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Die Simulation von Zufallsexperimenten brauchst Du genau dann, wenn es Dir nicht möglich ist, ein reales Zufallsexperiment hinreichend oft durchzuführen, um ein repräsentatives Ergebnis zu Deiner Fragestellung zu finden. Damit das Ergebnis der Simulation auch zum realen Zufallsexperiment passt, muss eine gewisse Strukturgleichheit gegeben sein. Wie Du so ein passendes Simulationsmodell erstellst und dann berechnest, erfährst Du in dieser Erklärung…
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Jetzt kostenlos anmeldenDie Simulation von Zufallsexperimenten brauchst Du genau dann, wenn es Dir nicht möglich ist, ein reales Zufallsexperiment hinreichend oft durchzuführen, um ein repräsentatives Ergebnis zu Deiner Fragestellung zu finden. Damit das Ergebnis der Simulation auch zum realen Zufallsexperiment passt, muss eine gewisse Strukturgleichheit gegeben sein. Wie Du so ein passendes Simulationsmodell erstellst und dann berechnest, erfährst Du in dieser Erklärung mit Definitionen und Beispielen.
Doch was genau ist eine Simulation von Zufallsexperimenten?
In der Stochastik verstehst Du unter Simulation die Nachbildung eines Zufallsversuches mit einem geeigneten Zufallsgerät, wie ein Würfel, eine Münze oder auch eine Tabelle. Im Allgemeinen ist der Ausgangspunkt einer Simulation ein reales Zufallsexperiment, das aus verschiedenen Gründen nicht hinreichend oft wiederholt werden kann.
Für diese Simulation wird ein sogenanntes Modell erstellt. Dieses Modell beschreibt, auf welche Art und Weise eine Simulation mit den Zufallsgeräten das reale Zufallsexperiment darstellen kann.
Wie Du von einem realen Zufallsexperiment zu einem passenden Modell für die Simulation gelangst, ist nicht genau festgelegt. Zwar gibt es ein Schema, wie der grobe Ablauf aussieht, doch der Prozess der Modellbildung ist in jedem Fall anders.
Bei jeder Modellbildung gilt es jedoch immer drei grundlegende Prinzipien einzuhalten:
Damit Du möglichst schnell an ein mögliches passendes Modell kommst, solltest Du folgende Punkte bearbeiten:
Damit Du später ein Modell entwickeln kannst, das auch strukturgleich zum realen Zufallsexperiment ist, solltest Du Dir ganz genau im Klaren sein, worin überhaupt das reale Problem besteht. Stelle Dir dabei folgende Fragen:
Hast Du Dir ein passendes Modell überlegt und bereits einen Simulationsversuch durchgeführt, gilt es, die Ergebnisse auf ihre Richtigkeit zu kontrollieren. Dabei solltest Du Dir folgende Fragen stellen:
Erst, wenn Du diese Fragen mit Ja beantworten kannst, kannst Du davon ausgehen, dass Du ein strukturgleiches Modell erstellt hast. Doch selbst dann besteht keine Garantie.
Bei der Simulation von Zufallsexperimenten solltest Du idealerweise später auch Ergebnisse für verschiedene Fragestellungen berechnen können. In diesem Abschnitt findest Du die dazu nötigen Formeln und einige Beispiele.
Je nachdem, welche Werte Du für die Auswertung Deiner Simulation später brauchen wirst, benötigst Du verschiedene Formeln. In dieser Tabelle findest Du einige der wichtigsten Formeln der Stochastik.
Wert | Formel | Anmerkung | |
Mittelwert | \[\mu=\frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl aller Werte}}\] | ||
Median | ungerade Anzahl Messwerte | \[x_{\text{med}}=x_{\frac{n+1}{2}}\] | Kann nur bei ordinalen und kardinalen Skalenniveaus angewendet werden.\(n\) : Anzahl and Ausprägungen\(x_{med}\) : Median\(x\) : Ergebnis |
gerade Anzahl Messwerte | \[x_{\text{med}}=\frac{1}{2} \cdot (x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1})\] | ||
Varianz | \[\sigma^2=\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\cdot p_i\] | \(p_i\) : Wahrscheinlichkeit, dass \(x_i\) eintritt | |
Standardabweichung | \[ \sigma=\sqrt{\text{Vari}\text{anz}}=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\cdot p_i} \] | ||
Spannweite | \[R=x_{\text{max}}-x_{\text{min}}\] | \(x_{\text{max}}\) : Größter Wert\(x_{\text{min}}\) : kleinster Wert | |
Variationskoeffizient | \[V=\frac{\sigma}{\mu}\] |
In diesem Abschnitt werden zwei Beispiele für Simulationen behandelt, dabei handelt es sich um sowohl Beispiele für Zufallsexperimente als auch Beispiele für Zufallsgeräte
Die Urne ist Dir vielleicht in der Stochastik über den Weg gelaufen, als Du die Wahrscheinlichkeitsrechnung gelernt hast. In der Simulation kann sie jedoch auch als Zufallsgerät verwendet werden. In diesem Fall wird von einem Urnenmodell gesprochen.
Der Vorteil am Urnenmodell ist, dass Du bei der Art von Ausführung viel variieren kannst und dadurch vielfältige Simulationsmöglichkeiten hast.
Eigenschaft | Variante | Vorteil |
Markierung der Kugeln | Die Kugeln werden durchgezählt und erhalten eindeutige Nummer | Sinnvoll, wenn alle Kugeln die gleiche Wahrscheinlichkeit darstellen sollen |
Die Kugeln erhalten verschiedene Farben, wobei sich Farben wiederholen können | Sinnvoll, wenn verschiedene Wahrscheinlichkeiten dargestellt werden sollen | |
Mit Zurücklegen oder ohne Zurücklegen | Mit zurücklegen | Die Anzahl der Kugeln in der Urne bleibt immer gleich und Kugeln können mehrmals gezogen werden. Wahrscheinlichkeiten ändern sich nicht. |
Ohne zurücklegen | Die Anzahl der Urnen wird pro Ziehung kleiner und Kugeln können nicht mehrmals gezogen werden. Die Wahrscheinlichkeiten können sich verändern. | |
Reihenfolge | Beachtung der Reihenfolge | Durch Beachtung der Reihenfolge gibt es mehr Kombinationsmöglichkeiten. Abhängigkeiten von Wahrscheinlichkeiten können dargestellt werden. |
Keine Beachtung der Reihenfolge | Es gibt weniger Kombinationsmöglichkeiten und Abhängigkeiten von Wahrscheinlichkeiten werden nicht dargestellt. |
Wie Du vielleicht schon weißt, gibt es verschiedene Wege, die Kreiszahl Pi \((\pi)\) annähernd zu bestimmen. Eine dieser Methoden ist die Simulation durch ein geeignetes Modell.
Mehr zu dieser Art von Vorgehensweise findest Du in der Erklärung Monte-Carlo-Simulation.
In diesem Abschnitt sollst Du selbst eine Simulation für ein Alltagsbeispiel erstellen.
Aufgabe 1
Eine Familie hat zwei Kinder, eines davon ist ein Junge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Familie ein Mädchen hat? Entwickle eine geeignete Simulation des Zufallsexperiments.
Lösung
Es gibt endlos viele verschiedene Möglichkeiten ein Zufallsexperiment zu simulieren, ein Beispiel für eine Passende wäre etwa:
\[\text{relative Häufigkeit h}(1)=\frac{\text{Anzahl Ergebnis 1}}{\text{Anzahl günstige Fälle}}\]
Das Ergebnis, das herauskommt (es sollte etwa bei \(0.67\) liegen) ist die simulierte Wahrscheinlichkeit.
Es gibt Zufallsexperimente, die etwa zu den Gruppen wie den Laplace Experimente oder mehrstufigen Zufallsexperimenten gehören. Aber es gibt noch viele andere Gruppen und unendlich viele verschiedene Zufallsexperimente.
Die Zufallsvariable gibt jeweils an, welche der möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments behandelt wird.
Unter der Simulation von Zufallsversuchen verstehst Du die Nachbildung eines Zufallsversuches mit einem geeigneten Zufallsgerät, wie ein Würfel, eine Münze oder auch eine Tabelle.
Die Ergebnismenge berechnest Du, indem Du alle möglichen Ergebnisse in einer Menge zusammenfasst.
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