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Varianz

Varianz

Vielleicht hast Du schon einmal Mensch-ärgere-Dich-nicht gespielt. Irgendwie scheint es manchmal eine Person zu geben, die ständig neu auf das Spielfeld gelangt, oder große Schritte gehen kann. Verdächtig, oder?

Dass solche Zufälle passieren, damit beschäftigt sich in der Mathematik die Varianz und die Standardabweichung. In diesem Zusammenhang fallen auch oft die Begriffe Binomialverteilung und Gleichverteilung. Für die Berechnung der Varianz gibt es eine Formel und auch die Bedeutung, Definition und Interpretation wirst Du hier lernen.

Varianz – Definition & Bedeutung

Die Varianz \(\boldsymbol{\sigma^2}\) einer Zufallsgröße \(X\) ist die quadratische Abweichung vom Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) eines Zufallsexperiments.

Das heißt, die Varianz gibt an, wie weit die möglichen Werte im Mittel vom Erwartungswert entfernt sind.

Je weniger die möglichen Ergebnisse Deines Zufallsexperiments dabei vom Erwartungswert abweichen, desto niedriger ist die Varianz.

Varianz Formel

Wenn Du eine Datenreihe bzw. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben hast, kannst Du die Varianz davon berechnen.

Formel für die Varianz:

\begin{align} \operatorname{Var}(X) =\sigma^2&=\sum_{i=1}^n\left(x_i-\mu\right)^2 \cdot p_i \\ &=\left(x_1-\mu\right)^2 \cdot p_1+\left(x_2-\mu\right)^2 \cdot p_2+\ldots+\left(x_n-\mu\right)^2 \cdot p_n \end{align}

Mit

  • Wert des jeweiligen Ergebnisses \(x_i\)
  • Erwartungswert \(\mu\)
  • jeweilige Wahrscheinlichkeit \(p_i\)

\(\sigma^2\) ist dabei die Standardabweichung.

Der Erwartungswert bleibt dabei immer identisch, nur der Wert des Ergebnisses und dessen Wahrscheinlichkeit ändern sich jeweils.

Varianz Interpretation

Hast Du den Wert der Varianz berechnet, kannst Du mit dessen Hilfe erkennen, wie stark die Werte um den Erwartungswert (der auch oftmals der Mittelwert ist) streuen.

Die Varianz zeigt die Streuungstärke der Werte um den Erwartungswert an.

Du kannst anhand der Varianz also sagen, ob die Werte eher auf dem Erwartungswert liegen, oder ob viele davon um den Erwartungswert herum liegen. Mit der Varianz lässt sich gut das Streuungsverhalten verschiedener Datenreihen miteinander vergleichen.

\( \definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200} \definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180} \definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115} \definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226} \definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0} \)Im Mensch-Ärgere-Dich-Nicht liegt der Erwartungswert des Würfelwurfs bei \(3{,}5\). Würfelt ein Spieler oft eine Augenzahl nahe am Erwartungswert, also \(3\) oder \(4\), dann ist die Varianz klein. In Abbildung 1 entspricht dieser Fall dem Graphen \(\color{bl}f(x)\). Du kannst sehen, dass die Augenzahlen \(3\) und \(4\) im Vergleich zu den restlichen Augenzahlen sehr oft vorkommen. Die Varianz ist also klein. Eine große Varianz liegt dagegen beim Graphen von \(\color{gr}g(x)\) vor, da hier auch die Augenzahlen \(1\) und \(6\) relativ häufig gewürfelt werden. Diese Kurve passt dementsprechend zu dem Spieler, der häufig Sechser würfelt.

Varianz interpretieren StudySmarterAbb. 1 - Varianz interpretieren am Beispiel.

Eine große Varianz erkennst Du an einer flachen Kurve und eine kleine Varianz an einer spitzen Kurve.

Unterschied Varianz und Standardabweichung

Falls Du schon die Standardabweichung kennst, ist Dir vielleicht aufgefallen, dass sich Varianz und Standardabweichung gegenseitig beeinflussen.

Ist die Varianz groß, so ist auch die Standardabweichung groß, da eine flache Kurve automatisch breiter wird. Umgekehrt ist die Standardabweichung klein, wenn die Varianz klein ist.

VarianzStandardabweichung
StreuungsstärkeStreuungsbreite
\(\sigma^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2\)\(\sigma=\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2}\)
Wie stark sind die Werte gestreut?Wie breit ist die Streuung?
Ein Spieler würfelt \(6\) Mal und erhält dabei jede Augenzahl genau einmal. Die Streuung ist hierbei stark, weil er jede Augenzahl gleich oft würfelt. Wenn er \(6\) mal die \(3\) würfelt, ist die Streuung schwach, da sich die Verteilung auf eine Zahl konzentriert.Analog zur starken Streuungsstärke wird auch die Streuungsbreite weiter, weil sie sich von \(1\) bis \(6\) erstreckt. Umgekehrt wird sie eng, wenn die Streuung schwach ist.

Varianz berechnen – besondere Anwendungsfälle

Im Normalfall kannst Du die oben angesprochene Formel verwenden und die gegebenen Werte einsetzen. Es gibt allerdings ein paar besondere Fälle.

Varianz Gleichverteilung

Wie der Name schon sagt, ist die Gleichverteilung gleich verteilt, das heißt, die Zufallsvariable ist in jedem Durchgang gleich groß. Hast Du eine diskrete Gleichverteilung, so kannst Du wie gewohnt die Formel für die Varianz anwenden. Anders sieht das bei einer stetigen Gleichverteilung aus, denn hier hast Du unendlich viele Werte gegeben, die Du unmöglich alle in die Formel einsetzen kannst.

Die Varianz einer stetigen Gleichverteilung wird berechnet mit:

\[\sigma^2=\frac{(b-a)^2}{12} \]

Dabei sind \(a\) und \(b\) die obere und untere Grenze des Intervalls.

Der Erwartungswert wird hier nicht gebraucht.

Nicht abzählbare Dinge sind zum Beispiel die Zeit oder Regentropfen, die in verschiedene Behälter fallen.

Bei der Gleichverteilung herrscht eine hohe Varianz, da die Werte gleich verteilt sind – also alle Werte gleich oft vorkommen, bzw. dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen.

Ein Beispiel zur Varianz gleich verteilter Werte findest Du in der Erklärung zur Gleichverteilung.

Varianz Binomialverteilung

Auch bei der Binomialverteilung kannst Du nicht einfach die allgemeine Formel der Varianz verwenden.

Die Varianz der Binomialverteilung entspricht der Formel

\[\sigma^2=n \cdot p \cdot(1-p)\]

mit:

  • \(n:\) Anzahl Durchführungen
  • \(k:\) gewünschte Trefferanzahl

Wie auch bei der Gleichverteilung spielt der Erwartungswert hier keine Rolle.

Möchtest Du noch mehr über die Binomialverteilung erfahren, schaue doch gerne bei dieser Erklärung vorbei.

Varianz geometrische Verteilung

Die Geometrische Verteilung ist ebenso ein Bernoulli Experiment, bei dem mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) dieses Experiment immer wieder wiederholt wird, bis der Erfolg eintritt.

Die Varianz für die geometrische Verteilung ist:

\[\sigma^2=\frac{(1-p)}{p^2}\]

Für die Berechnung der Varianz benötigst Du hier also nur die Wahrscheinlichkeit \(p\).

Varianz – Beispiel

Hier findest Du nun noch ein paar Beispiele bzw. Aufgaben zur Varianz.

Varianz – Aufgabe 1

Du wirfst einen Würfel einmal. Bestimme die Varianz.

Lösung

Die Formel der Varianz lautet:

\[ \sigma^2 =\sum_{i=1}^n\left(x_i-\mu\right)^2 \cdot p_i \]

Du benötigst also zuerst den Erwartungwert.

\begin{align}\mu & =\sum_{i=1}^nx_i\cdot P(X=x_i) \\ & = 1\cdot\frac{1}{6}+2\cdot\frac{1}{6}+3\cdot\frac{1}{6}+4\cdot\frac{1}{6}+5\cdot\frac{1}{6}+6\cdot\frac{1}{6} \\[0.2cm] & =3{,}5\end{align}

Nun kannst Du in die Formel einsetzen:

\begin{align} \sigma^2 &=\sum_{i=1}^n\left(x_i-\mu\right)^2 \cdot p_i \\ &= (1-3{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (2-3{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (3-3{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (4-3{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (5-3{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (6-3{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} \\[0.2cm] & = \frac{35}{12} \\[0.2cm] & = 2{,}91 \overline{6} \end{align}

Die Varianz liegt somit bei \(2{,}91 \overline{6}\) für einen Versuch.

Varianz – Aufgabe 2

Beim Würfeln kannst Du für die Augenzahl \(5\) zwei Euro gewinnen und für die Augenzahl \(6\) drei Euro. Allerdings wirst Du bei den Zahlen \(1\) bis \(4\) jeweils zwei Euro bezahlen. Berechne die Varianz.

Lösung

Zuerst benötigst Du den Erwartungswert. Hier interessieren aber nicht die Augenzahlen, sondern der Geldbetrag, den Du jeweils gewinnst oder verlierst.

\begin{align}\mu & =\sum_{i=1}^nx_i\cdot P(X=x_i) \\ & = -2\cdot\frac{1}{6}-2\cdot\frac{1}{6}-2\cdot\frac{1}{6}-2\cdot\frac{1}{6}+2\cdot\frac{1}{6}+3\cdot\frac{1}{6} \\[0.2cm] & =-0{,}5\end{align}

Nun kannst Du die Varianz berechnen:

\begin{align} \sigma^2 &=\sum_{i=1}^n\left(x_i-\mu\right)^2 \cdot p_i \\ &= (-2+5{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (-2+5{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (-2+5{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (-2+5{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (2+5{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (3+5{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} \\[0.2cm] & = \frac{47}{12} \\[0.2cm] & = 3{,}91 \overline{6} \end{align}

Hier ist die Varianz \(3{,}91 \overline{6}\).

Varianz – Aufgabe 3

Es wird ein gleiches Zufallsexperiment zweimal durchgeführt. Es resultieren folgende Varianzen:

  1. \(\sigma_1^2=12{,}5\)
  2. \(\sigma_2^2=49\)

Interpretiere diese Zahlen.

Lösung

Die Streuung des \(2.\) Experiments ist größer, als die des \(1.\), das heißt im \(1.\) Zufallsexperiment liegen die mehr Ergebnisse auf dem Erwartungswert, als im \(2.\) Experiment. Umgekehrt liegen im \(2.\) Experiment viele Ergebnisse nicht auf dem Erwartungswert.

Varianz einer Zufallsgröße - Das Wichtigste

  • Als Varianz einer Zufallsgröße X wird die quadratische Abweichung vom Erwartungswert in der Stochastik bezeichnet.
  • Die Varianz einer Zufallsgröße X berechnet sich über die Formel:\begin{align} \operatorname{Var}(X) =\sigma^2&=\sum_{i=1}^n\left(x_i-\mu\right)^2 \cdot p_i \\ &=\left(x_1-\mu\right)^2 \cdot p_1+\left(x_2-\mu\right)^2 \cdot p_2+\ldots+\left(x_n-\mu\right)^2 \cdot p_n \end{align}
  • Sonderfälle:

Nachweise

  1. Meintrup; Schäffler (2006). Stochastik Theorie und Anwendungen. Springer Berlin Heidelberg.
  2. Behrends (2012). Elementare Stochastik Ein Lernbuch - von Studierenden mitentwickelt. Vieweg+Teubner Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Varianz

Die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung. Während sich die Standardabweichung damit beschäftigt, wie breit die Werte gestreut sind, gibt die Varianz Auskunft darüber, wie stark die Streuung ist, also wie viele Werte nicht auf dem Erwartungswert liegen.

Haben verschiedene Tiere ein Durchschnittsgewicht von 10 kg, gibt es darunter auch Tiere, deren Gewicht größer oder kleiner ist, als 10 kg. Bei einer großen Varianz haben viele Tiere ein anderes Gewicht als 10 kg und bei einer kleinen Varianz haben die meisten Tiere ein Gewicht von 10 kg.

Die Varianz σ einer Zufallsgröße X ist die quadratische Abweichung vom Erwartungswert μ eines Zufallsexperiments. Sie gibt Auskunft über die Streuungsstärke.

Eine große Varianz sagt aus, dass verschiedene Werte stark vom Mittelwert bzw. dem Erwartungswert abweichen.

Finales Varianz Quiz

Frage

Berechne den Mittelwert  und die Standardabweichung der gegebenen Häufigkeitsverteilungen.



Antwort anzeigen

Antwort

Verteilung A:

X̅ = 3

s = 7,88


Verteilung B:

X̅ = 3

s = 2,12

Frage anzeigen

Frage

Marc Wettermann arbeit als Meteorologe beim Fernsehen. Zu seinen Aufgaben gehört es statistische Daten des Wetters zu erheben. Darunter versteht sein Arbeitgeber den Mittelwert, die Varianz und die Standardabweichung. Für eine Woche erhält er folgende Werte der Temperatur (Runde auf zwei Stellen nach dem Komma):

Montag: 6,4°C

Dienstag: 6,3°C

Mittwoch: 4,2°C

Donnerstag: 5,0°C

Freitag: 7,3°C

Samstag: 3,2°C

Sonntag: 5,1°C


Bestimme die geforderten Werte für die Woche. Marc gibt diese Aufgabe an seine drei Mitarbeiter, die mit verschiedenen Werten wiederkommen. Welcher der Mitarbeiter hat recht?

Antwort anzeigen

Antwort

Mittelwert: 1,41°C

Varianz: 1,31

Standardabweichung: 1,71°C

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Frage

Varianz einer Binomialverteilung!


Ein Glücksrad mit vier gleichgroßen Feldern (rot, blau, gelb, grün) wird 20-mal gedreht.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gedrehten blauen Felder an. Berechne die Varianz dieser Zufallsvariablen!

Antwort anzeigen

Antwort

V(X) = 3,75

Frage anzeigen

Frage

Varianz einer Binomialverteilung


Ein Biathlet trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Treffer. Bestimme die Varianz bei 20 Schüssen! Wie verändert sich die Varianz bei doppelt so vielen Schüssen?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Du fährst jeden Tag mit dem Bus in die Schule und schreibst dir jeden Tag auf, wie viel Verspätung der Bus hat. Du erhälst folgende Werte: 


Tag 1: 6 Minuten 

Tag 2: 1 Minute

Tag 3: 4 Minuten

Tag 4: 2 Minuten 

Tag 5: 7 Minuten


  1. Berechne die Varianz
  2. Wie würde sich die Varianz verändern, wenn der Bus an Tag 3 nur 3 Minuten, aber an Tag 5 = 8 Minuten Verspätung hätte?

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Antwort

  1. Die Varianz beträgt 5,2
  2. Die Varianz beträgt 6,8

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Frage

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V)


a. 6, 9, 10, 8, 7

b. 1,1; 0,9; 1,3; 1,3; 1,4

c. 20, 18, 16, 22, 21, 17

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=8 ; V= 2

b. D=1,2 ; V=0,032

c. D=19 ; V=4,67

Frage anzeigen

Frage

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V)


a. 1, 3, 2, 2.5, 1, 2,5

b. 0.5, 0.4, 0.5, 0.7, 0.4, 0.5

c. 25, 26, 23, 23, 24, 23

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=2   V=0,583

b. D=0,5   V=0,01

c. D=24   V=1,33

Frage anzeigen

Frage

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V)


a. 0, 0, 1, 2, 0, 3

b. 0.8, 0.7, 0.8, 0.9, 0.6, 0.4

c. 50, 53, 51, 52, 50, 50

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=1  V=1,33

b. D=0,7   V=0,0266

c. D=51   V=1,33

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 2, 3, 1, 3, 3, 1, 2, 1

b. 0.2, 0.3, 0.2, 0.1, 0.2

c. 20, 21, 18, 18, 23, 20

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=2  S=0,866

b. D=0.2   S=0,063

c. D=20  S=1,73

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 3, 5, 1, 2, 2, 5

b. 0.8, 0.7, 0.9, 0.9, 0.7

c. 50, 55, 53, 52, 40, 50

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=3    S=1,58

b. D=0,8   S=0,089

c. D=50   S=4,8

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 5, 6, 4, 8, 5, 8

b. 0.5, 0.6, 0.6, 0.5, 0.8

c. 55, 65, 65, 75, 60, 70

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=6   S=1,53

b. D=0,6  S=0,11

c. D=65   S=6,45

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 7, 12, 9, 12, 11, 9  

b. 0.4, 0.4, 0.5, 0.4, 0.3

c. 89, 95, 88, 87, 91, 90

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=10   S=1,83

b. D=0,4   S=0,063

c. D=90   S= 2,58

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 8, 9, 10, 6, 7, 8  

b. 0.1, 0, 0.2, 0.2, 0

c. 71, 72, 77, 77, 78, 75

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=8   S=1,29

b. D=0,1   S=0,089

c. D=75   S=2,65

Frage anzeigen

Frage

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V) 


a. 2; 1; 3; 5; 6; 7

b. 51; 58; 55; 59; 52

c. 14; 18; 15; 17; 19; 21; 22



Antwort anzeigen

Antwort

a. D = 4

    V = 4,67

b. D = 55

    V = 10

c. D = 18

    V = 4,43

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 2, 3, 5, 2, 4, 2

b. 0,3; 0,4; 0,5; 0,5; 0,3

c. 28; 27, 29, 31, 30, 29

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=3   S=1,154

b. D= 0,4   S=0,089

c. D=29   S=1,29

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 7, 8, 6, 5, 9, 7

b. 0,7; 0,8; 0,7; 0,6; 0,7

c. 33; 35; 34; 36; 32; 34

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=7   S=1,29

b. D=0,7   S=0,063

C: D=34   S=1,29

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 6, 10, 3, 7, 4, 6

b. 0,01; 0,05; 0,04; 0,06; 0,04

c. 82, 84, 83, 85, 82, 88

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=6   S=2,24

b. D=0,04   S=0,0167

c. D=84   S=2,08

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 5, 6, 4, 6, 5, 4

b. 0,5; 0,3; 0,8; 0,7; 0,2

c. 66; 68; 65; 65; 67; 65

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=5   S=0,816

b. D= 0,5   S=0,51

c. D=66   S=1,154

Frage anzeigen

Frage

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V) 


a. 3; 5; 6; 2; 4; 4

b. 50; 56; 48; 47; 49

c. 10,0; 10,5; 10,2; 10,3; 10,2; 10,3

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=4   V=1,67

b. D=50   V=10

c. D=10,25   V=0,0225

Frage anzeigen

Frage

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V) 


a. 5, 4, 6, 5, 7, 3

b. 51, 55, 53, 56, 53, 50

c. 1,5; 1,8; 1,6; 1,6; 1,4; 1,7

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=5   V=1,67

b. D=53   V=4,33

c. D=1,6   V=0,1

Frage anzeigen

Frage

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V) 


a. 6, 5, 5, 8, 4, 8

b. 72, 73, 76, 77, 77

c. 2,5; 2,6; 2,8; 2,3; 2,3; 2,5

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=6   V=2,33

b. D=75   V=4,4

d. D=2,5   V=0,03

Frage anzeigen

Frage

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V) 


a. 7, 5, 5, 7, 6, 6

b. 65, 64, 66, 67, 63

c. 1,4; 1,35; 1,4; 1,35; 1,5

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=6   V=0,67

b. D=65   V=2

c. D=1,4   V=0,003

Frage anzeigen

Frage

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V)


a. 5, 6, 5, 4, 7, 3

b. 1,5; 1,6; 1,5; 1,4; 1,5; 1,5

c. 72, 75, 75, 76, 73, 73

Antwort anzeigen

Antwort

a. D= 5   V= 1,67

b. D= 1,5   V= 0,0033

c. D= 74   V= 2

Frage anzeigen

Frage

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V)


a. 2, 3, 2, 2, 3, 0

b. 0,4; 0,6; 0,5; 0,8; 0,3; 0,4

c. 55, 56, 58, 53, 52, 56

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=2   V= 1

b. D=0,5   V= 0,0267

c. D=55  V=4

Frage anzeigen

Frage

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V)


a. 0; 0,5; 0,8; 1,3; 1,4; 2

b. 5, 6, 5, 8, 3, 3

c. 100, 103, 102, 105, 95,

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=1   V= 0,2567

b. D=5   V=3

c. D=101   V=11,6

Frage anzeigen

Frage

Ein fairer Würfel wird geworfen. Berechne die Varianz, wenn der Würfel


  1. die Zahlen 1,2,3,4,5 und 6 enthält
  2. die Zahlen 2,4,8,16,32 und 64 enthält

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 2,91666666
  2. 469

Frage anzeigen

Frage

In einer Urne sind 2 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird mit zurücklegen gezogen. Sei X die Anzahl der gezogenen roten Kugeln. Berechne die Varianz von X, wenn

  1. 2 Mal gezogen wird.
  2. 3 Mal gezogen wird.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. 0,48
  2. 0,72

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Frage

Ein Glücksrad hat einen roten Sektor und einen blauen Sektor. Der rote Sektor hat eine Größe von p (0<p<1), der blaue eine Größe von 1 -p. Das Rad wird einmal gedreht. Sei X eine Zufallsvariable mit X= 1, wenn das Rad rot zeigt, und 0, wenn es Blau zeigt.

  1. Berechne in Abhängigkeit von p die Varianz von X
  2. für welchen Wert von p wird die Varianz von X maximal?
  3.  Wie groß ist die Varianz in diesem Fall?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. p-p²
  2.  p =0,5; 
  3. Varianz = 0,25

Frage anzeigen

Frage

Der Notenspiegel bei einer Klausur sieht wiefolgt aus: 4 Schüler haben eine 1, 7 Schüler eine 2, 6 Schüler eine 3, 5 Schüler eine 4 und 3 Schüler haben eine 5.


  1. Berechne die Varianz der Noten.
  2. Bei 3 Schülern, die die Klausur nachgeschrieben haben, haben 2 Schüler eine 4 und ein Schüler eine 5. Berechne die neue Varianz des Notenspiegels.

Antwort anzeigen

Antwort

  1.  Varianz = 1,5744
  2. Varianz =  1,64285

Frage anzeigen

Frage

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V)


a. 5, 7, 7, 8, 8

b. 2,0; 2,5; 2,4; 2,0; 2,1; 2,2

c. 34; 33; 34; 35; 33; 35

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=7 ; V=1,2

b. D=2,2 ; V=0,0367

c. D=34 ; V=0,67

Frage anzeigen

Frage

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V)


a. 3, 5, 9, 5, 3

b. 1,5 ; 1,7; 1,4; 1,5; 1,3; 1,6

c. 41, 45, 46, 42, 42, 42

Antwort anzeigen

Antwort

a. D=5; V=4,8

b. D=1,5; V=0,0167

c. D=43; V=3,33

Frage anzeigen

Frage

Berechne zu den folgenden Wertereihen den Durchschnittswert (D) sowie die Varianz (V)


a. 5, 6, 7, 5, 7

b. 2,2; 1,7; 2,0; 2,2; 1,9; 2,0

c. 33, 35, 36, 34, 33, 33

Antwort anzeigen

Antwort

a, D=6 ; V=0,8

b. D=2,0 ; V=0,03

c. D=34 ; V=1,33

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Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 3, 2, 5, 4, 3, 7

b. 0.5, 0.4, 0.5, 0.7, 0.4

c. 33, 35, 36, 36, 34, 36

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Antwort

a. D=4 ; S=1,63

b. D=0,5 ; S=0,11

c. D=35 ; S=1,15

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Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 5, 7, 6, 8, 4

b. 0.2, 0.3, 0.3, 0.1, 0.1, 0.2

c. 44, 38, 39, 39, 42, 38

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Antwort

a. D=6 ; S=1,41

b. D=0,2 ; S=0,082

c. D=40 ; S=2,24

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Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 6, 6, 8, 5, 5

b. 0.5, 1.5, 1.5, 1.0, 1.0 , 0.5

c. 55, 56, 52, 56, 55, 56

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Antwort

a. D=6 ; S=1,095

b. D=1 ; S=0,41

c. D=55 ; S=1,41

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Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 2, 8, 5, 7, 3

b. 0.7, 0.8, 0.9, 0.7, 0.7, 1

c. 85, 84, 89, 86, 88, 84

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Antwort

a. D=5 : S=2,28

b. D=0,8 ; S=0,15

c. D=86  S=1,91

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Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 9, 9, 3, 2, 2

b. 1.3, 1.2, 1.4, 1.5, 1.2, 1.2

c. 66, 68, 60, 66, 64, 66

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Antwort

a. D=5 ; S=3,49

b. D=1,3 ; S=0,115

c. D=65 ; S=2,52

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Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 9, 7, 3, 0, 1

b. 1.5, 1.6, 1.6, 1.3, 1.5, 1.5

c. 74, 76, 75, 72, 76, 77

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Antwort

a. D=4 ; S=3,46

b. D=1,5 ; S=0,1

c. D=75 ; S=1,63

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Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 5, 3, 6, 6, 5

b. 1.4, 1.8, 1.7, 1.5, 1.5, 1.7

c. 85, 88, 85, 86, 89, 89

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Antwort

a. D=5 ; S=1,41

b. D=1.6 ; S=0,41

c.  D=87 ; S=1,73

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Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 3, 6, 3, 5, 3

b. 3.5, 3,6, 3.2, 3.8, 3.4, 3.5

c. 95, 98, 90, 97, 93, 97

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Antwort

a. D=4 ; S=1,26

b. D=3.5 ; S=0,18

c. D=95 ; S=2,77

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Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 10, 15, 7, 7, 11

b. 2.3, 2.1, 2.4, 2.5, 2.2, 2.3

c. 67, 68, 63, 67, 64, 67

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Antwort

a. D=10 ; S=2,97

b.  D=2,3 ; S=0,13

c.  D=66 ; S=1,83

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Berechne den Durchschnitt (D) und die Standardabweichung (S) der folgenden Zahlenreihen


a. 12, 7, 6, 9, 6

b. 1.8, 1.9, 2.2, 2.2, 2.1, 1.8

c. 72, 75, 73, 75, 74, 75

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Antwort

a. D=8 ; S=2,28

b. D=2,0 ; S=0,17

c. D=74 ; S=1,15

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