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Satz von Bayes

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Satz von Bayes

Der Satz von Bayes ist für die Wahrscheinlichkeitsrechnung von hoher Relevanz. Er hilft dir dabei, bedingte Wahrscheinlichkeiten ins Verhältnis miteinander zu setzen. Aus diesem Grund gehört er als Teil der Wahrscheinlichkeitsrechnung zum mathematischen Teilgebiet der Stochastik. Wie du den Satz von Bayes anwendest, zeigen wir dir jetzt!

Tipp: Dieser Beitrag setzt voraus, dass du dich mit bedingten Wahrscheinlichkeiten auskennst.

Definition des Satz von Bayes

Der Satz von Bayes stellt eine direkte Verbindung zwischen einer bedingten Wahrscheinlichkeit und ihrer umgekehrten bedingten Wahrscheinlichkeit her. Die Ausgangssituation sieht wie folgt aus:

Gegeben: , Gesucht:

Das bedeutet, wir kennen die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B und wollen nun die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A berechnen.

Der Satz von Bayes lautet:

Dabei stellen P(A) / P(B) die Wahrscheinlichkeiten dar, dass die Ereignisse A / B eintreten werden (nicht an eine Bedingung geknüpft). Diese Wahrscheinlichkeiten werden übrigens auch Anfangswahrscheinlichkeiten genannt.

Rechenbeispiel zum Satz des Bayes

Alle 30 Schüler deiner Klasse (inkl. dir) werden vor einer Klausur von einer unabhängigen Gruppe gefragt, ob sie für die Klausur gelernt haben. Zur Auswahl stehen nur die Antworten „Ja“ oder „Nein“. Nachdem die Klausur geschrieben wurde und die Noten feststehen, werden die Noten den Aussagen der Schüler zugeordnet. Es ergibt sich, dass von 30 Schülern 8 nicht gelernt haben. Insgesamt haben 10 Schüler eine schlechte Note erhalten. Du weißt außerdem, dass die Wahrscheinlichkeit, zufällig einen Schüler aus allen mit einer schlechten Note auszuwählen, der nicht gelernt hat, 75% beträgt.

Du fragst dich: Wie wahrscheinlich ist es, dass ein zufällig ausgewählter Schüler eine schlechte Note hat, wenn bekannt ist, dass er nicht gelernt hat?

Notiere dir zunächst die möglichen Ereignisse und alle gegebenen Wahrscheinlichkeiten:

  • A = „nicht gelernt“ B = „schlechte Note“
  • = =0,266=26,6%
  • = =0,333=33,3%
  • = 0,75=75%

Diese Informationen kannst du nun in den Satz von Bayes einsetzen. Achte darauf, nicht mit den bedingten Wahrscheinlichkeiten durcheinander zu kommen. Die Formel von oben solltest du zum Beispiel zunächst nach der gesuchten Wahrscheinlichkeit auflösen, bevor du die gegebenen Wahrscheinlichkeiten einsetzt!

Antwort: Wenn du alle Schüler, die nicht gelernt haben, zusammenstellst und zufällig einen davon auswählst, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass derjenige eine schlechte Note erhalten hat, 93,9%.

Wenn du nun von dem Experiment auf die allgemeine Situation schließen würdest, könnte man sagen, dass es sehr wahrscheinlich ist, eine schlechte Note zu erhalten, wenn man nicht gelernt hat.

Tipp: Falls in deiner Aufgabe die Komplemente (auch Gegenwahrscheinlichkeiten) der Wahrscheinlichkeiten gegeben sind, bloß nicht verzweifeln! Denn es gilt: und

Herleitung des Satz von Bayes

Wie du sehen kannst, ist der Satz von Bayes ein nützliches Instrument, um ohne Umwege umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Aber wie kommt man eigentlich auf diesen Satz?

Ganz einfach! Er lässt sich aus der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit ableiten. Diese lautet:

Dieselbe Formel können wir auch für die umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit aufstellen:

Da die Menge A∩B dieselben Elemente beinhaltet, wie die Menge , sind diese Mengen auch gleichwahrscheinlich. Es gilt demnach:

Nun können wir die beiden Formeln nach dieser Wahrscheinlichkeit auflösen und durch die Äquivalenz der Wahrscheinlichkeiten gleichsetzen:

Je nachdem, ob du diese Formel nun durch P(A) oder P(B) teilst, erhältst den Satz von Bayes für die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A oder anders herum!

Super! So einfach lässt sich der Satz von Bayes herleiten!

Satz von Bayes - Alles Wichtige auf einen Blick

Damit du schnell zum richtigen Ergebnis kommst, wenn es notwendig ist, haben wir dir eine Liste erstellt, mit der du Schritt für Schritt den Weg zur umgekehrten bedingten Wahrscheinlichkeit gehen kannst.

  • Wie lauten die möglichen Ereignisse? Benenne die Ereignisse mit einem passenden Großbuchstaben
  • Sind in der Aufgabe Wahrscheinlichkeiten gegeben?1. Ja: Dann kannst du direkt mit diesen Wahrscheinlichkeiten rechnen, super!2. Nein: Falls du nur absolute Häufigkeiten gegeben hast, musst du zunächst die relativen Häufigkeiten und damit die angenäherte Wahrscheinlichkeit berechnen. Die relative Häufigkeit entspricht der absoluten Häufigkeit, geteilt durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse, auch oder Ergebnisraum genannt.
  • Notiere alle Wahrscheinlichkeiten, z.B.: P(A) = 0,35 usw.
  • Notiere dir, welche Wahrscheinlichkeit gesucht wird
  • Notiere den Satz von Bayes: oder abhängig davon, welche Wahrscheinlichkeit gesucht ist
  • Setze alle Wahrscheinlichkeiten in den Satz von Bayes ein und berechne das Ergebnis

Fertig! Schon hast du den Satz von Bayes zur Berechnung deiner Aufgabe verwendet!

Nutze diese Liste zuhause für Hausaufgaben und drucke sie dir aus oder schreibe sie ab, um auch im Unterricht auf alles vorbereitet zu sein!

Du wirst sehen: Je öfter du mit dieser Liste arbeitest, desto besser verinnerlichst du die Schritte und im Nu brauchst du die Liste nicht mehr!

Zusammenfassung

Der Satz von Bayes stellt eine direkte Verbindung zwischen einer bedingten Wahrscheinlichkeit und ihrer umgekehrten bedingten Wahrscheinlichkeit her. Er leitet sich von der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten ab und die Summe der Anfangswahrscheinlichkeiten ergibt immer 1.

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Manche Matheaufgaben können einen richtig erschlagen. Deshalb ist es wichtig, dass du dich nicht von komplizierten Umschreibungen oder neuen Sachverhalten in Panik versetzen lässt. Konzentriere dich stattdessen besonders auf die Fragestellung und suche dir strukturiert die nötigen Informationen aus dem Text zusammen. Wer weiß, welche Zahlen für das Ergebnis notwendig ist, kann gezielter Textaufgaben analysieren und bearbeiten!

Insider Tipp:

Weißt du was Lehrer lieben? Lehrer lieben Schüler, die am Ende ihrer Rechnung gut formulierte Antwortsätze erstellen. Warum? Anhand der Antwortsätze kann dein Lehrer erkennen, ob du verstanden hast, was du da gerade ausgerechnet hast und was das Ergebnis zu bedeuten hat. Deshalb: Nutze diese Möglichkeit, deinem Lehrer zu zeigen, dass du dich gut vorbereitet hast.

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