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Normalverteilung

Normalverteilung

Die Körpergröße oder Intelligenz aller Menschen ist annähernd normalverteilt. Das bedeutet, dass sie einer bestimmten Verteilung unterliegt und die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mensch eine bestimmte Größe erreicht, berechnet werden kann.

In dieser Erklärung erfährst Du alles Wichtige über die gaußsche Normalverteilung in der Statistik. Du lernst die Definition der Normalverteilung kennen sowie die Varianz und den Erwartungswert. Außerdem findest Du hier Beispiele und Aufgaben zur Normalverteilung.

Normalverteilung Statistik Grundwissen

Die Normalverteilung gehört zu den stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine Funktion, die jedem Wert \(x\) einer Zufallsgröße \(X\) eine Wahrscheinlichkeit \(P(X=x)\) zuordnet.

Eine Zufallsgröße ist dabei ebenfalls eine Funktion \(X\), die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet.

Alles Wichtige zu Wahrscheinlichkeitsverteilungen findest Du in der Erklärung Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Gaußsche Normalverteilung – Definition

Die Normalverteilung wird manchmal auch als Gauß-Verteilung oder Glockenkurve bezeichnet. Sie ist eine der wichtigsten Verteilungen in der Statistik.

Die Normalverteilung wird verwendet, um Häufigkeiten von Daten und Beobachtungen darzustellen.

Einen Wert einer beliebigen Normalverteilung bezeichnest Du immer mit \(X\).

Fast jeder Mittelwert einer beliebigen stetigen Verteilung liegt auf dieser Glockenkurve. Diese Besonderheit ist auch als zentraler Grenzwertsatz bekannt.

Dichtefunktion Normalverteilung – Formel, Varianz, Erwartungswert

Der Name „Glockenkurve“ für die Normalverteilung kommt daher, dass der Graph ihrer Funktion, der sogenannten Dichtefunktion, die Form einer Glocke besitzt.

Die Dichtefunktion der gaußschen Normalverteilung besitzt die Form einer Glocke. Ihre Formel lautet: \[f(X)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left( \frac{X-\mu}{\sigma}\right)^2}\] Dabei ist

  • \(X\) die Zufallsgröße,

  • \(\mu \in \mathbb{R}\) der Erwartungswert,

  • \(\sigma^2 > 0\) die Varianz. Die Wurzel der Varianz ist die Standardabweichung \(\sigma\).

Die gaußsche Normalverteilung wird daher auch mit \[N(\mu,\sigma^2)\] bezeichnet.

Im Koordinatensystem sieht die Dichtefunktion wie folgt aus:

Normalverteilung Glockenkurve StudySmarterAbb. 1 – Glockenkurve Normalverteilung

Verändert sich der Erwartungswert \(\mu\), so wird die Kurve nach rechts oder links verschoben, denn er bildet das Maximum der Kurve. Verändert sich die Varianz \(\sigma^2\), so wird die Kurve gestreckt oder gestaucht. Je größer Sigma ist, desto gestauchter ist die Funktion.

Normalverteilung gestreckte Glockenkurve StudySmarterAbb. 2 – Verschobene und gestreckte Glockenkurve

Eine Dichtefunktion der gaußschen Normalverteilung hat folgende Eigenschaften:

  • Sie ist symmetrisch zur Symmetrieachse \(y=\mu\)

  • Sie wird nie 0

  • Sie ist unimodal, besitzt also ein eindeutiges Maximum im Erwartungswert μ

  • Ihre Ableitung ist positiv für \(X < \mu\) und negativ für \(X > \mu\)

  • Sie ist stetig und deshalb von \(-\infty\) bis \(\infty\) definiert

  • Sie besitzt genau zwei Wendestellen: Diese sind genau eine Standardabweichung vom Erwartungswert \(\mu\) entfernt: \(X_1= \mu – \sigma\), \(X_2 = \mu + \sigma\)

Verteilungsfunktion – Normalverteilung

Die Verteilungsfunktion ist im Vergleich zur Dichtefunktion etwas komplizierter.

Eine Verteilungsfunktion beschreibt die Fläche, die die Dichtefunktion mit der \(x\)-Achse einschließt. Sie wird daher mit einem Integral beschrieben: \[F(X)=\int_{-\infty}^t{\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left( \frac{X-\mu}{\sigma}\right)^2}}dt\]

Das Rechnen mit der Verteilungsfunktion ist allerdings so kompliziert, dass selbst der Taschenrechner für das Lösen nicht ausreicht. Daher gibt es sogenannte Verteilungstabellen, an denen die Lösungen abgelesen werden können.

Verteilungsfunktion – Standardnormalverteilung

Da es unendlich viele Normalverteilungen gibt und für jede eine eigene Verteilungstabelle nötig wäre, gibt es die sogenannte Standardnormalverteilung.

Die Standardnormalverteilung \(N(0,1)\) besitzt den Erwartungswert \(\mu=0\) und die Varianz \(\sigma^2=1\). Damit vereinfacht sich die obige Formel zu \[\phi(x)=\frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}x^2}.\]

Einen Wert der Standardnormalverteilung bezeichnest Du immer mit \(Z\).

Jede Normalverteilung kann in Standardnormalverteilung umgewandelt werden. Dazu ziehst Du zuerst den Erwartungswert \(\mu\) ab und teilst dann durch die Standardabweichung \(\sigma\).

Um eine Normalverteilung in die Standardnormalverteilung zu transformieren, befolgst Du folgende Schritte:

  1. Berechne \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\).
  2. Setze \(Z\) in die Funktion der Standardnormalverteilung ein: \(F(X)=\phi\left(Z\right)\)

Beachte: Die Verteilungstabellen enthalten nur positive Werte. Daher gilt: \[\phi(-Z)=1-\phi(Z)\]

Verteilungstabelle der Standardnormalverteilung

Die folgende Verteilungstabelle dient dazu, die Werte der Standardnormalverteilung abzulesen. Nachdem Du Deine Werte standardisiert und bestimmt hast, kannst Du in der Tabelle die zugehörige Wahrscheinlichkeit ablesen. Dabei ist es wichtig zu beachten, dass die ersten zwei Ziffern in der ersten Spalte und die zweite Nachkommastelle in der ersten Zeile dargestellt sind.

Z / Φ(Z)00,010,020,030,040,050,060,070,080,09
00,50,503990,507980,511970,515950,519940,523920,52790,531880,53586
0,10,539830,54380,547760,551720,555670,559620,563560,567490,571420,57535
0,20,579260,583170,587060,590950,594830,598710,602570,6064206,10260,61409
0,30,617910,621720,625520,62930,633070,636830,640580,644310,648030,65173
0,40,655420,65910,662760,66640,670030,673640,677240,680820,684390,68793
0,50,691460,694970,698470,701940,70540,708840,712260,715660,719040,7224
0,60,725750,729070,732370,735650,738910,742150,745370,748570,751750,7549
0,70,758040,761150,764240,76730,770350,773370,776370,779350,78230,78524
0,80,788140,791030,793890,796730,799550,802340,805110,807850,810570,81327
0,90,815940,818590,821210,823810,826390,828940,831470,833980,836460,83891
1,00,841340,843750,846140,848490,850830,853140,855430,857690,859930,86214
1,10,864330,86650,868640,870760,872860,874930,876980,8790,8810,88298
1,20,884930,886860,888770,890650,892510,894350,896170,897960,899730,90147
1,30,90320,90490,906580,908240,909880,911490,913090,914660,916210,91774
1,40,919240,920730,92220,923640,925070,926470,927850,929220,930560,93189
1,50,933190,934480,935740,936990,938220,939430,940620,941790,942950,94408
1,60,94520,94630,947380,948450,94950,950530,951540,952540,953520,95449
1,70,955430,956370,957280,958180,959070,959940,96080,961640,962460,96327
1,80,964070,964850,965620,966380,967120,967840,968560,969260,969950,97062
1,90,971280,971930,972570,97320,973810,974410,9750,975580,976150,9767
2,00,977250,977780,978310,978820,979320,979820,98030,980770,981240,98169
2,10,982140,982570,9830,983410,983820,984220,984610,9850,985370,98574
2,20,98610,986450,986790,987130,987450,987780,988090,98840,98870,98899
2,30,989280,989560,989830,99010,990360,990610,990860,991110,991340,99158
2,40,99180,992020,992240,992450,992660,992860,993050,993240,993430,99361
2,50,993790,993960,994130,99430,994460,994610,994770,994920,995060,9952
2,60,995340,995470,99560,995730,995850,995980,996090,996210,996320,99643
2,70,996530,996640,996740,996830,996930,997020,997110,99720,997280,99736
2,80,997440,997520,99760,997670,997740,997810,997880,997950,998010,99807
2,90,998130,998190,998250,998310,998360,998410,998460,998510,998560,99861
3,00,998650,998690,998740,998780,998820,998860,998890,998930,998960,999
3,10,999030,999060,99910,999130,999160,999180,999210,999240,999260,99929
3,20,999310,999340,999360,999380,99940,999420,999440,999460,999480,9995
3,30,999520,999530,999550,999570,999580,99960,999610,999620,999640,99965
3,40,999660,999680,999690,99970,999710,999720,999730,999740,999750,99976
3,50,999770,999780,999780,999790,99980,999810,999810,999820,999830,99983
3,60,999840,999850,999850,999860,999860,999870,999870,999880,999880,99989
3,70,999890,99990,99990,99990,999910,999910,999920,999920,999920,99992
3,80,999930,999930,999930,999940,999940,999940,999940,999950,999950,99995
3,90,999950,999950,999960,999960,999960,999960,999960,999960,999970,99997
4,00,999970,999970,999970,999970,999970,999970,999980,999980,999980,99998

Normalverteilung – Beispiele

Das war sehr viel Theorie. Damit Dir auch die Anwendung klar wird, kannst Du Dir das folgende Beispiel ansehen.

Die Körpergröße eines Mannes ist normalverteilt. Die Durchschnittsgröße liegt bei \(170\, \text{cm}\) und die Standardabweichung bei \(10 \, \text{cm}\).

Damit ist \(\mu=170\) und \(\sigma=10\).

Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein zufällig ausgewählter Mann zwischen \(160 \, \text{cm}\) und \(180 \, \text{cm}\) groß ist.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit \[P(160<X<180)\] Diese berechnet sich durch \[P(160<X<180)=F(180)-F(160)\] Zur weiteren Berechnung ist nun also die Transformation in die Standardnormalverteilung notwendig.

Zuerst berechnest Du \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\) für beide Grenzen: \begin{align}Z_1&=\frac{180-170}{10}=1 \\[0.1cm] Z_2&=\frac{160-170}{10}=-1 \end{align}

Da \(F(X)=\phi(Z)\) gilt, gilt also \begin{align}P(160<X<180)&=F(180)-F(160) \\[0.1cm] &=\phi(Z_1)-\phi(Z_2) \\[0.1cm] &=\phi(1)-\phi(-1) \\[0.1cm] &=\phi(1)-(1-\phi(1))\end{align}

In der Verteilungstabelle kann nun der Wert von \(\phi(1)\) abgelesen werden: \[\phi(1)=\text{0,84134}\]

Diesen setzt Du nun ein und erhältst: \begin{align}P(160<X<180)&=\phi(1)-(1-\phi(1)) \\[0.1cm] &= \text{0,84134}-(1-\text{0,84134}) \\[0.1cm] &= \text{0,68268} \\[0.1cm] &\approx \text{68,27}\, \% \end{align}

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Mann zwischen \(160 \, \text{cm}\) und \(180 \, \text{cm}\) groß ist, beträgt damit ca. \(\text{68,27}\, \%\).

Normalverteilung – Aufgaben

Und jetzt bist Du dran! Teste Dein Wissen über Normalverteilungen anhand der folgenden Aufgaben.

Aufgabe 1

Der Intelligenzquotient (IQ) ist ebenfalls eine normalverteilte Zufallsvariable. Der Erwartungswert beträgt dabei \(\mu=100\). Die Dichtefunktion ist mit ihrem Hochpunkt \(H\) und zwei Wendepunkten \(W_1\) und \(W_2\) in der folgenden Abbildung dargestellt.

Normalverteilung Aufgabe 1 StudySmarterAbb. 3 - Aufgabe 1.

Berechne den Wert für die Standardabweichung anhand der Abbildung.

Lösung

Die Wendestellen der Dichtefunktion einer Normalverteilung besitzt genau zwei Wendestellen. Diese sind genau eine Standardabweichung \(\sigma\) vom Erwartungswert \(\mu\) entfernt: \[x_1= \mu – \sigma, \,x_2 = \mu + \sigma\]

Die Wendestellen sind hier ablesbar \(x_1=85\) und \(x_2=115\) und der Erwartungswert ist bekannt: \(\mu=100\). Setze dies ein und forme nach \(\sigma\) um: \begin{align} 85&= 100 – \sigma &&|+\sigma \\[0.1cm]85+\sigma&=100 &&|-85 \\[0.1cm] \sigma&=15\end{align}

Die Standardabweichung ist also \(\sigma=15\).

Aufgabe 2

Die durchschnittliche Schlafdauer eines Erwachsenen Menschen ist normalverteilt mit dem Erwartungswert \(\mu = 7{,}5 \, \text{h}\) und der Standardabweichung \(\sigma=\text{0,9}\).

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Erwachsener weniger als \(6 \, \text{h}\) schläft.

Lösung

Gesucht ist hier die Wahrscheinlichkeit \[P(X<6)\]. Diese berechnet sich durch \[P(X<6)=F(6)\]. Zur weiteren Berechnung ist nun also die Transformation in die Standardnormalverteilung notwendig.

Zuerst berechnest Du die obere Grenze \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\):

\begin{align}Z_1&=\frac{6-\text{7,5}}{\text{0,9}}\approx \text{1,67} \end{align}

Da \(F(X)=\phi(Z)\) gilt, gilt also

\begin{align}P(X<6)&=F(6) \\[0.1cm] &=\phi(Z) \\[0.1cm] &=\phi(-\text{1,67}) \\[0.1cm] &=1-\phi(\text{1,67})\end{align}

In der Verteilungstabelle kann nun der Wert von \(\phi(\text{1,67})\) abgelesen werden:

\[\phi(\text{1,67})=\text{0,95254}\]

Diesen setzt Du nun ein und erhältst:

\begin{align}P(X<6)&=\phi(1)-(1-\phi(1)) \\[0.1cm] &= 1-\text{0,95254}) \\[0.1cm] &= \text{0,04746}\, \\[0.1cm] &= \text{4,75}\% \end{align}

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein erwachsener Mensch weniger als zwischen \(6 \, \text{h}\) schläft, beträgt also ca. \(\text{4,75}\, \%\).

Aufgabe 3

Die Brenndauer eines Teelichts ist normalverteilt und beträgt \(\mu=40 \, \text{min}\) mit einer Standardabweichung von \(\sigma=7\).

Berechne die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das Teelicht zwischen \(35 \, \text{min}\) und \(45 \, \text{min}\) Minuten brennt.

Lösung

Gesucht ist hier \(P(35\leq X \leq 45)=F(45)-F(35)\).

Zunächst sollte die gaußsche Verteilung mit der entsprechenden Formel standardisiert und vereinfacht werden:

\begin{align}Z_1&=\frac{45-40}{7}\approx \text{0,71} \\[0.1cm] Z_2&=\frac{35-40}{7}\approx \text{-0,71} \end{align}

Da \(F(X)=\phi(Z)\) gilt, gilt also

\begin{align}P(35<X<45)&=F(45)-F(35) \\[0.1cm] &=\phi(Z_1)-\phi(Z_2) \\[0.1cm] &=\phi(\text{0,71})-\phi(-\text{0,71}) \\[0.1cm] &=\phi(\text{0,71})-(1-\phi(\text{0,71}))\end{align}

Lies nun in der Verteilungstabelle den Wert für

\(\phi(\text{0,71})\) ab: \[\phi(\text{0,71})=\text{0,76115}\]

Setze ihn oben ein und Du erhältst

\begin{align}P(35<X<45)&=\phi(\text{0,71})-(1-\phi(\text{0,71})) \\[0.1cm] &= \text{0,76115}-(1-\text{0,76115}) \\[0.1cm] &=0,5223 \end{align}

Die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das Teelicht zwischen \(35 \, \text{min}\) und \(45 \, \text{min}\) brennt, beträgt also \(\text{52,23}\%\).

Normalverteilung – Das Wichtigste

  • Die Normalverteilung wird verwendet, um Häufigkeiten von Daten und Beobachtungen darzustellen. Einen Wert einer beliebigen Normalverteilung bezeichnest Du mit \(X\).
  • Die Dichtefunktion der gaußschen Normalverteilung lautet: \[f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left( \frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\] mit
  • Die Standardnormalverteilung \(N(0,1)\) besitzt den Erwartungswert \(\mu=0\) und die Varianz \(\sigma^2=1\). Ihre Verteilungsfunktion lautet \[\phi(x)=\frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}x^2}.\]

  • Um eine Normalverteilung in die Standardnormalverteilung zu transformieren, berechnest Du \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\) und setzt \(F(X)=\phi(Z)\).

Häufig gestellte Fragen zum Thema Normalverteilung

Die Normalverteilung sagt aus, dass Zweidrittel aller Messwerte innerhalb der Entfernung einer Standardabweichung zum Mittelwert liegen.

Die Normalverteilung wird verwendet, um Häufigkeiten von Daten und Beobachtungen darzustellen.

Um herauszufinden, ob Daten normalverteilt sind, kannst Du einige Tests, wie beispielsweise den Kolmogorov-Smirnov Test oder den Anderson Darling Test, durchführen. 

Du testest auf Normalverteilung, wenn Du die Häufigkeit von Daten und Beobachtungen darstellen willst.

Finales Normalverteilung Quiz

Frage

Entscheide, welche der folgenden Größen nicht normalverteilt ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Intelligenz der Menschen

Frage anzeigen

Frage

Fülle den Lückentext:


Die Normalverteilung gehört zu den _______ Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Antwort anzeigen

Antwort

stetigen

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, wie die Normalverteilung noch genannt werden kann.

Antwort anzeigen

Antwort

Binomialverteilung

Frage anzeigen

Frage

Bewerte die folgende Aussage;


Die Normalverteilung wird verwendet, um Häufigkeiten von Daten und Beobachtungen darzustellen. 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist wahr.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, welche Besonderheit auch als zentraler Grenzwertsatz bekannt ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Fast jeder Mittelwert einer beliebigen stetigen Verteilung liegt auf der Glockenkurve der Normalverteilung.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, woher der Name „Glockenkurve“ der Normalverteilung kommt.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Name „Glockenkurve“ für die Normalverteilung kommt daher, dass der Graph ihrer Dichtefunktion die Form einer Glocke besitzt. 

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, wofür das \(\mu\) in der Dichtefunktion der Normalverteilung steht: \[f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left( \frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\]

Antwort anzeigen

Antwort

Erwartungswert

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, welche der folgenden Eigenschaften die Dichtefunktion der Normalverteilung besitzt.

Antwort anzeigen

Antwort

Achsensymmetrie

Frage anzeigen

Frage

Bewerte folgende Aussage: 


Die Verteilungsfunktion beschreibt die Fläche, die die Dichtefunktion mit der \(y\)-Achse einschließt.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist falsch. Eine Verteilungsfunktion beschreibt die Fläche, die die Dichtefunktion mit der \(x\)-Achse einschließt. Sie wird daher mit einem Integral beschrieben.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, welchen Erwartungswert und welche Varianz die Standardnormalverteilung besitzt.


Antwort anzeigen

Antwort

Die Standardnormalverteilung besitzt den Erwartungswert \(\mu=0\) und die Varianz \(\sigma^2=1\).


Frage anzeigen

Frage

Die Verteilungstabellen einer Normalverteilung besitzen nur positive Werte. Daher kannst Du nur Werte \(\phi(Z)\) ablesen, für die \(Z>0\) gilt.


Erkläre, wie Du Werte berechnest, für die \(Z<0\) gilt.

Antwort anzeigen

Antwort

Es gilt \(\phi(-Z)=1-\phi(Z)\). So können auch die Werte für negative \(Z\) abgelesen werden.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, welche Schritte Du machen solltest, um eine Normalverteilung in die Standardnormalverteilung zu transformieren.

Antwort anzeigen

Antwort

Um eine Normalverteilung in die Standardnormalverteilung zu transformieren, befolgst Du folgenden Schritte:


1. Berechne \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\).

2. Setze \(Z\) in die Funktion der Standardnormalverteilung ein: \(F(X)=\phi(Z)\).

Frage anzeigen

Frage

Gegeben ist eine Normalverteilung mit \(\mu=30\) und \(\sigma^2=25\). 


Berechne, wo die Wendestellen der Glockenkurve liegen.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Dichtefunktion der Normalverteilung besitzt genau zwei Wendestellen: Diese sind genau eine Standardabweichung vom Erwartungswert \(\mu\) entfernt. Berechne also zuerst die Standardabweichung \(\sigma\): \[\sigma=\sqrt{25}=5\] 

Berechne dann die Wendestellen: \[X_1= 30 – 5=25,\] \[X_2 = 30 + 5=35\]

Frage anzeigen

Frage

Bewerte die folgende Aussage: 


Jede Normalverteilung kann in Standardnormalverteilung umgewandelt werden.

Antwort anzeigen

Antwort

Wahr

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, wie der Erwartunsgwert und die Standardabweichung der Normalverteilung \[N(85,36)\] lauten.

Antwort anzeigen

Antwort

\(\mu=85,\, \sigma=6\)

Frage anzeigen

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