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Modalwert

Modalwert

Ein neuer Klassensprecher wird gewählt. Es liegt an Dir, die Stimmen auszuwerten. Du schaust also, wer die meisten Stimmen bekommen hat. In der Mathematik – genauer gesagt der Statistik – heißt dieser Wert Modus bzw. Modalwert. In dieser Erklärung erfährst Du die Definition des Modus, ob es eine Formel gibt, mit der Du ihn berechnen kannst und Du findest Beispiele zum Üben.

Modalwert – Statistik Erklärung

Wenn Du in der Statistik Daten auswerten willst, stößt Du auf die Lagemaße Modalwert, Median, Quartile und Mittelwert. Sie alle dienen dazu, Dir einen Überblick zu verschaffen.

Wenn Dich die anderen Lagemaße auch interessieren, klicke einfach auf den Namen.

Modus/Modalwert Definition

Der Modalwert oder Modus ist also eines der Lagemaße der Statistik.

Der Modus oder Modalwert gibt an, welche Werte oder Merkmale in einer Datenreihe am häufigsten vorkommen. Kommen zwei Merkmale gleich oft vor, ist die Datenreihe bimodal, bei mehr als zwei Merkmalen ist sie multimodal.

In einem Diagramm kannst Du den Modalwert meist auf einen Blick erkennen, denn er ist an der Stelle des größten Ausschlags.

Modalwert Modus StudySmarterAbb. 1 - Modalwert/Modus.

Modalwert berechnen Formel

Der Modalwert kann allerdings nicht berechnet werden, dementsprechend gibt es auch keine Formel.

Um den Modus/Modalwert einer Datenreihe zu finden, sortierst Du die Werte der Datenreihe in aufsteigender Reihenfolge, sodass Du gleiche Werte/Merkmale zählen kannst. Der Wert, der am häufigsten vorkommt, ist der Modalwert.

Um das Beispiel aus der Einleitung zu beantworten: Die Person, die die meisten Stimmen bekommt, repräsentiert den Modalwert. Steht es unentschieden zwischen zwei Personen, so ist die Wahl bimodal, bei drei oder mehr Personen multimodal.

Modalwert – Beispiel

Mit dieser Einführung kannst Du den Modalwert nun anwenden. Es gibt zwei Möglichkeiten bei der Anwendung: Dir kann entweder ein Diagramm gegeben sein, das Du auswerten sollst, oder Du bestimmst den Modalwert aus einer Datenreihe.

Modus aus Diagramm bestimmen

Für den Anfang soll der Modus aus einem Diagramm ausgelesen werden.

In einer bekannten Quiz-Show werden die Zuschauer regelmäßig mit dem Modus konfrontiert. Wenn ein Kandidat das gesamte Publikum um Hilfe fragt, dürfen alle Personen im Publikum ihre Vermutung der richtigen Lösung abgeben. Das Ergebnis dieser Abstimmung bei einem Publikum mit 110 Personen könnte zum Beispiel so aussehen:

Modalwert Modus Beispiel Diagramm StudySmarterAbb. 2 - Modalwert/Modus Beispiel Diagramm.

In der Regel vertraut der Kandidat der Mehrheit und nimmt die Antwort, die am häufigsten gewählt wurde. Und genau das ist der Modus. In diesem Fall handelt es sich beim Modus um Antwort Nummer 3, da hier das Maximum des Diagramms ist.

Auch bei anderen Entscheidungsprozessen im Alltag wird häufig, ohne es bewusst zu merken, der Modus gewählt.

Modus aus Datenreihe ermitteln

Auch aus einer Reihe von Daten kannst Du den Modalwert bestimmen. Meist sind Dir die Daten in einer Liste oder Tabelle gegeben.

Werden die 110 Personen der Quizshow auf 11 Personen reduziert, so ergibt sich folgende Datenreihe:

32331423423

So kannst Du mit den Zahlen aber noch nicht viel anfangen. Sie müssen zuerst in eine Reihenfolge gebracht werden.

12223333344

Nun kannst Du die Werte vergleichen und prüfen, welche Zahl am häufigsten vorkommt.

12223333344

Du siehst, dass die 3. Antwort mit einer Stimmenanzahl von 5 am häufigsten gewählt wurde. Der Modalwert liegt also auf der 3. Antwort.

In diesem Beispiel gab es nur einen Modus. Wie sieht es aber aus, wenn sich die Zuschauer nicht einig sind und die Verteilung der Stimmen anders ist?

Bimodal und multimodal

In diesem Fall kann es passieren, dass es nicht nur einen Modus gibt, sondern mehrere.

Angenommen, die Auswertung der Stimmen sähe folgendermaßen aus:

Modalwert Modus Beispiel Bimodal Multimodal StudySmarterAbb. 3 - Modalwert/Modus Beispiel bimodal.

Hier gibt es zwei Balken, die gleich hoch sind und somit beide ein Maximum darstellen. Es gibt also zwei Modalwerte, nämlich Antwort 2 und 3. Die Verteilung ist somit bimodal.

Bei drei oder mehr gleich hohen, maximalen Balken wäre die Verteilung multimodal. Somit würde diese Verteilung bei einer Entscheidung nicht mehr helfen.

Dadurch stellt sich die Frage, wann die Bestimmung eines Modalwerts sinnvoll ist und wann nicht.

sinnvoll bei:nicht sinnvoll bei:
Verteilungen mit Normalskalenniveau → Zentrum der Verteilung (Modus) lässt sich gut bestimmengleich verteilten Daten → viele Modi, somit keine brauchbaren Informationen

Wenn möglich, sollte niemals ein einziges Lagemaß für das Zentrum einer Verteilung verwendet werden, da sich Median, Mittelwert und Modus ergänzen und in Kombination die höchste Aussagekraft haben.

Modalwert – Aufgaben mit Lösung

Nun kannst Du Dich selbst auf die Suche nach dem Modus machen. Viel Spaß!

Aufgabe 1

10 Schüler einer Klasse werden nach ihrer Lieblingssportart befragt. Hier siehst Du das Ergebnis der Umfrage:

Schüler12345678910
SportartFußballSchwimmenVolleyballFußballFußballBasketballFußballReitenSchwimmenFußball

Lösung

Es bietet sich an, die gleichen Sportarten zu gruppieren, um einen besseren Überblick zu haben:

Schüler14571029368
SportartFußballFußballFußballFußballFußballSchwimmenSchwimmenVolleyballBasketballReiten

Jetzt kannst Du sehen, dass die Mehrheit der Schüler Fußball spielt. Hier liegt also der Modus. Da die anderen Sportarten nicht so oft ausgeübt werden, gibt es in dieser Verteilung auch nur einen Modus.

Aufgabe 2

Ein Lehrer teilt seiner Schulklasse die Noten für die letzte Klassenarbeit mit. Der Lehrer gibt den Schülern aber nicht genau an, welche Note wie häufig vergeben wurde. Stattdessen zeichnet er diese Verteilung an die Tafel:

Modalwert Modus Aufgabe 2 StudySmarterAbb. 4 - Modalwert/Modus Diagramm zu Aufgabe 2.

Lösung

Ohne die genauen absoluten Häufigkeiten zu kennen, kannst Du dennoch sehen, dass die Säule der Note 2 am höchsten ist. Der Modus liegt also bei 2, da diese Note am häufigsten vergeben wurde.

Aufgabe 3

Der Lehrer aus Aufgabe 2 unterrichtet auch die Parallelklasse. In dieser Klasse fällt die gleiche Arbeit ein wenig anders aus. Die dazugehörige Verteilung siehst Du hier:

Modalwert Modus Aufgabe 3 StudySmarterAbb. 5 - Modalwert/Modus Diagramm zu Aufgabe 3.

Lösung

In dieser Klasse gibt es drei Modi, nämlich die Noten 2, 3 und 4, denn sie wurden in gleicher Anzahl vergeben. Diese Verteilung ist also multimodal.

Modalwert – Das Wichtigste

  • Der Modus ist ein Lagemaß der deskriptiven Statistik. Er ist der Wert in der Datenreihe, der am häufigsten vorkommt.
  • Um den Modus zu ermitteln, brauchst Du keine Formel. Du kannst in aus der (sortierten) Datenreihe oder dem Diagramm ablesen.
  • Hat eine Datenreihe zwei oder mehr Modalwerte, so ist sie bimodal oder multimodal.

Nachweise

  1. Hassler (2018). Statistik im Bachelor-Studium Eine Einführung für Wirtschaftswissenschaftler. Springer Fachmedien Wiesbaden.
  2. Behrends (2012). Elementare Stochastik Ein Lernbuch - von Studierenden mitentwickelt. Vieweg+Teubner Verlag.
  3. Meintrup, Schäffler (2006). Stochastik Theorie und Anwendungen. Springer Berlin Heidelberg.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Modalwert

Ja. Beide Begriffe stehen für den Wert in einer Datenreihe, der am häufigsten vorkommt.

Der Modalwert ist der Wert, der in einer Datenreihe am häufigsten vorkommt.

Der Modalwert ist bei Verteilungen mit Normalskalenniveau sinnvoll. Also bei Verteilungen, die ein Maximum aufweisen.

Den Modalwert kannst Du nicht berechnen. Du kannst ihn entweder aus einem Diagramm ablesen oder aus einer Datenreihe durch Abzählen bestimmen.

Finales Modalwert Quiz

Frage

Wähle Lagemaße der Statistik aus:

Antwort anzeigen

Antwort

Median

Frage anzeigen

Frage

Definiere den Modus bzw. Modalwert.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Modus oder Modalwert gibt an, welche Werte oder Merkmale in einer Datenreihe am häufigsten vorkommen.

Frage anzeigen

Frage

Beurteile, ob eine Datenreihe mehrere Modalwerte haben kann.

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, in diesem Fall ist die Datenreihe bi- oder multimodal.

Frage anzeigen

Frage

Beurteile, ob Modus und Modalwert das Gleiche sind.

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, woran Du einen Modus im Diagramm erkennen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Modus befindet sich an der Stelle des größten Ausschlags, bzw. Maximums des Diagramms.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, warum es für den Modalwert keine Formel gibt.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Modalwert ist der Wert bzw. das Merkmal, das in einer Datenreihe am häufigsten vorkommt. Dementsprechend gibt es auch keine Formel, da Du gleich Merkmale zählen musst, was sich mathematisch nicht lösen lässt.

Frage anzeigen

Frage

Wähle Beispiele, in denen der Modus im Alltag vorkommt.

Antwort anzeigen

Antwort

Demokratische Wahl

Frage anzeigen

Frage

Beurteile, ob Du den Modus auch auf die Lieblingsfarben Deiner Freunde anwenden kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, das geht. Der Modus kann nicht nur von gleichen Werten gebildet werden, sondern auch von gleichen Merkmalen, wie zum Beispiel gleichen Lieblingsfarben.

Frage anzeigen

Frage

Wäge ab, wann der Modalwert sinnvoll ist und wann nicht.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Modus ist sinnvoll bei Verteilungen mit Normalskalenniveau, also Verteilungen, die einen Höhepunkt aufweisen. Hier gibt es in der Regel nur einen Modus, somit ist dessen Verwendung sinnvoll.

Keinen Sinn macht es bei gleich verteilten Daten, denn hier würden unter Umständen mehrere Modalwerte vorkommen, sodass der Modus zur Analyse nicht hilfreich ist.

Frage anzeigen

Frage

Beurteile, ob der Modalwert als alleiniges Mittel zur Interpretation einer Datenreihe verwendet werden kann.

Antwort anzeigen

Antwort

Prinzipiell ja, allerdings ist die Aussagekraft wesentlich geringer, als wenn Du mehrere Lagemaße in Kombination anwendest.

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Modalwert aus folgenden Merkmalen:

rot grün gelb grün rot grün rot gelb grün grün rot

Antwort anzeigen

Antwort

Der Modalwert liegt bei grün mit fünf Nennungen.

Frage anzeigen

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