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Die Körpergröße oder Intelligenz aller Menschen ist annähernd normalverteilt. Das bedeutet, dass sie einer bestimmten Verteilung unterliegt und die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mensch eine bestimmte Größe erreicht, berechnet werden kann.In dieser Erklärung erfährst Du alles Wichtige über die gaußsche Normalverteilung in der Statistik. Du lernst die Definition der Normalverteilung kennen sowie die Varianz und den Erwartungswert. Außerdem findest Du hier…
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Jetzt kostenlos anmeldenDie Körpergröße oder Intelligenz aller Menschen ist annähernd normalverteilt. Das bedeutet, dass sie einer bestimmten Verteilung unterliegt und die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mensch eine bestimmte Größe erreicht, berechnet werden kann.
In dieser Erklärung erfährst Du alles Wichtige über die gaußsche Normalverteilung in der Statistik. Du lernst die Definition der Normalverteilung kennen sowie die Varianz und den Erwartungswert. Außerdem findest Du hier Beispiele und Aufgaben zur Normalverteilung.
Die Normalverteilung gehört zu den stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine Funktion, die jedem Wert \(x\) einer Zufallsgröße \(X\) eine Wahrscheinlichkeit \(P(X=x)\) zuordnet.
Eine Zufallsgröße ist dabei ebenfalls eine Funktion \(X\), die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet.
Alles Wichtige zu Wahrscheinlichkeitsverteilungen findest Du in der Erklärung Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Die Normalverteilung wird manchmal auch als Gauß-Verteilung oder Glockenkurve bezeichnet. Sie ist eine der wichtigsten Verteilungen in der Statistik.
Die Normalverteilung wird verwendet, um Häufigkeiten von Daten und Beobachtungen darzustellen.
Einen Wert einer beliebigen Normalverteilung bezeichnest Du immer mit \(X\).
Fast jeder Mittelwert einer beliebigen stetigen Verteilung liegt auf dieser Glockenkurve. Diese Besonderheit ist auch als zentraler Grenzwertsatz bekannt.
Der Name „Glockenkurve“ für die Normalverteilung kommt daher, dass der Graph ihrer Funktion, der sogenannten Dichtefunktion, die Form einer Glocke besitzt.
Die Dichtefunktion der gaußschen Normalverteilung besitzt die Form einer Glocke. Ihre Formel lautet: \[f(X)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left( \frac{X-\mu}{\sigma}\right)^2}\] Dabei ist
\(X\) die Zufallsgröße,
\(\mu \in \mathbb{R}\) der Erwartungswert,
\(\sigma^2 > 0\) die Varianz. Die Wurzel der Varianz ist die Standardabweichung \(\sigma\).
Die gaußsche Normalverteilung wird daher auch mit \[N(\mu,\sigma^2)\] bezeichnet.
Im Koordinatensystem sieht die Dichtefunktion wie folgt aus:
Abb. 1 – Glockenkurve Normalverteilung
Verändert sich der Erwartungswert \(\mu\), so wird die Kurve nach rechts oder links verschoben, denn er bildet das Maximum der Kurve. Verändert sich die Varianz \(\sigma^2\), so wird die Kurve gestreckt oder gestaucht. Je größer Sigma ist, desto gestauchter ist die Funktion.
Abb. 2 – Verschobene und gestreckte Glockenkurve
Eine Dichtefunktion der gaußschen Normalverteilung hat folgende Eigenschaften:
Sie ist symmetrisch zur Symmetrieachse \(y=\mu\)
Sie wird nie 0
Sie ist unimodal, besitzt also ein eindeutiges Maximum im Erwartungswert μ
Ihre Ableitung ist positiv für \(X < \mu\) und negativ für \(X > \mu\)
Sie ist stetig und deshalb von \(-\infty\) bis \(\infty\) definiert
Sie besitzt genau zwei Wendestellen: Diese sind genau eine Standardabweichung vom Erwartungswert \(\mu\) entfernt: \(X_1= \mu – \sigma\), \(X_2 = \mu + \sigma\)
Die Verteilungsfunktion ist im Vergleich zur Dichtefunktion etwas komplizierter.
Eine Verteilungsfunktion beschreibt die Fläche, die die Dichtefunktion mit der \(x\)-Achse einschließt. Sie wird daher mit einem Integral beschrieben: \[F(X)=\int_{-\infty}^t{\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left( \frac{X-\mu}{\sigma}\right)^2}}dt\]
Das Rechnen mit der Verteilungsfunktion ist allerdings so kompliziert, dass selbst der Taschenrechner für das Lösen nicht ausreicht. Daher gibt es sogenannte Verteilungstabellen, an denen die Lösungen abgelesen werden können.
Da es unendlich viele Normalverteilungen gibt und für jede eine eigene Verteilungstabelle nötig wäre, gibt es die sogenannte Standardnormalverteilung.
Die Standardnormalverteilung \(N(0,1)\) besitzt den Erwartungswert \(\mu=0\) und die Varianz \(\sigma^2=1\). Damit vereinfacht sich die obige Formel zu \[\phi(x)=\frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}x^2}.\]
Einen Wert der Standardnormalverteilung bezeichnest Du immer mit \(Z\).
Jede Normalverteilung kann in Standardnormalverteilung umgewandelt werden. Dazu ziehst Du zuerst den Erwartungswert \(\mu\) ab und teilst dann durch die Standardabweichung \(\sigma\).
Um eine Normalverteilung in die Standardnormalverteilung zu transformieren, befolgst Du folgende Schritte:
Beachte: Die Verteilungstabellen enthalten nur positive Werte. Daher gilt: \[\phi(-Z)=1-\phi(Z)\]
Die folgende Verteilungstabelle dient dazu, die Werte der Standardnormalverteilung abzulesen. Nachdem Du Deine Werte standardisiert und bestimmt hast, kannst Du in der Tabelle die zugehörige Wahrscheinlichkeit ablesen. Dabei ist es wichtig zu beachten, dass die ersten zwei Ziffern in der ersten Spalte und die zweite Nachkommastelle in der ersten Zeile dargestellt sind.
Z / Φ(Z) | 0 | 0,01 | 0,02 | 0,03 | 0,04 | 0,05 | 0,06 | 0,07 | 0,08 | 0,09 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0,5 | 0,50399 | 0,50798 | 0,51197 | 0,51595 | 0,51994 | 0,52392 | 0,5279 | 0,53188 | 0,53586 |
0,1 | 0,53983 | 0,5438 | 0,54776 | 0,55172 | 0,55567 | 0,55962 | 0,56356 | 0,56749 | 0,57142 | 0,57535 |
0,2 | 0,57926 | 0,58317 | 0,58706 | 0,59095 | 0,59483 | 0,59871 | 0,60257 | 0,60642 | 06,1026 | 0,61409 |
0,3 | 0,61791 | 0,62172 | 0,62552 | 0,6293 | 0,63307 | 0,63683 | 0,64058 | 0,64431 | 0,64803 | 0,65173 |
0,4 | 0,65542 | 0,6591 | 0,66276 | 0,6664 | 0,67003 | 0,67364 | 0,67724 | 0,68082 | 0,68439 | 0,68793 |
0,5 | 0,69146 | 0,69497 | 0,69847 | 0,70194 | 0,7054 | 0,70884 | 0,71226 | 0,71566 | 0,71904 | 0,7224 |
0,6 | 0,72575 | 0,72907 | 0,73237 | 0,73565 | 0,73891 | 0,74215 | 0,74537 | 0,74857 | 0,75175 | 0,7549 |
0,7 | 0,75804 | 0,76115 | 0,76424 | 0,7673 | 0,77035 | 0,77337 | 0,77637 | 0,77935 | 0,7823 | 0,78524 |
0,8 | 0,78814 | 0,79103 | 0,79389 | 0,79673 | 0,79955 | 0,80234 | 0,80511 | 0,80785 | 0,81057 | 0,81327 |
0,9 | 0,81594 | 0,81859 | 0,82121 | 0,82381 | 0,82639 | 0,82894 | 0,83147 | 0,83398 | 0,83646 | 0,83891 |
1,0 | 0,84134 | 0,84375 | 0,84614 | 0,84849 | 0,85083 | 0,85314 | 0,85543 | 0,85769 | 0,85993 | 0,86214 |
1,1 | 0,86433 | 0,8665 | 0,86864 | 0,87076 | 0,87286 | 0,87493 | 0,87698 | 0,879 | 0,881 | 0,88298 |
1,2 | 0,88493 | 0,88686 | 0,88877 | 0,89065 | 0,89251 | 0,89435 | 0,89617 | 0,89796 | 0,89973 | 0,90147 |
1,3 | 0,9032 | 0,9049 | 0,90658 | 0,90824 | 0,90988 | 0,91149 | 0,91309 | 0,91466 | 0,91621 | 0,91774 |
1,4 | 0,91924 | 0,92073 | 0,9222 | 0,92364 | 0,92507 | 0,92647 | 0,92785 | 0,92922 | 0,93056 | 0,93189 |
1,5 | 0,93319 | 0,93448 | 0,93574 | 0,93699 | 0,93822 | 0,93943 | 0,94062 | 0,94179 | 0,94295 | 0,94408 |
1,6 | 0,9452 | 0,9463 | 0,94738 | 0,94845 | 0,9495 | 0,95053 | 0,95154 | 0,95254 | 0,95352 | 0,95449 |
1,7 | 0,95543 | 0,95637 | 0,95728 | 0,95818 | 0,95907 | 0,95994 | 0,9608 | 0,96164 | 0,96246 | 0,96327 |
1,8 | 0,96407 | 0,96485 | 0,96562 | 0,96638 | 0,96712 | 0,96784 | 0,96856 | 0,96926 | 0,96995 | 0,97062 |
1,9 | 0,97128 | 0,97193 | 0,97257 | 0,9732 | 0,97381 | 0,97441 | 0,975 | 0,97558 | 0,97615 | 0,9767 |
2,0 | 0,97725 | 0,97778 | 0,97831 | 0,97882 | 0,97932 | 0,97982 | 0,9803 | 0,98077 | 0,98124 | 0,98169 |
2,1 | 0,98214 | 0,98257 | 0,983 | 0,98341 | 0,98382 | 0,98422 | 0,98461 | 0,985 | 0,98537 | 0,98574 |
2,2 | 0,9861 | 0,98645 | 0,98679 | 0,98713 | 0,98745 | 0,98778 | 0,98809 | 0,9884 | 0,9887 | 0,98899 |
2,3 | 0,98928 | 0,98956 | 0,98983 | 0,9901 | 0,99036 | 0,99061 | 0,99086 | 0,99111 | 0,99134 | 0,99158 |
2,4 | 0,9918 | 0,99202 | 0,99224 | 0,99245 | 0,99266 | 0,99286 | 0,99305 | 0,99324 | 0,99343 | 0,99361 |
2,5 | 0,99379 | 0,99396 | 0,99413 | 0,9943 | 0,99446 | 0,99461 | 0,99477 | 0,99492 | 0,99506 | 0,9952 |
2,6 | 0,99534 | 0,99547 | 0,9956 | 0,99573 | 0,99585 | 0,99598 | 0,99609 | 0,99621 | 0,99632 | 0,99643 |
2,7 | 0,99653 | 0,99664 | 0,99674 | 0,99683 | 0,99693 | 0,99702 | 0,99711 | 0,9972 | 0,99728 | 0,99736 |
2,8 | 0,99744 | 0,99752 | 0,9976 | 0,99767 | 0,99774 | 0,99781 | 0,99788 | 0,99795 | 0,99801 | 0,99807 |
2,9 | 0,99813 | 0,99819 | 0,99825 | 0,99831 | 0,99836 | 0,99841 | 0,99846 | 0,99851 | 0,99856 | 0,99861 |
3,0 | 0,99865 | 0,99869 | 0,99874 | 0,99878 | 0,99882 | 0,99886 | 0,99889 | 0,99893 | 0,99896 | 0,999 |
3,1 | 0,99903 | 0,99906 | 0,9991 | 0,99913 | 0,99916 | 0,99918 | 0,99921 | 0,99924 | 0,99926 | 0,99929 |
3,2 | 0,99931 | 0,99934 | 0,99936 | 0,99938 | 0,9994 | 0,99942 | 0,99944 | 0,99946 | 0,99948 | 0,9995 |
3,3 | 0,99952 | 0,99953 | 0,99955 | 0,99957 | 0,99958 | 0,9996 | 0,99961 | 0,99962 | 0,99964 | 0,99965 |
3,4 | 0,99966 | 0,99968 | 0,99969 | 0,9997 | 0,99971 | 0,99972 | 0,99973 | 0,99974 | 0,99975 | 0,99976 |
3,5 | 0,99977 | 0,99978 | 0,99978 | 0,99979 | 0,9998 | 0,99981 | 0,99981 | 0,99982 | 0,99983 | 0,99983 |
3,6 | 0,99984 | 0,99985 | 0,99985 | 0,99986 | 0,99986 | 0,99987 | 0,99987 | 0,99988 | 0,99988 | 0,99989 |
3,7 | 0,99989 | 0,9999 | 0,9999 | 0,9999 | 0,99991 | 0,99991 | 0,99992 | 0,99992 | 0,99992 | 0,99992 |
3,8 | 0,99993 | 0,99993 | 0,99993 | 0,99994 | 0,99994 | 0,99994 | 0,99994 | 0,99995 | 0,99995 | 0,99995 |
3,9 | 0,99995 | 0,99995 | 0,99996 | 0,99996 | 0,99996 | 0,99996 | 0,99996 | 0,99996 | 0,99997 | 0,99997 |
4,0 | 0,99997 | 0,99997 | 0,99997 | 0,99997 | 0,99997 | 0,99997 | 0,99998 | 0,99998 | 0,99998 | 0,99998 |
Das war sehr viel Theorie. Damit Dir auch die Anwendung klar wird, kannst Du Dir das folgende Beispiel ansehen.
Die Körpergröße eines Mannes ist normalverteilt. Die Durchschnittsgröße liegt bei \(170\, \text{cm}\) und die Standardabweichung bei \(10 \, \text{cm}\).
Damit ist \(\mu=170\) und \(\sigma=10\).
Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein zufällig ausgewählter Mann zwischen \(160 \, \text{cm}\) und \(180 \, \text{cm}\) groß ist.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit \[P(160<X<180)\] Diese berechnet sich durch \[P(160<X<180)=F(180)-F(160)\] Zur weiteren Berechnung ist nun also die Transformation in die Standardnormalverteilung notwendig.
Zuerst berechnest Du \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\) für beide Grenzen: \begin{align}Z_1&=\frac{180-170}{10}=1 \\[0.1cm] Z_2&=\frac{160-170}{10}=-1 \end{align}
Da \(F(X)=\phi(Z)\) gilt, gilt also \begin{align}P(160<X<180)&=F(180)-F(160) \\[0.1cm] &=\phi(Z_1)-\phi(Z_2) \\[0.1cm] &=\phi(1)-\phi(-1) \\[0.1cm] &=\phi(1)-(1-\phi(1))\end{align}
In der Verteilungstabelle kann nun der Wert von \(\phi(1)\) abgelesen werden: \[\phi(1)=\text{0,84134}\]
Diesen setzt Du nun ein und erhältst: \begin{align}P(160<X<180)&=\phi(1)-(1-\phi(1)) \\[0.1cm] &= \text{0,84134}-(1-\text{0,84134}) \\[0.1cm] &= \text{0,68268} \\[0.1cm] &\approx \text{68,27}\, \% \end{align}
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Mann zwischen \(160 \, \text{cm}\) und \(180 \, \text{cm}\) groß ist, beträgt damit ca. \(\text{68,27}\, \%\).
Und jetzt bist Du dran! Teste Dein Wissen über Normalverteilungen anhand der folgenden Aufgaben.
Aufgabe 1
Der Intelligenzquotient (IQ) ist ebenfalls eine normalverteilte Zufallsvariable. Der Erwartungswert beträgt dabei \(\mu=100\). Die Dichtefunktion ist mit ihrem Hochpunkt \(H\) und zwei Wendepunkten \(W_1\) und \(W_2\) in der folgenden Abbildung dargestellt.
Abb. 3 - Aufgabe 1.
Berechne den Wert für die Standardabweichung anhand der Abbildung.
Lösung
Die Wendestellen der Dichtefunktion einer Normalverteilung besitzt genau zwei Wendestellen. Diese sind genau eine Standardabweichung \(\sigma\) vom Erwartungswert \(\mu\) entfernt: \[x_1= \mu – \sigma, \,x_2 = \mu + \sigma\]
Die Wendestellen sind hier ablesbar \(x_1=85\) und \(x_2=115\) und der Erwartungswert ist bekannt: \(\mu=100\). Setze dies ein und forme nach \(\sigma\) um: \begin{align} 85&= 100 – \sigma &&|+\sigma \\[0.1cm]85+\sigma&=100 &&|-85 \\[0.1cm] \sigma&=15\end{align}
Die Standardabweichung ist also \(\sigma=15\).
Aufgabe 2
Die durchschnittliche Schlafdauer eines Erwachsenen Menschen ist normalverteilt mit dem Erwartungswert \(\mu = 7{,}5 \, \text{h}\) und der Standardabweichung \(\sigma=\text{0,9}\).
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Erwachsener weniger als \(6 \, \text{h}\) schläft.
Lösung
Gesucht ist hier die Wahrscheinlichkeit \[P(X<6)\]. Diese berechnet sich durch \[P(X<6)=F(6)\]. Zur weiteren Berechnung ist nun also die Transformation in die Standardnormalverteilung notwendig.
Zuerst berechnest Du die obere Grenze \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\):
\begin{align}Z_1&=\frac{6-\text{7,5}}{\text{0,9}}\approx \text{1,67} \end{align}
Da \(F(X)=\phi(Z)\) gilt, gilt also
\begin{align}P(X<6)&=F(6) \\[0.1cm] &=\phi(Z) \\[0.1cm] &=\phi(-\text{1,67}) \\[0.1cm] &=1-\phi(\text{1,67})\end{align}
In der Verteilungstabelle kann nun der Wert von \(\phi(\text{1,67})\) abgelesen werden:
\[\phi(\text{1,67})=\text{0,95254}\]
Diesen setzt Du nun ein und erhältst:
\begin{align}P(X<6)&=\phi(1)-(1-\phi(1)) \\[0.1cm] &= 1-\text{0,95254}) \\[0.1cm] &= \text{0,04746}\, \\[0.1cm] &= \text{4,75}\% \end{align}
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein erwachsener Mensch weniger als zwischen \(6 \, \text{h}\) schläft, beträgt also ca. \(\text{4,75}\, \%\).
Aufgabe 3
Die Brenndauer eines Teelichts ist normalverteilt und beträgt \(\mu=40 \, \text{min}\) mit einer Standardabweichung von \(\sigma=7\).
Berechne die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das Teelicht zwischen \(35 \, \text{min}\) und \(45 \, \text{min}\) Minuten brennt.
Lösung
Gesucht ist hier \(P(35\leq X \leq 45)=F(45)-F(35)\).
Zunächst sollte die gaußsche Verteilung mit der entsprechenden Formel standardisiert und vereinfacht werden:
\begin{align}Z_1&=\frac{45-40}{7}\approx \text{0,71} \\[0.1cm] Z_2&=\frac{35-40}{7}\approx \text{-0,71} \end{align}
Da \(F(X)=\phi(Z)\) gilt, gilt also
\begin{align}P(35<X<45)&=F(45)-F(35) \\[0.1cm] &=\phi(Z_1)-\phi(Z_2) \\[0.1cm] &=\phi(\text{0,71})-\phi(-\text{0,71}) \\[0.1cm] &=\phi(\text{0,71})-(1-\phi(\text{0,71}))\end{align}
Lies nun in der Verteilungstabelle den Wert für
\(\phi(\text{0,71})\) ab: \[\phi(\text{0,71})=\text{0,76115}\]
Setze ihn oben ein und Du erhältst
\begin{align}P(35<X<45)&=\phi(\text{0,71})-(1-\phi(\text{0,71})) \\[0.1cm] &= \text{0,76115}-(1-\text{0,76115}) \\[0.1cm] &=0,5223 \end{align}
Die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das Teelicht zwischen \(35 \, \text{min}\) und \(45 \, \text{min}\) brennt, beträgt also \(\text{52,23}\%\).
\(x\) als Zufallsgröße,
\(\mu \in \mathbb{R}\) als Erwartungswert,
\(\sigma^2 > 0\) als Varianz.
Die Standardnormalverteilung \(N(0,1)\) besitzt den Erwartungswert \(\mu=0\) und die Varianz \(\sigma^2=1\). Ihre Verteilungsfunktion lautet \[\phi(x)=\frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}x^2}.\]
Um eine Normalverteilung in die Standardnormalverteilung zu transformieren, berechnest Du \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\) und setzt \(F(X)=\phi(Z)\).
Die Normalverteilung sagt aus, dass Zweidrittel aller Messwerte innerhalb der Entfernung einer Standardabweichung zum Mittelwert liegen.
Die Normalverteilung wird verwendet, um Häufigkeiten von Daten und Beobachtungen darzustellen.
Um herauszufinden, ob Daten normalverteilt sind, kannst Du einige Tests, wie beispielsweise den Kolmogorov-Smirnov Test oder den Anderson Darling Test, durchführen.
Du testest auf Normalverteilung, wenn Du die Häufigkeit von Daten und Beobachtungen darstellen willst.
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