Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung

Bei einem Glücksspiel werden Zahlen gezogen. Für  eine 1 werden 2€, für eine 3 3€ und für eine 10 10€ ausgezahlt. Die Wahrscheinlichkeiten für eine 1 ist 0,3, für eine 3  0,2 und für eine 10  0,05. Der Einsatz pro Spiel beträgt 2 Euro. 

Bei allen anderen Zahlen, gibt es keinen Gewinn.

1.  Berechne den Erwartungswert E(X)
2. Bestimme den Gewinn für eine 3, so dass das Spiel fair ist.
3. Für wen würde sich das Spiel lohnen, wenn man den Gewinn für die Zahl 1 um einen Euro erhöhen würde?

Berechne mit Hilfe der Binomialverteilung!

Bei einem Test gibt es 12 Fragen mit jeweils drei Antworten, von denen nur eine richtig ist. Der Schüler kreuzt bei jeder Frage rein zufällig eine Antwort an.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er

1. genau fünf richtige Antworten?
2. mindestens zehn richtige Antworten?
3. höchstens eine richtige Antwort?
4. mehr als neun richtige Antworten?

Peter kommt in der Dunkelheit nach Hause und möchte die Tür aufsperren. An seinem Schlüsselbund hat er 4 Schlüssel, die er in der Dunkelheit nicht unterscheiden kann. Wenn er einen Schlüssel versucht hat, merkt er sich das und versucht den nächsten. Berechne, wie viele Schlüssel er im Durchschnitt probieren muss, um die Tür aufsperren zu können.

Ein Glücksrad besteht aus drei Feldern. Einem Roten mit einem Gewinn von 20€, das einen Kreisanteil von 72° einnimmt, einem 144° großen blauen Feld mit einem Gewinn von 10€ und einem Nietenfeld der Größe 144°. Ein Spiel kostet 5€, lohnt sich das Spiel?

Eine Firma stellt Volleybälle her. Aus langjähriger Erfahrung weiß man, dass 12% aller produzierten Bälle fehlerhaft sind. In der Endkontrolle werden 15 Bälle zufällig ausgewählt und kontrolliert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit 

1. sind genau vier Bälle fehlerhaft? 
2. sind höchstens 5 Bälle fehlerhaft? 
3.  sind mehr als vier Bälle fehlerhaft? 
4.  sind mindestens zwei, aber weniger als fünf Bälle fehlerhaft?

Eine Maschine produziert Bleche mit einer Dicke von durchschnittlich 0,9 mm. Die Standardabweichung beträgt 0,05 mm. 

Berechnen Sie den Prozentsatz der Bleche, die dicker als 0,75 mm sind.

Bearbeite die folgende Aufgabe!

Ein großes Möbelhaus hat in seinem Sortiment einen Kleiderschrank, bei dem für den Zusammenbau 48 Schrauben der Sorte A und 21 Schauben der Sorte B benötigt werden. Vom Lieferanten der Schrauben weiß man, dass 3% der Schrauben von Sorte A und 4% von Sorte B Fehler aufweisen und nicht für den Zusammenbau geeignet sind.

1.  Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ausreichend fehlerfreie Schrauben von Typ A vorhanden sind, wenn der Bausatz 50 Schrauben der Sorte A enthält.
2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die 25 Schrauben der Sorte B, die der Bausatz enthält nicht ausreichen um den Schrank komplett zusammen zu bauen.
3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann der Schrank unter den in a. und b. gegebenen Voraussetzungen aufgebaut werden?
4. Gib dem Möbelhaus auf Basis deiner Ergebnisse eine sinnvolle Empfehlung für die Anzahl der im Bausatz beigefügten Schrauben von Typ A und B.

Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten!

Ein Fußballer hat beim Elfmeterschießen eine Trefferquote von 75%

1. Wie wahrscheinlich ist es, dass er bei 10 Versuchen mindestens 8-mal trifft?
2. Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass er höchstens 5 von 10 Schüssen trifft.
3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mehr als 8 aber weniger als 12 von 15 Elfmetern?
4. Durch intensives Training konnte er seine Erfolgsquote um 10% steigern. Wie wahrscheinlich ist es nun, dass er von 20 Elfmetern mehr als 4 vergibt?

Ein fairer Würfel wird zweimal geworfen. Sei X die Summe der beiden Würfe, W1 die Augenzahl des 1. Wurfes, W2 die Augenzahl des 2. Wurfes und Y die Augenzahl des höheren Wurfes, d. h. bspw. wenn einmal eine 3 und einmal eine 5 geworfen wurde, ist Y = 5

1. Berechne den Erwartungswert von X.
2. Berechne den Erwartungswert von Y.

In einer Fabrik wird ein neues Herstellungsverfahren eingeführt. Der Ausschussanteil soll auf 10% gesenkt werden. Dies soll anhand eines Hypothesentests auf einem Signifikanzniveau von 5% und eine Stichprobenumfang von 100 Filtern geprüft werden.

a. Ermitteln Sie einen kritischen Wert k.

b. Formulieren Sie eine Entscheidungsregel.

Ein Glücksrad mit 5 gleich großen Sektoren hat die Felder 1,2,4,6 und 10.

1. Sei X der Erwartungswert, wenn das Rad ein Mal gedreht wird. Berechne X.
2. Nun wird die Größe der Sektoren geändert: Die Sektoren 1,2 und 4 bleiben gleich, die Größe der Sektoren 6 und 10 wird geändert, so dass der Erwartungswert von X auf 5 steigt. Wie groß muss der Sektor von 10, wie groß der von 6 sein?
3. Nun wird der Wert des Sektors 10 geändert, und zwar so dass der Erwartungswert von X auf 8 steigt. Wie ist der neue Wert des Sektors 10?

Eine faire Münze wird n mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für k mal Kopf:

1. n= 8, k =3
2. n= 12, k=4
3. n= 20, k=7

Eine fairer Würfel (1-6 Augen) wird n mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für k mal die Augenzahl "6":

1. n=10, k =3
2. n=16, k =2
3. n=20, k=5

Eine fairer Würfel (1-6 Augen) wird 10 mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau

1. 4 mal eine gerade Zahl
2. 3 mal eine Zahl größer als 4
3. 6 mal eine Zahl kleiner als 5

Berechne den Erwartungswert für die folgenden Kombinationen aus Menge (n) und Wahrscheinlichkeit (p)

a.   n = 20 ;   p = 20%

b.   n = 50 ;   p = 40%

c.   n = 36 ;   p = 50%

d.   n = 100 ;  p = 46%

Berechne den Erwartungswert für die folgenden Kombinationen aus Menge (n) und Wahrscheinlichkeit (p)

a.   n = 80 ;   p = 20%

b.   n = 30 ;   p = 40%

c.   n = 76 ;   p = 50%

d.   n = 10 ;  p = 40%

Berechne den Erwartungswert für die folgenden Kombinationen aus Menge (n) und Wahrscheinlichkeit (p)

a.   n = 35 ;   p = 20%

b.   n = 75 ;   p = 40%

c.   n = 80 ;   p = 50%

d.   n = 20 ;  p = 40%

Berechne den Erwartungswert für die folgenden Kombinationen aus Menge (n) und Wahrscheinlichkeit (p)

a.   n = 40 ;   p = 30%

b.   n = 100 ;   p = 45%

c.   n = 80 ;   p = 15%

d.   n = 20 ;  p = 75%

Berechne den Erwartungswert für die folgenden Kombinationen aus Menge (n) und Wahrscheinlichkeit (p)

a.   n = 60 ;   p = 30%

b.   n = 32 ;   p = 25%

c.   n = 88 ;   p = 25%

d.   n = 64 ;  p = 12,5%

Berechne den Erwartungswert für die folgenden Kombinationen aus Menge (n) und Wahrscheinlichkeit (p)

a.   n = 62 ;   p = 45%

b.   n = 38 ;   p = 25%

c.   n = 84 ;   p = 35%

d.   n = 120 ;  p = 10%

Berechne den Erwartungswert für die folgenden Kombinationen aus Menge (n) und Wahrscheinlichkeit (p)

a.   n = 52 ;   p = 43%

b.   n = 48 ;   p = 19%

c.   n = 92 ;   p = 5%

d.   n = 122 ;  p = 13%

Berechne den Erwartungswert für die folgenden Kombinationen aus Menge (n) und Wahrscheinlichkeit (p)

a.   n = 84 ;   p = 18%

b.   n = 44 ;   p = 18%

c.   n = 72 ;   p = 5%

d.   n = 22 ;  p = 26%

Berechne den Erwartungswert für die folgenden Kombinationen aus Menge (n) und Wahrscheinlichkeit (p)

a.   n = 95 ;   p = 45%

b.   n = 44 ;   p = 60%

c.   n = 58 ;   p = 45%

d.   n = 48 ;  p = 25%

Berechne den Erwartungswert für die folgenden Kombinationen aus Menge (n) und Wahrscheinlichkeit (p)

a.   n = 84 ;   p = 65%

b.   n = 74 ;   p = 30%

c.   n = 56 ;   p = 65%

d.   n = 12 ;  p = 45%

Berechne den Erwartungswert für die folgenden Kombinationen aus Menge (n) und Wahrscheinlichkeit (p)

a.   n = 66 ;   p = 55%

b.   n = 76 ;   p = 20%

c.   n = 24 ;   p = 65%

d.   n = 100 ;  p = 85%

Berechne den Erwartungswert für die folgenden Kombinationen aus Menge (n) und Wahrscheinlichkeit (p)

a.   n = 300 ;   p = 70%

b.   n = 70 ;   p = 25%

c.   n = 400 ;   p = 60%

d.   n = 150 ;  p = 85%

Berechne den Erwartungswert für die folgenden Kombinationen aus Menge (n) und Wahrscheinlichkeit (p)

a.   n = 300 ;   p = 25%

b.   n = 2400 ;   p = 45%

c.   n = 80 ;   p = 55%

d.   n = 1000 ;  p = 40%

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse

Ein Würfel (6-Seiten) wird insgesamt 10 Mal geworfen

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit nur beim ersten Wurf eine sechs zu Würfeln?
2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeiten, dass bei den 10 Würfen genau eine sechs geworfen wird (egal bei welchem Wurf)?
3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mindestens 2 Mal eine sechs zu würfeln?

Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse

Aus einem Set mit Pokerkarten (52 Karten, davon je 13 in Herz, Karo, Pik und Kreuz) werden zufällig 10 Karten gezogen. Die gezogene Karte wird danach wieder in den Stapel gelegt.

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur die ersten beiden gezogenen Karten Herz sind?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau 3 Karos zu ziehen?
3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass von den 10 gezogenen Karten exakt 4 rot sind.

Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse 

Ben spielt gerne Basketball und hat herausgefunden, dass seine Trefferquote bei Freiwürfen 8/10 beträgt. In einer Trainingssession wirft er 20 Freiwürfe.

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er nur den ersten und den letzten Ball verwirft?
2. Er möchte sich weiter verbessern und fragt sich, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass er mit seiner Trefferquote nur drei Fehlwürfe hat
3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er mindestens 2 Fehlwürfe hat
4. Wie hoch müsste Bens Trefferquote sein, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% alle 20 Freiwürfe trifft?

Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse 

Eine Maschine produziert Kugellager, welche zu 95% den Anforderungen entsprechen. Zur Qualitätskontrolle werden 50 Kugellager zufällig ausgewählt.

1. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass unter den kontrollierten Teilen genau 5 fehlerhaft sind.
2. Die Vorgabe gibt an, dass unter den 50 kontrollierten Teilen mindestens 48 den Anforderungen entsprechen sollen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit hierfür?
3. Durch eine Optimierung der Maschine soll erreicht werden, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% alle Teile den Anforderungen entsprechen. Mit welcher neuen Wahrscheinlichkeit muss ein von der Maschine hergestelltes Kugellager nun in Ordnung sein?

Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Entscheide, ob es sich um eine stetige oder diskrete Zufallsvariable handelt:

Die Zufallsvariable ist abzählbar.

Entscheide, ob es sich um eine stetige oder diskrete Zufallsvariable handelt:

Die Zufallsvariable kann überabzählbar viele Werte annehmen.

Entscheide, ob es sich um eine stetige oder diskrete Zufallsvariable handelt:

Alter in Monaten

Entscheide, ob es sich um eine stetige oder diskrete Zufallsvariable handelt:

Wartezeit auf einen Bus

Entscheide, ob es sich um eine stetige oder diskrete Zufallsvariable handelt:

Exakte Geschwindigkeit eines Flugzeuges

Berechne den Erwartungswert bei dem Wurf mit einem achtseitigen Würfel

 (Oktaeder).