\cdot p_i\] | \(p_i\) : Wahrscheinlichkeit, dass \(x_i\) eintritt |
| Standardabweichung | \[ \sigma=\sqrt{\text{Vari}\text{anz}}=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\cdot p_i} \] | |
| Spannweite | \[R=x_{\text{max}}-x_{\text{min}}\] | \(x_{\text{max}}\) : Größter Wert\(x_{\text{min}}\) : kleinster Wert |
| Variationskoeffizient | \[V=\frac{\sigma}{\mu}\] | |
Simulation von Zufallszahlen Beispiele - Aufgaben
In diesem Abschnitt werden zwei Beispiele für Simulationen behandelt, dabei handelt es sich um sowohl Beispiele für Zufallsexperimente als auch Beispiele für Zufallsgeräte
Simulation von Zufallsexperimenten Urne
Die Urne ist Dir vielleicht in der Stochastik über den Weg gelaufen, als Du die Wahrscheinlichkeitsrechnung gelernt hast. In der Simulation kann sie jedoch auch als Zufallsgerät verwendet werden. In diesem Fall wird von einem Urnenmodell gesprochen.
Der Vorteil am Urnenmodell ist, dass Du bei der Art von Ausführung viel variieren kannst und dadurch vielfältige Simulationsmöglichkeiten hast.
| Eigenschaft | Variante | Vorteil |
| Markierung der Kugeln | Die Kugeln werden durchgezählt und erhalten eindeutige Nummer | Sinnvoll, wenn alle Kugeln die gleiche Wahrscheinlichkeit darstellen sollen |
| Die Kugeln erhalten verschiedene Farben, wobei sich Farben wiederholen können | Sinnvoll, wenn verschiedene Wahrscheinlichkeiten dargestellt werden sollen |
| Mit Zurücklegen oder ohne Zurücklegen | Mit zurücklegen | Die Anzahl der Kugeln in der Urne bleibt immer gleich und Kugeln können mehrmals gezogen werden. Wahrscheinlichkeiten ändern sich nicht. |
| Ohne zurücklegen | Die Anzahl der Urnen wird pro Ziehung kleiner und Kugeln können nicht mehrmals gezogen werden. Die Wahrscheinlichkeiten können sich verändern. |
| Reihenfolge | Beachtung der Reihenfolge | Durch Beachtung der Reihenfolge gibt es mehr Kombinationsmöglichkeiten. Abhängigkeiten von Wahrscheinlichkeiten können dargestellt werden. |
| Keine Beachtung der Reihenfolge | Es gibt weniger Kombinationsmöglichkeiten und Abhängigkeiten von Wahrscheinlichkeiten werden nicht dargestellt. |
Für eine Klasse mit \(30\) Schülern soll entschieden werden, wer wann Tafeldienst hat. Dabei soll jeder Schüler nur einmal vorkommen, bis alle Schüler einmal dran waren.Um den Putzplan zu bestimmen, wird eine Urne verwendet. Da jeder Schüler eindeutig bestimmt ist, werden \(30\) Kugeln von \(1\) bis \(30\) beschriftet in die Urne gelegt. Damit auch kein Schüler mehrmals gezogen wird, werden die Kugeln nicht wieder zurückgelegt. Die Reihenfolge der gezogenen Kugeln bestimmt gleichzeitig auch die Reihenfolge der Schüler und muss deshalb beachtet werden.Wie Du siehst, wurden in diesem Beispiel die verschiedenen Variationen des Urnenmodells genutzt, um ein möglichst strukturgleiches Modell zu erstellen.
Simulation von Zufallsexperimenten Kreis
Wie Du vielleicht schon weißt, gibt es verschiedene Wege, die Kreiszahl Pi \((\pi)\) annähernd zu bestimmen. Eine dieser Methoden ist die Simulation durch ein geeignetes Modell.
Um die
Kreiszahl Pi zu bestimmen, kann die Monte Carlo Simulation verwendet werden.Dafür wird ein Koordinatensystem verwendet, dessen x- und y-Achse im Intervall von \(0\) und \(1\) liegen. In diesem Koordinatensystem wird ein Viertelkreis mit dem Radius \(1\) gezeichnet, dessen Mittelpunkt auf dem Ursprung liegt.Jetzt werden mithilfe von Zufallszahlen zufällig eine große Anzahl an Koordinatenpunkten um
Koordinatensystem verteilt. Als Nächstes wird gezählt, wie viele dieser Punkte innerhalb des Viertelkreises und wie viele außerhalb liegen.Die Verteilung dieser Koordinatenpunkte stellt dar, wie groß die Wahrscheinlichkeiten sind, dass die Punkte innerhalb oder außerhalb landen. Da die
Wahrscheinlichkeit aber für jeden Punkt im
Koordinatensystem gleich ist, sagt dieses Verhältnis gleichzeitig aus, wie das Verhältnis der Kreisfläche zur Gesamtfläche ist.\[\frac{\text{Punkte im Kr}\text{eis}}{\text{Punkte im Koordinatensystem}} = \frac{\text{Kreisfläche}}{\text{Koordinatensystem Fläche}}=\frac{\pi \cdot r^2}{(2 \cdot r)^2}=\frac{\pi}{4} \]Da es sich hier um einen Viertelkreis handelt, muss der Wert noch mit \(4\) multipliziert werden und schon erhältst Du eine Annäherung für Pi.\[\Rightarrow \pi=4\cdot\frac{\text{Punkte im Kr}\text{eis}}{\text{Punkte im Koordinatensystem}}\]
Mehr zu dieser Art von Vorgehensweise findest Du in der Erklärung Monte-Carlo-Simulation.
Simulation von Zufallsexperimenten – Aufgaben
In diesem Abschnitt sollst Du selbst eine Simulation für ein Alltagsbeispiel erstellen.
Aufgabe 1
Eine Familie hat zwei Kinder, eines davon ist ein Junge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Familie ein Mädchen hat? Entwickle eine geeignete Simulation des Zufallsexperiments.
Lösung
Es gibt endlos viele verschiedene Möglichkeiten ein Zufallsexperiment zu simulieren, ein Beispiel für eine Passende wäre etwa:
- Als Zufallsgerät wird ein Würfel verwendet, die geraden Zahlen stehen für einen Jungen, die ungeraden für ein Mädchen. Die Wahrscheinlichkeiten stehen also, repräsentativ für die Wahrscheinlichkeit entweder einen Jungen oder ein Mädchen zu bekommen, bei 50 zu 50.
- Bei der Durchführung werden zwei Würfel hundertmal geworfen und jedes Mal die Zahlen 0, 1 oder 2 notiert. Dabei steht 0 für keinen Jungen (also zwei Mädchen), 2 für einen Jungen (also ein Mädchen und einen Jungen) und 2 für zwei Jungs (also kein Mädchen).
- Sobald Du diese 100 Würfe notiert hast, zählst Du zuerst die Anzahl aller Würfe zusammen, in denen mindestens ein Junge vorkommt, oder auch aller Fälle, die „günstig“ sind. Also alle Ergebnisse, die mit entweder der Zahl 1 oder 2 versehen sind. Alle, die mit der Zahl 0 gekennzeichnet sind, können nicht weiter betrachten werden, da in der Aufgabenstellung ausdrücklich steht, dass ein Kind ein Junge ist.
- Als Nächstes zählst Du die Anzahl der Ergebnisse 1 und teilst diese durch die vorher berechnete Anzahl der günstigen Fälle:
\[\text{relative Häufigkeit h}(1)=\frac{\text{Anzahl Ergebnis 1}}{\text{Anzahl günstige Fälle}}\]
Das Ergebnis, das herauskommt (es sollte etwa bei \(0.67\) liegen) ist die simulierte Wahrscheinlichkeit.
Simulation von Zufallsexperimenten – Das Wichtigste
- In der Stochastik verstehst Du unter Simulation die Nachbildung eines Zufallsversuches mit einem geeigneten Zufallsgerät, wie ein Würfel, eine Münze oder auch eine Tabelle. Im Allgemeinen ist der Ausgangspunkt einer Simulation ein reales Zufallsexperiment, das aus verschiedenen Gründen nicht hinreichend oft wiederholt werden kann.
- Bei jeder Modellbildung gilt es jedoch immer drei grundlegende Prinzipien einzuhalten:
- Die Richtigkeit besagt, dass jedes Modell, auch wenn es sich mathematisch nicht bewiesen lässt, mithilfe von Experimenten auf Übereinstimmungen oder Widersprüche zum realen Zufallsexperiment überprüft werden muss. Nur ein Modell, das keine Widersprüche aufweist, kann als richtig anerkannt werden.
- Bei der Zulässigkeit wird untersucht, ob das Modell logisch zulässig ist und in seiner Formulierung selbst keine Widersprüche aufweist.
- Die Zweckmäßigkeit beschreibt, ob das Modell keine überflüssigen Bestandteile enthält, die die Darstellung des realen Zufallsexperiments verkomplizieren könnten. Ein Modell sollte immer so simpel wie möglich sein, ohne dabei das Ziel der Simulation zu verfehlen.
- Damit Du später ein Modell entwickeln kannst, das auch strukturgleich zum realen Zufallsexperiment ist, solltest Du Dir ganz genau im Klaren sein, worin überhaupt das reale Problem besteht. Stelle Dir dabei Fragen zu den Punkten:
- Ziel
- Gesetzmäßigkeiten
- Bereits existierende Modelle
- Benötigte Daten
- Benötigte Variablen
- Hast Du Dir ein passendes Modell überlegt und bereits einen Simulationsversuch durchgeführt, gilt es, die Ergebnisse zu auf ihre Richtigkeit zu kontrollieren. Dabei geht es um die Punkte:
- Sinnigkeit des Ergebnisses
- Freiheit von Widersprüchen
- Der Vorteil am Urnenmodell ist, dass Du bei der Art von Ausführung viel variieren kannst und dadurch vielfältige Simulationsmöglichkeiten hast.
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