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Wahrscheinlichkeitsverteilung

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Wahrscheinlichkeitsverteilung

Stell Dir vor, Du und Deine Freunde sind auf einem Flohmarkt. Ihr entdeckt dort einen Tombola-Stand, der damit wirbt, dass es verschiedene Preise zu gewinnen gibt. In der Tombola befinden sich 100 Kugeln mit verschiedenen Farben, je seltener die Farbe in der Tombola vorkommt, umso besser wird der Preis. Um herauszufinden, wie wahrscheinlich welcher Preis ist, könnt ihr die Wahrscheinlichkeitsverteilung benutzen.

Wahrscheinlichkeitsverteilung Flaticon Mann mit Kugeln StudySmarter

Wahrscheinlichkeitsverteilung von X

Doch was genau bedeutet das, Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Um das zu verstehen, sollten Dir ein paar Begriffe bekannt sein:

  • Die Ergebnismenge ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments
  • Das Ergebnis ist eines der möglichen Ergebnisse der Ergebnismenge
  • Die Zufallsgröße oder auch Zufallsvariable genannt, ist eine Funktion, die jedem Ergebnis der Ergebnismenge eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet.

Auf diesen Erkenntnissen basiert dann folgende Definition der Wahrscheinlichkeitsverteilung:

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung W einer Zufallsgröße X weist jedem Wert (mit ) der Zufallsgröße X die Wahrscheinlichkeit zu.

Um die Begrifflichkeiten ein wenig zu vertiefen, kannst Du Dir folgendes Beispiel ansehen:

Du und Dein Freund wollt mit einem Münzwurf entscheiden, wer von Euch beiden das Essen bezahlt. Um es ein wenig interessanter zu machen, werft ihr dreimal, und wer zweimal verliert, muss bezahlen.

Wie groß sind Deine Chancen, nicht bezahlen zu müssen? Dafür gehst Du jetzt einmal das Zufallsexperiment aus Deiner Sicht durch.

1. Ergebnis:

Es wird jetzt dreimal geworfen, entsprechend gibt es 8 verschiedene Ergebnisse:

Fall
1
2
3
4
5
6
7
8
1 1 1
1 1 0
1 0 1
0 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0

2. Ergebnismenge:

Die Ergebnismenge wäre dann in diesem Fall:

3. Zufallsgröße und Wert:

Am Anfang haben Du und Dein Freund festgelegt, dass der Gesamtsieger derjenige ist, der zwei Münzwürfe gewinnt. Du kannst mit dieser Information jetzt die einzelnen Ergebnisse entweder dem Wert 1 für einen Gesamtsieg oder dem Wert 0 für eine Gesamtniederlage zuordnen.

Diese Zuordnung ist die Zufallsgröße.

Fall
1
2
3
4
5
6
7
8
1 1 1
1 1 0
1 0 1
0 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
1
1
1
1
0
0
0
0

4. Wahrscheinlichkeitsverteilung

Jetzt fehlt nur noch die Wahrscheinlichkeitsverteilung

Dafür musst Du jetzt die Wahrscheinlichkeit Deiner jeweiligen Werte berechnen. Beide Werte können jeweils in 4, also der Hälfte der Fälle erreicht werden.

In der Tabelle ergibt das dann:


Fall
1
2
3
4
5
6
7
8
1 1 1
1 1 0
1 0 1
0 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
1
1
1
1
0
0
0
0
Fazit:Ihr habt beide eine 50/50 Chance, nicht bezahlen zu müssen!

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung findest Du in der Stochastik unter der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Diese Wahrscheinlichkeitsrechnung basiert auf drei grundlegenden Aussagen – den Axiomen von Kolmogorow.

Wahrscheinlichkeitsverteilung – Axiome von Kolmogorow

Das Modell von Kolmogorow besitzt drei Axiome – so heißen die Grundsätze einer Theorie –, die die grundlegenden Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeit beschreiben, auf denen die gesamte Wahrscheinlichkeitsrechnung und daher die Wahrscheinlichkeitsverteilung beruht.

Seien die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments, A und B Teilmengen von Ω und P eine Funktion, die jedem A eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 zuordnet.

P(A) wird Wahrscheinlichkeit genannt, falls folgende drei Bedingungen (Axiome) erfüllt werden:

Diese Bedingung besagt, dass jede Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen einer Teilmenge von Ω (Ereignis) nicht negativ ist. Man nennt diese Eigenschaft daher auch: Nichtnegativität.

Das zweite Axiom bringt eine weitere Eingrenzung des Wertebereichs von der Funktion P.

Mit Axiom 1 und 2 darf P(A) mit beliebigem A minimal Wert 0 und maximal Wert 1 annehmen.

Dies bedeutet also, dass für kein Ergebnis beide Ereignisse erfüllt werden. A und B nennt man in diesem Fall auch disjunkt.

Wenn Du mehr über die Axiome erfahren möchtest, dann schau Dir doch die Erklärung Axiome von Kolmogorow an.

Da die Axiome von Kolmogorow die Grundlage für die Wahrscheinlichkeitsrechnung bildet, richten sich auch alle Unterteilungen der Wahrscheinlichkeitsverteilung nach diesen Prinzipien.

Wahrscheinlichkeitsverteilung – Diskrete und stetige Zufallsvariable

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung wird in zwei Arten unterteilt, die diskrete und die stetige Zufallsvariable. Diese sind dann jeweils noch mehrmals in verschiedene Kategorien unterteilt. Da es sich bei den Wahrscheinlichkeitsverteilungen um Funktionen handelt, gibt es immer einen Funktionswert und einen x-Wert.

Diskrete Zufallsvariable

Die Diskrete Zufallsvariable zeichnet sich dadurch aus, dass sie eine begrenzte, abzählbare Anzahl an möglichen Ausprägungen hat. Beispiele dafür sind der Münz- oder Würfelwurf. Beide haben nur eine begrenzte Anzahl an möglichen Ausprägungen, der Münzwurf hat zum Beispiel zwei und der Würfelwurf hat dafür 6 Ausprägungen.

Das Wort Ausprägungen ist in diesem Fall ein anderes Wort für die verschiedenen Ergebnismöglichkeiten, also Ergebnisse, die bereits weiter oben definiert wurden.

Die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen.

Stetige Zufallsvariable

Die stetige Zufallsvariable dagegen hat eine unbegrenzte Anzahl an möglichen Ausprägungen. Als Beispiel kannst Du dafür die Haarlänge nehmen. Theoretisch könntest Du sagen, dass es von keinen Haaren, bis zu den weltweit längsten Haaren eine begrenzte Anzahl an Zentimetern gibt. Jedoch, wenn Du die Länge in immer genaueren Einheiten angeben würdest, hättest Du unendlich viele verschiedene Haarlängen auf der Welt, zumal es keine festgelegte Grenze für das Haarwachstum gibt.

Die stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariablen.

Wahrscheinlichkeitsfunktion – Dichtefunktion

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist eine Art der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Wenn die Wahrscheinlichkeitsfunktion gleichzeitig auch stetig ist, wird sie Dichtefunktion genannt.

Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion wird es auch wirklich nur dann genannt, wenn es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt.

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Bei der Wahrscheinlichkeitsfunktion wird die Wahrscheinlichkeit immer nur für einen bestimmten Wert oder eine bestimmte Ausprägung dargestellt. In dem Beispiel eines Würfels werden zum Beispiel nur die Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, oder 6 gezeigt.

Bei der Wahrscheinlichkeitsfunktion kannst Du Dir merken, dass die Funktion immer wie folgt aussieht:

Für den Würfelwurf würde das tabellarisch zum Beispiel so aussehen:

(Augenzahlen)
1
2
3
4
5
6
In einem Graphen umgesetzt, kannst Du deutlich den Unterschied zu den folgenden Kategorien sehen:

Wahrscheinlichkeitsverteilung Graph Wahrscheinlichkeitsfunktion StudySmarterAbbildung 1: Graph Wahrscheinlichkeitsfunktion

Dichtefunktion

Die Dichtefunktion ist das Äquivalent der Wahrscheinlichkeitsfunktion, mit dem Unterschied, dass es sich um eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt. Hier kannst Du unter anderem Fälle, wie die menschliche Haarlänge, darstellen.

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse ist in einem Zufallsexperiment immer gleich 1. In einer stetigen Zufallsverteilung muss die 1 auf unendlich viele Ausprägungen verteilt werden. Das führt dazu, dass die Wahrscheinlichkeit für eine einzelne Ausprägung praktisch gegen 0 geht. Ebendarum lässt sich in der Dichtefunktion nicht die Wahrscheinlichkeit einer einzelnen Ausprägung ableiten. Um aber trotzdem an ein Ergebnis zu gelangen, kannst Du über mehrere Ausprägungen hinweg integrieren und erhältst so die Wahrscheinlichkeit für diese Menge an Ausprägungen.

Bei der Wahrscheinlichkeitsfunktion kannst Du Dir merken, dass die Funktion immer wie folgt aussieht:

und

Ein bekanntes Beispiel für eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Körpergröße, in einer Dichtefunktion sieht das dann so aus:

Wahrscheinlichkeitsverteilung Graph Dichtefunktion StudySmarterAbbildung 3: Graph Dichtefunktion

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion gibt es sowohl als stetige als auch diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Man nennt sie auch kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung, da die Wahrscheinlichkeiten aufsummiert werden.

Diskrete Verteilungsfunktion

Bei der Verteilungsfunktion werden die Wahrscheinlichkeiten mehrerer Ausprägungen aufsummiert und dargestellt. Charakteristisch für die Verteilungsfunktion diskreter Zufallsvariablen ist die Stufenform, wie Du sie unten im Beispiel erkennen kannst.

Bei der diskreten Verteilungsfunktion kannst Du Dir merken, dass die Funktion immer so aussieht:

Deine Tabelle könnte in diesem Fall so aussehen:

(Augenzahlen)
0
1

Oder in einem Graphen:

Wahrscheinlichkeitsverteilung Graph Verteilungsfunktion StudySmarterAbbildung 2: Graph Verteilungsfunktion

Stetige Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion der stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung ist wiederum das Analog zur Verteilungsfunktion der diskreten Wahrscheinlichkeitsfunktion. Hier kannst Du die Wahrscheinlichkeit wieder direkt ablesen, da der Graph Dir jeweils sagt, wie wahrscheinlich es ist, diese Körpergröße oder eine niedrigere zu erreichen.

Bei der stetigen Verteilungsfunktion kannst Du Dir merken, dass die Funktion immer wie folgt aussieht:

Für das Beispiel der Körpergröße würdest Du dann zum Beispiel so einen Graphen erhalten:

Wahrscheinlichkeitsverteilung Graph Verteilungsfunktion StudySmarterAbbildung 4: stetige Verteilungsfunktion

Wahrscheinlichkeitsverteilung – Rechenbeispiele

In den folgenden Beispielen kannst Du üben, die einzelnen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auseinanderzuhalten.

Aufgabe 1

Entscheide anhand der gegebenen Fragestellung, ob es sich um eine diskrete oder stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt.

Im Sportunterricht übt Deine Klasse den Weitsprung, wie wahrscheinlich ist es, dass Du genau zwei Meter weit springst?

Lösung

In diesem Beispiel handelt es sich um eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Theoretisch ist es möglich, unendlich viele Strecken weit zu springen, da die Distanz mit immer größerer Genauigkeit bemessen werden könnte.

Aufgabe 2

Entscheide, bei welchem der beiden folgenden Fragestellungen es sich um eine Wahrscheinlichkeitsfunktion handelt.

a)

In einem Sack befinden sich 3 gelbe, 2 blaue und eine grüne Murmel, mit welcher Wahrscheinlichkeit ziehst Du die jeweiligen Farben?

b)

Du ziehst ohne zu schauen einen Zettel aus einer Box, wo die Nummern 1 bis 10 auf Zettel geschrieben sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Du mindestens eine, höchstens eine Sieben ziehst?

Lösung

Die Fragestellung a) ist eine Wahrscheinlichkeitsfunktion, da Du die Wahrscheinlichkeit für jeweils ein Ergebnis berechnest und es nur genau 10 verschiedene Murmeln gibt.

Die Fragestellung b) dagegen handelt es sich um eine diskrete Verteilungsfunktion, das erkennst Du daran, dass Du zwar genauso wie in a) eine abzählbare Menge an Ergebnissen hast, hier aber die Wahrscheinlichkeiten bis zu einem bestimmten Ergebnis aufsummiert werden.

Aufgabe 3

Entscheide anhand der folgenden Fragestellung, ob es sich um eine diskrete oder stetige Verteilungsfunktion handelt.

Du pflanzt Dir Anfang des Jahres eine Avocadopflanze, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Avocadopflanze, am Ende des Jahres höchstens 15 Zentimeter hoch gewachsen ist?

Lösung

Es handelt sich um eine stetige Verteilungsfunktion, da die Pflanze theoretisch unendlich viele Höhen am Ende des Jahres erreicht haben kann. Das liegt daran, dass die Höhe mit immer größerer Genauigkeit bemessen werden könnte.

Wahrscheinlichkeitsverteilung – Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die Ergebnismenge ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments
  • Das Ergebnis ist eines der möglichen Ergebnisse der Ergebnismenge
  • Die Zufallsgröße oder auch Zufallsvariable genannt, ist eine Funktion, die jedem Ergebnis der Ergebnismenge eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet.
  • Die Wahrscheinlichkeitsverteilung W einer Zufallsgröße X weist jedem Wert (mit ) der Zufallsgröße X die Wahrscheinlichkeit zu.
  • Das Modell von Kolmogorow mit drei Axiomen beschreibt bloß die grundlegenden Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeit. Du kannst aber innerhalb dieser Eigenschaften noch zwischen verschiedenen Realisierungen von Wahrscheinlichkeit unterscheiden. Die Axiome lauten:
  • Die Diskrete Zufallsvariable zeichnet sich dadurch aus, dass sie eine begrenzte, abzählbar Anzahl an möglichen Ausprägungen hat, es wird zwischen Wahrscheinlichkeitsfunktion und diskreter Verteilungsfunktion unterschieden
    • Bei der Wahrscheinlichkeitsfunktion wird die Wahrscheinlichkeit immer nur für einen bestimmten Wert oder eine bestimmte Ausprägung dargestellt, mit der Form
    • Bei der diskreten Verteilungsfunktion werden stattdessen die Wahrscheinlichkeiten mehrerer Ausprägungen aufsummiert und dargestellt. Charakteristisch für die Verteilungsfunktion diskreter Zufallsvariablen ist die Stufenform, mit der Form
  • Die stetige Zufallsvariable dagegen hat eine unbegrenzte Anzahl an möglichen Ausprägungen, es wird zwischen Dichtefunktion und stetiger Verteilungsfunktion unterschieden
    • Die Dichtefunktion ist das Äquivalent der Wahrscheinlichkeitsfunktion, mit dem Unterschied, dass es sich um eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt, mit der Form und
    • Die Verteilungsfunktion der stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung ist wiederum analog zur Verteilungsfunktion der diskreten Wahrscheinlichkeitsfunktion, mit der Form

Nachweise

  1. Ulrich Krengel (2005). Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Springer
  2. Hans-Otto Georgii (2009). Einführung Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. de Gruyter
  3. David Meintrup (2005). Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer

Häufig gestellte Fragen zum Thema Wahrscheinlichkeitsverteilung

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann in Tabellen oder Graphen angegeben werden, grundsätzlich muss bei der Angabe von der Wahrscheinlichkeitsverteilung jedem möglichen Ergebnis auf eine Weise die jeweilige Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden.

Die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung benutzt Du, wenn Du eine feste, abzählbare Menge an möglichen Ergebnissen hast, unter anderem die zwei Seiten einer Münze. Die steige Wahrscheinlichkeitsverteilung benutzt Du, wenn Du unendlich viele mögliche Ergebnisse hast, etwa Größen und Längenangaben, die unendlich klein genau gemessen werden können.

Um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt es sich, wenn Du für die verschiedenen Ergebnisse eines Zufallsexperiments jeweils eine Wahrscheinlichkeit gegeben hast.

Die kumulierte Wahrscheinlichkeit, ist die Wahrscheinlichkeit, die Du zum Beispiel in der Verteilungsfunktion berechnest und ist die Summe mehrerer Wahrscheinlichkeiten.

Finales Wahrscheinlichkeitsverteilung Quiz

Frage

Was ist die Ergebnismenge ?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Ergebnismenge ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments

Frage anzeigen

Frage

Was ist das Ergebnis ?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Ergebnis ist eines der möglichen Ergebnisse der Ergebnismenge

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Zufallsgröße?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Zufallsgröße oder auch Zufallsvariable genannt, ist eine Funktion , die jedem Ergebnis  der Ergebnismenge  eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl  zuordnet

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung W?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung W einer Zufallsgröße X weist jedem Wert  (mit ) der Zufallsgröße X die Wahrscheinlichkeit  zu

Frage anzeigen

Frage

Wodurch zeichnet sich eine diskrete Zufallsvariable aus?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Diskrete Zufallsvariable zeichnet sich dadurch aus, dass sie eine begrenzte, abzählbar Anzahl an möglichen Ausprägungen hat.

Frage anzeigen

Frage

Welche zwei Typen von diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt die Wahrscheinlichkeitsfunktion und diskrete Verteilungsfunktion.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe die Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei der Wahrscheinlichkeitsfunktion wird die Wahrscheinlichkeit immer nur für einen bestimmten Wert oder eine bestimmte Ausprägung dargestellt, mit der Form .

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe die Verteilungsfunktion.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei der Verteilungsfunktion werden stattdessen die Wahrscheinlichkeiten mehrerer Ausprägungen aufsummiert und dargestellt. Charakteristisch für die Verteilungsfunktion diskreter Zufallsvariablen ist die Stufenform, mit der Form .

Frage anzeigen

Frage

Wodurch zeichnet sich eine stetige Zufallsvariable aus?

Antwort anzeigen

Antwort

Die stetige Zufallsvariable dagegen hat eine unbegrenzte Anzahl an möglichen Ausprägungen.

Frage anzeigen

Frage

Welche zwei Typen von stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt die Dichtefunktion und die stetige Verteilungsfunktion.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe die Dichtefunktion.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Dichtefunktion ist das Äquivalent der Wahrscheinlichkeitsfunktion, mit dem Unterschied, dass es sich um eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt, mit der Form .

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe die stetige Verteilungsfunktion.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei der stetigen Verteilungsfunktion werden die Wahrscheinlichkeiten mehrerer Ausprägungen aufsummiert und dargestellt. Charakteristisch für die Verteilungsfunktion diskreter Zufallsvariablen ist die Stufenform, mit der Form .

Frage anzeigen

Frage

Handelt es sich bei folgender Fragestellung um eine diskrete oder stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung?


Du schneidest eine Möhre in der Mitte durch, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der kleinere Teil weniger als 20 Gramm wiegt.

Antwort anzeigen

Antwort

Es handelt sich hier um eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, da die Karotte unendlich genau gewogen werden könnte.

Frage anzeigen

Frage

Handelt es sich bei folgender Fragestellung um eine diskrete oder stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung?


Du hast eine Kiste mit 20 Äpfeln, von denen einer bereits braune Stellen hat. Wie wahrscheinlich ist es, dass Du beim Reingreifen ohne hinzusehen den schlechten Apfel erwischst?

Antwort anzeigen

Antwort

Es handelt es sich hier um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, da die Äpfel die endlich abgezählte Menge 20 besitzen.

Frage anzeigen

Frage

Um welche Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt es sich bei folgendem Graphen?


Antwort anzeigen

Antwort

Es handelt sich um eine diskrete Verteilungsnussfunktion. Erkennen kannst Du das daran, dass der Graph nicht durchgehend, also nicht stetig ist und eine Stufenform aufweist.

Frage anzeigen

Frage

Was beschreiben die Axiome von Kolmogorow?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Modell von Kolmogorow mit drei Axiomen beschreibt bloß die grundlegenden Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeit. Du kannst aber innerhalb dieser Eigenschaften noch zwischen verschiedenen Realisierungen von Wahrscheinlichkeit unterscheiden.

Frage anzeigen

Frage

Welches sind die drei Axiome von Kolmogorow?

Antwort anzeigen

Antwort

Die drei Axiome von Kolmogorow lauten:


Frage anzeigen

Frage

Was lässt sich mithilfe des Wahrscheinlichkeitsraums bestimmen?

Antwort anzeigen

Antwort

Mithilfe eines Wahrscheinlichkeitsraumes lässt sich jedes beliebige Ereignis des Experiments die Wahrscheinlichkeiten bestimmen.


Frage anzeigen

Frage

Aus welchen Elementen besteht der Wahrscheinlichkeitsraum?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Wahrscheinlichkeitsraum  besteht aus drei Elementen, der Ergebnismenge , der zugehörige Sigma-Algebra  und der Wahrscheinlichkeit (auch Wahrscheinlichkeitsmaß) .

Frage anzeigen

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