Vielleicht hast Du schon mal etwas von der Bayes Regel gehört, auch Satz von Bayes genannt. Der Satz von Bayes ist ein wichtiger Satz in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Er hilft Dir dabei, den Zusammenhang bedingter Wahrscheinlichkeiten zu erkennen und zu berechnen. Hier wird Dir der Satz von Bayes einfach erklärt! Du erfährst etwas über die Satz von Bayes Formel und ihre Herleitung und kannst Dir Beispiele ansehen.
Satz von Bayes Grundlagen
Beim Satz von Bayes dreht sich alles um bedingte Wahrscheinlichkeiten. Deshalb solltest Du in folgenden Themen fit sein:
Satz von Bayes einfach erklärt
Der Satz von Bayes stellt eine direkte Verbindung zwischen einer bedingten Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse und ihrer Umkehrung her.
Satz von Bayes Definition & Formel (Bayes Regel)
Hast Du die bedingte Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse \(A\) und \(B\) gegeben, beispielsweise \(P_A(B)\), beschreibt der Satz von Bayes den Zusammenhang zwischen \(P_A(B)\) und der Umkehrung \(P_B(A)\).
Der Satz von Bayes lautet \[P_B(A)=\frac{P(A)\cdot P_A(B)}{P(B)}.\]
\(P(A)\) und \(P(B)\) sind dabei nicht an eine Bedingung geknüpft und nennen sich Anfangswahrscheinlichkeiten. Sie beschreiben die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis \(A\) bzw. das Ereignis \(B\) eintritt.
Die Formel des Satzes von Bayes kann auch umgedreht werden, indem die Ereignisse \(A\) und \(B\) vertauscht werden. So kannst Du die Wahrscheinlichkeit \(P_A(B)\) berechnen:
\[P_A(B)=\frac{P(B)\cdot P_B(A)}{P(A)}.\]
Satz von Bayes am Baumdiagramm
Da es im Satz von Bayes um bedingte Wahrscheinlichkeiten geht, lässt er sich recht gut anhand eines Baumdiagramms verdeutlichen.
Abbildung 1: Satz von Bayes – Bedingte Wahrscheinlichkeiten am Baumdiagramm
Satz von Bayes Beispiele
Um das Rechnen mit dem Satz von Bayes zu verdeutlichen, findest Du hier ein konkretes Beispiel der Anwendung des Satzes von Bayes.
In einer Klasse befinden sich 30 Kinder. Alle Lernenden werden vor einer Klausur von einer unabhängigen Gruppe gefragt, ob sie für die Klausur gelernt haben. Zur Auswahl stehen nur die Antworten „Ja“ und „Nein“.
Nachdem die Klausur geschrieben wurde und die Noten feststehen, werden die Noten den Aussagen der Kinder zugeordnet. Es zeigt sich, dass von 30 Kindern 9 nicht gelernt haben. Insgesamt haben zehn Kinder nicht bestanden. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind nicht gelernt hat, wenn es die Klausur nicht bestanden hat, beträgt \(75\,\%\).
Wie wahrscheinlich ist es, dass ein zufällig ausgewähltes Kind nicht bestanden hat, wenn bekannt ist, dass es nicht gelernt hat?
Notiere Dir zunächst die möglichen Ereignisse und alle gegebenen Wahrscheinlichkeiten:
- Ereignis \(A\): nicht gelernt, Ereignis \(B\): nicht bestanden
- \(P(A)=\frac{9}{30}=\text{0,3}\)
- \(P(B)=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}\approx \text{0,33}\)
- \(P_B(A)=\text{0,75}\)
Da Du nun \(P_B(A)\) gegeben hast und \(P_A(B)\) suchst, muss die Formel entsprechend angepasst werden. Du darfst hier einfach jeweils \(A\) und \(B\) vertauschen und erhältst \[P_A(B)=\frac{P(B)\cdot P_B(A)}{P(A)}.\]
Jetzt setzt Du alle bekannten Wahrscheinlichkeiten in die Formel ein:
\begin{align}P_A(B)&=\frac{\frac{1}{3}\cdot \text{0,75}}{\text{0,3}} \\[0.1cm] &=\frac{5}{6}\\[0.2cm]&\approx\text{0,83}.\end{align}
Wenn Du aus allen Kindern, die nicht gelernt haben, zufällig eines auswählst, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht bestanden hat, \(\text{83,3}\%\).
Totale Wahrscheinlichkeit
Es kann vorkommen, dass Dir in manchen Aufgaben Angaben zu den Anfangswahrscheinlichkeiten, auch totale Wahrscheinlichkeiten genannt, fehlen. Doch keine Sorge! Diese kannst Du ebenfalls berechnen.
Um die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(A\) zu berechnen, wenn nur bedingte oder gemeinsame Wahrscheinlichkeiten gegeben sind, benötigst Du den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit:
\begin{align}P(A)&=P(A \cap B)+P(A \cap \overline{B})\\ &=P(B) \cdot P_B(A)+P(\overline{B}) \cdot P_{\overline{B}}(A).\end{align}
Mehr über totale Wahrscheinlichkeiten und deren Berechnung erfährst Du in der Erklärung totale Wahrscheinlichkeit.
Satz von Bayes Herleitung
Doch wieso gilt der Satz von Bayes überhaupt so und wo kommt er her?
Der Satz lässt sich tatsächlich aus der Formel für die bedingten Wahrscheinlichkeiten herleiten. Diese lautet ja \[P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.\]
Du kannst sie auch so umstellen, dass sie nicht die Wahrscheinlichkeit von \(A\) unter der Bedingung von \(B\) beschreibt, sondern die Wahrscheinlichkeit von \(B\) unter der Bedingung von \(A\). Dafür darfst Du ebenfalls wieder \(A\) und \(B\) vertauschen und erhältst \[P_A(B)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}.\]
Da die Menge \(A\cap B\) dieselben Elemente beinhaltet, wie die Menge \(B\cap A\), sind diese Mengen auch gleich wahrscheinlich. Es gilt demnach:
\[P(A\cap B)=P(B\cap A)\]
Löst Du nun beide obigen Formeln der bedingten Wahrscheinlichkeiten nach \(P(A\cap B)\) bzw. \(P(B\cap A)\) auf, kannst Du diese gleichsetzen.
\begin{align} P_B(A)&=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \\\\ \Leftrightarrow \quad P(A\cap B)&= P_B(A) \cdot P(B).\end{align}
und
\begin{align} P_A(B)&=\frac{P(B\cap A)}{P(A)} \\\\ \Leftrightarrow \quad P(B\cap A)&= P_A(B) \cdot P(A)\end{align}
Durch Gleichsetzen erhältst Du
\begin{align} P_B(A) \cdot P(B)&= P_A(B) \cdot P(A) \\\\ \Leftrightarrow \quad P_B(A) &= \frac{P_A(B) \cdot P(A)}{P(B)}\end{align}
Damit erhältst Du genau die Formel, die Du im Satz von Bayes findest.
Satz von Bayes Aufgaben
In den folgenden Aufgaben kannst Du üben, den Satz von Bayes anzuwenden.
Aufgabe 1
Eine Person fährt an \(75\,\%\) ihrer Arbeitstage mit dem Zug zur Arbeit. In \(80\,\%\) dieser Fälle erreicht sie pünktlich ihren Arbeitsplatz, im Durchschnitt kommt sie aber nur an \(70\,\%\) der gesamten Arbeitstage pünktlich an.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person den Zug genommen hat, unter der Bedingung, dass die pünktlich ankommt?
Lösung
Hier notierst Du zuerst wieder alle Ereignisse und gegebenen Wahrscheinlichkeiten:
- Ereignis \(A\): Person benutzt den Zug, Ereignis \(B\): Person erscheint pünktlich
- \(P(A)=\text{0,75}\)
- \(P_A(B)=\text{0,8}\)
- \(P(B)=\text{0,7}\)
Gesucht ist hier \(P_B(A)\). Hier kannst Du die gegebenen Wahrscheinlichkeiten also direkt in die Formel des Satzes von Bayes einsetzen und erhältst:
\[P_B(A)=\frac{\text{0,75}\cdot\text{0,8}}{\text{0,7}}\approx\text{0,8571}\]
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Person den Zug genommen hat, unter der Bedingung, dass die pünktlich ankommt, beträgt also ca. \(\text{85,71}\,\%\).
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