Der Durchschnitt der Körpergröße von Männern in Deutschland liegt bei \(178\,\text{cm}\). Doch wie verteilt sich die tatsächliche Körpergröße um den Durchschnitt?
Du kannst die Körpergröße von Männern in Deutschland als normalverteilte Zufallsgröße auffassen. Wenn Du neben dem Erwartungswert auch die Standardabweichung kennst, kannst Du Intervalle zur Verteilung der Zufallsgröße mithilfe der Sigma-Regeln bestimmen.
Sigma-Regeln – Normalverteilung
Die Sigma-Regeln gelten für normalverteilte Zufallsgrößen \(Z\). Mithilfe der Sigma-Regeln kannst Du Intervalle angeben, in denen ein bestimmter Prozentsatz an Werten liegt.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte \(\varphi\) einer Normalverteilung ist stets eine Gauß'sche Glockenfunktion. Mehr zur Normalverteilung einer Zufallsgröße erfährst Du in der zugehörigen Erklärung.
Häufig ist bei einer normalverteilten Zufallsgröße von Interesse, in welchem Intervall ein Großteil der Werte liegt.
Wenn Du zum Beispiel wissen möchtest, in welcher Umgebung um den Erwartungswert \(68\,\%\) der Werte liegen, kannst Du dies durch folgende Gleichung versuchen zu berechnen.
$$P(x_1 \leq X \leq x_2) = \int_{x_1}^{x_2}\varphi_{\mu,\sigma}(x) dx=\Phi \left( \frac{x_2-\mu}{\sigma}\right)-\Phi \left( \frac{x_1-\mu}{\sigma}\right)=68\,\%$$
Du könntest nun durch Ausprobieren versuchen, \(x_1\) und \(x_2\) zu bestimmen. Das ist allerdings sehr aufwendig.
Stattdessen kannst Du auch die Sigma-Regel anwenden.
Für eine normalverteilte Zufallsgröße \(Z\) mit Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\) gilt die Sigma-Regel
$$P(\mu-\sigma \leq Z \leq \mu+\sigma)\approx 0{,}683=68{,}3\,\% $$
Das Intervall, in dem \(68{,}3\,\%\) der Werte liegen, wird auch als Sigma-Umgebung des Erwartungswerts bezeichnet.
Um die Sigma-Umgebung zu bestimmen, setzt Du die Werte für den Erwartungswert und die Standardabweichung ein.
Die Körpergröße ist annähernd eine Normalverteilung. Du kannst die Körpergröße als Zufallsgröße \(Z\) auffassen. Für Männer in Deutschland liegt der Erwartungswert der Zufallsgröße dann bei \(\mu = 178\) mit Standardabweichung \(\sigma =5\).
Abb. 1 - Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung mit \(\mu=178,\sigma=5\)
Mit der Sigma-Regel kannst Du nun bestimmen, in welchem Intervall um den Erwartungswert die Körpergröße von \(68{,}3\,\%\) der Männer liegt.
\begin{array}{rcl}[\mu-\sigma; \mu+\sigma] & = &[178-5; 178+5] \\&= & [173; 183]\end{array}
\(68{,}3\,\% \) der Männer sind zwischen \(173 \,\text{cm}\) und \(183\,\text{cm}\) groß.
Sigma-Regeln – Tabelle
Es gibt aber nicht nur die \(\sigma\)-Umgebung, sondern auch eine \(2\sigma\)- und \(3\sigma\)-Umgebung.
In der Tabelle findest Du die entsprechenden Intervalle zu den Umgebungen sowie die Wahrscheinlichkeiten der Intervalle.
| Intervall \(I\) | Wahrscheinlichkeit |
| \(\sigma\text{-Umgebung}\) | \([\mu-\sigma ; \mu+\sigma]\) | \(P(\mu-\sigma\leq Z \leq \mu+\sigma) \approx 0{,}683\) |
| \(2\sigma\text{-Umgebung}\) | \([\mu-2\sigma ; \mu+2\sigma]\) | \(P(\mu-2\sigma\leq Z \leq \mu+2\sigma)\approx 0{,}954\) |
| \(3\sigma\text{-Umgebung}\) | \([\mu-3\sigma ; \mu+3\sigma]\) | \(P(\mu-3\sigma\leq Z \leq \mu+3\sigma)\approx 0{,}997\) |
Manchmal sind aber auch die Intervalle für bestimme Wahrscheinlichkeiten gesucht. Dann kannst Du einen speziellen Faktor mit Sigma multiplizieren.
| Intervall \(\) | Wahrscheinlichkeit \(P(Z \in I)\) |
| \( [\mu-0{,}674\sigma ; \mu +0{,}674 \sigma] \) | \(\approx 0{,}5\) |
| \( [\mu-1{,}271\sigma ; \mu +1{,}271 \sigma] \) | \(\approx 0{,}8\) |
| \( [\mu-1{,}645\sigma ; \mu +1{,}645 \sigma] \) | \(\approx 0{,}9\) |
| \( [\mu-1{,}96\sigma ; \mu +1{,}96 \sigma] \) | \(\approx 0{,}95\) |
| \( [\mu-2{,}576\sigma ; \mu +2{,}576 \sigma ] \) | \(\approx 0{,}99\) |
Setzt Du Werte für den Erwartungswert \(\mu\) und die Standardabweichung \(\sigma\) Werte ein, kannst Du Intervalle bestimmen.
Betrachte noch einmal die Körpergröße der Männer in Deutschland als Zufallsgröße \(Z\) mit Erwartungswert \(\mu =178\) und Standardabweichung \(\sigma =5\).
Dann liegt die Körpergröße von \(95\,\%\) der Männer im folgenden Intervall:
\begin{array}{rcl}[\mu-1{,}96\sigma;\mu+1{,}96\sigma] & = & [178-1{,}96·5 ; 178+1{,}96·5] \\ \, & = & [168{,}2 ; 187{,}8] \\\end{array}
\(95\,\%\) der Männer sind zwischen \(168{,}\,\text{cm}\) und \(187{,}8\,\text{cm}\) groß.
Sigma-Regeln – Binomialverteilung
Die Sigma-Regeln gelten nicht direkt auch für die eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\). Aber eine Binomialverteilung kann unter bestimmten Bedingungen durch eine Normalverteilung genähert werden. Dies ist insbesondere für ein großes \(n\) der Fall.
Gilt für die Standardabweichung \(\sigma=\sqrt{n·p·(1-p)}\) einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)
$$\sigma > 3$$
so kann die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung genährt werden.
\(\sigma > 3\) wird auch Laplace-Bedingung genannt.
Mehr über die Näherung einer Binomialverteilung durch eine Normalverteilung erfährst Du in der Erklärung "Näherungsformel". Klicke dazu einfach auf den Namen.
Für den Fall, dass Du die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung nähern kannst (\( \sigma >3 \) ), darfst Du auch die Sigma-Regeln verwenden.
Ein Glücksrad wird 1000-mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn ist \(p=0{,}2\). Nun stellt sich die Frage, wie viele Gewinne eintreten werden. Dazu kannst Du den Erwartungswert \(\mu\) der binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) bestimmen.
\begin{align}\mu &=n·p \\& = 1000 · 0{,}2 \\& =200\end{align}
Doch wie verteilen sich die tatsächlichen Ergebnisse um den Erwartungswert? In welchem Intervall liegen \(95{,}4\,\%\) der Ergebnisse?
Um diese Fragen zu beantworten, prüfst Du die Laplace-Bedingung und wendest dann die \(2\sigma\)-Regeln an.
\begin{align}\sigma & = \sqrt{n·p·(1-p)} \\& =\sqrt{1000·0{,}2·0{,}8} \\& = 12{,}65 > 3\end{align}
Die Standardabweichung \(\sigma\) der Zufallsgröße ist größer als \(3\). Die Laplace-Bedingung ist erfüllt und die Binomialverteilung kann durch eine Normalverteilung genähert werden. Es gelten die Sigma-Regeln.
Im Intervall \( [\mu-2\sigma ; \mu +2 \sigma] \) liegen \(95{,}4\,\%\) der Ergebnisse.
\begin{align}[\mu-2\sigma \leq Z \leq \mu +2 \sigma)] & = [200-2·12{,}65 ; 200 +2 ·12{,}65] \\& = [174{,}7 ; 225{,}3 ] \\& = [175 ; 225]\end{align}
Mit einer Wahrscheinlichkeit von \(95{,}4\,\%\) treten beim 1000-maligen Drehen des Glücksrads zwischen \(175\) und \(225\) Gewinne ein.
Beachte, dass bei binomialverteilten Zufallsgrößen nur ganzzahlige Intervalle Sinn ergeben. Es wird daher stets "nach innen" gerundet (zur sicheren Seiten). Die linke Grenze des Intervalls wird immer aufgerundet, die rechts Grenze des Intervalls abgerundet.
Die Verwendung der Sigma-Regeln für eine Binomialverteilung bietet sich vor allem dann an, wenn Dein Taschenrechner die kumulierten Wahrscheinlichkeiten einer Binomialverteilung nicht berechnen kann, sondern Du aus der Tabelle abliest. Mithilfe der Sigma-Regeln kannst Du dann Wahrscheinlichkeiten für Intervalle direkt bestimmen.
Sigma-Regeln – Anwendung beim Hypothesentest
Die Sigma-Regeln finden häufig bei Hypothesentests Anwendung. Du kannst sie verwenden, um den Annahmebereich der Nullhypothese zu bestimmen.
Beachte auch hier, dass die zugrundeliegende Zufallsgröße \(X\) binomialverteilt ist und es sich um eine Näherung durch die Normalverteilung handelt. Du prüfst deswegen auch hier zuerst die Laplace-Bedingung.
Beim Hypothesentest wird zwischen einseitigen und zweiseitigen Testverfahren unterschieden. Bei einem einseitigen Hypothesentest ist nur die Abweichung von der Nullhypothese in eine Richtung von Bedeutung. Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese liegt nur auf einer Seite des Erwartungswerts.
Bei einem zweiseitigen Hypothesentest wird eine Abweichung in beide Richtungen untersucht. Der Ablehnungsbereich ist zweigeteilt und liegt sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite des Erwartungswerts.
Je nachdem, ob es sich um einen einseitigen oder einen zweiseitigen Hypothesentest handelt. sind die Sigma-Regeln unterschiedlich.
Sigma-Regeln – zweiseitiger Hypothesentest
Nachdem Du geprüft hast, ob die Standardabweichung \(\sigma\) größer als \(3\) ist, kannst Du bei einem zweiseitigen Hypothesentest die Sigma-Regeln aus der obigen Tabelle direkt anwenden, um den Annahmebereich der Nullhypothese zu bestimmen. Es bieten sich gut die Intervalle an, in denen \(90\,\%, 95\,\% \text{ und } 99\,\% \) der Ergebnisse liegen. Dann entspricht die Gegenwahrscheinlichkeit genau den typischen Werten für das Signifikanzniveau \(\alpha\).
Intervall \(I\) | Wahrscheinlichkeit \(P(X \in I) \) |
\( [\mu-1{,}645\sigma ; \mu +1{,}645 \sigma] \) | \(\approx 0{,}9\) |
\( [\mu-1{,}96\sigma ; \mu +1{,}96 \sigma ] \) | \(\approx 0{,}95\) |
\( [\mu-2{,}576\sigma ; \mu +2{,}576 \sigma] \) | \(\approx 0{,}99\) |
Ist das Signifikanzniveau des Hypothesentests zum Beispiel \(\alpha=0{,}05\), verwendest Du das Intervall \( [\mu-1{,}96\sigma ; \mu +1{,}96 \sigma ] \), um den Annahmebereich der Nullhypothese zu bestimmen. Dann entspricht die Wahrscheinlichkeit für den Ablehnungsbereich \(5\,\%\) und somit genau dem Signifikanzniveau \(\alpha\).
Unter "zweiseitiger Hypothesentest" findest Du eine ausführliche Erklärung zu diesem Testverfahren. Klicke dazu einfach auf den Namen der Erklärung.
Sigma-Regeln – einseitiger Hypothesentest
Bei einem einseitigen Hypothesentest verwendest Du andere Intervalle. Denn der Ablehnungsbereich liegt nur auf einer Seite des Erwartungswerts und somit ist der Annahmebereich nicht symmetrisch.
Für einen linksseitigen Hypothesentest verwendest Du folgenden Intervalle für den Annahmebereich der Nullhypothese:
Intervall \(I\) | Wahrscheinlichkeit \(P(X \in I) \) |
\( [\mu-1{,}28\sigma ; n] \) | \(\approx 0{,}9\) |
\( [\mu-1{,}64\sigma ; n] \) | \(\approx 0{,}95\) |
\( [\mu-2{,}33\sigma ; n] \) | \(\approx 0{,}99\) |
Für einen rechtsseitigen Hypothesentest gelten diese Intervalle:
Intervall \(I\) | Wahrscheinlichkeit \(P(X \in I) \) |
\( [0 ; \mu+1{,}28\sigma] \) | \(\approx 0{,}9\) |
\( [0 ; \mu+1{,}64\sigma] \) | \(\approx 0{,}95\) |
\( [0 ; \mu+2{,}33\sigma] \) | \(\approx 0{,}99\) |
Die Faktoren, mit denen Du die Standardabweichung \(\sigma\) multiplizierst, sind beim linksseitigen und rechtsseitigen Hypothesentest identisch. Beim linksseitigen Hypothesentest subtrahierst Du aber vom Erwartungswert, beim rechtsseitigen Hypothesentest addierst Du zum Erwartungswert hinzu.
Weitere Informationen zum einseitigen Hypothesentest findest Du in der Erklärung "einseitiger Hypothesentest".
Sigma-Regeln – Herleitung
Manchmal wird nach der Herleitung der Sigma-Regeln gefragt. Dies bezieht sich aber auf die Anwendung der Sigma-Regeln für die Binomialverteilung.
Es soll dann die Frage beantwortet werden, wieso die Sigma-Regeln bei einer binomialverteilten Zufallsgröße gelten. Der Grund hierfür ist dann genau die Näherung einer Binomialverteilung durch die Normalverteilung. Dazu wird nur geprüft, ob \(\sigma > 3\) gilt.
Sigma-Regeln – Aufgaben
Mit den folgenden Aufgaben kannst Du die Anwendung der Sigma-Regeln üben.
Aufgabe 1
Die Zufallsgröße \(Z\) ist normalverteilt mit Erwartungswert \(\mu=60\) und Standardabweichung \(\sigma = 4\). Bestimme die \(2\sigma\)-Umgebung um den Erwartungswert \(\mu\).
Lösung
Die \(2\sigma\)-Umgebung um den Erwartungswert \(\mu\) ist das Intervall \([\mu-2\sigma ; \mu+2\sigma]\).
Es ist:
\begin{align}[\mu-2\sigma ; \mu+2\sigma] &= [60-2·4 ; 60+2·4] \\&=[52;68]\end{align}
Das Intervall \([52;68\) ist die \(2\sigma\)-Umgebung um den Erwartungswert der Zufallsgröße. In diesem Intervall liegen \(95{,}4\,\%\) aller Werte.
Aufgabe 2
Eine Zufallsgröße \(Z\) ist normal mit \(\mu=100, \sigma=5\). Bestimme die Wahrscheinlichkeit \(P(85 \leq Z \leq 115)\) mithilfe der Sigma-Regeln.
Lösung
Das Intervall \([85 ;115]\) ist für die normalverteilte Zufallsgröße \(Z\) mit Erwartungswert \(\mu =100\) und Standardabweichung \(\sigma=5\) genau die \(3\sigma-\)Umgebung um den Erwartungswert. Denn es ist
$$[\mu-3\sigma; \mu+3\sigma]=[100-3·5; 100+3·5]=[85; 115]$$
Deswegen ist
$$P(85 \leq Z \leq 115)=0{,}997$$
Aufgabe 3
Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n=200\) und \(p=0{,}4\). Bestimme das Intervall \(I\), indem \(90\,\%\) aller Ergebnisse liegen mithilfe der Sigma-Regeln.
Lösung
Um die Sigma-Regeln bei einer binomialverteilten Zufallsgröße anwenden zu können, prüfst Du zuerst, ob Du die Zufallsgröße mit einer Normalverteilung nähern kannst. Dazu berechnest Du die Standardabweichung \(\sigma\):
$$\sigma=\sqrt{n·p·(1-p)}=\sqrt{200·0{,}4·0{,}6}=6{,}93>3$$
Die Laplace-Bedingung ist erfüllt. Die kannst die binomialverteilte Zufallsgröße durch eine Normalverteilung nähern und die Sigma-Regeln anwenden. Dazu berechnest Du zuerst den Erwartungswert \(\mu\).
$$\mu=n·p=200·0{,}4=80$$
Nach der \(3\sigma\)-Regel gilt:$$ P(\mu-1{,}645\sigma \leq X \leq \mu +1{,}645 \sigma) \approx 0{,}9 $$
Das Intervall ist\begin{align}[\mu- 1{,}645\sigma ; \mu+ 1{,}645\sigma] &= [80-1{,}645·6{,}93;80+1{,}645·6{,}93] \\&= [68,6;91,4] \\& = [69;91]\end{align}
Im Intervall \([69;91]\) liegen \(90\,\%\) aller Ergebnisse der binomialverteilten Zufallsgröße \(X\).
Sigma-Regeln – Das Wichtigste
- Die Sigma-Regeln gelten für eine normalverteilte Zufallsgröße \(Z\).
- Mithilfe der Sigma-Regeln kannst Du Intervalle bestimmen, in denen ein bestimmter Prozentsatz der Ergebnisse liegt.
- Für den Erwartungswert \(\mu\) und die Standardabweichung \(\sigma\) einer normalverteilten Zufallsgröße gilt:
- Sigma-Umgebung: \(P(\mu-\sigma\leq Z \leq \mu+\sigma) \approx 0{,}683\)
- 2Sigma-Umgebung: \(P(\mu-2\sigma\leq Z \leq \mu+2\sigma)\approx 0{,}954\)
- 3Sigma-Umgebung: \(P(\mu-3\sigma\leq Z \leq \mu+3\sigma)\approx 0{,}997\)
- Wenn die Standardabweichung einer binomialverteilte Zufallsgröße größer als 3 ist, kannst Du die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung nähern. Dann gelten die Sigma-Regeln auch für eine Binomialverteilung.
Nachweise
- Baum et al. (2009). Lambacher Schweizer 11/12, Mathematik für Gymnasien, Gesamtband Oberstufe Niedersachsen. Ernst Klett Verlag.
- Strick (2018). Einführung in die Beurteilende Statistik. Springer Spektrum.
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