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Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung

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Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung

Das Thema Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung ist ein Teilgebiet der Stochastik im Fach Mathematik. Es wird in der Oberstufe behandelt und ist meist Bestandteil des Abiturstoffes.

Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung StudySmarter

Das Kapitel Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung ist unterteilt in vier größere Themenblöcke, die du alle auf unserer Plattform finden kannst!

Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße oder Zufallsvariable ist eine Funktion X, die jeden Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet.

Formal: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung Formal StudySmarter

Zunächst wirst du im Kapitel Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung den Abschnitt Zufallsgröße finden. Dort wird dir erklärt, was eine Zufallsgröße bzw. Zufallsvariable ist und der Unterschied zwischen diskreten und stetigen Zufallsgrößen erläutert. Außerdem wirst du lernen, was der Erwartungswert und die Varianz einer Zufallsgröße ist, und was du dir unter einem Histogramm vorstellen kannst. Es wird auch das Thema Konfidenzintervall bzw. Konfidenzniveau behandelt sowie die Unabhängigkeit von Zufallsgrößen.

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung oder Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsgröße ist eine Funktion, die jedem Wert xi einer Zufallsgröße X eine Wahrscheinlichkeit P(X=xi) zuordnet.

Formal:

Zunächst wird dir diese Definition im Artikel Wahrscheinlichkeitsverteilung noch einmal genauer erklärt. Außerdem lernst du die Dichtefunktion und die Verteilungsfunktion kennen, sowie die Axiome von Kolmogorov, einem sowjetischen Mathematiker, der viele Ideen und Beweise in der Wahrscheinlichkeitstheorie leistete. Zuletzt wird der Begriff Wahrscheinlichkeitsraum definiert.

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung

Es gibt zwei verschiedene Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen. In diesem Abschnitt wirst du erfahren, was sogenannte diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind und die Bedeutendsten davon kennenlernen.

Wahrscheinlichkeitsverteilung - Binomialverteilung

Die Binomialverteilung nach Jakob Bernoulli beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer Bernoulli-Kette. Eine Bernoulli-Kette ist ein Zufallsexperiment, bei dem ein Bernoulli-Experiment n-mal nacheinander ausgeführt wird. Ein Bernoulli-Experiment kennzeichnet sich dadurch, dass es nur die Ausgänge "Erfolg" und "Misserfolg" hat.

Zwei gängige Bernoulli-Experimente sind:

  • das Werfen einer Münze mit den Ergebnissen "Kopf" oder "Zahl".
  • das Werfen eines Würfels mit den Ergebnissen "Sechs" oder "keine Sechs".

In einer Bernoulli-Kette hat der Ausgang eines einzelnen Versuchs keine Folgen für die nächsten Versuche. Jeder Versuch ist also unabhängig von allen anderen Versuchen.

Nimmt eine Zufallsgröße X die Werte k=0, 1, 2, ..., n mit den Wahrscheinlichkeiten Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung Binomialverteilung StudySmarter an, so nennt man sie binomialverteilt.

Im Abschnitt Binomialverteilung wird diese Definition vertieft. Zudem kannst du genauer nachlesen, was ein Bernoulli-Experiment und eine Bernoulli-Kette sind. Außerdem wirst du auf sogenannte Dreimal-mindestens-Aufgaben und das Kugel-Fächer-Modell stoßen, sowie die Näherungsformeln von Laplace kennenlernen.

Poisson-Verteilung

Eine Zufallsgröße X heißt poissonverteilt, wenn für k=0, 1, 2, ... gilt: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung Poisson-Verteilung StudySmarter mit .

Die Poisson-Verteilung hat eine hohe Bedeutung, da sie unter bestimmten Voraussetzungen zur Annäherung der Binomialverteilung eingesetzt werden kann.

Hypergeometrische Verteilung

Die hypergeometrische Verteilung wird ebenso wie die Binomialverteilung für Zufallsereignisse verwendet, bei denen es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt. Der Unterschied besteht darin, dass sie schwankende Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg berücksichtigt, die von Versuch zu Versuch entstehen können.

Eine Zufallsgröße X heißt hypergeometrisch verteilt, wenn gilt: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung Hypergeometrische Verteilung StudySmarter

In einer Urne sind 10 Kugeln enthalten, davon 4 weiße und 6 schwarze. Die Wahrscheinlichkeit, genau 2 weiße Kugeln zu ziehen, wenn insgesamt 5 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden, ist gegeben durch:

Die Ergebnisse eines Lotto-Spiels sind hypergeometrisch verteilt. Daher lernst du in diesem Abschnitt auch die Lotto-Formel kennen, mit der du die Wahrscheinlichkeit eines Lottogewinns berechnen kannst!

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung

Die zweite Art von Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist die stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Hier wirst du drei Verteilungen kennenlernen:

Wahrscheinlichkeitsverteilung - Normalverteilung

Ist die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsgröße X gegeben durch Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung Wahrscheinlichkeitsdichte StudySmarter mit Erwartungswert und Standardabweichung , so heißt sie normalverteilt.

Der Graph der Dichtefunktion wird auch Gaußsche Glockenkurve genannt. Nimmt der Erwartungswert den Wert 0 und die Standardabweichung den Wert 1 an, so spricht man von der Standardnormalverteilung.

Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung Standardnormalverteilung StudySmarter

Abbildung 1: Standardnormalverteilung

Im Abschnitt Normalverteilung werden dir zudem die Gauß-Funktion, die nach dem bedeutenden Mathematiker Gauß benannt ist, und die Sigma-Regeln erläutert.

Wahrscheinlichkeitsverteilung - Gleichverteilung

Eine Zufallsgröße X heißt gleichverteilt, wenn jedes mögliche Ereignis mit derselben Wahrscheinlichkeit eintritt. Ein Beispiel hierfür ist das Werfen eines Würfels. Die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 treten alle mit der Wahrscheinlichkeit auf.

Wahrscheinlichkeitsverteilung - Exponentialverteilung

Eine Zufallsgröße X, für die gilt Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung Exponentialverteilung StudySmarter , ist exponentialverteilt. Dabei ist ein Parameter.

Die Exponentialverteilung tritt beispielsweise bei der Lebensdauer von elektrischen Geräten auf. Bei einem solchen Gerät, bei dem die mittlere Lebensdauer bekannt ist, kannst du dann berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass es schon früher oder erst später kaputtgeht.

Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung - Das Wichtigste

  • Eine Zufallsgröße oder Zufallsvariable ist eine Funktion X, die jeden Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet.
  • Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung oder Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsgröße ist eine Funktion, die jedem Wert xi einer Zufallsgröße X eine Wahrscheinlichkeit P(X=xi) zuordnet.
  • Nimmt eine Zufallsgröße X die Werte k=0, 1, 2, ..., n mit den Wahrscheinlichkeiten an, so nennt man sie binomialverteilt.
  • Eine Zufallsgröße X heißt poissonverteilt, wenn für k=0, 1, 2, ... gilt:
  • Eine Zufallsgröße X heißt hypergeometrisch verteilt, wenn gilt:
  • Ist die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsgröße X gegeben durch mit Erwartungswert und Standardabweichung so heißt sie normalverteilt.
  • Eine Zufallsgröße X, für die gilt ist exponentialverteilt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße ist eine Funktion, die jedem Wert xi einer Zufallsgröße X eine Wahrscheinlichkeit P(X=xi) zuordnet.

Eine Zufallsgröße oder Zufallsvariable ist eine Funktion X, die jeden Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet. Ist die Zufallsgröße binomialverteilt, so ist ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung die Binomialverteilung.

Eine Zufallsgröße oder Zufallsvariable ist eine Funktion X, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen kann man durch ein Stabdiagramm oder ein Histogramm darstellen. 

Finales Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung Quiz

Frage

Bei einem Glücksspiel werden Zahlen gezogen. Für  eine 1 werden 2€, für eine 3 3€ und für eine 10 10€ ausgezahlt. Die Wahrscheinlichkeiten für eine 1 ist 0,3, für eine 3  0,2 und für eine 10  0,05. Der Einsatz pro Spiel beträgt 2 Euro. 

Bei allen anderen Zahlen, gibt es keinen Gewinn.


  1.  Berechne den Erwartungswert E(X)
  2. Bestimme den Gewinn für eine 3, so dass das Spiel fair ist.
  3. Für wen würde sich das Spiel lohnen, wenn man den Gewinn für die Zahl 1 um einen Euro erhöhen würde?
Antwort anzeigen

Antwort

  1. E(x)= -0,3
  2. Der Gewinn bei der Zahl 3 müsste 5,00€ sein.
  3. Der Erwartungswert wär E(x) = 0, es wäre ebenfalls fair.
Frage anzeigen

Frage

Berechne mit Hilfe der Binomialverteilung!


Bei einem Test gibt es 12 Fragen mit jeweils drei Antworten, von denen nur eine richtig ist. Der Schüler kreuzt bei jeder Frage rein zufällig eine Antwort an.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er


  1. genau fünf richtige Antworten?
  2. mindestens zehn richtige Antworten?
  3. höchstens eine richtige Antwort?
  4. mehr als neun richtige Antworten?
Antwort anzeigen

Antwort

a) 19,08%

b) 0,05%

c) 0,54%

d) 0,05%

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Frage

Peter kommt in der Dunkelheit nach Hause und möchte die Tür aufsperren. An seinem Schlüsselbund hat er 4 Schlüssel, die er in der Dunkelheit nicht unterscheiden kann. Wenn er einen Schlüssel versucht hat, merkt er sich das und versucht den nächsten. Berechne, wie viele Schlüssel er im Durchschnitt probieren muss, um die Tür aufsperren zu können.


Antwort anzeigen

Antwort

Peter benötigt im Durchschnitt 2,5 Versuche.

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Frage

Ein Schüler hat 80% der zu lernenden Latein-Vokabeln gelernt. Bei der Prüfung wird er 5 zufällig ausgewählte Vokabeln gefragt. Die Prüfung gilt als bestanden, wenn er mindestens drei der Vokabeln kann. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in %, gerundet auf eine ganze Zahl), dass der Schüler die Prüfung besteht?

Antwort anzeigen

Antwort

94%

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Frage

Ein Glücksrad besteht aus drei Feldern. Einem Roten mit einem Gewinn von 20€, das einen Kreisanteil von 72° einnimmt, einem 144° großen blauen Feld mit einem Gewinn von 10€ und einem Nietenfeld der Größe 144°. Ein Spiel kostet 5€, lohnt sich das Spiel?


Antwort anzeigen

Antwort

Der Erwartungswert beträgt 8€ (dies entspricht dem zu erwartenden Gewinn), damit lohnt sich das Spiel bei einem Einsatz von 5€.

Frage anzeigen

Frage

Welche Informationen liefert der Erwartungswert?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Der Erwartungswert der Zufallsgröße Z wird mit E(Z) oder μ („mü“) abgekürzt.
  • Der Erwartungswert ist der auf lange Sicht zu erwartende mittlere Wert von Z (z. B. der mittlere Gewinn, die mittlere Auszahlung usw.).
  • Wenn der Erwartungswert des Gewinns bei einem Glücksspiel 0 € ist, heißt ein solches Spiel fair.
Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariable Z?

Antwort anzeigen

Antwort

Var(Z) = n · p · (1 – p).

Frage anzeigen

Frage

Wie wird der Erwartungswert für die Nullhypothese berechnet?

Antwort anzeigen

Antwort

E(X) = n ⋅ p0

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Frage

Was sagt der Erwartungswert E(Z) aus?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Erwartungswert E(Z) schaut in die „Zukunft“, d. h., er sagt
aus, dass sich bei sehr vielen Durchführungen des Zufallsexpe-
riments ein Mittelwert E(Z) einstellen wird.

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Frage

Eine Firma stellt Volleybälle her. Aus langjähriger Erfahrung weiß man, dass 12% aller produzierten Bälle fehlerhaft sind. In der Endkontrolle werden 15 Bälle zufällig ausgewählt und kontrolliert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit 


  1. sind genau vier Bälle fehlerhaft? 
  2. sind höchstens 5 Bälle fehlerhaft? 
  3.  sind mehr als vier Bälle fehlerhaft? 
  4.  sind mindestens zwei, aber weniger als fünf Bälle fehlerhaft?
Antwort anzeigen

Antwort

a. 7%

b. 99%

c. 97%

d. 53%

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Frage

Eine Maschine produziert Bleche mit einer Dicke von durchschnittlich 0,9 mm. Die Standardabweichung beträgt 0,05 mm. 


Berechnen Sie den Prozentsatz der Bleche, die dicker als 0,75 mm sind.

Antwort anzeigen

Antwort

99,87%

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Frage

Bearbeite die folgende Aufgabe!


Ein großes Möbelhaus hat in seinem Sortiment einen Kleiderschrank, bei dem für den Zusammenbau 48 Schrauben der Sorte A und 21 Schauben der Sorte B benötigt werden. Vom Lieferanten der Schrauben weiß man, dass 3% der Schrauben von Sorte A und 4% von Sorte B Fehler aufweisen und nicht für den Zusammenbau geeignet sind.

  1.  Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ausreichend fehlerfreie Schrauben von Typ A vorhanden sind, wenn der Bausatz 50 Schrauben der Sorte A enthält.
  2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die 25 Schrauben der Sorte B, die der Bausatz enthält nicht ausreichen um den Schrank komplett zusammen zu bauen.
  3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann der Schrank unter den in a. und b. gegebenen Voraussetzungen aufgebaut werden?
  4. Gib dem Möbelhaus auf Basis deiner Ergebnisse eine sinnvolle Empfehlung für die Anzahl der im Bausatz beigefügten Schrauben von Typ A und B.
Antwort anzeigen

Antwort

  1. 0,8108 = 81,1%
  2. 0,00278 = 0,3%
  3. 0,80855 = 80,9%
  4. z.B. mehr Schrauben der Sorte A beifügen, um die Kundenzufriedenheit zu erhöhen.
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Frage

Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten!


Ein Fußballer hat beim Elfmeterschießen eine Trefferquote von 75%

  1. Wie wahrscheinlich ist es, dass er bei 10 Versuchen mindestens 8-mal trifft?
  2. Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass er höchstens 5 von 10 Schüssen trifft.
  3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mehr als 8 aber weniger als 12 von 15 Elfmetern?
  4. Durch intensives Training konnte er seine Erfolgsquote um 10% steigern. Wie wahrscheinlich ist es nun, dass er von 20 Elfmetern mehr als 4 vergibt?
Antwort anzeigen

Antwort

  1. 0,52559 = 52,6%
  2. 0,07813 = 7,8%
  3. 0,48209 = 48,2%
  4. 0,17015 = 17,0%
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Frage

Ein fairer Würfel wird zweimal geworfen. Sei X die Summe der beiden Würfe, W1 die Augenzahl des 1. Wurfes, W2 die Augenzahl des 2. Wurfes und Y die Augenzahl des höheren Wurfes, d. h. bspw. wenn einmal eine 3 und einmal eine 5 geworfen wurde, ist Y = 5

  1. Berechne den Erwartungswert von X.
  2. Berechne den Erwartungswert von Y.


Antwort anzeigen

Antwort

  1. Der Erwartungswert  von X ist 7
  2. Der Erwartungswert von Y = 4,47222
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Frage

In einer Fabrik wird ein neues Herstellungsverfahren eingeführt. Der Ausschussanteil soll auf 10% gesenkt werden. Dies soll anhand eines Hypothesentests auf einem Signifikanzniveau von 5% und eine Stichprobenumfang von 100 Filtern geprüft werden.


a. Ermitteln Sie einen kritischen Wert k.

b. Formulieren Sie eine Entscheidungsregel.

Antwort anzeigen

Antwort

a. k=2

b. Es darf nicht mehr als 1 Filter defekt sein.

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Frage

Ein Glücksrad mit 5 gleich großen Sektoren hat die Felder 1,2,4,6 und 10.


  1. Sei X der Erwartungswert, wenn das Rad ein Mal gedreht wird. Berechne X.
  2. Nun wird die Größe der Sektoren geändert: Die Sektoren 1,2 und 4 bleiben gleich, die Größe der Sektoren 6 und 10 wird geändert, so dass der Erwartungswert von X auf 5 steigt. Wie groß muss der Sektor von 10, wie groß der von 6 sein?
  3. Nun wird der Wert des Sektors 10 geändert, und zwar so dass der Erwartungswert von X auf 8 steigt. Wie ist der neue Wert des Sektors 10?
Antwort anzeigen

Antwort

  1. X= 4,6
  2. Größe von Sektor 6: 0,1, Größe von Sektor 10: 0,3
  3. Wert des neuen Sektors: 20
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Frage

Eine faire Münze wird n mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für k mal Kopf:


  1. n= 8k =3
  2. n= 12, k=4
  3. n= 20, k=7
Antwort anzeigen

Antwort

  1. 21,875%
  2. 12,085%
  3. 7,393%
Frage anzeigen

Frage

Eine fairer Würfel (1-6 Augen) wird n mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für k mal die Augenzahl "6":

 

  1. n=10, k =3
  2. n=16, k =2
  3. n=20, k=5
Antwort anzeigen

Antwort

  1. 15,505%
  2. 25,962%
  3. 12,941%
Frage anzeigen

Frage

Eine fairer Würfel (1-6 Augen) wird 10 mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau


  1. 4 mal eine gerade Zahl
  2. 3 mal eine Zahl größer als 4
  3. 6 mal eine Zahl kleiner als 5
Antwort anzeigen

Antwort

  1. 20,507%
  2. 26,012%
  3. 22,761%
Frage anzeigen

Frage

Berechne den Erwartungswert für die folgenden Kombinationen aus Menge (n) und Wahrscheinlichkeit (p)


a.   n = 20 ;   p = 20%

b.   n = 50 ;   p = 40%

c.   n = 36 ;   p = 50%

d.   n = 100 ;  p = 46%

Antwort anzeigen

Antwort

a.    E = 4

b.    E = 20

c.    E = 18

d.    E = 46

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Erwartungswert für die folgenden Kombinationen aus Menge (n) und Wahrscheinlichkeit (p)


a.   n = 80 ;   p = 20%

b.   n = 30 ;   p = 40%

c.   n = 76 ;   p = 50%

d.   n = 10 ;  p = 40%

Antwort anzeigen

Antwort

a.   E = 16

b.   E = 12

c.   E = 38

d.   E = 4

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Erwartungswert für die folgenden Kombinationen aus Menge (n) und Wahrscheinlichkeit (p)


a.   n = 35 ;   p = 20%

b.   n = 75 ;   p = 40%

c.   n = 80 ;   p = 50%

d.   n = 20 ;  p = 40%

Antwort anzeigen

Antwort

a.   E = 7

b.   E = 30

c.   E = 40

d.   E = 8

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Erwartungswert für die folgenden Kombinationen aus Menge (n) und Wahrscheinlichkeit (p)


a.   n = 40 ;   p = 30%

b.   n = 100 ;   p = 45%

c.   n = 80 ;   p = 15%

d.   n = 20 ;  p = 75%

Antwort anzeigen

Antwort

a.   E = 12

b.   E = 45

c.   E = 12

d.   E = 15

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Erwartungswert für die folgenden Kombinationen aus Menge (n) und Wahrscheinlichkeit (p)


a.   n = 60 ;   p = 30%

b.   n = 32 ;   p = 25%

c.   n = 88 ;   p = 25%

d.   n = 64 ;  p = 12,5%

Antwort anzeigen

Antwort

a.    E = 18

b.    E = 8

c.    E = 22

d.    E = 8

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Erwartungswert für die folgenden Kombinationen aus Menge (n) und Wahrscheinlichkeit (p)


a.   n = 62 ;   p = 45%

b.   n = 38 ;   p = 25%

c.   n = 84 ;   p = 35%

d.   n = 120 ;  p = 10%

Antwort anzeigen

Antwort

a.   E = 27,9

b.   E = 9,5

c.   E = 29,4

d.   E = 12 

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Erwartungswert für die folgenden Kombinationen aus Menge (n) und Wahrscheinlichkeit (p)


a.   n = 52 ;   p = 43%

b.   n = 48 ;   p = 19%

c.   n = 92 ;   p = 5%

d.   n = 122 ;  p = 13%

Antwort anzeigen

Antwort

a.   E = 22,36

b.   E = 9,12

c.   E = 4,6

d.   E = 15,86

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Erwartungswert für die folgenden Kombinationen aus Menge (n) und Wahrscheinlichkeit (p)


a.   n = 84 ;   p = 18%

b.   n = 44 ;   p = 18%

c.   n = 72 ;   p = 5%

d.   n = 22 ;  p = 26%

Antwort anzeigen

Antwort

a.   E = 15,12

b.   E = 7,92

c.   E = 3,6

d.   E = 5,72

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Frage

Berechne den Erwartungswert für die folgenden Kombinationen aus Menge (n) und Wahrscheinlichkeit (p)


a.   n = 95 ;   p = 45%

b.   n = 44 ;   p = 60%

c.   n = 58 ;   p = 45%

d.   n = 48 ;  p = 25%

Antwort anzeigen

Antwort

a.   E = 42,75

b.   E = 26,4

c.   E = 26,1

d.   E = 12

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Frage

Berechne den Erwartungswert für die folgenden Kombinationen aus Menge (n) und Wahrscheinlichkeit (p)


a.   n = 84 ;   p = 65%

b.   n = 74 ;   p = 30%

c.   n = 56 ;   p = 65%

d.   n = 12 ;  p = 45%

Antwort anzeigen

Antwort

a.   E = 54,6

b.   E = 22,2

c.   E = 36,4

d.   E = 5,4

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Erwartungswert für die folgenden Kombinationen aus Menge (n) und Wahrscheinlichkeit (p)


a.   n = 66 ;   p = 55%

b.   n = 76 ;   p = 20%

c.   n = 24 ;   p = 65%

d.   n = 100 ;  p = 85%

Antwort anzeigen

Antwort

a.   E = 36,3

b.   E = 15,2

c.   E = 15,6

d.   E =85

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Erwartungswert für die folgenden Kombinationen aus Menge (n) und Wahrscheinlichkeit (p)


a.   n = 300 ;   p = 70%

b.   n = 70 ;   p = 25%

c.   n = 400 ;   p = 60%

d.   n = 150 ;  p = 85%

Antwort anzeigen

Antwort

a.   E = 210

b.   E =17,5

c.   E = 240

d.   E = 127,5

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Erwartungswert für die folgenden Kombinationen aus Menge (n) und Wahrscheinlichkeit (p)


a.   n = 300 ;   p = 25%

b.   n = 2400 ;   p = 45%

c.   n = 80 ;   p = 55%

d.   n = 1000 ;  p = 40%

Antwort anzeigen

Antwort

a.   E = 75

b.   E = 1080

c.   E = 44

d.   E = 400

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Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse


Ein Würfel (6-Seiten) wird insgesamt 10 Mal geworfen

  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit nur beim ersten Wurf eine sechs zu Würfeln?
  2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeiten, dass bei den 10 Würfen genau eine sechs geworfen wird (egal bei welchem Wurf)?
  3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mindestens 2 Mal eine sechs zu würfeln?


Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 3,2 %
  2. 32,3%
  3. 80,6%
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Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse


Aus einem Set mit Pokerkarten (52 Karten, davon je 13 in Herz, Karo, Pik und Kreuz) werden zufällig 10 Karten gezogen. Die gezogene Karte wird danach wieder in den Stapel gelegt.

  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur die ersten beiden gezogenen Karten Herz sind?
  2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau 3 Karos zu ziehen?
  3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass von den 10 gezogenen Karten exakt 4 rot sind.


Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 0,6 %
  2. 25,0 %
  3. 20,5 %
Frage anzeigen

Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse 


Ben spielt gerne Basketball und hat herausgefunden, dass seine Trefferquote bei Freiwürfen 8/10 beträgt. In einer Trainingssession wirft er 20 Freiwürfe.

  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er nur den ersten und den letzten Ball verwirft?
  2. Er möchte sich weiter verbessern und fragt sich, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass er mit seiner Trefferquote nur drei Fehlwürfe hat
  3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er mindestens 2 Fehlwürfe hat
  4. Wie hoch müsste Bens Trefferquote sein, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% alle 20 Freiwürfe trifft?


Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 0,1%
  2. 20,5%
  3. 93,1%
  4. 96,6%
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Frage

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse 


Eine Maschine produziert Kugellager, welche zu 95% den Anforderungen entsprechen. Zur Qualitätskontrolle werden 50 Kugellager zufällig ausgewählt.


  1. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass unter den kontrollierten Teilen genau 5 fehlerhaft sind.
  2. Die Vorgabe gibt an, dass unter den 50 kontrollierten Teilen mindestens 48 den Anforderungen entsprechen sollen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit hierfür?
  3. Durch eine Optimierung der Maschine soll erreicht werden, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% alle Teile den Anforderungen entsprechen. Mit welcher neuen Wahrscheinlichkeit muss ein von der Maschine hergestelltes Kugellager nun in Ordnung sein?


Die Ergebnisse sind in Prozent anzugeben und sollen auf eine Nachkommastelle gerundet werden.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 6,6%
  2. 54,1%
  3. 98,6%
Frage anzeigen

Frage

Welche zwei Arten der Gleichverteilung gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. diskrete Gleichverteilung
  2. stetige Gleichverteilung
Frage anzeigen

Frage

Was ist die Besonderheit der Gleichverteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Besonderheit liegt darin, dass die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten jeder möglichen Ausprägung der Zufallsvariablen gleich groß ist.

Frage anzeigen

Frage

Handelt es sich um eine stetige oder diskrete Zufallsvariable?

Die Zufallsvariable ist abzählbar.

Antwort anzeigen

Antwort

Es handelt sich um eine diskrete Zufallsvariable. 

Frage anzeigen

Frage

Handelt es sich um eine stetige oder diskrete Zufallsvariable?

Die Zufallsvariable ist nicht abzählbar.

Antwort anzeigen

Antwort

Es handelt sich um eine stetige Zufallsvariable.

Frage anzeigen

Frage

Stetige oder diskrete Zufallsvariable?

Alter in Monaten

Antwort anzeigen

Antwort

diskrete Zufallsvariable

Frage anzeigen

Frage

Stetige oder diskrete Zufallsvariable?

Zeit in Minuten

Antwort anzeigen

Antwort

Diskrete Zufallsvariable

Frage anzeigen

Frage

Stetige oder diskrete Zufallsvariable?

Exakte Geschwindigkeit eines Flugzeuges


Antwort anzeigen

Antwort

Stetige Zufallsvariable

Frage anzeigen

Frage

"Die hypergeometrische Verteilung ist eine stetige Verteilung."

Richtig oder falsch?

Antwort anzeigen

Antwort

Falsch! Bei der hypergeometrischen Verteilung handelt es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Frage anzeigen

Frage

Welche beiden Ergebnisse gibt es bei der hypergeometrischen Verteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

Erfolg und Misserfolg. 

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Besonderheit der hypergeometrischen Verteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Besonderheit der hypergeometrischen Verteilung ist, dass sie Versuch zu Versuch schwankende Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg berücksichtigt.

Frage anzeigen

Frage

Nenne ein typisches Beispiel für die hypergeometrische Verteilung!

Antwort anzeigen

Antwort

das Lottospiel ist ein typisches Beispiel

Frage anzeigen

Frage

Was ist das Prinzip der hypergeometrischen Verteilung?

Antwort anzeigen

Antwort

"Ziehen ohne Zurücklegen"

Frage anzeigen

Frage

Was ist das Prinzip der Binomialverteilung?

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Antwort

"Ziehen mit Zurücklegen"

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Was sind die Gemeinsamkeiten von hypergeometrischer Verteilung und Binomialverteilung?

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  • diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  • dichotome Verteilungen: nur Erfolg bzw. Misserfolg möglich
  • Berechnung des Erzielen von genau k Treffern
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