Axiome von Kolmogorow

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Axiome sind unbeweisbare Annahmen oder Forderungen. Die drei Axiome von Kolmogorow definieren die Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeit mit einem Modell aus Bedingungen.

Dieses Thema solltest Du Dir gut merken, denn es bildet ein axiomatisches Fundament für die gesamte darauf aufbauende Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie.

Axiome von Kolmogorow – Definition & Beispiele

Das Modell von Kolmogorow mit drei Axiomen beschreibt bloß die nötigen Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeit. Du kannst aber innerhalb dieser Eigenschaften noch zwischen verschiedenen Realisierungen von Wahrscheinlichkeit unterscheiden.

Seien $Ω = {ω_{1}, ω_{2}, ω_{3}, . . ., ω_{n}}$ die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments, A und B Teilmengen von Ω und P eine Funktion, die jedem A eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 zuordnet.

P(A) wird Wahrscheinlichkeit genannt, falls folgende drei Bedingungen erfüllt werden:

$1 . P (A) \geq 0 2 . P (Ω) = 1 3 . P (A \cup B) = P (A) + P (B), f ü r A \cap B = \emptyset$

Das Modell der Axiome von Kolmogorow – Wahrscheinlichkeit

Im ersten Abschnitt der Definition werden die Ergebnismenge, Ereignisse und die Funktion P beschrieben. Falls Du Genaueres dazu erfahren möchtest, kannst Du gerne im Abschnitt "Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung" nachlesen.

P(A) ist als eine Funktion anzusehen, die eine Teilmenge von Ω auf eine reelle Zahl in [0,1] abbildet. Sind alle Axiome von Kolmogorow erfüllt, so kannst Du sicher sein, dass es sich bei P(A) um eine Wahrscheinlichkeit handelt.

Das erste Kolmogorow-Axiom

$P (A) \geq 0$

besagt, dass jede Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen einer Teilmenge von Ω (Ereignis) nicht negativ ist. Man nennt diese Eigenschaft daher auch: Nichtnegativität.

Die Wahrscheinlichkeit, mit einem sechsseitigen, fairen Würfel eine 1 zu würfeln beträgt:

$P ({1}) = \frac{|{1}|}{|{1, 2, 3, 4, 5, 6}|} = \frac{1}{6}$

Die Betragsstriche um eine Menge herum bedeuten, dass man die Mächtigkeit der Menge sucht.

Mit einem Würfel eine bestimmte Zahl zu würfeln, besitzt noch eine relativ hohe Wahrscheinlichkeit. Es gibt aber auch Ereignisse mit beliebig kleiner Wahrscheinlichkeit oder sogar unmögliche Ereignisse.

Unmögliche Ereignisse haben eine Wahrscheinlichkeit von 0.

Hier ist ein Beispiel, für das die Wahrscheinlichkeit sehr gering ist:

Die Wahrscheinlichkeit, den Hauptgewinn bei Lotto 6 aus 49 zu gewinnen, beträgt:

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} P ({G e w i n n}) = \frac{1}{(\begin{matrix} 49 \\ 6 \end{matrix})} & (\begin{matrix} 49 \\ 6 \end{matrix}) = \frac{49!}{(49 - 6)! 6!} \\ = \frac{1}{139.838.160} \end{matrix} \end{array}$

Der Binominal-Koeffizient $(\begin{matrix} 49 \\ 6 \end{matrix})$ gibt an, auf wie viele verschiedene Arten und Weisen Du 6 aus 49 Zahlen wählen kannst. Hierbei beachtest Du nicht die Reihenfolge, in der Du die Zahlen auswählst.

Falls Du mehr zum Binominal-Koeffizienten oder der Fakultät erfahren möchtest, dann ließ Dir gerne die Artikel dazu durch.

Eine Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines Ereignisses kann sich also beliebig der Null annähern, aber niemals negativ werden. Dies kannst Du nicht beweisen (Axiom), aber Du kannst es intuitiv nachvollziehen, denn:

Bei einem Laplace-Experiment gilt:

$P (A) = \frac{|A|}{|Ω|} m i t |*| \geq 0$

Damit sind Nenner und Zähler also immer nicht-negativ, weshalb auch $P (A) \geq 0$ .

Übrigens: Falls $A \cap Ω = \emptyset$ , dann gilt $P (A) = 0$

Falls also keine negativen Wahrscheinlichkeiten vorliegen, ist das erste Axiom von Kolmogorow erfüllt.

Das zweite Kolmogorow-Axiom

$P (Ω) = 1$

bringt eine weitere Eingrenzung des Wertebereichs von der Funktion P.

Mit Axiom 1 und 2 darf P(A) mit beliebigem A minimal Wert 0 und maximal Wert 1 annehmen.

Bei einem Münzwurf kannst Du als Ergebnis Wappen (W) oder Zahl (Z) erhalten.

Also ist

$Ω = {W, Z}$

Alle Ereignisse (alle möglichen Teilmengen der Ergebnismenge) sind damit

$A = {W} u n d B = {K}$

Damit sind

$P (A) = \frac{|{W}|}{|{W, Z}|} = \frac{1}{2}$

und

$P (B) = \frac{|{Z}|}{|{W, Z}|} = \frac{1}{2}$

Nun kannst Du die Wahrscheinlichkeiten addieren, um P(Ω) zu erhalten:

$\begin{array}{rcl} P (Ω) & = & P (A) + P (B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \end{array}$

Das zweite Axiom von Kolmogorow trifft hier also zu!

Ein Wahrscheinlichkeitsexperiment, bei dem alle Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen, nennt man Laplace-Experiment

Du kannst es Dir gerne mit folgendem Satz merken:

"Irgendetwas passiert immer."

Dies bedeutet, dass bei jedem Zufallsexperiment mindestens eines der möglichen Ereignisse (Teilmengen von Ω) eintrifft. Diese Eigenschaft heißt auch Normiertheit.

Stelle Dir doch einmal vor:

$P (Ω) = 0, 75$

In diesem Fall könnte also mit einer Wahrscheinlichkeit von $25 %$ ein Ergebnis eintreten, welches nicht Teil der Ergebnismenge ist. Es sind aber bloß die Ergebnisse der Ergebnismenge überhaupt möglich, weshalb P in diesem Fall keine wohldefinierte Wahrscheinlichkeit sein kann.

Oder auch andersherum:

$P (Ω) = 1, 5$

In diesem Fall ist P auch keine Wahrscheinlichkeit, da es nichts Höheres gibt als eine $100 %$ Wahrscheinlichkeit.

An den Beispielen ist also zu sehen, dass die Festlegung des zweiten Axioms von Kolmogorow Sinn ergibt.

Das dritte Kolmogorow-Axiom

Das dritte und letzte Axiom von Kolmogorow gilt erst ab folgender Bedingung:

$A \cap B = \emptyset$

für beliebige Ereignisse A und B.

Dies bedeutet also, dass für kein Ergebnis beide Ereignisse erfüllt werden. A und B nennt man in diesem Fall auch disjunkt.

Nähere Erklärungen zu Schnittmengen kannst Du unter "Mengenlehre" gerne durchlesen.

Als Erstes solltest Du also die jeweiligen Ereignisse auf obige Bedingung prüfen:

Beim Würfeln mit einem sechsseitigen Würfel lässt sich die Ergebnismenge definieren als:

$Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$

Teilmengen von Ω stellen nun die Ereignisse dar. Zum Beispiel:

$A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 4} C = {3, 5, 6}$

Aufgabe

Sind A, B und C paarweise disjunkt? Begründe Deine Antwort.

Paarweise disjunkt bedeutet, dass A und B, B und C und A und C disjunkt sind.

Lösung

B und C sind disjunkt, denn

$\begin{array}{rcl} B \cap C & = & {1, 2, 4} \cap {3, 5, 6} = \emptyset \end{array}$

Aber A und B teilen sich die Elemente 1 und 2, weshalb A und B nicht disjunkt sind.

Somit sind A, B und C nicht paarweise disjunkt.

Handelt es sich um disjunkte Teilmengen, so kannst Du die Wahrscheinlichkeit auf das dritte Axiom von Kolmogorow überprüfen:

$P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

Diese Eigenschaft kannst Du auf beliebig viele paarweise disjunkte Teilmengen übertragen:

$P (X_{1} \cup . . . \cup X_{n}) = P (X_{1}) + . . . + P (X_{n}) m i t n \in ℕ$

Man nennt das dritte Axiom von Kolmogorow auch Additivität.

Du möchtest aus dem Fenster schauen und überlegst Dir, dass es mit einer Wahrscheinlichkeit von $13 %$ schneit, mit $37 %$ Wahrscheinlichkeit regnet und mit einer Wahrscheinlichkeit von $50 %$ die Sonne scheint.

Aufgabe

Gib die Ereignismenge dieses Wahrscheinlichkeitsexperiments an.
Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass nicht die Sonne scheint?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit regnet oder schneit es?

Lösung

$Ω = {R e g e n, S c h n e e, S o n n e}$

Die Benennung der Ergebnisse ist ganz Dir überlassen. Achte aber darauf, dass sie sinnvoll ist.

Hier gibt es nun mehrere Lösungsmöglichkeiten:

Möglichkeit 1:

Das Ereignis "Es scheint nicht die Sonne" ist das Komplement von "Es scheint die Sonne".

$\begin{array}{rcl} P ({S o n n e}) & = & 1 - P ({S o n n e}) \\ = & 1 - 50 % = 1 - 0, 5 = 0, 5 \end{array}$

Möglichkeit 1 nutzt eine Technik, welche Du aus den Axiomen folgern kannst (siehe unten).

Möglichkeit 2:

Das Ereignis "Es scheint nicht die Sonne" kann hier auch als "Es regnet oder es schneit" ausgedrückt werden und ist gleichzeitig auch die Lösung der Aufgabe c.

$\begin{array}{rcl} P ({S o n n e}) & = & P ({R e g e n} \cup {S c h n e e}) \\ = & P ({R e g e n}) + P ({S c h n e e}) \\ = & 37 % + 13 % = 50 % = 0, 5 \end{array}$

Achte darauf, dass es sich bei Ereignissen um Mengen mit Mengenklammern handelt.

Intuitiv kannst Du Dir also vorstellen, dass man mehrere Ereignisse zu einem wahrscheinlicheren Ereignis zusammenfasst. Daher werden die einzelnen Wahrscheinlichkeiten addiert.

Das "oder" in Aufgabenstellungen kannst Du Dir als eine Vereinigung der einzelnen Ereignisse vorstellen. In der Logik bedeutet "A oder B" nicht "entweder A oder B", sondern "A oder B oder beides".

"oder" ist eine logische Verknüpfung, während die "Vereinigung" eine Mengenoperation ist.

Trotzdem lässt sich das "oder" in Aufgabenstellungen häufig mit einer Vereinigung übersetzen.

Zum Beispiel: "Sie würfelt eine 3 oder eine 4" kann übersetzt werden in folgendes Ereignis:

$\begin{array}{rcl} A & = & {3} \cup {4} = {3, 4} \end{array}$

Häufig kann es auch hilfreich sein, ein größeres Ereignis in mehrere kleinere aufzuteilen.

Aufgabe

Wie ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem sechsseitigen Würfel eine 3, 4 oder 6 zu würfeln?

Lösung

Erst definierst Du wieder Ω und das beschriebene Ereignis A:

$Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {3, 4, 6}$

Die Wahrscheinlichkeit, eine 3 zu würfeln, beträgt:

$\begin{array}{rcl} P ({3}) & = & \frac{1}{|Ω|} = \frac{1}{6} \end{array}$

und

$P ({3}) = P ({4}) = P ({6})$

Es handelt sich um ein Laplace-Experiment

Nun suchst Du:

$P ({3, 4, 6}) = ?$

Dies kannst Du umschreiben:

$P ({3, 4, 6}) = P ({3} \cup {4} \cup {6})$

Da die Ereignisse 3, 4 und 6 paarweise disjunkt sind, kannst Du nun das dritte Axiom von Kolmogorow anwenden:

$\begin{array}{rcl} P ({3, 4, 6}) & = & P ({3} \cup {4} \cup {6}) \\ = & P ({3}) + P ({4}) + P ({6}) \\ = & \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \end{array}$

Natürlich gelten die drei Axiome von Kolmogorow nur, wenn eine Wahrscheinlichkeit vorliegt.

Folgerungen aus den drei Kolmogorow-Axiomen – Beweise

Aus den drei Axiomen von Kolmogorow kannst Du noch weitere Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten herleiten. Hier sind die wichtigsten davon:

Seien A und B Ereignisse aus Ω, dann gilt:

$1 . P (n i c h t A) = 1 - P (A) 2 . P (\emptyset) = 0 3 . P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

Diese Eigenschaften mögen Dir intuitiv richtig erscheinen, sie müssen aber trotzdem noch bewiesen werden.

Aufgabe

Beweise die obigen Folgerungen mit den drei Axiomen von Kolmogorow.

Lösung

Beweis 1: $P (n i c h t A) = 1 - P (A)$

Hierfür nutzt Du das zweite Axiom von Kolmogorow:

$P (Ω) = 1 \Leftrightarrow P (A \cup A) = 1 \Leftrightarrow P (A) + P (A) = 1 \Leftrightarrow P (A) = 1 - P (A)$

q.e.d.

Beweis 2: $P (\emptyset) = 0$

Hier kannst Du das dritte Axiom nutzen:

$P (Ω \cup \emptyset) = P (Ω) + P (\emptyset) Ω \cup \emptyset = Ω \Leftrightarrow P (Ω) = P (Ω) + P (\emptyset) \Leftrightarrow P (\emptyset) = 0$

q.e.d.

Beweis 3: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

Hier wendest Du nun mehrmals Mengentheorie und das dritte Axiom an:

$\begin{array}{rcl} P (A \cup B) & = & P (A \cup B) + P (A \cap B) - P (A \cap B) \\ = & P ((A \ B) \cup (B \ A) \cup (A \cap B)) + P (A \cap B) - P (A \cap B) \\ = & P (A \ B) + P (A \cap B) + P (B \ A) + P (A \cap B) - P (A \cap B) \\ = & P (A) + P (B) - P (A \cap B) \end{array}$

q.e.d.

q.e.d. bedeutet, dass Du mit dem Beweis fertig bist.

Nun kennst Du also die drei Axiome von Kolmogorow und ihre wichtigsten Folgerungen.

Axiome von Kolmogorow – Das Wichtigste

Die drei Axiome von Kolmogorow sind unbeweisbar.
Sie sind das Fundament der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Die Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten werden durch sie beschrieben.
Du kannst aus ihnen weitere Eigenschaften folgern.
Präge Dir primär die Axiome selbst und ihre wichtigsten Folgerungen ein.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Axiome von Kolmogorow

Die Kolmogorow Axiome sind drei unbeweisbare, festgelegte Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten.

Es gibt insgesamt drei Axiome von Kolmogorow. Sie bilden das Fundament der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Das Modell der Axiome von Kolmogorow definiert den Begriff "Wahrscheinlichkeit", indem es die Eigenschaften von Wahrscheinlichkeit festlegt.

Du kannst auf weitere Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten auf Basis der Axiome von Kolmogorow schließen. Beispielsweise, dass die Wahrscheinlichkeit von der leeren Menge Null ergibt.

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Frage

Was ist die Besonderheit von Axiomen?

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Antwort

Sie sind unbeweisbare Annahmen.

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Was ist ein Laplace-Experiment?

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Antwort

Ein Wahrscheinlichkeitsexperiment, dessen Ergebnisse alle die selbe Wahrscheinlichkeit besitzen.

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Frage

Was beschreiben die Axiome von Kolmogorow?

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Antwort

Sie beschreiben die Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten.

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Wie viele Axiome von Kolmogorow gibt es?

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Antwort

Es gibt drei Axiome.

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Das erste Kolmogorow-Axiom

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Was sind die Kolmogorow Axiome?

Wie viele Axiome von Kolmogorow gibt es?

Was besagt das Modell der Axiome von Kolmogorow?

Welche Folgerungen kann ich auf Basis der Axiome von Kolmogorow treffen?

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