4.8 • +11k Ratings
Speichern
Drucken
Bearbeiten
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Thema Varianz. Wenn du auf dem Schlauch stehst, was dieses Thema betrifft, bist du hier genau richtig! Wir erklären dir jetzt worauf es ankommt in der Varianzberechnung:) Das Thema ist dem Fach Mathematik und genauer dem Unterthema Zufallsgrößen zuzuordnen.
Als Vorwissen sollte dir die Wahrscheinlichkeitsverteilung bekannt sein. Die Varianz ist eine Maßzahl mit der du die Wahrscheinlichkeitsrechnung charakterisieren kannst. Mit der Varianz kannst du dir also einen groben Überblick über eine Verteilung verschaffen.
Die Varianz ist ein Streuungsparameter. Das heißt, es werden alle Maßzahlen zusammengefasst und es wird eine Aussage über die Streuung einer Verteilung gemacht.
Der Nachteil der Varianz ist, dass sie aufgrund der Quadrierung eine andere Einheit als die beobachteten Messwerte besitzt. Um daraus eine konkrete Aussage herausleiten zu können musst du die Wurzel vom Ergebnis berechnen. In der Praxis wird deswegen oft die Standardabweichung, die eben genau die Wurzel der Varianz ist, herangezogen.
In den beiden unteren Abbildungen sind zwei Wahrscheinlichkeitsfunktionen dargestellt. Kannst du einen Unterschied zwischen einer kleinen und einer großen Varianz erkennen?
Quelle: Mathebibel.de
Die Realisationen von X sind eng um den Erwartungswert μ = 0 gestreut → kleine Varianz
Quelle: Mathebibel.de
Die Realisation von X sind breit um den Erwartungswert μ = 0 gestreut → große Varianz
Ist X eine diskrete Zufallsvariable, so heißt
die Varianz von X.
Dabei steht μX für den Erwartungswert.
Dieser Verschiebungsansatz erleichtert meist die Berechnung der Varianz.
Die Zufallsvariable X sei die Augenzahl beim Wurf eines symmetrischen Würfels.
Es gibt sechs möglich Realisationen:
Alle sechs Realisationen haben dieselbe Wahrscheinlichkeit gewürfelt zu werden:
Der Erwartungswert ist μX=E(X)=3,5
Die Zufallsvariable X sei der Gewinn beim Roulette. Wir setzen 1€ auf unsere Glückszahl. Wenn wir gewinnen, erhalten 36€. Unser Gewinn beträgt also 35€, denn 1€ haben wir ja eingesetzt. Zur Erinnerung: Beim Roulette kann man auf die Zahlen 0 bis 36 setzen.
Es gibt zwei Realisationen:
Für die Wahrscheinlichkeiten gilt dann:
Der Erwartungswert ist X=E(X)=−1/37.
In den kommenden Abbildungen erkennst du zwei Dichtefunktionen. Kannst du den Unterschied zwischen der kleinen und der großen Varianz?
Die Realisationen von X sind eng um den Erwartungswert μ = 0 gestreut → kleine Varianz
Die Realisationen von X sind breit um den Erwartungswert μ = 0 gestreut → große Varianz
Ist X eine stetige Zufallsvariable, so heißt
die Varianz von X.
μX = Erwartungswert und f(x) = Dichtefunktion
Der Verschiebungssatz erleichtert uns die Berechnung der Varianz.
Ein Zufallsgenerator erzeugt zufällig eine Zahl zwischen -1 und 1.
Die Dichtefunktion des Zufallsgenerators ist
Der Erwartungswert ist μX=E(X)=0
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich entweder
vollständig beschreiben.
Gut gemacht! Nachdem du alles fleißig durchgelesen hast, solltest du nun wissen, wie du die Varianz berechnen kannst. :) Weiter so!
Frage
Antwort
Verteilung A:
X̅ = 3
s = 7,88
Verteilung B:
X̅ = 3
s = 2,12
Frage
Varianz einer Binomialverteilung
Ein Biathlet trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Treffer. Bestimme die Varianz bei 20 Schüssen! Wie verändert sich die Varianz bei doppelt so vielen Schüssen?
Antwort
Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.
Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.
Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.
Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.
Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.
Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.
Kenne deine Schwächen und Stärken.
Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.
Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.
Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.
Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.
Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.
Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.
