Multiplikationssatz

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Hast du den Artikel zum Additionssatz schon gelesen? Darin ging es um Sarah, die über das Wochenende in die Berge fahren wollte. Sie möchte Samstag und Sonntag dort verbringen. Der Wetterbericht sagt, dass die Regenwahrscheinlichkeit für Samstag bei 30 % und für Sonntag bei 50 % liegt.

Wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass es Samstag ist und es regnet, kannst du mit dem Multiplikationssatz, auch Produktsatz genannt, berechnen.

Multiplikationssatz – Erklärung

Bei dem Szenario von Sarah, die einen Wochenendurlaub machen will, handelt es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit, weil die Regenwahrscheinlichkeiten für beide Tage unterschiedlich sind. Das heißt, sie hängen davon ab, ob es Samstag oder Sonntag ist.

Wiederholung zur bedingten Wahrscheinlichkeit

Genaueres zur bedingten Wahrscheinlichkeit findest du im gleichnamigen Artikel. Kurz gesagt ist die bedingte Wahrscheinlichkeit folgendes:

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, nachdem ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist. Sie wird als P geschrieben. Also bezeichnet die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{B} (A)$ die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B.

Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass es am Samstag regnet, liegt – wie oben erwähnt – bei 30 %. Du schreibst also:

$P_{S} (R) = 0, 3$

Ausgesprochen heißt das: "Es regnet zu 30 % unter der Bedingung, dass es Samstag ist."

Möchtest du die bedingte Wahrscheinlichkeit ausrechnen, gibt es dafür eine Formel.

Um die bedingte Wahrscheinlichkeit auszurechnen, benötigst du die totale Wahrscheinlichkeit der Bedingung B und die gemeinsame Wahrscheinlichkeit beider Ereignisse A∩B.

$P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$

Angenommen, du weißt nicht, dass es am Samstag zu 30 % regnet. Dafür weißt du aber, dass die gemeinsame Wahrscheinlichkeit von Samstag und Regen 15 % beträgt.

In diesem Fall kannst du die bedingte Wahrscheinlichkeit für Regen am Samstag – also P_s(R) – einfach ausrechnen.

Du hast gegeben:

Die Wahrscheinlichkeit für Samstag: P(S)=0,5
Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit für Samstag und Regen: P(S∩R)=0,15

Da in diesem Beispiel zwei Tage vorkommen, die jeweils (theoretisch) gleich lang sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit pro Tag 0,5 (also 50 %).

Diese Werte kannst du nun einfach in die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit einsetzen:

$P_{S} (R) = \frac{P (S \cap R)}{P (S)} = \frac{0, 15}{0, 5} = 0, 3 = 30 %$

Es kommen die bereits bekannten 30 % raus, also richtig gerechnet!

Multiplikationssatz – Herleitung

Zuerst benötigst du die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit, die bereits oben besprochen wurde:

$P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$

Wenn du sie umstellst, erhältst du Folgendes:

$\begin{array}{rcl} P_{B} (A) & = & \frac{P (A \cap B)}{P (B)} \cdot P (B) \\ P (A \cap B) & = & P_{B} (A) \cdot P (B) \end{array}$

Damit hast du den Multiplikationssatz.

Der Multiplikationssatz sagt aus, dass zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines mehrstufigen Zufallsexperiments die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse multipliziert werden müssen.

$\begin{array}{rcl} P (A \cap B) & = & P_{B} (A) \cdot P (B) \end{array}$

Hier handelt es sich um den speziellen Multiplikationssatz. Den wendest du an, wenn die Wahrscheinlichkeiten stochastisch abhängig sind.

Dass es am Samstag mit der Wahrscheinlichkeit 30 % regnet, ist stochastisch abhängig. Die Regenwahrscheinlichkeit ist abhängig davon, dass es Samstag ist, also $P_{S} (R) = 0, 3$ , weil am Sonntag eine andere Wahrscheinlichkeit für Regen gilt.

Hast du hingegen stochastisch unabhängige Wahrscheinlichkeiten, wie zum Beispiel, dass es an beiden Tagen mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 regnet, dann kannst du die Formel vereinfachen:

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$

Im Prinzip unterscheiden sich die Formeln kaum. Daher wird dieser Unterschied auch meist nicht erwähnt und der spezielle Produktsatz in der Regel angewendet. Die grundlegende Vorgehensweise ist immer dieselbe:

Multipliziere Wahrscheinlichkeit A mit Wahrscheinlichkeit B (oder eben P_A(B), je nachdem ob B bedingt ist oder nicht).

Zum besseren Verständnis siehst du hier noch eine Gegenüberstellung der beiden Formeln:

	Einfacher Multiplikationssatz	Spezieller Multiplikationssatz
Formel	$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$	$\begin{array}{rcl} P (A \cap B) & = & P_{B} (A) \cdot P (B) \end{array}$
Wann?	Bei einfachen Wahrscheinlichkeiten	Bei bedingten Wahrscheinlichkeiten

Der Produktsatz im Laplace-Experiment

Für ein Laplace-Experiment gilt diese Formel gleichermaßen. Hier kannst du sogar den einfachen Multiplikationssatz anwenden.

Ein Laplace Experiment ist ein (mehrstufiges) Zufallsexperiment, bei dem alle elementaren Ereignisse dieselbe Wahrscheinlichkeit haben.

Kannst du aus dem oben genannten Beispiel mit dem Wetter ein Laplace-Experiment machen?

Wie bereits erwähnt, sind bei einem Laplace-Experiment alle Wahrscheinlichkeiten gleich groß. Bei den Tagen ist das bereits der Fall, da sie beide die gleiche Wahrscheinlichkeit von 0,5 haben. Würde es also an beiden Tagen ebenfalls mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 regnen, dann wäre das ein Laplace-Experiment.

Du könntest es aber auch mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3 regnen lassen. Hauptsache, die Wahrscheinlichkeiten sind an beiden Tagen gleich.

Multiplikationssatz – Beweis

Die Formeln für den Multiplikationssatz und die bedingte Wahrscheinlichkeit kennst du jetzt. Doch warum werden die Wahrscheinlichkeiten miteinander multipliziert?

Baumdiagramm

Um die Gültigkeit der Formel zu beweisen, kannst du mit einem Baumdiagramm anfangen. Als Grundlage kannst du die Wahrscheinlichkeiten aus der oben gestellten Aufgabe nehmen.

Multiplikationssatz Produktsatz Baumdiagramm StudySmarter Abbildung 1: Baumdiagramm

Der Additionssatz sagt dir, dass du Wahrscheinlichkeiten, die du mit "oder" verknüpfen kannst, miteinander addieren darfst. In diesem Fall ist es Samstag oder Sonntag. Beides gleichzeitig geht nicht. Also kannst du die zugehörigen Pfade miteinander addieren. Zusätzlich weißt du schon, dass alle Wahrscheinlichkeiten einer hierarchischen Ebene zusammen immer 1 ergeben müssen, also

$P (S) + P (S) = 1 P_{S} (R) + P_{S} (R) + P_{S} (R) + P_{S} (R) = 1$

Demnach rechnest du erst die einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten mithilfe des Produktsatzes aus:

$P (S \cap R) = P (S) \cdot P_{S} (R) = 0, 5 \cdot 0, 3 = 0, 15 P (S \cap R) = P (S) \cdot P_{S} (R) = 0, 5 \cdot 0, 7 = 0, 35 P (S \cap R) = P (S) \cdot P_{S} (R) = 0, 5 \cdot 0, 5 = 0, 25 P (S \cap R) = P (S) \cdot P_{S} (R) = 0, 5 \cdot 0, 5 = 0, 25$

Wenn du jetzt die Ergebnisse addierst, müsste die Summe 1 ergeben:

$P_{S} (R) + P_{S} (R) + P_{S} (R) + P_{S} (R) = 1 0, 15 + 0, 35 + 0, 25 + 0, 25 = 1$

Das Ergebnis entspricht der Erwartung. Also ist der Multiplikationssatz korrekt.

Im folgenden Baumdiagramm kannst du den gerade besprochenen Rechenweg noch einmal visuell nachvollziehen.

Multiplikationssatz Produktsatz Beweis StudySmarter Abbildung 2: Baumdiagramm zum Beweis des Multiplikationssatzes

Nun kannst du die Frage beantworten, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass es Samstag ist und es regnet.

Du hast 2 mögliche Tage, also ist die Wahrscheinlichkeit für Samstag 0,5. Die Regenwahrscheinlichkeit am Samstag beträgt 0,3. Diese Wahrscheinlichkeit ist stochastisch vom Ereignis Samstag abhängig, also benötigst du den speziellen Multiplikationssatz. Die Formel dazu steht weiter oben.

$\begin{array}{rcl} P (A \cap B) & = & P_{B} (A) \cdot P (B) \end{array}$

Jetzt kannst du die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass es am Samstag regnet, also P_S(R) und die Wahrscheinlichkeit, dass es Samstag ist, also P(S) einsetzen:

$P (S \cap R) = P_{R} (R) \cdot P (S) = 0, 3 \cdot 0, 5 = 0, 15$

Die Wahrscheinlichkeit, dass es Samstag ist und regnet, liegt also bei 15 %.

Für die Herleitung des Multiplikationssatzes hast du noch eine andere Rechenregel benötigt, nämlich den Additionssatz:

Der Additionssatz

Der Additionssatz besagt, dass du Wahrscheinlichkeiten, die du mit "oder" verknüpfen kannst, miteinander addieren darfst. Allerdings musst du beachten, dass du die Schnittmenge aus diesen Wahrscheinlichkeiten einmal wieder abziehen musst, da sie sonst doppelt vorkommen. Die Formel sieht so aus:

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

Eine detaillierte Erklärung zum "Additionssatz" findest du im entsprechenden Artikel.

Somit könntest du den Additionssatz anwenden, wenn du wissen willst, mit welcher Wahrscheinlichkeit es am Samstag oder Sonntag (oder an beiden Tagen) regnet. Der Einfachheit halber kannst du davon ausgehen, dass es an beiden Tagen mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 regnet.

Du setzt also die Werte in die Formel für den Additionssatz ein

$P (S \cup R) = P (S) + P (R) - P (S \cap R) = 0, 5 + 0, 5 - 0, 5 \cdot 0, 5 = 0, 75 = 75 %$

und erhältst als Ergebnis, dass es mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 % an mindestens einem der Tage regnet.

Vierfeldertafel

Anstelle des Baumdiagramms, kannst du den Multiplikationssatz auch mit einer Vierfeldertafel beweisen.

Genaueres zur "Vierfeldertafel" findest du im entsprechenden Artikel.

Eine Vierfeldertafel ist in jeweils zwei Spalten für die Ereignisse und zwei Zeilen für deren Ausprägungen aufgeteilt. In den vier Feldern multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Ereignisse. Demnach schreibst du in die rechte Spalte und untere Zeile die Wahrscheinlichkeit aus der jeweiligen Zeile oder Spalte. Ganz unten rechts kommt dann noch die Summe aus allen Ereignissen dazu, die immer 1 ergeben muss.

Nun rechnest du die Wahrscheinlichkeiten mithilfe des Multiplikationssatzes aus und trägst sie in die entsprechenden Felder ein. Geht die Rechnung am Ende der Tabelle auf, ist der Multiplikationssatz richtig.

	$R$	$R$
$S$	$0, 3 \cdot 0, 5 = 0, 15$	$0, 7 \cdot 0, 5 = 0, 35$	$0, 5$
$S$	$0, 5 \cdot 0, 5 = 0, 25$	$0, 5 \cdot 0, 5 = 0, 25$	$0, 5$
	$0, 4$	$0, 6$	$1$

Der Multiplikationssatz findet sich auch in der linearen Algebra. Die Bezeichnung ist die gleiche, aber der Multiplikationssatz zur Berechnung der Determinante beinhaltet eine völlig andere Formel. Gerne kannst du dich im Artikel "Determinante" dazu reinlesen. Auch zu "Matrizen" gibt es einen entsprechenden Artikel.

Multiplikationssatz – Aufgaben

Hier folgen einige Aufgaben, um das Gelernte zu üben.

Aufgabe 1

In einem Secondhandladen bestehen 60 % des Sortiments aus Markenware. Davon werden im Schnitt 30 % verkauft. Berechne, wie wahrscheinlich es ist, dass ein Kunde einen Markenartikel kauft.

Lösung

Aus dieser Aufgabe kannst du zwei Wahrscheinlichkeiten herauslesen. Die Wahrscheinlich für einen Markenartikel $P (M) = 0, 6$ und die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Markenartikel verkauft wird $P_{M} (V) = 0, 3$ .

Auf diese Werte kannst du den Multiplikationssatz anwenden.

$P (M \cap V) = P (M) \cdot P_{M} (V) = 0, 6 \cdot 0, 3 = 0, 18 = 18 %$

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde einen Markenartikel kauft, liegt also bei 18 %.

Der Multiplikationssatz findet sich auch in der linearen Algebra. Die Bezeichnung ist die Gleiche, aber der Multiplikationssatz zur Berechnung der Determinante beinhaltet eine völlig andere Formel. Gerne kannst du dich im Artikel "Determinante" dazu reinlesen. Auch zu "Matrizen" gibt es einen entsprechenden Artikel.

Aufgabe 2

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde einen No-Name-Artikel kauft, liegt bei 32 %. Wie viele der No-Name-Artikel werden im Durchschnitt verkauft?

Lösung

Gegeben hast du hier die Wahrscheinlichkeit $P (M \cap V) = 0, 32$ und aus der vorherigen Aufgabe weißt du, dass 60 % des Sortiments aus Markenartikeln bestehen, also ist $P (M) = 0, 4$ .

Setzt du diese Werte in den Multiplikationssatz ein und formst ihn um, erhältst du auf folgende Lösung:

$\begin{array}{rcl} P (M \cap V) & = & P (M) \cdot P_{M} (V) : P (M) \\ P_{M} (V) & = & \frac{P (M \cap V)}{P (M)} = \frac{0, 32}{0, 4} = 0, 8 \end{array}$

Es werden also 80 % der No-Name-Artikel verkauft.

Aufgabe 3

Wie viel des gesamten Sortiments wird nicht verkauft?

Laut dem Additionssatz darfst du voneinander unabhängige Wahrscheinlichkeiten addieren.

Lösung

Von den Markenartikeln bleiben 70 % liegen und von den No-Name-Artikeln 20 %. Das sind beides bedingte Wahrscheinlichkeiten. Du kannst hier also nicht einfach 70 % + 20 % rechnen.

Der richtige Rechenweg sieht so aus:

$P (V) = P (M \cap V) + P (M \cap V) P (V) = 0, 6 \cdot 0, 7 + 0, 4 \cdot 0, 2 = 0, 42 + 0, 08 = 0, 5 = 50 %$

Es werden also 50 % des gesamten Sortiments verkauft.

Multiplikationssatz - Das Wichtigste

Laut dem Multiplikationssatz darfst du voneinander abhängige Wahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auszurechnen. Die Formel lautet: $\begin{array}{rcl} P (A \cap B) & = & P_{B} (A) \cdot P (B) \end{array}$
Für stochastisch unabhängige Ereignisse und Laplace-Experimente kannst du die Formel vereinfachen: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$
Die Gültigkeit des Multiplikationssatzes kannst du entweder mit einem Baumdiagramm oder einer Vierfeldertafel beweisen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Multiplikationssatz

Den Multiplikationssatz kannst du in mehrstufigen Zufallsexperimenten anwenden, wenn du die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses wissen möchtest. Dazu multiplizierst du die einfachen oder bedingten Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse miteinander.

Den Multiplikationssatz wendest du an, wenn du 2 oder mehr Ereignisse mit "und" beziehungsweise dem Schnittmengenzeichen verbinden kannst. Der Additionssatz hilft dir, wenn du 2 oder mehr Ereignisse mit "oder" oder dem Vereinigungszeichen verbindest.

Der Multiplikationssatz sagt aus, dass du Wahrscheinlichkeiten, die du mit einem "und" verbinden kannst, miteinander multiplizieren darfst, um zur Endwahrscheinlichkeit zu gelangen.

Wahrscheinlichkeiten, die unter einer Bedingung stehen, kannst du nicht addieren, weil du sonst die ganze Wahrscheinlichkeit des Elementarereignisses erhalten würdest und nicht nur die gesuchte Schnittmenge aus 2 oder mehr Ereignissen.

Finales Multiplikationssatz Quiz

Multiplikationssatz Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Was ist der Unterschied zwischen einer bedingten und einer einfachen Wahrscheinlichkeit?

Antwort anzeigen

Antwort

Die einfache Wahrscheinlichkeit, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein elementares Ereignis eintritt. Beispielsweise, dass du eine 6 würfelst.

Eine bedingte Wahrscheinlichkeit hingegen hat die Voraussetzung, dass vorher ein anderes bestimmtes Ereignis eingetreten ist. Es steht also unter einer Bedingung.

Würdest du wissen wollen, wie wahrscheinlich es ist, nach der 6 nochmal eine 6 zu würfeln, ist diese Wahrscheinlichkeit bedingt.

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Frage

Wie kannst du die Formel für den speziellen Multiplikationssatz herleiten?

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Antwort

Um den speziellen Multiplikationssatz herzuleiten, musst du die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit umstellen.

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Frage

Was ist der Unterschied zwischen dem Multiplikationssatz und dem speziellen Multiplikationssatz?

Antwort anzeigen

Antwort

Den speziellen Multiplikationssatz brauchst du, wenn du mit bedingten Wahrscheinlichkeiten rechnest, den einfachen bei totalen Wahrscheinlichkeiten oder auch dem Laplace-Experiment. Im Prinzip funktioniert er aber genauso wie der einfache Multiplikationssatz.

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Frage

Kannst du den Multiplikationssatz auch bei einem Laplace-Experiment anwenden?

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Antwort

Ja, kannst du. Das Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment und daher gelten dieselben Regeln.

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Frage

Hast du den Beweis für die Richtigkeit des Multiplikationssatzes schon drauf?

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Antwort

Den Multiplikationssatz kannst du beweisen, indem du rechnerisch zeigst, dass das Ergebnis immer richtig ist. Am Ende müssen nämlich alle Wahrscheinlichkeiten zusammen immer 1 ergeben. Ist das der Fall, wenn du den Satz anwendest, hast du seine Richtigkeit bewiesen.

Frage anzeigen

Frage

Welche Hilfsmittel sind sinnvoll, wenn du den Multiplikationssatz beweisen willst?

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Antwort

Anhand eines Baumdiagramms kannst du gut sehen, wo welche Wahrscheinlichkeiten stehen und welche zusammen 1 ergeben müssen. Du kannst aber auch eine Vierfeldertafel nehmen, wenn dir das lieber ist.

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Frage

Thomas behauptet: "Wenn von 10 Hasen 2 weiße und 4 schwarze einen braunen Fleck haben, handelt es sich um stochastisch unabhängige Ereignisse.

Antwort anzeigen

Antwort

Das stimmt.

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Frage

In einem Gehege sind 10 Hasen. 4 davon sind weiß, der Rest ist schwarz. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein weißer Hase einen braunen Fleck hat, liegt bei 25%. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Hase weiß ist und keinen braunen Fleck hat?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Wahrscheinlichkeit für einen weißen Hasen ohne Fleck liegt bei 30%.

Frage anzeigen

Frage

In einem Gehege sind 10 Hasen. 4 davon sind weiß, der Rest ist schwarz. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein schwarzer Hase einen braunen Fleck hat, liegt bei 50%. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Hase schwarz ist und keinen braunen Fleck hat?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Wahrscheinlichkeit liegt bei 30%.

Frage anzeigen

Frage

Anhand welcher Tatsache kannst du den Multiplikationssatz beweisen?

Antwort anzeigen

Antwort

Alle Wahrscheinlichkeiten entweder einer hierarchischen Ebene im Baumdiagramm oder aller Felder der Vierfeldertafel müssen zusammen immer 1 ergeben. Wenn du also die Wahrscheinlichkeiten addierst, die du mit dem Multiplikationssatz errechnet hast, ergibt das 1. Somit ist die Gültigkeit des Satzes bewiesen.

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Frage

In einer Bäckerei gibt es heute Kuchen. Das Sortiment besteht jeweils zu einem Viertel aus Erdbeer-, Mandarinen, Apfel- und Schokokuchen. Die Stücke sind allerdings so klein, dass die Kunden meistens 2 Stücke kaufen.

Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Kunde einen Erdbeer- und einen Schokokuchen kauft?

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Antwort

Die Wahrscheinlichkeit liegt bei ca. 6,5%

Frage anzeigen

Frage

In einer Bäckerei gibt es heute Kuchen. Das Sortiment besteht jeweils zu einem Viertel aus Erdbeer-, Mandarinen, Apfel- und Schokokuchen. Es kommt ein Kunde, der 3 Stücke kauft.

Wie wahrscheinlich ist es, dass der Kunde einen Erdbeer-, Apfel- und Schokokuchen kauft?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Wahrscheinlichkeit liegt bei 1,6%.

Frage anzeigen

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