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Das Thema Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung ist ein Teilgebiet der Stochastik im Fach Mathematik. Es wird in der Oberstufe behandelt und ist meist Bestandteil des Abiturstoffes.
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Jetzt kostenlos anmeldenDas Thema Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung ist ein Teilgebiet der Stochastik im Fach Mathematik. Es wird in der Oberstufe behandelt und ist meist Bestandteil des Abiturstoffes.
Das Kapitel Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung ist unterteilt in vier größere Themenblöcke, die du alle auf unserer Plattform finden kannst!
Eine Zufallsgröße oder Zufallsvariable ist eine Funktion X, die jeden Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet.
Formal:
Zunächst wirst du im Kapitel Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung den Abschnitt Zufallsgröße finden. Dort wird dir erklärt, was eine Zufallsgröße bzw. Zufallsvariable ist und der Unterschied zwischen diskreten und stetigen Zufallsgrößen erläutert. Außerdem wirst du lernen, was der Erwartungswert und die Varianz einer Zufallsgröße ist, und was du dir unter einem Histogramm vorstellen kannst. Es wird auch das Thema Konfidenzintervall bzw. Konfidenzniveau behandelt sowie die Unabhängigkeit von Zufallsgrößen.
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung oder Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsgröße ist eine Funktion, die jedem Wert xi einer Zufallsgröße X eine Wahrscheinlichkeit P(X=xi) zuordnet.
Formal:
Zunächst wird dir diese Definition im Artikel Wahrscheinlichkeitsverteilung noch einmal genauer erklärt. Außerdem lernst du die Dichtefunktion und die Verteilungsfunktion kennen, sowie die Axiome von Kolmogorov, einem sowjetischen Mathematiker, der viele Ideen und Beweise in der Wahrscheinlichkeitstheorie leistete. Zuletzt wird der Begriff Wahrscheinlichkeitsraum definiert.
Es gibt zwei verschiedene Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen. In diesem Abschnitt wirst du erfahren, was sogenannte diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind und die Bedeutendsten davon kennenlernen.
Die Binomialverteilung nach Jakob Bernoulli beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer Bernoulli-Kette. Eine Bernoulli-Kette ist ein Zufallsexperiment, bei dem ein Bernoulli-Experiment n-mal nacheinander ausgeführt wird. Ein Bernoulli-Experiment kennzeichnet sich dadurch, dass es nur die Ausgänge "Erfolg" und "Misserfolg" hat.
Zwei gängige Bernoulli-Experimente sind:
In einer Bernoulli-Kette hat der Ausgang eines einzelnen Versuchs keine Folgen für die nächsten Versuche. Jeder Versuch ist also unabhängig von allen anderen Versuchen.
Nimmt eine Zufallsgröße X die Werte k=0, 1, 2, ..., n mit den Wahrscheinlichkeiten an, so nennt man sie binomialverteilt.
Im Abschnitt Binomialverteilung wird diese Definition vertieft. Zudem kannst du genauer nachlesen, was ein Bernoulli-Experiment und eine Bernoulli-Kette sind. Außerdem wirst du auf sogenannte Dreimal-mindestens-Aufgaben und das Kugel-Fächer-Modell stoßen, sowie die Näherungsformeln von Laplace kennenlernen.
Eine Zufallsgröße X heißt poissonverteilt, wenn für k=0, 1, 2, ... gilt: mit
.
Die Poisson-Verteilung hat eine hohe Bedeutung, da sie unter bestimmten Voraussetzungen zur Annäherung der Binomialverteilung eingesetzt werden kann.
Die hypergeometrische Verteilung wird ebenso wie die Binomialverteilung für Zufallsereignisse verwendet, bei denen es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt. Der Unterschied besteht darin, dass sie schwankende Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg berücksichtigt, die von Versuch zu Versuch entstehen können.
Eine Zufallsgröße X heißt hypergeometrisch verteilt, wenn gilt:
In einer Urne sind 10 Kugeln enthalten, davon 4 weiße und 6 schwarze. Die Wahrscheinlichkeit, genau 2 weiße Kugeln zu ziehen, wenn insgesamt 5 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden, ist gegeben durch:
Die Ergebnisse eines Lotto-Spiels sind hypergeometrisch verteilt. Daher lernst du in diesem Abschnitt auch die Lotto-Formel kennen, mit der du die Wahrscheinlichkeit eines Lottogewinns berechnen kannst!
Die zweite Art von Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist die stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Hier wirst du drei Verteilungen kennenlernen:
Ist die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsgröße X gegeben durch mit Erwartungswert
und Standardabweichung
, so heißt sie normalverteilt.
Der Graph der Dichtefunktion wird auch Gaußsche Glockenkurve genannt. Nimmt der Erwartungswert den Wert 0 und die Standardabweichung den Wert 1 an, so spricht man von der Standardnormalverteilung.
Im Abschnitt Normalverteilung werden dir zudem die Gauß-Funktion, die nach dem bedeutenden Mathematiker Gauß benannt ist, und die Sigma-Regeln erläutert.
Eine Zufallsgröße X heißt gleichverteilt, wenn jedes mögliche Ereignis mit derselben Wahrscheinlichkeit eintritt. Ein Beispiel hierfür ist das Werfen eines Würfels. Die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 treten alle mit der Wahrscheinlichkeit auf.
Eine Zufallsgröße X, für die gilt , ist exponentialverteilt. Dabei ist
ein Parameter.
Die Exponentialverteilung tritt beispielsweise bei der Lebensdauer von elektrischen Geräten auf. Bei einem solchen Gerät, bei dem die mittlere Lebensdauer bekannt ist, kannst du dann berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass es schon früher oder erst später kaputtgeht.
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße ist eine Funktion, die jedem Wert xi einer Zufallsgröße X eine Wahrscheinlichkeit P(X=xi) zuordnet.
Eine Zufallsgröße oder Zufallsvariable ist eine Funktion X, die jeden Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet. Ist die Zufallsgröße binomialverteilt, so ist ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung die Binomialverteilung.
Eine Zufallsgröße oder Zufallsvariable ist eine Funktion X, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet.
Wahrscheinlichkeitsverteilungen kann man durch ein Stabdiagramm oder ein Histogramm darstellen.
Karteikarten in Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung283
Lerne jetztBei einem Glücksspiel werden Zahlen gezogen. Für eine 1 werden 2€, für eine 3 3€ und für eine 10 10€ ausgezahlt. Die Wahrscheinlichkeiten für eine 1 ist 0,3, für eine 3 0,2 und für eine 10 0,05. Der Einsatz pro Spiel beträgt 2 Euro.
Bei allen anderen Zahlen, gibt es keinen Gewinn.
Berechne mit Hilfe der Binomialverteilung!
Bei einem Test gibt es 12 Fragen mit jeweils drei Antworten, von denen nur eine richtig ist. Der Schüler kreuzt bei jeder Frage rein zufällig eine Antwort an.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er
a) 19,08%
b) 0,05%
c) 0,54%
d) 0,05%
Peter kommt in der Dunkelheit nach Hause und möchte die Tür aufsperren. An seinem Schlüsselbund hat er 4 Schlüssel, die er in der Dunkelheit nicht unterscheiden kann. Wenn er einen Schlüssel versucht hat, merkt er sich das und versucht den nächsten. Berechne, wie viele Schlüssel er im Durchschnitt probieren muss, um die Tür aufsperren zu können.
Peter benötigt im Durchschnitt 2,5 Versuche.
Ein Schüler hat 80% der zu lernenden Latein-Vokabeln gelernt. Bei der Prüfung wird er 5 zufällig ausgewählte Vokabeln gefragt. Die Prüfung gilt als bestanden, wenn er mindestens drei der Vokabeln kann. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in %, gerundet auf eine ganze Zahl), dass der Schüler die Prüfung besteht?
94%
Ein Glücksrad besteht aus drei Feldern. Einem Roten mit einem Gewinn von 20€, das einen Kreisanteil von 72° einnimmt, einem 144° großen blauen Feld mit einem Gewinn von 10€ und einem Nietenfeld der Größe 144°. Ein Spiel kostet 5€, lohnt sich das Spiel?
Der Erwartungswert beträgt 8€ (dies entspricht dem zu erwartenden Gewinn), damit lohnt sich das Spiel bei einem Einsatz von 5€.
Welche Informationen liefert der Erwartungswert?
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