Normalverteilung

Die Körpergröße eines Mannes ist normalverteilt. Die Durchschnittsgröße liegt bei \(170\, \text{cm}\) und die Standardabweichung bei \(10 \, \text{cm}\).

Damit ist \(\mu=170\) und \(\sigma=10\).

Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein zufällig ausgewählter Mann zwischen \(160 \, \text{cm}\) und \(180 \, \text{cm}\) groß ist.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit \[P(160<X<180)\] Diese berechnet sich durch \[P(160<X<180)=F(180)-F(160)\] Zur weiteren Berechnung ist nun also die Transformation in die Standardnormalverteilung notwendig.

Zuerst berechnest Du \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\) für beide Grenzen: \begin{align}Z_1&=\frac{180-170}{10}=1 \\[0.1cm] Z_2&=\frac{160-170}{10}=-1 \end{align}

Da \(F(X)=\phi(Z)\) gilt, gilt also \begin{align}P(160<X<180)&=F(180)-F(160) \\[0.1cm] &=\phi(Z_1)-\phi(Z_2) \\[0.1cm] &=\phi(1)-\phi(-1) \\[0.1cm] &=\phi(1)-(1-\phi(1))\end{align}

In der Verteilungstabelle kann nun der Wert von \(\phi(1)\) abgelesen werden: \[\phi(1)=\text{0,84134}\]

Diesen setzt Du nun ein und erhältst: \begin{align}P(160<X<180)&=\phi(1)-(1-\phi(1)) \\[0.1cm] &= \text{0,84134}-(1-\text{0,84134}) \\[0.1cm] &= \text{0,68268} \\[0.1cm] &\approx \text{68,27}\, \% \end{align}

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Mann zwischen \(160 \, \text{cm}\) und \(180 \, \text{cm}\) groß ist, beträgt damit ca. \(\text{68,27}\, \%\).

Aufgabe 1

Der Intelligenzquotient (IQ) ist ebenfalls eine normalverteilte Zufallsvariable. Der Erwartungswert beträgt dabei \(\mu=100\). Die Dichtefunktion ist mit ihrem Hochpunkt \(H\) und zwei Wendepunkten \(W_1\) und \(W_2\) in der folgenden Abbildung dargestellt.

Abb. 3 - Aufgabe 1.

Berechne den Wert für die Standardabweichung anhand der Abbildung.

Lösung

Die Wendestellen der Dichtefunktion einer Normalverteilung besitzt genau zwei Wendestellen. Diese sind genau eine Standardabweichung \(\sigma\) vom Erwartungswert \(\mu\) entfernt: \[x_1= \mu – \sigma, \,x_2 = \mu + \sigma\]

Die Wendestellen sind hier ablesbar \(x_1=85\) und \(x_2=115\) und der Erwartungswert ist bekannt: \(\mu=100\). Setze dies ein und forme nach \(\sigma\) um: \begin{align} 85&= 100 – \sigma &&|+\sigma \\[0.1cm]85+\sigma&=100 &&|-85 \\[0.1cm] \sigma&=15\end{align}

Die Standardabweichung ist also \(\sigma=15\).

Aufgabe 2

Die durchschnittliche Schlafdauer eines Erwachsenen Menschen ist normalverteilt mit dem Erwartungswert \(\mu = 7{,}5 \, \text{h}\) und der Standardabweichung \(\sigma=\text{0,9}\).

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Erwachsener weniger als \(6 \, \text{h}\) schläft.

Lösung

Gesucht ist hier die Wahrscheinlichkeit \[P(X<6)\]. Diese berechnet sich durch \[P(X<6)=F(6)\]. Zur weiteren Berechnung ist nun also die Transformation in die Standardnormalverteilung notwendig.

Zuerst berechnest Du die obere Grenze \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\):

\begin{align}Z_1&=\frac{6-\text{7,5}}{\text{0,9}}\approx \text{1,67} \end{align}

Da \(F(X)=\phi(Z)\) gilt, gilt also

\begin{align}P(X<6)&=F(6) \\[0.1cm] &=\phi(Z) \\[0.1cm] &=\phi(-\text{1,67}) \\[0.1cm] &=1-\phi(\text{1,67})\end{align}

In der Verteilungstabelle kann nun der Wert von \(\phi(\text{1,67})\) abgelesen werden:

\[\phi(\text{1,67})=\text{0,95254}\]

Diesen setzt Du nun ein und erhältst:

\begin{align}P(X<6)&=\phi(1)-(1-\phi(1)) \\[0.1cm] &= 1-\text{0,95254}) \\[0.1cm] &= \text{0,04746}\, \\[0.1cm] &= \text{4,75}\% \end{align}

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein erwachsener Mensch weniger als zwischen \(6 \, \text{h}\) schläft, beträgt also ca. \(\text{4,75}\, \%\).

Aufgabe 3

Die Brenndauer eines Teelichts ist normalverteilt und beträgt \(\mu=40 \, \text{min}\) mit einer Standardabweichung von \(\sigma=7\).

Berechne die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das Teelicht zwischen \(35 \, \text{min}\) und \(45 \, \text{min}\) Minuten brennt.

Lösung

Gesucht ist hier \(P(35\leq X \leq 45)=F(45)-F(35)\).

Zunächst sollte die gaußsche Verteilung mit der entsprechenden Formel standardisiert und vereinfacht werden:

\begin{align}Z_1&=\frac{45-40}{7}\approx \text{0,71} \\[0.1cm] Z_2&=\frac{35-40}{7}\approx \text{-0,71} \end{align}

Da \(F(X)=\phi(Z)\) gilt, gilt also

\begin{align}P(35<X<45)&=F(45)-F(35) \\[0.1cm] &=\phi(Z_1)-\phi(Z_2) \\[0.1cm] &=\phi(\text{0,71})-\phi(-\text{0,71}) \\[0.1cm] &=\phi(\text{0,71})-(1-\phi(\text{0,71}))\end{align}

Lies nun in der Verteilungstabelle den Wert für

\(\phi(\text{0,71})\) ab: \[\phi(\text{0,71})=\text{0,76115}\]

Setze ihn oben ein und Du erhältst

\begin{align}P(35<X<45)&=\phi(\text{0,71})-(1-\phi(\text{0,71})) \\[0.1cm] &= \text{0,76115}-(1-\text{0,76115}) \\[0.1cm] &=0,5223 \end{align}

Die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das Teelicht zwischen \(35 \, \text{min}\) und \(45 \, \text{min}\) brennt, beträgt also \(\text{52,23}\%\).